PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Dari gambar orang bersepeda di atas jelas terlihat bahwa jalan yang dilalui sepeda

selalu menyinggung roda sepeda, baik depan maupun belakang masing-masing di

titik A dan B.

Garis dijalan yang dilalui sepeda dapat disebut garis singgung dan titik persentuhan

antara roda sepeda dan jalan disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang

melalui titik singgung A dan B selalu tegak lurus dengan jalan.

Garis singgung adalah garis

yang memotong lingkaran tepat

disatu titik. Titik tersebut

disebut titik singgung. Jari-jari

lingkaran yang melalui titik

singgung selalu tegak lurus

dengan garis singung.

Perhatikan gambar berikut :

g ≡ Garis singgung

A(x1,y1) titik singung

AP ⊥ g

O(0,0)

P(a,b) r

D>0

A(x 1, y1)

g ≡ Garis singgung

Persamaan garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c, sehingga

secara umum mencari Persamaan garis singgung adalah mencari nilai m dan c

tersebut, seperti sudah dibahas sebelumnya mencari m dan c dapat dilakukan

dengan cara mensubtitusikan persamaan garis tersebut pada persamaan lingkaran,

menyusun persamaan kuadrat , menentukan Diskriminan dan menentukan nilai dari

D = 0. Tetapi cara ini sangat melelahkan karena tingkat kesulitannya hampir sama

dengan menurunkan rumusnya.

Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti

digambarkan berikut ini :

Persamaan Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singung ini dapat dirangkum sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran Persamaan garis singgung

x2 + y2 = r2 xx1 + yy1 = r2

(x-a)2+(y-b)2= r2 (x-a) (x1-a)+(y-b)(y1-b)=r2

x2+y2 +Ax + By +C = 0 xx1 + yy1+21

A(x + x1) +21

B(y + y1) + C = 0

Rumus tersebut hanya berlaku untuk Persamaan Garis singgung melalui titik pada

lingkaran, jika rumus ini digunakan untuk titik diluar lingkaran maka persamaan

garis yang didapat bukan garis singgung tetapi garis polar, yang akan dibahas

kemudian.

r

T (x1,y1)

y = m+c1

Garis singgung bergradien m

R(x1,y1)

Garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran

y = m+c2 y =m2 x +c2

y =m1 x +c1

y =mx +c

Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran

Contoh.

Tentukan Persamaan Garis Singgung pada lingkaran x2 + y2 = 8, dititik A(-2,2)

Jawab

Titik A(-2,2) (-2)2+ 22 = 8 8 = 8 ,

Jadi titik A pada lingkaran

Persamaan Garis Singgung, xx1 + yy1 = r2

x.(-2) + y.2 = 8

-2x + 2y =8

y = x +4

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik berabsis -1 pada lingkaran

lingkaran x2 + y2 + 4x -2y -5 = 0

Jawab.

Berabsis -1 x = -1 (-1)2 + y2 + 4(-1) -2y -5 = 0

y2 + -2y - 8 = 0

(y - 4) (y + 2)=0, y = 4 atau y = -2

Titik singgung (-1,4 ) dan (-1,-2)

persamaan garis singgung 1 (GS1)

Titik singgung (-1,4 )

xx 1 + yy1 + 2(x+x1) -1(y+y1) -5 = 0

x.(-1) + y.4 + 2(x-1) -1(y+4) -5 = 0

-x + 4y + 2x - 2 – y - 4 -5 = 0

x +3y -11 = 0 persamaan garis singgung 2 (GS2)

Titik singgung (-1,-2 )

xx 1 + yy1 + 2(x+x1) -1(y+y1) -5 = 0

x.(-1) + y.(-2) + 2(x-1) -1(y-2) -5 = 0

-x -2y + 2x - 2 – y +2 -5 = 0

x +3y - 5 = 0

O(0,0

L ≡ x2 + y2 = 8

gs ≡ y = x + 4

A(-2,2)

O(0,0)

L ≡ x2 + y2 +4x -2y -5=0

Gs1≡ x + 3y -11=0 B(-1,4)

P(-2,1)

C(-1,-2)

Persamaan Garis singgung bergradien m

Rumus Persamaan Garis Singung ini digunakan untuk mencari persamaan garis

singgung yang garidenya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau

unsur lain yang berhubungan dengan gradien, rumus-rumus yang digunakan dapat

dirangkum sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran Persamaan garis singgung

x2 + y2 = r2 y= mx ± r 21 m+

(x-a)2+(y-b)2= r2 y-b= m(x-a) ± r 21 m+

x2+y2 +Ax + By +C = 0 Ubah bentuk persamaan ke (x-a)2+(y-b)2= r2

gunakan rumus, y-b= m(x-a) ± r 21 m+

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 yang sejajar dengan garis

l ≡ y+ 3x = 6

Jawaban

Garis y+ 3x = 6, y = -3x +8, m1=-3

Gradien Garis singgung m2=m1=-3 ( dua garis sejajar jika gradien sama)

m= -3, r = 10

persamaan garis singgung

y= mx ± r 21 m+

y= -3x ± 10 91+

y= -3x ± 10

GS1 ≡ -3x +10

GS2 ≡ -3x -10

x2 + y2 =10

GS1≡ Y= -3X +10

O(0,0)

GS2≡ Y= -3X-10

Persamaan Garis Singgung melalui titik diluar lingkaran

Ada beberapa metode atauy teknik untuk memyelesaiakan masalah ini antara lain:

Menggunakan rumus, menggunakan rumus garis singgung bergradien m dan

menggunakan persamaan garis polar.

Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran

(x-a)2+(y-b)2= r2 adalah

y-y1=m(x-x1)

dengan m= 221

221

2111

)()()())((

raxraxbyaxby

−−

−−+−±−−

Rumus ini sangat praktis digunakan tetapi sangat sulit dihafal, sehingga disarankan

rumus ini hanya digunakan untuk mengecek hasil dari perhitungan cara 2 atau 3

Contoh

Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1)

jawab

72 + 12 = 50>r2 titik A diluar lingkaran

y-1 = m(x-7) y=m(x-7) +1

x2 + y2 = 25, a=0, b=0 , r=5, y1= 1, x1=7

m= 22

222

5)07(5)07()01()07)(01(

−−−−+−±−−

m=24

257 ±

m1= 34

, m2=-43

,

Persamaan garis singgung 1

m1= 34

,

y= 34

(x-7)+1

3y=4x-28+3

4x-3y=25

O(0,

GS2 ≡ 3x + 4y = 25

L ≡ x2 + y2 =25

GS1 ≡ 4x –3y = 25

A(7,1)

Persamaan garis singgung 2

m2=-43

,

y= -43

(x-7)+1

4y=-3x+21+4

3x+4y=25

Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m

Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu)

adalah garis melalui A(x1,y1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis

singgung bergradien m.

Contoh

Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1)

jawab

persamaan 1 y-y1 = m(x-x1)

y-1 = m (x-7)

y= mx –7m +1

persamaan 2 y= mx ± r 21 m+

y= mx ± 5 21 m+

y= mx ± 5 21 m+ y= mx –7m +1

5 21 m+ = –7m +1

25 ( 1+m2)= 49m2- 14m +1

25+ 25m2= 49m2- 14m +1

24 m2 –14m-24 =0

(4m+3)(3m-4)=0

m1= -43

atau m2 = 34

Persamaan GS1

m1= y= mx –7m +1

y= -43

x –7.( -43

)+1

4y=-3x+21+4

3x+4y =25

Persamaan GS2

m1= y= mx –7m +1

y= 34

x –7.(34

)+1

3y=4x-28+3

4x-3y =25

Menggunakan persamaan garis polar

Teknik ini menggunakan rumus garis

polar xx1 + yy1 = r2 , rumus ini adalah

rumus garis singgung tetapi jika yang

disubtitusikan adalah titik diluar

lingkaran, persamaan garis polar ini

memotong lingkaran di dua titik

berbeda, garis singgung yang

dimaksud dapat dicari dengan

persamaan garis singgung di suatu titik

pada lingkaran, menggunakan dua titik

tersebut (T1 dan T2)

Contoh

Contoh

Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1)

jawab

Persamaan garis polar xx1 + yy1 = r2 7x + y = 25 y= 25-7x

Titik potong garis polar dengan lingkaran

x2 + (25-7x)2 = 25

x2 + 625-350x +49 x2 = 25

50x2 -350x +600 = 0

O(0,0)

GS2 GS1

A(x1,y1)

Garis polar

T1

T2

x2 –7 x +12 = 0

(x-3)(x-4)=0

x=3 atau x=4

x=3 y= 25-7.3 , y= 4, titik potong ( 3,4)

x=4 y= 25-7.4 , y= -3, titik potong ( 4,-3)

Persamaan garis singgung 1

Titik singgung ( 3,4 )

xx1 + yy1 = 25

3x + 4y = 25

Persamaan garis singgung 2

Titik singgung ( 4,-3 )

xx1 + yy1 = 25

4x - 3y = 25