Contoh Soal PDP

Contoh Soal Persamaan Differensial Linear OrdeSatu

Fitriani Tupa R. Silalahi

August 25, 2013

Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu

Contoh 1

Akan diselesaikan persamaan

ut − 3ux = 0 (1)

dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2

Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2

Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika

aux + buy = 0 (2)

makau(x , y) = f (bx − ay) (3)

Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)

Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2

Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2

Contoh 1

ut − 3ux = 0 (1)

aux + buy = 0 (2)

Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2

Contoh 1

ut − 3ux = 0 (1)

aux + buy = 0 (2)

Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2

Contoh 1

ut − 3ux = 0 (1)

aux + buy = 0 (2)

Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2

Contoh 1

ut − 3ux = 0 (1)

aux + buy = 0 (2)

Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2

Contoh 1

ut − 3ux = 0 (1)

aux + buy = 0 (2)

Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2

Contoh 2

Kita akan menyelesaikan persamaan

3uy + uxy = 0 (4)

dengan substitusi v = uy

Perhatikan persamaan 3uy + uxy = 0. Dengan mensubstitusiv = uy , kita peroleh persamaan

3v + vx = 0 (5)

Dengan mengalikan e3x pada kedua ruas, kita peroleh

e3x(3v + vx) = 0 =∂

∂x(e3xv) (6)

Sehinggae3xv(x , y) = f (y) (7)

Contoh 2

3uy + uxy = 0 (4)

3v + vx = 0 (5)

e3x(3v + vx) = 0 =∂

∂x(e3xv) (6)

Contoh 2

3uy + uxy = 0 (4)

3v + vx = 0 (5)

e3x(3v + vx) = 0 =∂

∂x(e3xv) (6)

Contoh 2

3uy + uxy = 0 (4)

3v + vx = 0 (5)

e3x(3v + vx) = 0 =∂

∂x(e3xv) (6)

Contoh 2

3uy + uxy = 0 (4)

3v + vx = 0 (5)

e3x(3v + vx) = 0 =∂

∂x(e3xv) (6)

Contoh 2

Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)

Oleh karena v = uy , maka

uy (x , y) = f (y)e−3x (9)

Jadi diperoleh solusi persamaan

u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)

Contoh 2

Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)

uy (x , y) = f (y)e−3x (9)

u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)

Contoh 2

Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)

uy (x , y) = f (y)e−3x (9)

u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)

Contoh 2

Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)

uy (x , y) = f (y)e−3x (9)

u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)

Contoh 3

(1 + x2)ux + uy = 0 (11)

Perhatikan bahwady

1 + x2(12)

Maka(1 + x2)dy = dx (13)

Sehinggay(x) = tan−1x + c (14)

Contoh 3

(1 + x2)ux + uy = 0 (11)

Perhatikan bahwady

1 + x2(12)

Maka(1 + x2)dy = dx (13)

Contoh 3

(1 + x2)ux + uy = 0 (11)

Perhatikan bahwady

1 + x2(12)

Maka(1 + x2)dy = dx (13)

Contoh 3

(1 + x2)ux + uy = 0 (11)

Perhatikan bahwady

1 + x2(12)

Maka(1 + x2)dy = dx (13)

Contoh 3

(1 + x2)ux + uy = 0 (11)

Perhatikan bahwady

1 + x2(12)

Maka(1 + x2)dy = dx (13)

Contoh 3

Maka kita peroleh

c = y − tan−1(x) (15)

Jadiu(x , y) = f (c) = f (y − tan−1(x)) (16)

Contoh 3

Maka kita peroleh

c = y − tan−1(x) (15)

Contoh 3

Maka kita peroleh

c = y − tan−1(x) (15)

Contoh 4

Dengan menggunakan metode koordinat, kita akanmenyelesaikan persamaan

aux + buy + cu = 0 (17)

Misalkanx ′ = ax + by , y ′ = bx − ay (18)

Sesuai dengan chain rule untuk turunan fungsi komposisi, kitapunya

ux =∂u

∂x=∂u

∂x ′∂x ′

∂x+∂u

∂y ′∂y ′

∂x= aux ′ + buy ′ (19)

uy =∂u

∂y=∂u

∂x ′∂x ′

∂y+∂u

∂y ′∂y ′

∂y= bux ′ − auy ′ (20)

Contoh 4

aux + buy + cu = 0 (17)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x ′∂x ′

∂x+∂u

∂y ′∂y ′

∂x= aux ′ + buy ′ (19)

uy =∂u

∂y=∂u

∂x ′∂x ′

∂y+∂u

∂y ′∂y ′

∂y= bux ′ − auy ′ (20)

Contoh 4

aux + buy + cu = 0 (17)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x ′∂x ′

∂x+∂u

∂y ′∂y ′

∂x= aux ′ + buy ′ (19)

uy =∂u

∂y=∂u

∂x ′∂x ′

∂y+∂u

∂y ′∂y ′

∂y= bux ′ − auy ′ (20)

Contoh 4

aux + buy + cu = 0 (17)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x ′∂x ′

∂x+∂u

∂y ′∂y ′

∂x= aux ′ + buy ′ (19)

uy =∂u

∂y=∂u

∂x ′∂x ′

∂y+∂u

∂y ′∂y ′

∂y= bux ′ − auy ′ (20)

Contoh 4

Selanjutnya, persamaan aux + buy = 0 dapat ditulis dalambentuk

a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)

Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)

Jadi kita telah memiliki persamaan aux + buy = (a2 + b2)ux ′

Contoh 4

a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)

Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)

Contoh 4

a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)

Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)

Contoh 4

a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)

Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)

Contoh 4

Selanjutnya, tulis

(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)

Makaux ′

u= − c

a2 + b2(25)

Selanjutnya

ln(u) = − c

a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)

Sehingga

u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)

a2+b2 (27)

u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by

a2+b2 (28)

Contoh 4

Selanjutnya, tulis

(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)

Makaux ′

u= − c

a2 + b2(25)

Selanjutnya

ln(u) = − c

a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)

Sehingga

u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)

a2+b2 (27)

a2+b2 (28)

Contoh 4

Selanjutnya, tulis

(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)

Makaux ′

u= − c

a2 + b2(25)

Selanjutnya

ln(u) = − c

a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)

Sehingga

u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)

a2+b2 (27)

a2+b2 (28)

Contoh 4

Selanjutnya, tulis

(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)

Makaux ′

u= − c

a2 + b2(25)

Selanjutnya

ln(u) = − c

a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)

Sehingga

u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)

a2+b2 (27)

a2+b2 (28)

Contoh 4

Selanjutnya, tulis

(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)

Makaux ′

u= − c

a2 + b2(25)

Selanjutnya

ln(u) = − c

a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)

Sehingga

u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)

a2+b2 (27)

a2+b2 (28)

Contoh 4

Selanjutnya, tulis

(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)

Makaux ′

u= − c

a2 + b2(25)

Selanjutnya

ln(u) = − c

a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)

Sehingga

u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)

a2+b2 (27)

a2+b2 (28)

Contoh 5

Kita akan menyelesaikan persamaan ut + cux = −λu denganmenggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct danτ = t

Perhatikan persamaan ut + cux = −λuDengan menggunakan metode koordinat, tulis

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (29)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)

Contoh 5

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (29)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)

Contoh 5

Perhatikan persamaan ut + cux = −λu

Dengan menggunakan metode koordinat, tulis

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (29)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)

Contoh 5

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (29)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)

Contoh 5

Maka kita peroleh ut + cux = uτ + 0 = −λuDengan menggunakan faktor integral, maka persamaan

dτ+ λu = 0 (31)

memiliki solusi

u(x , t) = e−λtg(ξ) = e−λtg(x − ct) (32)

Contoh 5

Maka kita peroleh ut + cux = uτ + 0 = −λu

Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan

dτ+ λu = 0 (31)

memiliki solusi

Contoh 5

Maka kita peroleh ut + cux = uτ + 0 = −λuDengan menggunakan faktor integral, maka persamaan

dτ+ λu = 0 (31)

memiliki solusi

Contoh 6

Kita akan menyelesaikan persamaan ut + 2ux = −3u dengankondisi awal u(x , 0) = 1

1+x2dengan menggunakan

transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t

Perhatikan persamaan ut + 2ux = −3u

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (33)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)

Contoh 6

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (33)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)

Contoh 6

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (33)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)

Contoh 6

ut =∂u

∂t=∂u

∂t+∂u

∂t= −cuξ + uτ (33)

ux =∂u

∂x=∂u

∂x+∂u

∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)

Contoh 6

Maka kita peroleh ut + 2ux = uτ + 0 = −3u

dτ+ (−3)u = 0 (35)

memiliki solusi

u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)

Perhatikan kondisi awal u(x , 0) = 1(1+x)2

Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t)diperoleh g(x) = 1

Contoh 6

dτ+ (−3)u = 0 (35)

memiliki solusi

u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)

Contoh 6

dτ+ (−3)u = 0 (35)

memiliki solusi

u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)

Contoh 6

dτ+ (−3)u = 0 (35)

memiliki solusi

u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)

Contoh 6

dτ+ (−3)u = 0 (35)

memiliki solusi

u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)

Contoh 6

Maka solusi yang diperoleh adalah u(x , t) = e−3t

1+(x−2t)2

Contoh 6

Maka solusi yang diperoleh adalah u(x , t) = e−3t

1+(x−2t)2

Contoh Soal PDP

Documents

Transcript of Contoh Soal PDP