BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakag

Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani, para

ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-

18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola member

dorongan untuk mempelajari bagaiman dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi.

Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang

dengan suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri.

Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y).

secara aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks

T ( xy )=(1 0

0 −1)( xy )=( x

− y )Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi geometri

berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi

(pergeseran), rotasi(perputaran), refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun,

pada makalah ini penulis mengkhususkan pada Refleksi (pencerminan). Dimana Suatu titik

atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun

sistem mengalami pergeseran yang sama.

Pemindahan suatu titik atau bangun pada suatu bidang yang digunakan salahsatunya

adalah refleksi (pencerminan), dimana dalam kehidapan seharih-hari sering kita jumpai

trutama pada saat bercermin, yang menjadi pertanyaan adalah ketika bercermin apakah

bayangan kitadengankitasendiri sama jaraknya? dengan pencerminan dan menjawab

pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita akan mengetahui pengertian dan sifat dari penceerminan

itu.

pencerminan merupakan suatu transsformasiyang memindahkan setiap titik pada

bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahitu.

Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiaptitik bangun geometri itu

terhadap garis tertentu. garis tertentu itu dinamakansebagai sumbu cermin atau sumbu

simetri. Jika suatu bangun geometi dicerminkan terhadap garis tertentu, makabangun

bayangan kongruen dengan bangun semula.

1

B. Tujuan

1. Menentukan persamaan suatu garis sebagai peta/prapeta suatu garis oleh suatu

pencerminan

2. Menggunakan sifat pencerminan untuk menentukan persamaan suatu garis, sehingga

pencerminanpada garis itu memenuhi syarat tambahan lainnya;

3. Menganalisis kebenaran pernyataan berdasarkan sifat-sifat pencerminan.

C. Manfaat

1. Bagi mahasiswa

a. Dapat menambah wawasan/pengetahuan tentang persamaan pencerminan

b. Dapat mengetahui manfaat pencerminana dalam kehidupan sehari-hari.

2. Bagi Dosen

Dengan adanya makalah ini dosen dapat sekiranya digunakan sebagai refrensi

selanjutnya.

2

BAB II

PERSAMAAN PENCERMINAN PADA GARIS

A. Definisi

Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan

untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

a. jika P s maka Ms (P) = P

b. jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP' . Pencerminan M pada

garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu

pencerminan / singkat cermin.

Persmaan pencerminan pada garis dibatasi hanya pada garis yang istimewa saja. Adapun

rumus-rumus pencerminan pada garis-garis istimewa ini diantarnya.

Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan titik B (a',b')

dengan a' = a dan b' = b.

hubungan diatas dapat ditulis

Mx : A(a,b) B(a',b') = B(a, -b)

Pemetaan A(a,b) B(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=(1 0

0 −1 )(ab )

Matriks (1 00 −1 )

dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

sumbu X.

Gambar 1.1 Pencerminan titi A terhadap Sumbu x

3

Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan titik C (a',b')

dengan a' = - a dan b' = b.

hubungan diatas dapat ditulis

My : A(a,b) C(a',b') = C(-a, b)

Pemetaan A(a,b) C(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=(−1 0

0 1 )(ab )

Matriks (−1 0

0 1 ) dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

sumbu Y.

Gambar 1.2 Pencerminan titik A terhadap sumbu y

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik D (a',b')

dengan a' = b dan b' = a.

hubungan diatas dapat ditulis

My=x : A(a,b) D(a',b') = D(-a, b)

Pemetaan A(a,b) D(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=(0 1

1 0 )(ab )

Matriks (0 11 0 )

dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

sumbu y = x.

4

Gambar 1.3 Pencerminan titik A terhadap garis y = x

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan titik E(a',b')

dengan a' = -b dan b' = -a.

hubungan diatas dapat ditulis

My= -x : A(a,b) E(a',b') = E(-b, -a)

Pemetaan A(a,b) E(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=( 0 −1

−1 0 )(ab )

Matriks ( 0 −1−1 0 )

dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

sumbu y = -x.

Gambar 1.4 Pencerminan titik A terhadap garis y = -x

Pencerminan titik A (a,b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a',b') dengan

a' = -a dan b' = -b.

hubungan diatas dapat ditulis

Mo : A(a,b) F(a',b') = F(-a, -f)

5

Pemetaan A(a,b) F(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=(−1 0

0 −1 )(ab )

Matriks (−1 0

0 −1 ) dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

titik asal O(0,0)

Gambar 1.5 Pencerminan titik A terhadap titikasal

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a',b')

dengan a' = 2h-a dan b' = -b.

hubungan diatas dapat ditulis

Mx=h : A(a,b) G(a',b') = G(2h-a, -b)

Pemetaan A(a,b) G(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=(−1 0

0 1 )(ab )

Matriks (−1 0

0 1 ) dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

garis x=h .

Gambar 1.6 Pencerminan titik A terhadap garis x = h

6

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik G(a',b')

dengan a' = 2h-a dan b' = -b.

hubungan diatas dapat ditulis

My=k : A(a,b) H(a',b') = H(a,2k -b)

Pemetaan A(a,b) H(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

(a'b ' )=(1 0

0 −1 )(ab )

Matriks (1 00 −1 )

dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa

garis y=k .

Gambar 1.7 Pencerminan titik A terhadap garis y = k

Misalkan, titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x= h kemudian dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap garis x = k

untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut!

7

Dari gambar, tampak bahwa:

A( a ,b )⃗Garisx=h A ' (2 h−a ,b )⃗Garisx=k A \( 2 \( k - h \) +a,b \) } { ¿Dengan cara yang sama, dapat ditentukan bayangan titik A(a,b) yang dicerminkan

terhadap garis y = m, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = n sebagai

berikut.

A( a ,b )⃗Garisxy=m A ' (a , 2 m−b )⃗Garisy=n A \( a,2 \( n - m \) ,b \) } {¿Sekarang jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap dua garis yang berpotongan tegak lurus,

misalnya pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan dengan pencerminan terhadap

garis y= m. Diperoleh bayangan A'''sebagai berikut:

A( a ,b )⃗Garisx=h A ' (2 h−a ,b )⃗Garisy=m A \( 2h - a,2m - b \) } { ¿

B. Teorema

Dengan demikian diperoleh suatu teorema dari rumus-rumus tersebut

Misalkan Mg pencerminan pada garis g dan P(x, y) ∈ v, apabila

a) g = {(x,y) │x = 0} maka Mg (P) = (-x, y)

b) g = {(x,y) │y = 0} maka Mg (P) = (x,- y)

c) g = {(x,y) │x = a} maka Mg (P) = (2a – x, y)

d) g = {(x,y) │y = b} maka Mg (P) = (x,2b – y)\

e) g = {(x,y) │y = x} maka Mg (P) = (y, x)

f) g = {(x,y) │y = -x} maka Mg (P) = (-y, -x)

8

g) g = {(x,y) │y = mx} maka Mg (P )=((1−m)2 x+2my

1+m2×

2mx+(m2−1) y

1+m2 )C. Contoh-Contoh Dan Jawaban

1. Diketahui garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x, tentukan bayangannya!

Jawab

Rumus dasar pencerminan terhadap garis y= x : P(x,y) y⃗= x P'(x',y')

x' = y → y = x' …………….. (1)

y' = x → x = y'……………... (2)

Subtitusikan (1) dan (2) ke garis y = 2x + 2 diperoleh

x' = 2y' + 2

⇔2 y '=x '−2

⇔ y '=x '2

−1

Hasil pencerminannya adalah : y '= x '

2−1

2. Diketehui: g = {(x,y)│x = -3}

Ditanya:

a. Mg(A),Bila (2,1).

b. bila Mg(C) = (-1,7), Maka C =…

Jawab

a. Persamaan garis yang melalui A(2, 1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B(-3,1) adalah titik

tengah AA }} } {¿¿¿,

Maka (-3,1 ) = ( xA+xA '

2× yA+ yA '

2 )=¿¿

Jelas (-6,2) = (2 + xA',2 + yA')

(xA',yA') = (-8,1)

Jadi A' = (-8,1)

9

b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3, 7)

adalah titik tengah AA }} } {¿¿¿.

maka (-3,7) = ( xC+xC '

2× yC+ yC '

2 )=¿¿

Jelas (-6,14) = (xC – 1, yC + 7)

(xC,yC) = (-5,7)

Jadi C = (-5, 7)

3. Diketahui titik A(3, -5) dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan koordinat bayangan titik A

?

jawab:

Mx : A(3,-5) B(a',b')

Kita gunakanpersamaan matriks untuk menentukan x' dan y'

(a'b ' )=(1 0

0 −1 )(ab )⇔(a '

b ' )=(1 00 −1 )(3−5)

⇔(a 'b ' )=(1 .3+0(5)

0 .3+(−1)(−5))=(35 )Jadibayangan A(3, -5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5)

4. Diketahui g = {(x,y)│x + y = 1}

Ditanya:

a. Mg(0)

b. Mg(A) dengan A(1,2).

c. Jika P(x,x+1).

Tentukan Mg(P) = P

Jawab:

a. Dipunyai g = {(x,y)│x + y = 1}, dari x + y = 1 ⇔ y = 1 – x .

gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 maka

persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 0 = 1(x – 0)

10

y = x

jadi h = y – x

titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu

y = y

1 – x = x

2x = 1

x =

12

Subtitusikan x =

12 ke persamaan y = x

diperoleh y =

12 .

jadi titik potongnya (

12 ,

12 )

karena (

12 ,

12 ) titik tengah OO' , maka

( 12

,12 )=( x 0+xo '

2,

yo+ yo '2 )=( 0+ x0 '

20+ y0 '

2 )Jelas (1,1) = (x0',y0')

(x0',y0') = (1.1)

Jadi Mg(O) = (1,1)

b. Maka persamaan garis h yang melalui titik A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 2 = 1(x – 1)

y = x + 2 – 1

y = x + 1

Jadi h ¿ y = x + 1

Mencari perpotongan g dengan h.

y = y

1 – x = x + 1

2x = 0

x = 0

11

subtitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 – x

Diperoleh y = 1

Jadi titik potongnya (0,1)

Karena (0,1) titik tengah OO' , maka

(0,0 )=( x 0+xo '2

,yo+ yo '

2 )=( 1+x0 '2

2+ y0 '2 )

Jelas (0,2) = (1 + x0',2 + y0')

(x0',y0') = (-1,0)

Jadi A' = (-1,0)

c. Dipunyai p = (x, x+1) dan g = {(x,y)│x + y = 1}

Karena Mg(P) = P, maka P ∈ P(x, x + 1)

Diperoleh x + y = 1 x + y =1 ⇔X + (x + 1) = 1 ⇔x = 0

dan y = 0 + 1 =1

Jadi Mg (P) = (0,1)

5. Diketahui titip P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y =-x.Tetukan koordinat bayangan titik P!

Jawab

(a'b ' )=( 0 −1

−1 0 )(ab )⇔(a '

b ' )=(0 −1−1 0 )( x

b )⇔(a '

b ' )=(0 .(−3 )+(−1 )7 )(−1)(−3)+0 .7 )=(−7

3 )Jadi bayangan titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y=-x adalah P'(-7,3)

6. Jika garis x - 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y. maka tentukan persamaan

bayangannya!

Jawab

Garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y.

(a'b ' )=(−1 0

0 1 )(ab )

12

⇔(a '

b ' )=(−ab )

Dengan demikian a' = - x x = - x', dan

b' = - y b = y'

Dengan mensubtitusikan x = - x' dan y' persamaan garis, maka diperoleh.

(-x') – 2(y') – 3 = 0

- x' – 2y – 3 =0

Jadi, bayangan garis x – 2y – 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah – x – 2y – 3

= 0.

7. Tentukan bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 yang dicerminkan terhadap garis y = 3.

jawab

ambil sebarang titik P(a,b) pada y = x2 + 2x + 1 sehingga b = a2 + 2a + 1

Refleksikan titik P terhadap garis y = 3 sehingga diperoleh titik P'(a', b').

Dengan mencerminkan titik P(a, b) trhadap garis y = 3, diperoleh titik A'(a',b')

P(a , b )⃗Garisy=3 P ' ( a ,2 . 3−b )=P '( a ,6−b )Jadi, titik P'(a, 6 – b).

Perhatikan bahwa: a' = a, b' = 6 – b. Dari persamaan ini, didapat b = 6 – b'. Dengan

mensubtitusi nilai a dan b ini ke persamaan, sehinga diperoleh:

6 – b' = (a') + 2a' + 1

b' = - (a')2 – 2a' + 5

Jadi, bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 yang dicerminkan terhadap garisy = 3 adalah

y = - x2 – 2x + 5.

8. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dicerminkan terhadap y = x adalah

jawab

x – 2y + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y = x, maka kita ubah persamaan

menjadipersamaan x = 2y – 4. kita tahu bahwa y = x matriks yang bersesuaian adalah:

13

y=x→(0 11 0 )

(a'b' )=(ab )

Dengan demikan untuk y = x:

x' = y

y' = x

Didapat x = 2y – 4 menjadi y = 2x – 4

Jadi dapat disimpulkan hasil pencerminan adalah y – 2x + 4 = 0

9. tentukan bayangan jajar =genjang ABCD dengan titik sudut A(-2, 4), B(0, -5), C(3, 2), dan

D(1, 11) jika

a. Dicerminkan terhadap sumbu x.

b. dicerminkan terhadap sumbu y

jawab

a. Pencerminan terhadap sumbu x.

( x1 ' x2 ' x 3 ' x 4 'y 1 ' y 2' y3 ' y 4 ' )=(1 0

0 −1 )(−2 0 3 14 −5 2 11 )

=(−2 0 3 1−4 5 −2 −11 )

Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah

jajargenjang A'B'C'D' dengan titik sudut A'(-2,-4), B'(0,5), C'(3, -2), dan D'(1, -11).

b. Pencerminan terhadap sumbu y

( x1 ' x2 ' x 3 ' x 4 'y 1 ' y 2' y3 ' y 4 ' )=(−1 0

0 1 )(−2 0 3 14 −5 2 11 )=(2 0 −3 −1

4 −5 2 11 )Jadi Bayangan jajar genjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah

jajargenjang A'B'C'D' dengan titik sudut A'(2,4), B'(0,-5), C'(-3, 2), dan D'(-1,11).

14

10. Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi 

Jawab :

Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh

translasi   adalah (x’, y’) sehingga ditulis 

Atau

x’ = x + 3  x = x’- 3 ..... (1)

y’ = y – 2   y = y’ + 2 ......(2)

Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :

y = 2x – 5

y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5

y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2

y’ = 2x’ – 13

Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi  adalah y = 2x – 13 .

11. Persamaan bayangan kurva y = x2 – 2x – 3 oleh rotasi [0, 180o], kemudian dilanjutkan oleh

pencerminan terhadap garis y = -x adalah….

jawab

T1 : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan R[0, 180 0] adalah (−1 0

0 −1 )T2 : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = - x

adalah ( 0 −1−1 0 )

T1 o T2 : (x,y) adalah:

15

( y {} ##x )=(−1 00 −1 )(0 −1

−1 0 )( xy )

( x {} ##y )=(0 11 0 )( x

y )( x {} ##y )=( y

x )jadi

y = x"

x = y"

maka

T2 o T1 : y = x2 – 2x – 3 adalah : x" = y"2 – 2y" – 3

Jadi hasil Trasformasinya adalah x = y2 – 2y – 3

12. persamaan bayangan dari lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang

barkaitan dengan matriks ( 0 1−1 0 )

adalah…

jawab

T = ( 0 1−1 0 )

: (x,y) (x '

y ')=( 0 1−1 0 )(x

y)=( y−x )

Jadi

y = x'

x = -y'

maka T: x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 (-y')2 + (x')2 – 4y' – 6x' – 3 = 0

↔ y'2 + x'2 – 4y' – 6x' – 3 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0

13. Diketahui g = x, y │x - 3y 1 0, dan A (2,k).

Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab

: Dipunyai x – 3y +1 = 0,

Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.

Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk

16

x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1

Jadi nilai k = 1.

BAB III

PENUTUP

A. Rangkuman

Persmaan pencerminan pada garis dibatasi hanya pada garis yang istimewa saja. Adapun

rumus-rumus pencerminan pada garis-garis istimewa ini diantarnya.

Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan titik B (a',b')

dengan a' = a dan b' = b.

hubungan diatas dapat ditulis

Mx : A(a,b) B(a',b') = B(a, -b)

17

Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan titik C (a',b')

dengan a' = - a dan b' = b.

hubungan diatas dapat ditulis

My : A(a,b) C(a',b') = C(-a, b)

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik D (a',b')

dengan a' = b dan b' = a.

hubungan diatas dapat ditulis

My=x : A(a,b) D(a',b') = D(-a, b)

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan titik E(a',b')

dengan a' = -b dan b' = -a.

hubungan diatas dapat ditulis

My= -x : A(a,b) E(a',b') = E(-b, -a)

Pencerminan titik A (a,b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a',b') dengan

a' = -a dan b' = -b.

hubungan diatas dapat ditulis

Mo : A(a,b) F(a',b') = F(-a, -b)

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a',b')

dengan a' = 2h-a dan b' = -b.

hubungan diatas dapat ditulis

Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik G(a',b')

dengan a' = 2h-a dan b' = -b.

hubungan diatas dapat ditulis

My=k : A(a,b) H(a',b') = H(a,2k -b)

Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut:

a) g = {(x,y) │x = 0} maka Mg (P) = (-x, y)

b) g = {(x,y) │y = 0} maka Mg (P) = (x,- y)

c) g = {(x,y) │x = a} maka Mg (P) = (2a – x, y)

d) g = {(x,y) │y = b} maka Mg (P) = (x,2b – y)\

e) g = {(x,y) │y = x} maka Mg (P) = (y, x)

f) g = {(x,y) │y = -x} maka Mg (P) = (-y, -x)

18

g) g = {(x,y) │y = mx} maka Mg (P )=((1−m)2 x+2my

1+m2×

2mx+(m2−1) y

1+m2 )B. Kesimpulan

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai pencerminan misalnya ketika kita

bercermin dikaca maka tentu ada bayangannya. cara mencari bayangan tersebut tentu kita

menggunakan bergai macam rumus yang ada direfleksi, diantaranya Pecerminan terhadap

sumbu x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap titik pusat, pencerminan

terhadap gars y = x, pencerminana terhadapgaris y = -x, pencerminana terhadap titik h ,

pencerminana terhadap titik y = k, dan pencerminan terhadap titik y = mx. Namun yang dibahas

disini adalah persamaan pencermnan pada garis tentu mencarinya dengan rumus/sifat sifat dari

pencerminan, sehinggadi peroleh teorema pencerminan terhadap garis

19