PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Supardi, S.Si.,...

Bab VI Supardi, M.Si

BAB VIPERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)

1 PendahuluanPersamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam

penggambaran keadaan fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat didalamnya

berubah terhadap ruang dan waktu. Sebagai contoh, jika kita meninjau topik-topik

fisika lanjut (advanced physics), seperti halnya mekanika klasik lanjut yang

membicarakan tentang gelombang elektromagnetik, hidrodinamik dan mekanika

kuantum (gelombang Schroedinger), maka kita akan menemukan penggunaan

persamaan diferensial parsial yang digunakan untuk menggambarkan fenomena fisis

yang berkaitan dengan masalah-masalah tersebut. Masalah-masalah tersebut dalam

kenyataannya sulit untuk dipecahkan dengan cara analitik biasa, sehingga metode

numerik perlu diterapkan untuk menyelesaikannya. Penggunaan persamaan

diferensial tidak terbatas pada masalah fisika saja, tetapi lebih luas lagi dalam bidang

sains dan teknologi.

2 Pendekatan Beda HinggaUntuk memahami dengan benar masalah persamaan diferensial ini,

sebelumnya pada bab 5 kita sudah membahas bahwa suatu derivatif dapat didekati

dengan beda hingga, sehingga persamaan diferensial dapat didekati dengan persamaan

beda hingga pula. Dalam bab ini metode beda hingga yang telah dikenalkan

sebelumnya akan diperluas lagi untuk kasus di dalam ruang multidimensi yang lebih

tepat dikaji dengan menggunakan persamaan diferensial parsial.

Pada bab V yang lalu, kita sudah menggunakan pendekatan beda hingga untuk

mendekati ungkapan turunan pertama dan kedua. Namun pada pembahasan yang lalu

kita masih membatasi pada pendekatan untuk turunan pada ruang dimensi satu. Saat

ini, kita masih akan menggunakan kaidah-kaidah pendekatan tersebut namun

ditingkatkan untuk ruang dimensi dua.

Pada pembahasan tentang persamaan diferensial biasa di bab 7 yang lalu, kita telah

melakukan pendekatan beda hingga pada penyelesaiannya. Nah di bab ini, kita juga

Persamaan Diferensial Parsial


akan melakukan hal sama pada bentuk derivatif parsialnya. Mengapa? Karena untuk

masalah-masalah yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas, prinsip-prinsip

tersebut masih tetap dapat diterapkan.

Di dalam pembahasan tentang persamaan diferensial biasa, variabel bebas

yang terlibat dalam masalah hanya satu, sedangkan untuk persamaan diferensial

parsial variabel bebas berjumlah lebih dari satu. Tentu saja, hal ini saja membuat

permasalahan akan semakin kompleks. Untuk memberikan ilustrasi dan

mempermudah pemahaman kita tentang masalah ini, sekarang marilah kita tinjau

sebuah jaring kotak yang menggambarkan dua variabel bebas x dan y seperti terlihat

pada gambar 8.1. Setiap kotak dalam jaring tersebut memiliki lebar x∆ dan y∆ . Oleh

karena itu, panjang variabel bebas x setelah langkah ke i dinyatakan oleh

( ) 0,1,......,i xx i x i N= ∆ = (8-5)

dan panjang variabel y setelah langkah ke j adalah

( ) 0,1,.....,j ty j t j N= ∆ = (8-6)

Dengan menggunakan titik-titik jaring pada gambar 8.1, diferensial orde pertama dan

kedua dapat didekati oleh:


Gambar 8.1. Jaring titik-titik hitungan pada pendekatan beda hingga dengan variabel bebas x dan y.

Δy

Δy

Δx Δx


1, ,i j i ju uux x

+ −∂ =∂ ∆

(8-7)

, 1,i j i ju uux x

−−∂ =∂ ∆

(8-8)

1, 1,

2i j i ju uu

x x+ −−∂ =

∂ ∆

(8-9)

( )2

1, , 1,22

2i j i j i ju u uux x

− +− +∂ =∂ ∆

(8-10)

( ) ( )2

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

4i j i j i j i ju u u uu

x y x y+ + − + + − − −− − +∂ =

∂ ∂ ∆ ∆ (8-11)

Dalam beberapa masalah fisika dan teknik persamaan diferensial ada yang

dinyatakan dalam turunan pertama terhadap waktu dan turunan kedua terhadap ruang,

misalnya pada persamaan difusi. Untuk persamaan diferensial parsial yang

mengandung variabel ruang dan waktu ini, pendekatan beda hingga dapat dinyatakan

dalam jaring (jaring) bidang x dan t (lihat gambar 8.2).


Δx Δx

Δ

t

Gambar 8.2. Jaring titik-titik hitungan pada pendekatan beda hingga dengan variabel bebas t dan x.

1,i ju − ,i ju , 1i ju +

, 1i ju +


Jaring kotak yang menyatakan variabel ruang dan waktu dibagi menjadi pias-

pias dengan interval ruang dan waktu x∆ dan t∆ . Panjang variabel ruang x setelah

interval ke i dinyatakan sebagai

( ) 0,1,......,i xx i x i N= ∆ = (8-12)

Sedangkan untuk variabel waktu t setelah interval waktu ke j adalah

( ) 0,1,.....,j tt j t j N= ∆ = (8-13)

Bentuk turunan pertama terhadap waktunya dapat dituliskan sebagai

, 1 ,i j i ju uut t

+ −∂ ≈∂ ∆

(8-14)

Ungkapan (8-14) dapat pula dituliskan sebagai1j j

i iu uut t

+ −∂ ≈∂ ∆

(8-15)

dengan indeks bawah menyatakan harga u pada langkah waktu, dan indeks atas

menunjukkan harga u pada langkah ruang. Sedangkan untuk derivatif kedua terhadap

variabel ruang seperti dinyatakan pada persamaan (8-10) dapat dituliskan kembali

( )2

1 122

2j j ji i iu u uu

x x− +− +∂ =

∂ ∆(8-16)

8.1 Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial dibagi menjadi tiga jenis, yaitu persamaan

diferensial eliptik, parabolik dan hiperbolik. Untuk membedakan ketiga jenis

persamaan diferensial parsial tersebut, marilah sekarang kita meninjau sebuah

persamaan diferensial parsial orde dua dalam dua variabel ruang x dan waktu t,2 2 2

2 2 , , , , 0u u u u uA B C D x t ux x t t x t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (6-1)

dimana A,B dan C merupakan fungsi dari x dan t, dan D adalah fungsi dari u dan

derivatifux

∂∂

dan ut

∂∂

, serta x dan t. Kita juga akan memperkenalkan variabel baru



sedemikian hingga suku-suku yang mengandung derivatif campuran akan sama

dengan nol. Selanjutnya, pembedaan atas tiga klas persamaan diferensial parsial

tersebut didasarkan pada harga diskriminan 2 4B AC− dari persamaan (8-1) tersebut.

Pertama, jika kita meninjau pada suatu titik ( )0 0,x t dan di titik tersebut

memenuhi syarat bahwa harga diskriminan

( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0, 4 , , 0B x t A x t C x t− > (8-2)

maka persamaan diferensial parsial tersebut dikatakan hiperbolik pada titik ( )0 0,x t .

Selajutnya, jika persamaan tersebut hiperbolik pada seluruh titik di dalam ranah

(domain) yang ditinjau, maka persamaan diferensial parsial tersebut dikatakan sebagai

persamaan hiperbolik. Sebagai contoh, jika kita meninjau persamaan gelombang

yang mengambil bentuk

Persamaan gelombang2 2

22 2 0u uc

t x∂ ∂− =∂ ∂

Dalam persamaan gelombang tersebut harga 2A c= − , 0B = dan 1C = , sehingga

harga diskriminannya berharga positip. Ini berarti persamaan gelombang benar-benar

masuk dalam klasifikasi persamaan diferensial hiperbolik. Persamaan (8-1) tersebut

memiliki dimensi ruang satu dengan c adalah kecepatan gelombang cahaya di ruang

hampa. Persamaan tersebut menjelaskan dengan sederhana bahwa derivatif kedua dari

penyelesaiannya berbanding lurus dengan derivatif kedua lainnya dengan konstanta

kesebandingan 2c .

Kedua, Jika pada suatu titik ( )0 0,x t memenuhi persyaratan

( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0, 4 , , 0B x t A x t C x t− = (8-3)

maka persamaan tersebut dikatakan parabolik pada titik ( )0 0,x t . Dan jika di seluruh

titik dipenuhi harga diskriminan (8-3), maka persamaan tersebut disebut persamaan

parabolik. Contoh dari persamaan diferensial parabolik adalah persamaan difusi yang

mengambil bentuk

Persamaan difusi2

2 0u ut x

κ∂ ∂− =∂ ∂



dengan A κ= − , 0B = dan 0C = . Oleh sebab itu, harga deskriminannya sama

dengan nol. Persamaan ini dikenal dengan persamaan panas, yang menggambarkan

aliran (difusi) panas melalui sebuah penghantar. Dalam kasus ini κ adalah

konduktivitas termal yang merupakan kebalikan dari R yang merupakan hambatan

termal. Di dalam ilmu fisika persamaan diferensial yang mirip dengan persamaan

difusi adalah persamaan Schroedinger yaitu,

Persamaan Schroedinger ( )2

2 , , 02

uV x y z u im t

∂− ∇ + − = ∂

hh

Persamaan Schroedinger ini memegang peran penting di dalam mekanika

kuantum.

Ketiga, jika pada suatu titik ( )0 0,x t berlaku syarat

( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0, 4 , , 0B x t A x t C x t− < (8-4)

maka persamaan tersebut dikatakan eliptik pada titik ( )0 0,x t , dan jika di seluruh titik

dipenuhi syarat tersebut, maka persamaan tersebut masuk dalam klas persamaan

eliptik. Contoh dari persamaan eliptik adalah persamaan Poisson dan Laplace yang di

dalam ruang dimensi dua masing-masing mengambil bentuk

Persamaan Poisson ( )2 2

2 2 ,u u S x yx y

∂ ∂+ =∂ ∂

Persamaan Laplace2 2

2 2 0u ux y

∂ ∂+ =∂ ∂

Persamaan Poisson memperkenalkan sumber panas ke dalam sistem yang

ditinjau. Sedangkan persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari persamaan

Poisson tanpa sumber. Disamping itu, persamaan Laplace juga bisa diturunkan dari

persamaan difusi. Jika sebuah objek diisolasi dari lingkungan, maka akan dicapai

distribusi suhu dalam keadaan mantap, suatu kondisi setimbang yang digambarkan

oleh derivatif waktu sama dengan nol pada persamaan difusi. Keadaan mantap suatu

aliran panas ditunjukkan oleh kuantitas yang sama antara panas yang keluar dan

masuk suatu tampang lintang. Dari kenyataan bahwa derivatif waktu pada persamaan

difusi sama dengan nol, maka diperoleh persamaan Laplace. Oleh karena tidak ada



variabel waktu yang gayut, maka penyelesaian untuk persamaan Laplace maupun

Poisson tersebut adalah tak gayut waktu.

Persamaan menarik lain yang menggambarkan persamaan eliptik dan agak

mirip dengan persamaan Poisson adalah persamaan Helmholtz yaitu,

Persamaan Helmotz2 2

2 2 0u u ux y

λ∂ ∂+ + =∂ ∂

8.1 Persamaan Beda Hingga

8.1.1 Persamaan Hiperbolik

Persamaan Gelombang

Contoh klasik dari persamaan hiperbolik adalah persamaan gelombang yang

dinyatakan oleh2 2

22 2

u uct x

∂ ∂=∂ ∂

(8-17)

Persamaan ini muncul dalam berbagai masalah dari elastisitas dan akustik sampai

hidraulika. Oleh sebab itu, dari tiga bentuk persamaan diferensial parsial yang kita

ketahui, persamaan hiperbolik merupakan persamaan yang paling banyak dikaji oleh

ilmuwan komputasi. Jika persamaan gelombang (8-17) didekati menggunakan

pendekatan beda hingga, maka dapat dituliskan sebagai

( ) ( )1 1

2 1 12 2

2 2 0j j j j j j

i i i i i iu u u u u uct x

+ −+ −− + − +− =

∆ ∆(8-18)

dengan

( ),ji i ju u x t= (8-19)

Dengan memecahkannya untuk variabel 1jiu + maka kita memperoleh

( )( )

( ) ( )( )

2 22 21 1

1 12 22 1j j j j ji i i i i

t c t cu u u u u

x x+ −

+ −

∆ ∆= + + − − ∆ ∆

(8-20)

Persamaan ini menjelaskan kepada kita bahwa apabila kita mengetahui u pada

seluruh ix pada saat-saat jt dan 1jt − , maka kita dapat menentukan harga u pada



seluruh ix pada langkah waktu berikutnya. Hal ini disebut dengan metode eksplisit.

Tetapi, ada sedikit masalah pada permulaan perhitungan, karena secara umum kita

tidak mengetahui harga u pada dua waktu berturut-turut. Sedangkan, kita harus

mengetahui harga ( ),0iu x dan derivatif ( ),0iu x t∂ ∂ di seluruh harga ix . Oleh sebab

itu, dengan mengetahui ungkapan

( )( )

1 1

0

,2 t

i i i

t

u x t u ut

−

=

∂ −=∂ ∆ (8-21)

atau

( ) ( )1 1

0

,2 i

i it

u x tu u t

t−

=

∂= − ∆

∂ (8-22)

maka, kita dapat menyatakan 1iu sebagai

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )2 22 21 0 0 0

1 12 2

,01

2i

i i i i

t c t c u xu u u u t

tx x+ −

∆ ∆ ∂= + + − + ∆ ∂∆ ∆

(8-23)

Persamaan Adveksi

Persamaan adveksi merupakan satu-satunya persamaan di dalam dinamika

fluida yang munculnya lebih sering dibandingkan persamaan difusi. Persamaan ini

memerikan cara suatu besaran kekal (conserved) seperti halnya suhu potensial

ataupun momentum dibawa bersama aliran udara atau air.

Untuk menjelaskan secara fisika tentang masalah adveksi ini, sekarang

misalnya ada seorang pengamat berdiri di suatu lapangan dengan membawa sebuah

termometer. Di tempat tersebut bertiup angin dari arah barat membawa udara lebih

hangat menuju ke arah timur yang bersuhu udara lebih dingin. Dalam hal ini sebut

saja bahwa arah barat ke timur adalah x . Selajutnya, apa yang dilihat oleh pengamat

tersebut dengan termometer yang dibawanya? Ternyata angka yang ditunjukkan oleh

termometer semakin besar, yang berarti bahwa keadaan suhu di tempat tersebut

semakin hangat. Hal ini disebabkan oleh pergantian udara yang terjadi di tempat

tersebut, yaitu dari keadaan udara yang dingin diganti dengan udara yang lebih

hangat.



Jika yang terjadi adalah bahwa angin yang berhembus ke arah pengamat

tersebut tidak mengalami perubahan suhu, maka pengamat tersebut tidak dapat

memberi informasi bahwa terjadi kenaikan suhu. Nah, karena kenyataannya terjadi

perubahan suhu maka ada yang disebut gradien suhu. Laju perubahan suhu yang

terjadi di tempat itu bergantung kepada besarnya gradien maupun laju perpindahan

udara, yaitu

Laju perubahan suhu = -(Laju perpindahan udara) x (Gradien suhu)

Tanda minus menyatakan bahwa suhu hanya akan naik apabila gradien suhu

turun, atau dengan kata lain udara akan menjadi lebih hangat jika kita bergerak ke

arah x atau dari arah timur ke barat, yakni bergerak ke arah berlawanan dengan arah

angin. Dalam bahasa matematika, pernyataan di atas dapat diungkapkan dalam bentuk

u uct x

∂ ∂= −∂ ∂

(8-24)

dengan u menyatakan suhu potensial yang merupakan besaran kekal yang dalam hal

ini merupakan variabel yang diadveksi. Dalam kaitannya dengan masalah ini, maka

kita hanya akan membahas untuk harga c konstan. Penyelesaian umum untuk

persamaan (8-24) adalah

( )u F x ct= − (8-25)

dengan F merupakan fungsi sembarang bernilai tunggal.

Persamaan Diferensial ParsialGambar 8.3. Angin bertiup dari arah barat ke timur

membawa udara hangat


Persamaan adveksi diatas merupakan contoh yang sangat bagus bahwa antara

pendekatan numerik dengan analitis tidak selalu menemukan hasil yang sama. Di

dalam pasal ini kita akan membahas beberapa pendekatan numerik yang dapat

digunakan untuk mendekati persamaan (8-24) tersebut dan setiap metode akan kita

kaji stabilitas dan akurasinya

Metode FTCS (Forward-Time Centered-Space)

Untuk menyelesaikan persamaan (8-24) kita akan mengimplementasikan

sebuah metode dengan menggunakan pendekatan beda terpusat (metode Leap-Frog)

untuk derivatif ruangnya dan metode Euler maju untuk derivatif waktunya.

( ) ( ) ( )1

21 1 02

n nn nj jj j u uu u

O t c O xt x

++ −

−− + ∆ + + ∆ =

∆ ∆ (8-26)

atau

( )11 12

n n n nj j j j

c tu u u ux

++ −

∆≈ − −∆

(8-27)

dimana indeks bawah j menyatakan langkah ruang dan indeks atas n menyatakan

langkah waktu. Dengan menggunakan analogi terhadap pembahasan tentang metode

Euler dan metode Leap-Frog pada bab yang lalu, maka kita dapat menyimpulkan

bahwa ketelitian untuk metode ini adalah orde pertama untuk t -nya dan orde kedua

untuk x ,

Pendekatan beda hingga untuk persamaan adveksi (8-26) inilah yang disebut

dengan forward in time, centered in space atau lebih dikenal dengan metode FTCS.

Pertanyaan selanjutnya apakah metode ini stabil saat mendekati persamaan adveksi

tersebut?

Untuk mengetahui apakah metode yang kita gunakan untuk mendekati

persamaan tersebut stabil atau tidak, maka kita perlu melakukan uji kestabilan dengan

menggunakan analisa stabilitas Von Neuman. Ide dari bentuk analisis kestabilan ini,

kita dapat membayangkan bahwa koefisien-koefisien dari persamaan beda berubah



sangat lambat ketika diperlakukan sebagai konstanta dalam ruang dan waktu. Dalam

kasus demikian, penyelesaian bebasnya atau swamode dari persamaan beda

mengambil bentuk

( )expn nju ikj xξ= ∆ (8-28)

dengan k menyatakan bilangan gelombang ruang real yang dapat berharga sembarang,

sedangkan ( )kξ ξ= adalah bilangan komplek yang bergantung pada k.

Jika kita mensubstitusikan persamaan (8-28) ke persamaan hampiran (8-27),

maka dengan mudah diperoleh

( )1 sin2c ti k x

xξ ∆= − ∆

∆(8-29)

Dari persamaan (8-29) dapat diketahui modulus dari ξ yaitu

( )2

2 1 sin2c t k x

xξ ∆ = + ∆ ∆

(8-30)

Persamaan (8-30) memberi arti bahwa penguatan (amplification)

penyelesaiannya berhrga 1≥ , ini berarti bahwa metode FTCS tidak stabil mutlak

untuk mendekati persamaan adveksi. Skema untuk metode FTCS dapat diilustrasikan

seperti gambar 8.4

Dalam gambar (8-4) tersebut bulatan kosong menggambarkan titik baru yang

akan ditentukan nilainya, sedangkan bulatan hitam merupakan harga-harga fungsi

yang sudah diketahui yang akan digunakan untuk memperoleh penyelesaian pada

bulatan kosong. Garis sambung menghubungkan antara titik-titik yang akan


Gambar 8.4. gambaran tentang metode FTCS.


digunakan untuk menghitung derivatif ruang, sedangkan garis putus-putus

menghubungkan titik-titik yang akan digunakan untuk menghitung derivatif waktu

Metode BTCS (Backward-Time Centered-Space)

Dengan menggunakan pendekatan beda mundur untuk langkah waktunya dan

beda terpusat untuk langkah ruangnya, maka persamaan adveksi dapat didekati

dengan

( ) ( ) ( )1 11

21 1 02

n nn nj jj j u uu u

O t c O xt x

+ +++ −

−− + ∆ + + ∆ =

∆ ∆ (8-31)

atau dapat disusun kembali menjadi

( )1 1 11 12

n n n nj j j j

c tu u u ux

+ + ++ −

∆≈ − −∆

(8-32)

Penggunaan analisa stabilitas Von Nouman pada pendekatan BTCS untuk persamaan

adveksi ini menghasilkan

( )12

ik x ik xc t e ex

ξ ξ ξ∆ − ∆∆= + −∆

(8-33)

atau

( )1

1 sin2c ti k x

x

ξ = ∆+ ∆∆

(8-34)

Persamaan (8-34) menunjukkan bahwa faktor penguatannya adalah

( )

1 11 sin

2c t k x

x

ξ = ≤∆+ ∆∆

(8-35)

yang berarti, skema (8-31)) adalah stabil mutlak.

Metode Centered-Time Centered-Space (CTCS)

Untuk persamaan adveksi, penggunaan metode Euler maju untuk langkah

waktu (forward-time) tidak stabil mutlak, apakah ini berarti dengan menggunakan

pendekatan beda terpusat (centered-space) akan stabil? Untuk menjawab pertanyaan

ini, marilah kita lakukan pendekatan persamaan adveksi tersebut dengan skema CTCS

ini.



Dengan menggunakan skema CTCS, maka persamaan adveksi dapat didekati

menjadi

( ) ( )1 1

2 21 1 02 2

n n n nj j j ju u u u

O t O xt x

+ −+ −− −

+ ∆ − + ∆ =∆ ∆

(8-36)

Persamaan (8-36) dapat disusun kembali menjadi bentuk

( )1 11 1

n n n nj j j j

c tu u u ux

+ −+ −

∆≈ − −∆

(8-37)

Stabilitas

Kita dapat mengetes stabilitas dari skema ini dengan analisa stabilitas Von

Nouman. Dengan mensubstitusi mode Fourier adveksi yang didefinisikan (8-28) pada

persamaan (8-37) maka diperoleh

( )2 1 sinc ti k xx

ξ ξ ∆= − ∆∆

(8-38)

Persamaan (8-38) merupakan persamaan kuadrat dalam ξ , sehingga harga-harga

untuk ξ dapat dinyatakan oleh

( ) ( )2

12

sin sin 4

2

c t c ti k x k xx xξ

∆ ∆ − ∆ ± − ∆ + ∆ ∆ =(8-39)

Modulus dari masing-masing akar adalah 1, sedangkan syarat stabil adalah 2 1ξ ≤ ,

ini berarti bahwa metode CTCS stabil untuk menyelesaikan persamaan adveksi.

8.7 Metode Lax

Metode Lax merupakan sebuah metode yang dimaksudkan untuk

memodifikasi metode FTCS dari sisi perbaikan terhadap stabilitasnya. Caranya adalah

dengan mengganti jnu dalam derivatif waktu dengan rerata ruangnya

( )1 112

n n nj j ju u u+ −→ + (8-40)

sehingga persamaan adveksi menjadi

( ) ( )11 1 1 1

12 2

n n n n nj j j j j

c tu u u u ux

++ − + −

∆= + − −∆

(8-42)



Dengan mensubstitusi bentuk mode Fourier ke persamaan (8-28) ke persamaan beda

(8-42) diperoleh

cos sinc tk x i k xx

ξ ∆= ∆ − ∆∆

(8-43)

Modulus dari ξ adalah

( ) ( )2

2 2 2cos sinc tk x k xx

ξ ∆ = ∆ + ∆ ∆ (8-44)

Pernyataan (8-44) mengisyaratkan kepada kita bahwa metode Lax stabil untuk

1c tx

∆ ≤∆

. Untuk harga 1c tx

∆ <∆

faktor penguatannya berkurang. Faktor penguatan ini

dinyatakan oleh

( ) ( )2

2 2cos sinc tk x k xx

ξ ∆ = ∆ + ∆ ∆ (8-45)

Untuk harga 1tx

υ ∆ =∆

, penyelesaiannya adalah eksak karena faktor penguatannya

berharga 1 atau tidak mengalami penguatan, sehingga1

1n nj ju u+

−= (8-46)

Kriteria stabilitas 1c tx

∆ ≤∆

dikenal dengan syarat Courant. Secara intuitif, syarat

stabilitas ini dapat dideskripsikan seperi pada gambar (8.6). Gambar tersebut

menerangkan bahwa kuantitas 1nju + dalam persamaan (8-42) dapat diketahui setelah

diperoleh informasi titik-titik 1j − dan 1j + pada saat n . Dengan kata lain, 1jx − dan


Gambar 8.5. Deskripsi untuk skema beda Lax

Gambar 8.6 Daerah dibawah garis putus-putus secara fisis adalah menurut


1jx + merupakan batas yang memungkinkan untuk memberikan informasi pada

besaran 1nju + .

Hasil yang mengagumkan pada pendekatan Lax adalah bahwa penggantian nju

dengan reratanya seperti terlihat pada ungkapan (8-41) dapat menstabilkan skema

FTCS. Skema Lax pada (8-42) selajutnya dapat ditampilkan dalam bentuk1

1 1 1 1212 2

n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u

ct x t

++ − + − − − − +

= − + ∆ ∆ ∆ (8-47)

yang merupakan representasi dari metode FTCS

( ) 2 2

22xu u uc

t x t x∆∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∆ ∂(8-48)

Dalam persamaan (8-48) ini, kita memiliki suku difusi. Oleh sebab itu, skema Lax ini

dikatakan memiliki disipasi numerik.

8.8 Skema Lax-Wendroff

Skema Wendroff merupakan metode dengan akurasi orde kedua terhadap

waktu. Jika kita mendefinisikan suatu harga intermediet 1 21 2

nju +

+ pada langkah waktu

1 2nt + dan langkah ruang 1 2jx + . Jika ini dihitung dengan menggunakan metode Lax,

maka akan diperoleh

( ) ( )1 21 2 1 1

12 2

n n n n nj j j j j

tu u u F Fx

++ + +

∆= + − −∆

(8-49)

Sedangkan, harga terbaru untuk 1nju + dapat dihitung dengan pernyataan terpusat

sebagai



( )1 1 2 1 21 2 1 2

n n n nj j j j

tu u F Fx

+ + ++ −

∆= − −∆

(8-50)

Selanjutnya, kita akan mengkaji stabilitas dari metode ini untuk persamaan adveksi

dengan mensubstitusi F cu= . Dengan mensubstitusi pernyataan (8-49) ke ungkapan

(8-50), maka diperoleh

( ) ( )11 1

1 12 2

n n n n n nj j j j j j

c t c tu u u u u ux x

++ +

∆ ∆= − + − −∆ ∆

( ) ( )1 11 12 2

n n n nj j j j

c tu u u ux− −

∆ − + + − ∆ (8-51)

Dengan menggunakan uji stabilitas Von Nouman, maka dengan mudah diperoleh


Gambar 8.8. Deskripsi skema Lax-Wendorf

Gambar 8.7. Titik-titik jaring pada skema Lax-Wendroff


( )2

1 sin 1 cosc t c ti k x k xx x

ξ ∆ ∆ = − ∆ − − ∆ ∆ ∆ (8-52)

Harga modulus dari ξ adalah

( )22 2

2 1 1 cos sinc t c tk x k xx x

ξ ∆ ∆ = − − ∆ + ∆ ∆ ∆

(8-53)

atau

( )2 2

22 1 1 1 cosc t c t k xx x

ξ ∆ ∆ = − − − ∆ ∆ ∆

(8-54)

Kriteria stabilitas yang harus dipenuhi adalah 2 1ξ ≤ , hal ini mensyaratkan harga

2

1c tx

∆ ≤ ∆ atau lebih dikenal sebagai kriteria Courant.

8.1.2 Persamaan Parabolik

Persamaan difusi, konduksi panas dan persamaan Schroedinger gayut waktu

merupakan contoh dari persamaan diferensial parabolik. Persamaan parabolik

memilki kemiripan dengan persamaan hiperbolik yakni batasnya yang terbuka. Di

dalam Geofisika, persamaan difusi merupakan salah satu persamaan yang sangat

penting yang muncul dalam berbagai konteks yang berbeda-beda. Di bawah ini

diberikan bebarapa contoh persamaan diferensial parabolik yang dinyatakan dalam

ungkapan matematis

a. Persamaan netron transien dalam ruang satu dimensi

( ) ( )2

2

,T x tTc k Q xt x

ρ∂∂ = +

∂ ∂

b. Persamaan konduksi panas transien dalam ruang satu dimensi

( )2

2

1 ,a f

x t D St x

ψψ ψ υ ψυ

∂ ∂= + +∂ ∂ ∑ ∑

dengan ψ menyatakan fluks netron.

c. Persamaan difusi untuk transpot konvektif spesies kimia



( )2

2u x Dt t t

ψ ψ ψ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂

dengan ψ menyatakan rapat fluks spesies kimia, ( )u x adalah kecepatan

aliran dan D adalah konstanta difusi.

8.1.2.1 Metode Eksplisit (Euler Maju)

Marilah kita ditinjau sebuah persamaan difusi yang mengambil bentuk2

2 0u ut x

κ∂ ∂− =∂ ∂

(8-55)

Dengan mengimpementasikan metode Euler maju untuk derivatif waktu

seperti yang telah kita bahas pada bab persamaan diferensial biasa yang lalu, serta

menggunakan pendekatan derivatif orde kedua terpusat pada turunan kedua terhadap

variabel ruangnya, maka diskritisasi terhadap ungkapan (8-55) tersebut mengambil

bentuk

( )( )

11 1

2

2n n nn nj j jj j u u uu u

t xκ

++ −− +−

=∆ ∆

(8-56)

atau dapat dituliskan kembali sebagai

( )( )1

1 12 2n n n n nj j j j j

tu u u u ux

κ++ −

∆= + − +∆ (8-57)

Skema ini disebut sebagai metode eksplisit, karena jika niu diketahui untuk seluruh nt

pada titik-titik jaring, maka kita dapat menghitung 1niu + pada waktu 1nt + tanpa

menyelesaikan melalui persamaan simultan. Deskripsi skema ini dapat dilihat pada

gambar 8.9.


Gambar 8.9 Deskripsi metode eksplisit pada persamaan difusi


Apabila pendekatan penyelesaian persamaan difusi (8-57) dilakukan uji

stabilitas menggunakan prosedur analisa stabilitas Von Nueman, maka dengan mudah

dapat diperoleh bahwa

( )( )( )21 2 cos 1k t kx

xξ ∆= + −

∆ (8-58)

atau

( )2

211 4 sin2

t k xx

κξ ∆ = − ∆ ∆(8-59)

Dari hasil analisa stabilitas dapat ketahui bahwa metode yang kita gunakan

untuk mendekati persamaan difusi tersebut stabil karena syarat stabil 1ξ ≤ dipenuhi.

Metode Implisit (Euler Mundur)

Untuk memberikan gambaran tentang pendekatan metode implisit pada

persamaan difusi yang kita miliki, sekarang marilah kita mengingat kembali tentang

kemungkinan pendekatan persamaan tersebut dengan beda mundur. Jika persamaan

difusi tersebut kita dekati dengan beda mundur, maka diperoleh

( )1

1 12

2n n n n ni i i i iu u u u u

t xκ

−+ −− − +=

∆ ∆(8-60)

yang dapat disusun kembali menjadi ungkapan

( )( ) 1

1 12 2n n n n ni i i i i

tu u u u ux

κ −+ −

∆− − + =∆ (8-61)

Ungkapan (8-61) sebenarnya mengikuti suatu perjanjian, bahwa kuantitas

yang belum diketahui harganya ditempatkan di ruas kiri, sedangkan besaran yang

sudah diketahui ditempatkan diruas kanan. Dalam kasus ini, harga-harga u pada

langkah waktu n dianggap tidak dketahui, harga-harga yang diketahui adalah pada

langkah waktu ke 1n − . Deskripsi skema implisit ini dapat dilihat pada gambar 8.10.

Persamaan Diferensial ParsialGambar 8.10 Deskripsi metode implisit pada persamaan difusi


Dengan mengambil

( ) 2t

xκα ∆≡∆ (8-62)

maka untuk setiap titik ruang jx dengan 1,2,3,..., 1j N= − , kita memperoleh

( ) 11 11 2n n n n

i i i iα ψ α ψ α ψ ψ −− +− + + − = (8-63)

Jika syarat batas pada ujung-ujungnya diberikan yaitu 0u dan Nu , maka kita

persamaan (8-63) dapat ditampilkan dalam bentuk persamaan simultan linier sebagai

berikut1n n−Ψ = ΨAg (8-64)

dengan

1 0 0 . . 01 2 0 . 0

0 . . . 0 .. . . . . .. . . 1 2. . . 0 0 1

α α α

α α α

− + −

= − + −

A (8-65)

Kita juga akan menggunakan analisa stabilitas Von Nouman untuk

meyakinkan apakah skema implisit ini stabil atau tidak stabil. Jika kita

mensubstitusikan mode Fourier ke persamaan (8-61), maka dengan mudah diperoleh

( )( ) 1

21 cos 2t k xx

κ ξ −∆− ∆ − =∆ (8-66)

atau dapat disusun kembali menjadi

( ) 2

111 sin2

t k xx

ξ κ= ∆+ ∆∆

(8-67)



Faktor penguatan yang memiliki bentuk semacam ini, tentunya harus berharga

≤ 1. Ini menunjukkan bahwa skema implisit yang kita gunakan untuk mendekati

persamaan difusi adalah stabil mutlak.

8.1.2.2 Metode Dufort-Frankle

Metode ini merupakan salah satu dari beberapa metode yang digunakan untuk

mengatasi masalah stabilitas yang ditemukan pada metode Euler maju atau FTCS.

Metode Dufort-Frankle merupakan satu teknik yang memanfaatkan stabilitas tak

bersyarat dari metode intrinsic untuk persamaan diferensial sederhana.

Selanjutnya kita dapat memodifikasi persamaan (8-61) menggunakan metode

Dufort-Frankle sebagai berikut

( )( )1 1 1 1

1 12

2n n n n n nj j j j j j

tu u u u u ux

κ+ − + −+ −

∆ = − − + + ∆ (8-68)

Jika diambil ( ) 2

2 tx

κβ ∆=∆ , maka persamaan (8-68) dapat disusun kembali menjadi

bentuk

( )1 11 1

11 1

n n n nj j j ju u u uα α

α α+ −

+ −−= − ++ +

(8-69)

Pengujian stabilitas terhadap pendekatan Dufort-Frankle menggunakan analisa

Von Nouman memunculkan persamaan kuadrat dalamξ , hal ini dikarenakan


Gambar 8.11. Deskripsi metode Dufort-Frankle


munculnya tiga pangkat konskutif pada ξ ketika prosedur Von Nueman disubstitusi

ke dalam persamaan tersebut. Persamaan kuadrat tersebut adalah

2 2 1cos 01 1

k xα αξ ξα α

−+ ∆ − =+ +

(8-70)

Selanjutnya persamaan (8-70) memiliki dua penyelesaian yaitu

( )2 21 cos 1 sin1

k x k xξ α αα

= ∆ ± − ∆+

(8-71)

Untuk mengetahui kestabilan skema ini, maka kita dapat mengecek bagaimana

modulus dari ξ tersebut. Dengan menganggap 2 2sin 1k xα ∆ ≥ dan 2 2sin 1k xα ∆ < ,

maka kita akan memperoleh bahwa 2 1ξ ≤ . Ini menunjukkan bahwa skema Dufort-

Frankle tersebut stabil mutlak.

Metode Cranck-Nicolson

Pendekatan metode Cranck-Nicolson untuk menyelesaikan persamaan

diferensial parabolik didasarkan pada metode Euler termodifikasi seperti yang telah

dibahas pada bab yang lalu. Dengan menggunakan metode ini, maka pendekatan pada

persamaan difusi selanjutnya dapat ditulis kembali menjadi

( )( ) ( )

11 1 1

1 1 1 12 2 22

n nn n n n n ni ii i i i i it x

ψ ψ κ ψ ψ ψ ψ ψ ψ+

+ + +− + − +

− = − + + − + ∆ ∆(8-72)

atau

( )( ) ( )1 1 1 1

1 1 1 12 2 22

n n n n n n n ni i i i i i i i

tx

κψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ+ + + +− + − +

∆ = + − + + − + ∆ (8-73)


Gambar 8.12. Deskripsi skema Cranck-Nicolson


Dengan mendefinisikan ( ) 22tx

κγ ∆=∆ , maka ungkapan (8-73) juga dapat dinyatakan

dalam bentuk persamaan simultan sebagai berikut

( ) ( )1 1 11 1 1 11 2 1 2n n n n n n

j j j j j jγ ψ γ ψ γ ψ γ ψ γ ψ γ ψ+ + +− + − +− + + − = + − + (8-74)

atau1n n+ =Aψ B ψg g (8-75)

dengan matriks A dan B didefinisikan sebagai

1 0 0 . . 01 2 0 . 0

0 . . . 0 .. . . . . .. . . 1 2. . . 0 0 1

γ γ γ

γ γ γ

− + −

= − + −

A (8-76)

dan

1 0 0 . . 01 2 0 . 0

0 . . . 0 .. . . . . .. . . 1 2. . . 0 0 1

γ γ γ

γ γ γ

−

= −

B (8-77)

Dengan menggunakan analisa stabilitas Von Nouman seperti yang telah kita

terapkan pada metode-metode sebelumnya, maka diperoleh faktor penguatannya

sebesar

( )( )

2

2

1 2 sin 21 2 sin 2

k xk x

γξ

γ− ∆

=+ ∆

(8-78)

Faktor penguatan tersebut menunjukkan bahwa harganya selalu 1≤ . Ini

menunjukkan bahwa skema ini stabil mutlak. Lebih lanjut lagi, karena pendekatan

beda yang digunakan dalam metode ini adalah metode Euler termodifikasi, maka

ketelitian metode ini lebih tinggi dibanding metode Euler maju ataupun mundur.



Contoh penggunaan skema Cranck-Nicolsan adalah pada penyelesaian persamaan

Schroedinger.

8.13 Persamaan Schroedinger

Jika kita mengkaji secara serius ilmu fisika, maka kadang-kadang kita

menemukan suatu masalah yang mengandung kendala (constraint), sebagai contoh

persamaan Scrhoedinger gayut waktu di dalam Mekanika

Persamaan ini termasuk ke dalam persamaan diferensial parabolik untuk

evolusi besaran kompleks ψ . Untuk persamaan diferensial parsial yang memerikan

hamburan paket gelombang yang disebabkan oleh potensial ( )xV dalam ruang 1D,

maka persamaannya memiliki bentuk

( )2 2

22i V x

t m xψ ψ ψ∂ ∂= − +

∂ ∂h (8-79)

Jika kita menggunakan satuan universal, sedemikian hingga konstanta Planck

1= dan massa partikel 2/1=m , maka persamaan Schroedinger (8-79) akan

mengmbil bentuk

( )ψψψ xVxt

i +∂∂−=

∂∂

2

2

(8-80)

Pengenaan syarat batas untuk masalah di atas adalah harga ψ pada saat awal atau

( )0, =txψ bersama dengan x → ± ∞ yaitu 0ψ → . Selanjutnya langkah diskritisasi

untuk persamaan gelombang (8-71) dapat dinyatakan dalam bentuk

( )

1 1 1 11 1 1

2

2 2n n n n nj j j j j n

j ji Vt x

ψ ψ ψ ψ ψψ

+ + + ++ − +

− − += − + ∆ ∆

(8-81)

Skema yang ditunjukkan pada persamaan beda (8-81) menggunakan skema implisit

atau metode BTCS. Oleh sebab itu, factor penguatannya adalah

( )2

2

1

41 sin2 j

t k xi V tx

ξ = ∆ ∆ + + ∆ ∆

(8-82)

atau



( )

2

22

1

41 sin2 j

t k x V tx

ξ = ∆ ∆ + + ∆ ∆

(8-83)

Dengan harga 2ξ di atas menunjukkan bahwa skema ini stabil mutlak. Sayangnya,

skema ini tidak uniter. Mengapa harus uniter? Hal ini disebabkan oleh suatu syarat

bahwa probabilitas total suatu partikel ditemukan dalam suatu range daerah yang

terbentang dari − ∞ sampai ∞ adalah satu.

2 1dxψ∞

− ∞

=∫ (8-84)

Persamaan (8-84) mensyaratkan fungsi gelombang awal ( ),0xψ ternormalisir.

Jika ungkapan persamaan Schroedinger (8-80) dinyatakan dalam bentuk

i Ht

ψ ψ∂ =∂

(8-85)

dengan H adalah operator hamiltonian yang mengambil bentuk

( )2

2H V xx

∂= − +∂

(8-86)

maka penyelesaian persamaan (8-85) tersebut secara analitik adalah

( ) ( ), ,0iHtx t e xψ ψ−= (8-87)

Implementasi algoritma FTCS untuk mendekati persamaan (8-87) berbentuk

( )1 1n nj jiH tψ ψ+ = − ∆ (8-88)

dimana H dinyatakan oleh pendekatan beda hingga terpusat dalam x . Sedangkan,

penggunaan skema implisit BTCS akan mengambil bentuk berbeda yaitu

( ) 11 1n nj jiH tψ ψ−+ = + ∆ (8-89)

Dua metode yang digunakan di atas memiliki akurasi orde pertama dalam

waktu, seperti telah dibahas di depan.

Dengan kenyataan bahwa metode eksplisit maupun implisit bukan metode

yang baik untuk menyelesaikan persamaan Schroedinger gayut waktu ini, maka kita



akan menggunakan bentuk Cayleys untuk menyatakan wakilan beda hingga iHte−

yang memiliki akurasi orde dua dan uniter yaitu

112112

iHtiH t

eiH t

−− ∆

+ ∆; (8-90)

dengan kata lain,

11 11 12 2

n nj jiH t iH tψ ψ+ + ∆ = − ∆

(8-91)

Selanjutnya dari persamaan (8-91), maka kita memiliki sistem tridiagonal. Skema

tersebut adalah stabil, uniter dan memiliki akurasi orde kedua. Nah cara ini disebut

sebagai metode Crank-Nicolson.

Contoh source code untuk menyelesaikan persamaan difusi

Program Difusi Integer*4 maxn, maxnplot parameter( maxn = 300, maxnplot = 500 ) integer*4 n, i, j, iplot, nlangkah, plot_langkah, nplot, ilangkah real*8 tau, l, h, kappa, koef, tt(maxn), tt_baru(maxn) real*8 xplot(maxn), tplot(maxnplot), ttplot(maxn,maxnplot)

C initialisasi parameter (langkah waktu, pias, dll). write(*,*) ‘masukkan langkah waktu: ' read(*,*) tau write(*,*) ‘masukkan jumlah jaring: ' read(*,*) n l = 1. h = l/(n-1) kappa = 1. koef = kappa*tau/h**2 if( koef .lt. 0.5 ) then write(*,*) 'penyelesaian diharapkan stabil' else write(*,*) 'warning: apakah penyelesaian diharapkan tidak stabil’ endif

C set syarat awal dan syarat batas. do i=1,n tt(i) = 0.0



tt_baru(i) = 0.0 enddo tt(n/2) = 1/h iplot = 1 nlangkah = 300 plot_langkah = 6 nplot = nlangkah/plot_langkah + 1 do i=1,n xplot(i) = (i-1)*h - l/2 enddo

do ilangkah=1,nlangkah do i=2,(n-1) tt_baru(i) = tt(i) + koef*(tt(i+1) + tt(i-1) - 2*tt(i)) enddo do i=2,(n-1) tt(i) = tt_baru(i) enddo if( mod(ilangkah,plot_langkah) .lt. 1 ) then do i=1,n ttplot(i,iplot) = tt(i) enddo tplot(iplot) = ilangkah*tau iplot = iplot+1 endif enddo nplot = iplot-1

open(11,file='tplot.txt',status='unknown') open(12,file='xplot.txt',status='unknown') open(13,file='ttplot.txt',status='unknown') do i=1,nplot write(11,*) tplot(i) enddo do i=1,n write(12,*) xplot(i) do j=1,(nplot-1) write(13,1001) ttplot(i,j) enddo write(13,*) ttplot(i,nplot) enddo1001 format(e12.6,', ',$) stop end

8.2 Persamaan Eliptik



Contoh umum dari persamaan diferensial eliptik adalah persamaan Poisson

yang berbentuk

( )2 2

2 2 ,u u x yx y

ρ∂ ∂+ = −∂ ∂

(8-92)

Jika ( ), 0x yρ = , maka disebut persamaan Laplace yang berbentuk

2 2

2 2 0u ux y

∂ ∂+ =∂ ∂

(8-93)

Untuk menyelesaikan persamaan eliptik dibutuhkan syarat batas di ujung-

ujungnya. Oleh sebab itu penyelesaian persamaan eliptik masuk dalam kategori

masalah nilai batas.

Metode penyelesaian numerik untuk persamaan diferensial eliptik

diklasifikasikan dalam dua kategori, yaitu metode beda hingga dan elemen hingga.

Tetapi dalam pasal ini kita hanya akan menggunakan metode beda hingga untuk

menangani persamaan ini. Metode beda hingga diturunkan dari jaring kotak.

Penggunaan metode ini untuk menyelesaikan masalah diferensial eliptik memiliki

banyak keuntungan. Adapun keuntungan metode elemen hingga diantaranya adalah

bahwa persamaan diskritnya tidak terganggu oleh bentuk geometri yang rumit,

sehingga metode ini fleksibel untuk diterapkan dalam bentuk geometri apapun.

Namun akhir-akhir ini, metode beda hingga juga telah dikembangkan untuk

mengatasi masalah geometri ini yaitu dengan cara transformasi koordinat.

Persamaan Beda dalam Geometri Rectangular

Dalam pasal ini kita tidak akan membahas metode beda hingga dalam

geometri yang rumit, tetapi kita hanya akan membahas metode tersebut di dalam

gometri kotak saja. Untuk memudahkan pemahaman kita tentang metode ini, sekarang

marilah kita tinjau sebuah persamaan Laplace dalam koordinat kartesan seperti

terlihat pada persamaan (8-93).

Untuk mempermudah pemahaman kita tentang masalah yang kita bahas ini,

sekarang ditinjau untuk domain 0 xx L≤ ≤ dan 0 yy L≤ ≤ seperti terlihat pada

gambar 8.10. Syarat batas yang dikenakan pada sisi-sisinya adalah



Batas kiri 0ux

∂ =∂

(syarat batas Neumann)

Batas kanan 0u = (syarat Dirichlet)

Batas atas 0u =

Batas bawah 0uy

∂ =∂

Untuk menurunkan persamaan beda hingga pada persamaan Laplace, maka

kita perlu membuat jaring pada kotak tersebut. Jika kita mengasumsikan bahwa lebar

pias x y∆ = ∆ = ∆ , maka persamaan Poisson tersebut dapat didekati dengan

pendekatan beda terpusat yang mengambil bentuk

( )2 2, , ,2

1i i j j i j i ju uδ δ ρ+ =

∆(8-94)

atau secara eksplisit dapat ditunjukkan dalam bentuk deskrit

1, , 1, , 1 , , 1 ,2 2

1 12 2i j i j i j i j i j i j i ju u u u u u ρ+ − + − − + + − + = ∆ ∆(8-95)

dengan ( ), ,i j i ju u x y≡

Masalah yang timbul dalam menangani persamaan beda (8-95) adalah

bagaimana cara memberikan perlakuan pada titik-titik di syarat batas pada sisi kiri


0ux

∂ =∂ ∆

∆

i=1 2 3 4 … i

max

j=1

2

3

4

…

j max

xL

yL

0x =0y =0u

y∂ =∂

0u =

0u =

Gambar 8.14. Persamaan Laplace dalam geometri kotak bersama dengan syarat batasnya


dan bawah. Sedangkan persamaan beda di sisi atas dan kanan tidak penting, karena

kita sudah mengetahui harga dari u.

Sekarang kita akan meninjau untuk persamaan beda di perbatasan sisi kiri.

Pada gambar tersebut terlihat bahwa syarat batas di sebelah kiri adalah 0ux

∂ =∂

.

Derivatif kedua dari u atau 2

2u

x∂∂

pada titik-titik batas sebelah kiri selanjutnya dapat kita

dekati dengan

12 , ,22

1,2

i j i j

j

u ux yu

x+

∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ≈ ∆∂ (8-96)

Sekarang, bagaimana cara kita mendekati derivatif pertama u terhadap x pada

suku pertama pembilang pada persamaan beda (8-96) tersebut? Lihatlah gambar 8.15.

Pada gambar tersebut tampak tiga titik terdekat yang mengelilingi titik (1,j). Dengan

kenyataan itu, kita memang tidak bisa menerapkan persamaan beda untuk derivatif

kedua seperti terlihat pada persamaan (8-95), karena kita harus memiliki empat titik

yang mengitari titik pusat. Oleh sebab itu, kita berharap dengan pendekatan beda (8-

96) tersebut permasalahan tersebut teratasi.


1,j+1

1,j

1,j-1

2,j

Gambar 8.16. Titik-titik di perbatasan kiri

i,j+1

i,j

i,j-1

i+1,j

Gambar 8.15. Titik (i,j) dikelilingi empat titik terdekat. Pendekatan beda untuk derivatif kedua u terhadap x dinyatakan pada persamaan (88).

i-1,j


Selajutnya, suku pertama pembilang pada persamaan (8-96) dapat didekati

dengan

2, 1,

11 ,2

j j

j

u uux +

−∂ ≈ ∂ ∆ (8-97)

Oleh karena suku kedua pembilang pada persamaan beda (8-96) berharga sama

dengan nol, maka pendekatan beda 2

2u

x∂∂

adalah

22, 1,

21,

2 2j j

j

u uux

− ∂ ≈ ∂ ∆ (8-98)

Selanjutnya, persamaan beda derivatif kedua u terhadap x di perbatasan sisi kiri

mengambil bentuk

2, 1, 1, 1 1, 1, 1 1,2 2

1 12 2 2j j j j j ju u u u u ρ+ − − + − + = ∆ ∆(8-99)

Dengan menggunakan cara yang sama, maka kita dapat mendekati derivatif

pertama u terhadap x di perbatasan sisi bawah kotak adalah

2,2 ,1

2,1

2 2i i

i

u uuy

− ∂ ≈ ∂ ∆ (8-100)

sehingga derivatif kedua u dapat didekati dengan persamaan beda

1,1 ,1 1,1 ,2 ,1 ,12 2

1 12 2 2i i i i i iu u u u u ρ+ − − + + − = ∆ ∆(8-101)


i-1,j I,j i+1,j

I,j+1

Gambar 8.16. Titik-titik di perbatasan kiri


Dengan menggunakan persamaan beda () dan () untuk derivatif pertama u

terhadap x, maka kita dapat menentukan pendekatan derivatif kedua dari u yang

mengambil bentuk

2,1 1,1 1,2 1,1 1,12 2

1 1u u u u ρ − + − = ∆ ∆(8-102)

Contoh

Ditinjau sebuah persamaan Laplace dalam ruang dimensi dua dengan domain

0 8x≤ ≤ dan 0 6y≤ ≤ mengambil bentuk2 2

2 2 0x yϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂

dengan syarat batas yang diberikan adalah

Batas kiri 0ux

∂ =∂

Batas kanan 1u =

Batas atas 0u =

Batas bawah 0uy

∂ =∂

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, maka kita membuat jaring dengan

lebar pias sama yaitu 2. Harga titik-titik di perbatasan kotak atas dan kanan berharga

0ϕ = , sedangkan titik-titik di perbatasan kiri dan bawah memenuhi 0xϕ∂ ∂ = dan

0yϕ∂ ∂ = . Dengan syarat batas yang diberikan tadi, kita akan menghitung titik-titik

Persamaan Diferensial Parsial 2

2

i=1 2 3 4 5

j=

1

2

3

4

0u =

xL

yL

0x =0y = 0u

y∂ =∂

0u =

8

0ux

∂ =∂

6


yang lain kecuali pada perbatasan atas dan kanan, karena di perbatasan ini harga ϕ

sudah diketahui.

Dengan menggunakan persamaan beda hingga (8-95), (8-99) dan (8-101), maka kita

dapat menuliskan persamaan simultan dalam ϕ yaitu

1. Titik (1,1) 1,1 2,1 1,24 2 2 0ϕ ϕ ϕ− + + =

2. Titik (2,1) 1,1 2,1 3,1 2,24 2 0ϕ ϕ ϕ ϕ− + + =

3. Titik (3,1) 2,1 3,1 4,1 3,24 2 0ϕ ϕ ϕ ϕ− + + =

4. Titik (4,1) 3,1 4,1 4,24 2 1ϕ ϕ ϕ− + = −

5. Titik (1,2) 1,1 1,2 2,2 1,34 2 0ϕ ϕ ϕ ϕ− + + =

6. Titik (2,2) 2,1 1,2 3,2 2,2 2,34 0ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + − + =

7. Titik (3,2) 3,1 2,2 3,2 4,2 3,34 0ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ − + + =

8. Titik (4,2) 4,1 3,2 4,2 4,34 1ϕ ϕ ϕ ϕ+ − + = −

9. Titik (1,3) 1,2 1,3 2,34 2 0u u u− + =

10. Titik (2,3) 2,2 1,3 2,3 3,34 0u u u u+ − + =

11. Titik (3,3) 3,2 2,3 3,3 4,34 0u u u u+ − + =

12. Titik (4,3) 4,2 3,3 4,34 1ϕ ϕ ϕ+ − = −

Jika persamaan simultan di atas dinyatakan dalam bentuk matriks, maka

bentuknya



114 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 01 4 1 0 0 2 0 0 0 0 0 00 1 4 1 0 0 2 0 0 0 0 00 0 1 4 0 0 0 2 0 0 0 01 0 0 0 4 2 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 4 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 4 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 4 2 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 4 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4

ϕϕ

− − − − −

− −

− − − − −

21

31

41

12

22

32

42

13

23

33

43

0001

0001

0001

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

− =

− −

Jika persamaan simultan linier yang dinyatakan dalam bentuk matriks tersebut

dinyakan oleh

=A X bg

maka untuk menemukan harga setiap elemen matriks X dapat dilakukan dengan cara−= 1X A bg

Dengan menggunakan kaidah ini, maka elemen-elemen matriks X maka kita dapat

menentukan harga ϕ pada setiap titik yaitu

11 21 31

41 12 22

32 42 13

23 33 43

0.3377, 0.3799, 0.51180.7379, 0.2955, 0.33510.4647, 0.7199, 0.17400.2003, 0.2920, 0.5030

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

= = == = == = == = =

Metode Iteratif Jacobi

Sesuai dengan namanya, ide dari metode iteratif Jacobi adalah menemukan

harga setiap titik-titik dalam kotak melalui jalan iterasi hingga ditemukan harga yang

optimum. Iterasi awal dimulai dengan memberikan nilai tebakan pada variabel-

variabelnya. Iterasi dilakukan terus menerus hingga selisih harga elemen kini dan

sebelumnya melebihi toleransi yang diberikan.

Untuk lebih jelasnya, sekarang kita akan meninjau kembali persamaan Laplace

seperti pada contoh 8.1 tetapi dengan syarat batas sebagai berikut

Batas kiri 0=u



Batas kanan 1u =

Batas atas 0u =

Batas bawah 1=u

Dengan syarat batas yang diberikan tersebut, maka kita dapat membentuk

persamaan simultan baru sebagai berikut

1. Titik (2,2) 2,2 1,2 3,2 2,1 2,3

3,2 2,32,2

4 0

atau4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

− − − − =+

=

2. Titik (3,2)3,2 2,2 4,2 3,1 3,3

2,2 4,2 3,33,2

4 0

atau4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ

− − − − =+ +

=

3. Titik (4,2)4,2 3,2 5,2 4,1 4,3

3,2 4,34,2

4 01

atau4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

− − − − =+ +

=

4. Titik (2,3)2,3 1,3 3,3 2,2 2,4

2,2 3,32,3

4 01

atau4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

− − − − =+ +

=

5. Titik (3,3)3,3 2,3 4,3 3,2 3,4

2,3 4,3 3,23,3

4 01

atau4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ

− − − − =+ + +

=

6. Titik (4,3)4,3 3,3 5,3 4,2 4,4

3,3 4,24,3

4 02

atau4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

− − − − =+ +

=


0 1

0

0

0

00 0

1

1

1 111


Sebagai langkah awal, kita berikan tebakan awal seluruh titik sama dengan

nol, kecuali pada batas-batas yang telah kita tentukan. Dari langkah ini, kita memiliki

harga-harga pada setiap titik antara lain 02,2 0ϕ = , 0

3,2 0ϕ = , 04,2 0,25ϕ = , 0

2,3 0,25ϕ = ,

03,3 0,25ϕ = , 0

4,3 0,50ϕ = . Dengan menggunakan bahasa pemrograman, maka arga

titik-titik pada iterasi berikutnya dapat kita temukan sampai toleransi yang diberikan.

Program Iterasi_jacobi dimension pa(5,4),pb(5,4) real phip character*10 fname write(*,5) read 9,fname 9 format(15a) 5 format(23x,'nama file output:',\) open(8,file=fname)c tebakan awal untuk seluruh titik diberikan sama dengan nolc kecuali pada batas-batas yang telah ditentukanc syarat batas pada titik-titik jaring adalah

pa(2,4)=1. pa(3,4)=1. pa(4,4)=1. pa(5,4)=1. pa(5,2)=1. pa(5,3)=1.c pb(2,4)=1. pb(3,4)=1. pb(4,4)=1. pb(5,2)=1. pb(5,3)=1. pb(5,4)=1.c do 25 iter=1,100 write(8,90)iter do 30 i=2,4 do 40 j=2,3 pb(i,j)=(pa(i-1,j)+pa(i+1,j)+pa(i,j-1)+pa(i,j+1))/4.



40 continue 30 continue do 35 i=2,4 do 45 j=2,3 pa(i,j)=pb(i,j) 45 continue 35 continue c write (8,22) pb(1,4),pb(2,4),pb(3,4),pb(4,4),pb(5,4) write (8,22) pb(1,3),pb(2,3),pb(3,3),pb(4,3),pb(5,3) write (8,22) pb(1,2),pb(2,2),pb(3,2),pb(4,2),pb(5,2) write (8,22) pb(1,1),pb(2,1),pb(3,1),pb(4,1),pb(5,1) write (*,22) pb(1,4),pb(2,4),pb(3,4),pb(4,4),pb(5,4) write (*,22) pb(1,3),pb(2,3),pb(3,3),pb(4,3),pb(5,3) write (*,22) pb(1,2),pb(2,2),pb(3,2),pb(4,2),pb(5,2) write (*,22) pb(1,1),pb(2,1),pb(3,1),pb(4,1),pb(5,1) 25 continue 90 format(i4) 22 format(5f10.6) close(8) stop end

Tabel 8.1 Contoh eksekusi program iterasi Jacobi

Iterasi ke-1 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .250000 .250000 .500000 1.000000 .000000 .000000 .000000 .250000 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-4 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .406250 .574219 .738281 1.000000 .000000 .148438 .265625 .480469 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-7 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .451660 .634094 .784973 1.000000 .000000 .190125 .330688 .523438 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-10 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .460958 .648406 .794291 1.000000 .000000 .200234 .343851 .533567 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-13 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000



.000000 .463182 .651300 .796516 1.000000 .000000 .202281 .346998 .535614 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-16 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463632 .651992 .796966 1.000000 .000000 .202770 .347634 .536103 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-19 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463740 .652132 .797073 1.000000 .000000 .202869 .347786 .536202 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-22 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463762 .652165 .797095 1.000000 .000000 .202892 .347817 .536226 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-25 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463767 .652172 .797100 1.000000 .000000 .202897 .347824 .536230 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-27 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463768 .652173 .797101 1.000000 .000000 .202898 .347825 .536231 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 Iterasi ke-28 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463768 .652174 .797101 1.000000 .000000 .202898 .347826 .536232 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000

8.10 Metode Relaksasi

Konsep dari metode relaksasi didasarkan pada suatu ide bahwa konvergensi ke

suatu penyelesaian dari pemberian terkaan awal tertentu dapat dicapai dengan cara

mengulang-ulang iterasi setiap titiknya. Konsep dari iterasi berasal dari suatu ide

bahwa perubahan perlahan-lahan (evolusi) terhadap waktu dapat dilihat ketika

persamaan diferensial parsial eliptik dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial

parabolik.

8.10.1 Metode RelaksasiGauss-Seidel



Metode relaksasi Gauss-Seidel telah terbukti memperoleh sukses besar dalam

keberhasilannya menyelesaikan persamaan diferensial parsial eliptik. Untuk lebih

jelasnya, sekarang kita akan menyatakan persamaan eliptik sebagai persamaan difusi

( )2 2

2 2 ,u u x yx y

ρ∂ ∂+ =∂ ∂

(8-72)

menjadi

( )2 2

2 2 ,u u u x yt x y

ρ∂ ∂ ∂= + −∂ ∂ ∂

(8-73)

Apabila pada 0t = terdapat distribusi awal, maka kita dapat mengatakan

bahwa bahwa ketika t → ∞ penyelesaian sudah merelaks ke arah keadaan setimbang.

Saat t → ∞ tersebut, maka dipenuhi / 0u t∂ ∂ → . Jika persamaan (8-73) kita lakukan

diskritisasi menggunakan metode FTCS, maka ungkapan tersebut akan menjadi

bentuk

( )1, , 1, 1, , 1 , 1 , ,2 4n n n n n n n

j j j j j j j jtu u u u u u u t

xρ+

− + − +∆= + + + + − − ∆

∆ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ (8-74)

dengan indeks atas n mewakili variabel waktu, sedangkan indeks bawah menyatakan

variabel ruang.

Dengan mengingat kembali bahwa di dalam ruang 1D metode FTCS stabil

hanya jika dipenuhi 2 1/2

t∆ ∆ ≤ , dan stabil dalam ruang 2D hanya jika 2 1/4

t∆ ∆ ≤ ,

maka ungkapan (8-74) dapat dinyatakan kembali dalam bentuk

( )2

1, 1, 1, , 1 , 1 ,

14 4

n n n n nj j j j j ju u u u u ρ+

− + − +∆= + + + −ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ (8-75)

Dari ungkapan (8-75), kita dapat menemukan harga terbaru dari u pada

langkah ( )1n + dengan menggunakan empat harga lama yang mengelilinginya pada

langkah n dan suku sumbernya. Prosedur menemukan harga terbaru tersebut

dilakukan dengan cara menyapu titik-titik yang diawali dari baris demi baris titik dan

menghitung harga baru u dengan mengunakan ungkapan (8-75). Prosedur ini diulang-

ulang hingga ketelitian yang diharapkan dicapai. Metode ini disebut dengan iterasi



Jacobi seperti yang telah dibahas di atas. Sayangnya, metode ini masih cukup lambat

mencapai konvergen.

Satu metode yang barangkali lebih baik dibandingkan dengan metode iterasi

Jacobi membuat algoritma tersebut menjadi bentuk semi implisit

( )2

1 1 1, 1, 1, , 1 , 1 ,

14 4

n n n n nj j j j j ju u u u u ρ+ + +

+ − + −∆= + + + −ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ (8-76)

Dalam skema ini, harga-harga baru dari u digunakan segera setelah harga-

harga tersebut ada, artinya bahwa titik-titik yang sudah ter-update akan digunakan

segera dalam perhitungan untuk memperoleh harga terbaru u pada titik berikutnya.

Skema yang diperlihatkan pada (8-76) tersebut dikenal dengan metode relaksasi

Gauss-Seidel. Sayangnya, metode ini juga masih lambat konvergensinya.

8.10.2 Metode Over-Relaksasi Simultan

Untuk memperoleh metode relaksasi lebih baik dalam hal kecepatan

konvergensi, maka kita perlu mengkoreksi secara over metode Gauss-Seidel. Kita

akan melakukan generalisasi terhadap skema (8-76) sehingga setiap langkah relaksasi

,j lϕ akan digantikan dengan kombinasi linier antara harga lamanya dan harga

terupdatenya. Jadi

( ) ( )1 1 1 2, , 1, 1, , 1 , 1 ,1

4n n n n n nj j l j j j j ju u u u u uωω ρ+ + +

+ − + − = − + + + + − ∆ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ (8-76)

dimana ω merupakan parameter over relaksasi. Metode ini konvergen hanya dalam

ranah 0 2ω< < . Untuk harga 0 1ω< < , maka skema (8-76) disebut dengan under

relaxation , sedangkan untuk ranah1 2ω< < skema tersebut dikenal dengan over

relaxation. Untuk harga ω dalam ranah 1 2ω< < memberikan konvergensi lebih

cepat dibandingkan dengan metode Gauss-Seidel.

Contoh source code untuk menyelesaikan Persamaan Laplace menggunakanIterasi Gauss-Seidel dan over relaksasi

Program Laplace Integer max real omega



Parameter(max1=4,max2=5,omega=1.25) Real*8 x, p(max2,max1),phip Integer i, j, iter, yc membuka file output Open(8, File='laplace.dat', Status='Unknown')c sisi-sisi jaring dengan potensial konstan Do 10 i=1, max2 p(i,1)=0.0 p(i,4)=1.0 10 Continue Do 11 j=1, max1 p(1,j)=0.0 p(5,j)=1.0 11 Continue c algoritma iterasi Do 20 iter=1, 100 write(8,21)iter

Do 30 i=2,(max2-1) Do 40 j=2,(max1-1)c menentukan harga titik-titik pada jaring c dengan metode Gauss-Seidel p(i,j)=0.25*(p(i+1,j) * +p(i-1,j)+p(i,j+1)+p(i,j-1)) c menentukan harga titik-titik pada jaring c dengan metode over relaksasi dengan parameter relaksasic omega=1.25

c phip=0.25*(p(i+1,j)c * +p(i-1,j)+p(i,j+1)+p(i,j-1)) c p(i,j)=(1.-omega)*p(i,j)+omega*phip 40 Continue 30 Continue Write (8,22) p(1,4),p(2,4),p(3,4),p(4,4),p(5,4) Write (8,22) p(1,3),p(2,3),p(3,3),p(4,3),p(5,3) Write (8,22) p(1,2),p(2,2),p(3,2),p(4,2),p(5,2) Write (8,22) p(1,1),p(2,1),p(3,1),p(4,1),p(5,1) Write (*,22) p(1,4),p(2,4),p(3,4),p(4,4),p(5,4) Write (*,22) p(1,3),p(2,3),p(3,3),p(4,3),p(5,3) Write (*,22) p(1,2),p(2,2),p(3,2),p(4,2),p(5,2)



Write (*,22) p(1,1),p(2,1),p(3,1),p(4,1),p(5,1) 20 continue 21 Format(i4) 22 Format(5f10.6) Close(8) Stop 'data tersimpan dalam laplace.dat’ End

Contoh eksekusi untuk penyelesaian persamaan Laplacemenggunakan metode iterasi Gauss-Seidel

Iterasi ke-1 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .250000 .312500 .640625 1.000000 .000000 .000000 .000000 .250000 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-3 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .415039 .609619 .778870 1.000000 .000000 .125000 .277344 .505859 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-5 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .457157 .646527 .794691 1.000000 .000000 .191956 .338470 .532238 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-7 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .462890 .651425 .796782 1.000000 .000000 .201444 .346585 .535702 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-9 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463652 .652074 .797059 1.000000 .000000 .202706 .347661 .536162 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-11 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463753 .652161 .797096 1.000000 .000000 .202873 .347804 .536223 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-13 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463766 .652172 .797101 1.000000 .000000 .202895 .347823 .536231 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-15 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463768 .652174 .797101 1.000000 .000000 .202898 .347826 .536232 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000



Iterasi ke-16 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463768 .652174 .797101 1.000000 .000000 .202898 .347826 .536232 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000

Contoh eksekusi untuk penyelesaian persamaan Laplacemenggunakan metode relaksasi dengan parameter relaksasi omega =1.25

Iterasi ke-1 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .300000 .390000 .807000 1.000000 .000000 .000000 .000000 .300000 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-3 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .468270 .659511 .799566 1.000000 .000000 .167400 .363960 .538470 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-5 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463300 .651879 .796899 1.000000 .000000 .202917 .348104 .536191 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-7 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463740 .652166 .797104 1.000000 .000000 .202854 .347799 .536242 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-9 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463770 .652174 .797102 1.000000 .000000 .202902 .347827 .536232 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-10 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463768 .652174 .797101 1.000000 .000000 .202899 .347826 .536232 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000 Iterasi ke-11 .000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 .000000 .463768 .652174 .797101 1.000000 .000000 .202898 .347826 .536232 1.000000 .000000 .000000 .000000 .000000 1.000000

SOAL LATIHAN



1. Jelaskan dengan singkat perbedaan antara persamaan diferensial hiperbolik,

parabolik dan eliptik serta berikan contoh masing-masing. Apakah perbedaan fisis

terpenting antara persamaan hiperbolik dan parabolik di satu sisi dan persamaan

eliptik di sisi lain.

2. Apakah persamaan-persamaan diferensial berikut merupakan persamaan

hiperbolik, parabolik atau elipti?

( )

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

3

. 3 2 0

. 7 2 0

. 3 6

. 2 2 0

. 3 2 sin

x

f f fat x t xf f f fbt t t x xf f f fc e

x t t x tf f f f fd

t x t x x tf f f fe f x t

t t x x t x

∂ ∂ ∂+ − =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3. Persamaan 3

3

f ft x

β∂ ∂=∂ ∂

dapat dinyatakan dalam persamaan beda hingga sebagai berikut

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12 1 1 33 3m m m m m m

n n n n n ntf f f f f f

xβ δµ µδ

++ + −= + − + − =

tentukan kesalahan pembulatan dari persamaan beda tersebut.

4. Jelaskan dengan singkat, apa yang saudara ketahui tentang masalah nilai awal dan

masalah nilai batas. Apa yang mmbedakan keduanya, dan berikan contohnya

masing-masing.

5. Skema Lax ditulis sebagai

( ) ( )ni

ni

ni

ni

ni uuuuu 1111

1

27

21

−+−++ +−+=

dengan xt ∆∆≡ /αγ . Tunjukkan bahwa skema tersebut stabil jika 10 << γ .

6. Persamaan diferensial parsial diberikan oleh



( ) ( )txsxutxa

tu ,, =

∂∂+

∂∂

dengan ( )( ) txtxs

xtxa1.01,

1.03,2 +−=

+=

Dengan mengasumsikan syarat awal diberikan oleh ( ) 1, =txu untuk 0=t ,

tentukan penyelesaiaan untuk masalah tersebut.

7. Persamaan difusi dalam suatu ruang, dimana konstanta difusi D berubah terhadap

ruang ( )D D x= dinyatakan oleh

2

2

f f f f D fD atau Dt x x t x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Tunjukkan bahwa persamaan beda dinyatakan sebagai1

1 1 1 1 1 12

22 2

m m m m m m mn n n n n n n n n

nf f f f f D D f fD

t x x xδ δ δ δ

++ − + − + − − − + − − = +

tidak konservatif, yaitu bahwa fdx∫ tidak kekal.

8. Buatlah suatu skema alternatif yang menunjukkan bahwa persamaan difusi yang

dinyatakan pada soal nomor 1 tersebut konservatif.

9. Tunjukkan bahwa skema Lax untuk penyelesaiam persamaan adveksi ekivalen

dengan2 2

22

12 2

f f x fu u t suku orde lebih tinggit x t x

δ δδ

∂ ∂ ∂= − + − + ∂ ∂ ∂

10. Ujilah perilaku penyelesaian like- gelombang ( )( )expf i kx tω= − dalam skema

Lax dan jelaskan perilaku dalam suku-suku difusi.


PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Supardi, S.Si.,...

Documents

Transcript of PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Supardi, S.Si.,...