PERSAMAAN LINGKARAN

&

GARIS SINGGUNG

Sub Materi :

Persamaan – persamaan lingkaran

Posisi suatu titik terhadap lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Posisi dua lingkaran

Persamaan – persamaan lingkaran

M pusat lingkaran

P4 (x4, y4)

P3 (x3, x3)

P1 (x1, y1)

P2 (x2, y2)

r = jari - jari

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik –titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar.

Jarak yang sama : jari – jariSebuah titik tertentu : pusat lingkaran

Persamaan yang menghubungkan peubah x dan peubah y disebut persamaan lingkaran.

Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh :a. Letak pusat lingkaran M,

danb. Panjang jari – jari.

** Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0, 0) dan

Berjari – jari r

O P’

P (x, y)

Y

ry

x

Misalkan titik P(x, y) adalah sembarang titik pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga merupakan segitiga siku-siku di P.

Karena titik P(x, y) diambil sembarang, maka persamaanx2 + y2 = r2 berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada keliling lingkaran itu.

X

POP'

Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jarir adalah :

KESIMPULAN !!!

x2 + y2 = r2

Contoh Soal … (1)

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan tentukan melaluititik A(-3, 5).

Jawab :

Lingkaran berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3, 5), maka jari-jari r adalah :

22 53 r

34 Sehingga, 22 34r

34

Persamaan lingkarannya : x2 + y2 = r2 maka, x2 + y2 = 34

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3,5)adalah :

3422 yxL

Contoh Soal . . . (2)

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari r = 5 jika sebuahlingkaran yang bertitik pusat di O.

Jawab :

Persamaan di O dan jari-jari r = 5

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52 maka, x2 + y2 = 25

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25 atau

25, 22 yxyxL

Contoh Soal . . . (3)

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) serta menyinggung garis .

01034 yxg

Jawab :

Jarak titik O(0, 0) ke garis adalah

Jadi, lingkaran itu berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r = 2 mempunyai persamaan

01034 yxg

2

5

10

34

1003042222

11

ba

cbyaxOPr

422 yxL

** Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a, b) dan Berjari-jari r

P(x, y)

y - b

x - a

P’

A (a, b)

r

O X

Y

g

22 '' PPAPAP

22 byaxr

222

222

rbyax

byaxr

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai berikut

22, byaxyxL

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2, -1) dan menyinggung garis 3x + 4y – 12 = 0 di titik P.Jawab :

Jari-jari lingkaran adalah r = AP, yaitu jarak titik A(2, -1) ke garis 3x + 4y – 12 = 0

25

10

43

12142322

APr

412 22 yxL

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di A(2, -1)menyinggung garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah

** Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan

(A, B dan C bilangan-bilangan real) 022 CByAxyx

(A, B, C dan D bilangan-bilangan bulat, 022 DCyBxAyAx 0A

ATAU

Ciri-ciri khusus Pers. Lingkaran :- Peubah x dan y berpangkat dua dan tidak memuat perkalian x dengan y (suku xy)- Koefisien x2 sama dengan koefisien y2

Contoh Soal

Di antara persamaan-persamaan berikut ini, manakah yang merupakan persamaan lingkaran??a. 4x +3y -4 = 0b. x2 + y2 – 6x + 10x + 3 =0c. x2 + y2 + 2xy + 2x – 4y +2 = 0

Jawab :a. 4x +3y -4 = 0 bukan persamaan

lingkaran, sebab peubah x dan y berpangkat satu.

b. x2 + y2 – 6x + 10x + 3 =0 merupakan persamaan lingkaran.

c. x2 + y2 + 2xy + 2x – 4y +2 = 0 bukan merupakan persamaan lingkaran, sebab memuat suku xy.

Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran

Pusat dan jari-jari lingkaran ditentukan dengan rumus :

022 CByAxyxL

Pusat :

2,2

BA

Jari-jari r = CBA

44

22

Proses menentukan bentuk umum persamaan lingkaran dapat dilihat pada bagan berikut ini.

DIKETAHUIPusat (a, b)Jari-jari r

BENTUK BAKU( x - a )2 + (y - b)2 = r2

BENTUK UMUM x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0

Pusat

Jari-jari

2,2

BA

CBA

r 44

22 BENTUK BAKU

CBAB

yA

x

4422

2222

DIKETAHUI BENTUK UMUM x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Contoh Soal …

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.036222 22 yxyxL

Jawab :

Untuk lingkaran ekuivalen dengan sehingga dapat ditetapkan A = -1, B = 3 dan

C =

@ pusat lingkaran :

@ jari-jari lingkaran :

036222 22 yxyxL

02

3322 yxyxL

2

3

222

2

3

4

3

4

1

r

2

3,2

1

2

3,

2

1

244

6

4

9

4

1 rr

Posisi Suatu Titik Terhadap Lingkaran

** Posisi suatu titik terhadap lingkaran 222 ryxL

1. Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran2. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran 3. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran

222 rbaL 222 rbaL 222 rbaL

Y

XO

r

P(a, b)

Y

XO

r

P(a, b)

Y

XO

r

P(a, b)

(a) P(a, b) di dalam L (b) P(a, b) pada L (c) P(a, b) di luar L

Contoh Soal …

Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titikP terhadap lingkaran L berikut ini.Titik P(2, -3) terhadap lingkaran 1322 yxL

Jawab :

P(2, -3) terhadap(2)2 + (-3)2 = 13 = 13

Jadi, titik P(2,-3) terletak pada lingkaran

1322 yxL

1322 yxL

** Posisi suatu titik terhadap lingkaran 222 rbyaxL

1. Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika (h – a)2 + (k – b)2 < r2

2. Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika(h – a)2 + (k – b)2 = r2

3. Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran L jika dan hanya jika(h – k)2 + (k – b)2 > r2

r

P(h, k)

A(a, b)

L

X

Y

r

P(h, k)

A(a, b)

L

X

Y

r

P(h, k)

A(a, b)

L

X

Y

O OO

(a) P(h, k) di dalam L (b) P(h, k) pada L (c) P(h, k) di luar L

Contoh Soal …

Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebutkan.a. Titik (1, -1) terhadap lingkaranb. Titik (-3, 2) terhadap lingkaran c. Titik (-4, -1) terhadap lingkaran

1653 22 yxL

2551 22 yxL

1232 22 yxL

Jawab :

a. (1, -1) dan (1 + 3)2 + (1 – 5)2 = 32 > 16jadi, titik (1, -1) terletak di luar lingkaran

b. (-3, 2) dan (-3 – 1)2 + (2 – 5)2 = 25 = 25

jadi, titik (-3, 2) terletak pada lingkaran c. (-4, -1) dan

(-4 + 2)2 + (-1 + 3)2 = 8 < 12jadi, titik (-4, -1) terletak di luar lingkaran

1653 22 yxL

2551 22 yxL 1653 22 yxL

2551 22 yxL 1232 22 yxL

1232 22 yxL

** Posisi suatu titik terhadap lingkaran 022 CByAxyxL

1. Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran2. Titik P(h, k) terletak pada lingkaran3. Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran

dimana k = h2 + k2 + Ah + Bk + C

0 KL0 KL0 KL

Contoh Soal …

Diketahui persamaan lingkaran

a. Hitunglah nilai kuasa titik-titik berikut A(1, 3), B(7, 5) dan C(9, 2) terhadap L.

b. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi A, Bdan C terhadap lingkaran L.

082822 yxyxL

Jawab :

a) - nilai kuasa titik A(1, 3) : KA(1, 3) = (1)2 + (3)2 – 8(1) – 2(3) – 8 = -12- nilai kuasa titik B(7, 5) : KB(7, 5) = (7)2 + (5)2 – 8(7) – 2(5) – 8 = 0- nilai kuasa titik C(9, 2) : KC(9, 2) = (9)2 + (2)2 – 8(9) – 2(2) – 8 = 1

b) - titik A(1, 3) terletak di dalam ingkaran L, sebab KA(1, 3) < 0- titik B(7, 5) terletak pada lingkaran L, sebab KB(7, 5) = 0- titik C(9, 2) terletak di luar lingkaran L, sebab KC(9, 2) > 0

Kesimpulan

Umum

Jika titik P(h, k) di luar lingkaran , maka

panjang garis singgung yang dibuat melalui titik P(h, k) terhadap lingkaran L ditentukan dengan rumus :

ATAU

Dengan S adalah titik singgung dan Kp adalah kuasa titik P terhadap lingkaran L.

022 CByAxyxL

CBkAhkhPS 22

pKPS

** Posisi Garis Terhadap Lingkaran

a. Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, yaitu titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2).b. Garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan garis g menyinggung lingkaran di titik S(xS, yS).c. Garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.

A(x1, y1)

B(x2, y2) gY

XO

L

S(xS, yS)

gY

X

L

O

g

LO

Y

X

(a) (b) (c)

Contoh Soal … (1)

Diketahui garis dan lingkaran Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran,kemudian tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadratgabungan itu.

1 yxg 422 yxL

Jawab :

Dari persamaan garis , diperoleh y = -x + 1Subsitusikan y = -x + 1 ke persamaan lingkarandiperoleh :

x2 + (-x + 1)2 = 4x2 + x2 – 2x + 1 = 4 2x2 – 2x – 3 = 0

Persamaan 2x2 – 2x – 3 = 0 disebut persamaan kuadrat gabunganantara persamaan garis dengan persamaan lingkaran, dengan demikiannilai diskriminan adalah D = (-2)2 – 4(2)(-3) = 28 > 0

1 yxg422 yxL

Contoh Soal … (2)

Carilah koordinasi titik potong garis dengan lingkaran04 yxg

0122822 yxyxL

Jawab :

-Garis , diperoleh y = x – 4.-Subsitusikan y = x – 4 ke persamaan lingkaran

x2 + (x – 4)2 – 8x – 2(x – 4) + 12 = 0- 2x2 – 18x + 36 = 0- x2 – 9x + 18 = 0- (x – 3)(x – 6) = 0- x = 3 atau x = 6

-Untuk x = 3, diperoleh y = 3 – 4 = -1, titik potongnya A(3, -1).-Untuk x = 6, diperoleh y = 6 – 4 = 2, titik potongnya B(6, 2).-Jadi, titik koordinatnya adalah A(3, -1) dan B(6, 2)

04 yxg

0122822 yxyxL

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Suatu titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.2. Gradien garis singgung diketahui.3. Suatu titik di luar lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.

** Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik pada lingkaran

A. Untuk Lingakaran dengan pusat di O(0, 0) dan berjari-jari r

-Gradien garis OP adalah mOP = -Karena garis singgung g tegak lurus OP maka gradiennya :

1

1

x

y

1

1

1

1

11

y

x

xym

mOP

g

y1

garis singgungP(x1, y1)

g

Y

XO

222 ryxL

x1 P’

Persamaan garis singgung g adalah : y – y1 = mg (x – x1)

y1 y – y12 = -x1 x + x1

2

x1 x + y1 y = x12 + y1

2

11

11 xx

y

xyy

x1 x + y1 y = r2

B. Untuk Lingkaran dengan Pusat di O(a, b) dan jari-jari r

1. Gradien garis AP adalah mAP =2. Garis singgung g tegak lurus

garis AP, sehingga gradien singgung g adalah

3. Persamaan garis singgung g adalah :

ax

by

1

1

by

ax

mm

APg

1

11

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

Y

X

g

(y1 – b)

O

A(a, b)

( x1 – a)

P(x1, y1)

garis singgung

Conroh Soal …

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

Yang melalui titik (7, 2) 2513 22 yxL

Jawab :

titik (7, 2), x1 = 7 dan y1 = 2, terletak padaPersamaan garis singgungnya :(7 – 3)(x – 3) + (y – 2)(y + 1) = 254x – 12 + 3y + 3 = 254x + 3y – 34 = 0

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (7, 2) adalah4x + 3y – 34 = 0

2513 22 yxL

** Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang gradiennya diketahui

-Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n-Subsitusikan y = mx + n ke persamaan lingkaran

Nilai diskriminan persamaan kuadratadalah

222 ryxL

021

22222

22222

222

rnmnxxm

rnmnxxmx

rnmxx

021 2222 rnmnxxm

D

A. Untuk lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan jari-jari r

2222

22222222

22222222

2222

4

44444

44

142

rnrmD

rnrmnmnmD

rnrmnmnmD

rnmmnD

-Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0

-Subsitusikan ke persamaan garis y = mx + n, sehingga diperoleh :

B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a, b) dan jari-jari r

2

222

2222

2222

1

1

0

04

mrn

mrn

rnrm

rnrm

21 mrn

21 mrmxy

21 mraxmby

** Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar lingkaran.

X

Y

r

garis singgung 1

garis singgung 2

P(x1 , y1)

L

O

Persamaan lingkaranny :y – y1 = m(x – x1)

ATAU …..y = mx – mx1 + y1

Posisi Dua Lingkaran (Pengayaan)

1) -L1 dan L2 berpotongan di dalam jika pusat lingkaran L2 berada di dalam lingkaran L1 atau sebaliknya.- L1 dan L2 berpotongan di luar jika pusat lingkaran L2 berada di luar lingkaran L1 atau sebaliknya.

2) - L1 dan L2 bersinggungan di dalam.- L1 dan L2 bersinggungan di luar.

3) - L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di dalam- L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di luar- L1 dan L2 saling lepas.

Contoh Soal …

Tentukan posisi dua lingkaran berikut ini. dan 922

1 yxL 0966222 yxyxL

Jawab :

x2 + y2 - 9 - x2 + y2 – 6x – 6y - 9 = 6x + 6y – 18 = x + y – 3

y = -x + 3

Subsitusikan y = -x + 3 ke x2 + y2 - 9 = 0, diperoleh : x2 + (-x + 3)2 – 9 = 0 x2 + x2 – 6x + 9 – 9 = 0

2x2 – 6x = 0 x2 – 3x = 0, nilai diskriminannya D = (-3)2 – 4(1)(0) = 9 > 0

Karena D > 0, maka L1 dan L2 berpotongan di dua titik berbeda.

Dari x2 – 3x = 0, diperoleh :x(x – 3) = 0

x1 = 0 atau x2 = 3

Untuk x1 = 0, diperoleh y = -(0) + 3 = 3, (0, 3).Untuk x2 = 3, diperoleh y = -(3) + 3 = 0, (3, 0)Jadi, koordinat titik potongnya adalah (0, 3) dan (3, 0).

SELESAI …