PERSAMAAN CAUCHY-EULER ( fisika matematika II )

8/3/2019 PERSAMAAN CAUCHY-EULER ( fisika matematika II )

1/18

PERSAMAAN CAUCHY-EULER


2/18

Salah satu PD linear koefisien tak tetap yang dapat dialihkan ke bentukkoefisien tetap adalah persamaan Cauchy-Euler.

0... 011

11

1 =++++

yadx

dy

xadx

yd

xadx

yd

xa n

nn

nn

nn

n

Transformasi variabel

x = ez, atau z = ln x

Tinjau PD orde dua,

a2x2 d2y/dx2 + a1x dy/dx + a0y = 0 (1)

Karena, dy/dx = (dz/dx)(dy/dz) = (1/x)(dy/dz) = e-z dy/dz

d2y/dx2 = e-z d(e-zdy/dz)/dz = e-2z(d2y/dz2 - dy/dz)


3/18

)()()(

))((

2

2

2

222

2

22

dz

dy

dz

yd

dz

dy

dz

ydee

dx

ydx

dz

dy

dz

dyee

dx

dyx

zz

zz

==

==

Maka,

PD dalam contoh teralihkan menjadi,

0)( 0122

2

2 =++ yadz

dyaa

dz

yda


4/18

ORDE DUA LINEAR TAKHOMOGEN DENGAN KOEFISIENTAKTETAP

)(2

2

xFqydx

dypdx

yd=++

METODE INTEGRASI BERURUTAN

1. Cari dahulu akar karakteristik dari operator linearnya, (D2 + pD + qI).

Misalnya akarnya : r1

dan r2, maka PD (1)di atas terfaktorkan menjadi,

(D r1)(D r2)y = F(x)

2. Misalkan, (D r2)y = u(x) atau dy/dx + r2y = u(x)

3. Maka, PD (1) menjadi,

(D r1)u(x) = F(x) atau du/dx + r1u = F(x)

4. Selesaikan langkah 3 menggunakan persamaan linear orde pertama,

dalam u = u(x).

5. Sisipkan u(x) pada langkah 2, dan selesaikan dengan orde satulinear.


5/18

Contoh soal

Selesaikan d2y/dx2 + 3 dy/dx 4 y = 2x

SolusiPersamaan karakteristiknya, (D2 + 3D 4)y = 2x,

Akar-akar karakteristiknya , r1 = -4 dan r2 = 1 atau (D + 4)(D 1)y=2x

Misalkan, (D 1)y = u(x) maka (D + 4)u(x) = 2x.Solusi dari (D + 4)u(x) = 2x adalah u(x) = x 1/8 + C1e-4x

Persamaan (D 1)y = u(x) menjadi (D 1)y = x 1/8 + C1e-4x

Solusinya adalah , y = - ( x + 3/8) + C1

e-4x + C2

ex

Solusi homogenSolusi Istimewa


6/18

Solusi umum PD takhomogen linear orde duakoefisien tetap, selalu berbentuk :

y = Solusi istimewa (yp) + Solusi homogen (yh)


7/18

METODE TEBAKAN (KOEFISIEN TAKTENTU)-------------------------------------------------------------------------------------------------Jika F(x) memiliki Dan jika Maka sertakan pernyataan

Suatu suku yang ini dalam fungsi tebak bagi

adalah kelipatankonstan dari ...

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

erx r bukanlah sebuah akar karakteristik A erx

r adalah salah satu akar karakteristik x . (pernyataan atas )

r adalah akar karakteristik rangkap x2

. (pernyataan atas )

Sin kx, cos kx ki bukanlah salah satu akar karakteristik A cos kx + B sin kx

ki adalah salah satu akar karakteristik x. (pernyataan atas )

ax2 + bx + c; 0 bukanlah akar karakteristik Ax2 + Bx + C

bx + c ; c Bx + C ; C

0 adalah salah satu akar karakteristik x. (yang di atas )

0 adalah akar karakteristik rangkap x2. (yang di atas )


8/18

Catatan

Koefisien tetap A, B, dan C ditentukan dengan

menyisipkan solusi tebakan yp ke dalam persamaansemula dan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanandari identitas yang diperoleh.

Bila F(x) adalah gabungan dari bentuk fungsi di kolom

pertama, maka solusi istimewanya merupakansuperposisi, atau jumlah linear fungsi yang bersangkutandi kolom ketiga.

Bila F(x) merupakan perkalian fungsi-fungsi di kolompertama, maka solusi istimewanya juga merupakanperkalian fungsi yang bersangkutan di kolom ketiga.


9/18

Contoh 1

Selesaikan PD ; d2y/dx2 + 3 dy/dx 4y = 2x

Jawab,(D2 + 3D -4) = (D + 4)(D-1) = 0 ( 0 bukan akar karakteristik )

Pemecahan Istimewanya,

y = Ax + B

Sisipkan ke PD semula, maka0 + 3 A 4 (Ax + B) = 2x atau -4A x + (3A 4B) = 2x + 0

Samakan koefisien, memberikan

-4A = 2, (3A 4B) = 0 sehingga A = -1/2 dan B = -3/8

Sehingga solusi istimewanya adalah ,

y = -1/2 x 3/8


10/18

Contoh 2

Selesaikan PD , d2y/dx2 6 dy/dx + 9y = 5 e3x

Solusi,Persamaan karakteristiknya adalah,

D2 6D + 9 = (D 3)2 = 0

Akar karakteristiknya r = 3 adalah rangkap.

Solusi istimewanya berbentuk ; yp = x2. (Ae3x) = Ax2 e3x

Sisipkan ke PD semula, diperoleh

(9Ax2 e3x + 12Ax e3x + 2A ex) 6(3Ax2 e3x + 2Ax e3x) 9Ax2 e3x = 5e3x

atau

2A e3x = 5 e3x , sehingga A = 5/2

Jadi, yp = (5/2) x2 e3x

Solusi homogennya yh = (C1x + C2) e3x

Solusi umumnya adalah,

y = yh + yp = (C1x + C2) e3x + (5/2) x2 e3x


11/18

PENERAPAN PADA PERSOALAN FISIKA

Rangkaian listrik RCL seri

RC

L

V

VR = R I

Vc = Q/C =(1/C) I dt

VL = L dI/dt

Tegangan antara kedua ujung rangkaian adalah,

V = VR + VC + VL

Atau

L dI/dt + RI + (1/C) I dt = V(t)

Turunkan sekali lagi terhadap waktu t, diperoleh

L d2I/dt2 + R dI/dt + (1/C) I = dV/dt

(PD linear orde dua koefisien tetap,takhomogen )


12/18

Contoh 2Benda bermassa m digantungkan pada ujung sebuah pegas dengan tetapan

pegas k, mengalami gaya gesek Fg yang sebanding dengan kecepatannya, dangaya luar periodik F(t) dengan frekuensi .

Ambil titik setimbang pegas dengan beban sebagai titik asal O. Maka bila yadalah kedudukan benda setiap saat t, percepatannya adalah,

2

2

dtyday =

Dengan pilihan titik asal O ini, gaya berat benda tereliminasi secaramatematis,dan gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah,

Gaya pegas : Fp = -kyGaya gesek : Fg = -cvy = -c dy/dt c> 0 : tetapan

Gaya luar periodik : Fl = F0 sin t


13/18

Hukum Newton II

Fp + Fg + Fl = m ayAtau,

tAydt

dyb

dt

yd'sin2 0

2

2

2

=++

Dengan b = c/2m, = k/m, dan A0 = F0/m

Persamaan getaran teredam terpaksa.


14/18

HOMOGENFl = 0, atau A0 = 0.

Persamaan karakteristiknya, r2 + 2br + 2 = 0

Diskriminan D = 4b2 - 4 2

Teredam tinggi , jika b2 > 2 ,

Teredam kritis , jika b2 = 2 ,

Teredam rendah atau terisolasi, jika b2 < 2

tAydt

dyb

dt

yd'sin2

0

2

2

2

=++


15/18

Teredam tinggi

Diskriminan D memenuhi 0 < D < b, sehingga kedua akarkarakteristiknya negatif.

Solusi umumnya ;

yh = Ae-t + Be-t

Dengan, = b + (b2 - 2) , dan = b - (b2 - 2)


16/18

TEREDAM KRITIS

Diskriminan D = 0, jadi kedua akar karakteristiknya sama.

Solusi umum PD nya,yh = (A + Bt) e-bt

Dengan A dan B adalah suatu tetapan.

Pada dua kasus di atas , bendanya mengalami peredamanyang cukup tinggi, sehingga geraknya dari kedudukan awaltertentu semakin lambat hingga akhirnya (t ) akan

berhenti pada kedudukan setimbang y = 0


17/18

TEREDAM RENDAH

b2 < 2 diskriminan D imajiner.

Misalkan = (2 b2), maka (b2 - 2) = i.

Kedua akar karakteristiknya adalah : -b i

Solusi umum PD adalah,

yh = C e-bt sin (t + )Dengan C dan dua tetapan.

> Jika b = 0, benda bergetar harmonis sederhana

> Jika b 0, amplitudonya makin lama makin mengecil dan akhirnyadiam


18/18

TAKHOMOGEN

Dengan menggunakan metode tebakan, kita pilih solusi istimewa PDyp = A cos t + B sin t

Dengan utak atik matematik sederhana, diperoleh :

[ ]

Ab

B

b

FbA

'2

)'(

'4)'(

)'2(

22

22222

0

=

+

=

Dengan menggunakan hubungan sin(a-b) = cos b sin a sin b cos a,

Solusi tak homogen di atas dapat teringkaskan dalam bentuk,

)'sin('4)'( 22222

0

+

= tb

Fyp

)'(

'2tan

22

=b

Dengan,

PERSAMAAN CAUCHY-EULER ( fisika matematika II )

Documents

Transcript of PERSAMAAN CAUCHY-EULER ( fisika matematika II )