Metodo de Euler

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Metodo de Euler El método de Euler aunque es algo Los métodos numéricos para resolver EDO tienen dos características que se han de tener en cuenta: 1. Sólo permiten hallar soluciones particulares. Por lo tanto, para poderlos aplicar, hará falta dar un conjunto completo de condiciones iniciales 2. Necesitamos que las EDO o el conjunto de EDO que se les pasa sean todas de primer orden Siendo así consideremos resolver un problema de valor inicial: ( ) ( ) Integrando Tenemos: ( ) 1 ( ) ( 1 1 ) ()

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Metodos Numericos, Metodo de Euler para ecuaciones diferenciales, teoria, deduccion.

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Page 1: Metodo de Euler

Metodo de Euler

El método de Euler aunque es algo

Los métodos numéricos para resolver EDO tienen dos características que se han de tener

en cuenta:

1. Sólo permiten hallar soluciones particulares. Por lo tanto, para poderlos aplicar, hará

falta dar un conjunto completo de condiciones iniciales

2. Necesitamos que las EDO o el conjunto de EDO que se les pasa sean todas de primer

orden

Siendo así consideremos resolver un problema de valor inicial:

( )

( )

Integrando Tenemos:

∫ ( )

𝑥 𝑥1

(𝑥 𝑦 )

(𝑥1 𝑦1)

𝑦

𝑥

𝑦(𝑥)

Page 2: Metodo de Euler

1 ∫ ( )

1 ∫ ( )

( )

∫ ( )

, esta integral resulta desconocida para nosotros, pero esta es obtenida

a través del método de Euler haciendo una aproximación explicada de la siguiente

manera.

Para poder aproximar la solución de ∫ ( )

, graficaremos f(x,y) que no es mas

que la derivada de la función a encontrar:

Sea 1

𝑦′ 𝑔(𝑥)

∫ 𝑓(𝑥 𝑦 )𝑥

𝑥

𝑑𝑥

𝑥 𝑥1

Page 3: Metodo de Euler

Lo que se hace es aproximar la integral a un valor constante, pero al hacer esto el valor no

será exacto y habrá un error, el error esta representado por la parte de rojo, este error

puede ser positivo y negativo, y depende si donde se evalua la función si es cóncava o si es

convexa (trataremos del error mas adelante).

Al hacer esta aproximación de la solución de la integral debemos saber que mientras

menor sea el valor de h menor será el error en el que se incurrirá, esto es totalmente

lógico de acuerdo a la grafica.

De esta manera aproximamos el valor de la ecuación (1) a:

1 ∫ ( )

1 ( )∫

1 ( )( 1 )

1 ( )

Y de esta manera podemos seguir estableciendo que,

1 ( 1 1)

( )

En general podemos decir que:

1 ( ) ( )

1 ( )

Asi mediante un método recurrente podremos obtener soluciones particulares de una

EDO.

Ejemplo: (Steven C. Chapra 5ta edición, Ejemplo 25.1 pagina 721)

Page 4: Metodo de Euler

Con el método de Euler integre numéricamente la ecuación:

desde x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1.

Recuerde que la solución exacta está dada por la ecuación:

Se utiliza la ecuación (2) para implementar el método de Euler:

Primer paso

y(0.5) = y(0) + f(0, 1)0.5 donde;

y(0) = 1

f(0, 1) = -2(0)3 + 12(0)2 - 20(0) + 8.5 = 8.5 Por lo tanto,

y(0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25

La solución verdadera en x = 0.5 es:

y = -0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 - 10(0.5)2 + 8.5(0.5) + 1 = 3.21875

Así, el error es:

Et = valor verdadero - valor aproximado = 3.21875 - 5.25 = -2.03125

o, expresada como error relativo porcentual, et = -63.1%.

Segundo paso

y(1) = y(0.5) + f(0.5, 5.25)0.5

= 5.25 + [-2(0.5)3 + 12(0.5)2 - 20(0.5) + 8.5]0.5 = 5.875

La solución verdadera en x = 1.0 es 3.0 y, entonces, el error relativo porcentual es -95.8%.

El cálculo se sigue repitiendo de esta manera, para un desarrollo mas rápido nos

ayudaremos de la siguiente tabla:

Page 5: Metodo de Euler

x Y(verdadero) Y(Euler) Error global E. Local

0.0 1.00000 1.00000

0.5 3.21875 5.25000 -63.1 -63.1

1.0 3.00000 5.87500 -95.8 -28.0

1.5 2.21875 5.12500 131.0 -1.41

2.0 2.00000 4.50000 -125.0 20.5

2.5 2.71875 4.75000 -74.7 1 7.3

3.0 4.00000 5.87500 46.9 4.0

3.5 4.71875 7.12500 -51.0 -11.3

4.0 3.00000 7.00000 -133.3 -53.0

Page 6: Metodo de Euler

Observe que aunque el cálculo capta la tendencia general de la solución verdadera, el

error resulta considerable. Como se explicó, es posible reducir tal error usando un tamaño

de paso menor.

Error en el método de Euler

La noción de error es fundamental en cualquier técnica numérica, asociado al hecho de

hacer muchas operaciones si es grande, también está el problema del error de redondeo

los números reales no pueden representarse exactamente en un ordenador y se han de

redondear. Eso quiere decir que, cada vez que se hace una operación, es posible que se

pierdan dígitos del resultado, y en principio, cuantas más operaciones más información se

va perdiendo. Además, el método de Euler, introduce por sí mismo un error, que se llama

error de truncamiento. Los dos tipos de errores se mezclan, y de hecho, el error total se

puede amplificar.

Analicemos a continuación el error que se comete al aproximar aplicando el método de

Euler.

El error de truncamiento local en el n-ésimo paso se define como

( )

Donde ( ) es el valor exacto en la de la ecuación diferencial e es la aproximación

de Euler.

Podemos emplear la fórmula de Taylor para obtener una aproximación útil de este

término de error.

( ) ′( )

( 1)

para algún valor 1 entre y .

Sabemos por la EDO que ′( ) ( ) reemplazando esto en la expresión que

obtuvimos de la formula de Taylor

( ) ( )

( 1)

Asimismo tenemos que:

Page 7: Metodo de Euler

( 1) ( ) ( )

′′( 1) 1

′′( 1)

De esto podremos concluir que nuestro error es:

1

′′( 1) ( 1)

El error es proporcional a y siendo también ( 1) ( )

El error total de truncamiento para ir de a en pasos del método de Euler será:

( 1) ( )

( ) ( )

( )

( ( 1) ( ) ( ))

Donde K es la media de los ( ) y ( ) . Por lo tanto, el error total

de truncamiento al aplicar el método de Euler es proporcional al paso .

Conclusiones:

- Aunque el método de Euler es sencillo de aplicar este tiende a tener errores

grandes ya que los errores de truncamiento se van sumando en cada paso que se

hace.

- Para obtener resultados mas precisos se deberá tomas un h pequeño, pero cuando

h tiene a ser mas pequeño tendemos a hacer muchas operaciones por lo cual es un

método practico para un ordenador.

- Existen métodos que mejoran la estimación de la pendiente del método de Euler,

promediándola, este método se llama método de Euler mejorado o también

método de heun.

Page 8: Metodo de Euler

Diagrama de flujo del método de Euler

(F,x0,x1,y0,n)

h= (x1-x0)/n;

x(1)=x0;

y(1)=y0;

For i=1:n

x(i+1) = x(i)+h;

y(i+1) = y(i)+h*f(x(i),y(i))

x,y

Page 9: Metodo de Euler

Programacion en matlab método de Euler

function resp=euler(f,x0,x1,y0,n) h=(x1-x0)/n; xs=x0:h:x1; y1=y0; fprintf('\n''it x0 x1 y1'); for i=1:n it=i-1; x0=xs(i); x=x0; x1=xs(i+1); y=y0; y1=y0+h*eval(f); fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f%10.6f\n',it,x0,x1,y1); y0=y1; end fprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %10.6f\n',y1); resp=y1; end

Problemas Resueltos

Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

y’ = 2x -3y +1 , y(1) = 5 , y(1.2) = ¿ Paso h = 0.1

Resolucion:

i) Escribimos la ED en la forma

( ) , para extraer su segundo

miembro

ii) Definimos

iii) Planteamos las ecuaciones de Euler para obtener y desarrollamos hasta

obtener el valor buscado en x.

1 ( ) ( )

1 ( )

Page 10: Metodo de Euler

Para n=0

1 ( )

1 ( )

1 ( ( ) ( ) )( )

1 ( ( ) ( ) )( )

1

1

Seguimos:

1 1 1 ( 1 1)

( )

1 1 1

Entonces nuestro y(1.2) = 2.98

Ahora intentemos con un h = 0.05

Pero para que hacer mas practico y rápido de nuestro método nos ayudaremos de una

tabla para asi poder trabajar mas efectivamente:

n h xn yn y' x(n+1) y(n+1)

0 0.05 1 5 -12 1.05 4.4

1 0.05 1.05 4.4 -10.1 1.1 3.895

2 0.05 1.1 3.895 -8.485 1.15 3.47075

3 0.05 1.15 3.47075 -7.11225 1.2 3.1151375

4 0.05 1.2 3.1151375 -5.9454125 1.25 2.81786688

Page 11: Metodo de Euler

Ahora nuestro y(1.2)=3.1151375

Ahora intentemos con un h = 0.02

n h xn yn y' x(n+1) y(n+1)

0 0.02 1 5.000000 -12.000000 1.020000 4.760000

1 0.02 1.02 4.760000 -11.240000 1.040000 4.535200

2 0.02 1.04 4.535200 -10.525600 1.060000 4.324688

3 0.02 1.06 4.324688 -9.854064 1.080000 4.127607

4 0.02 1.08 4.127607 -9.222820 1.100000 3.943150

5 0.02 1.1 3.943150 -8.629451 1.120000 3.770561

6 0.02 1.12 3.770561 -8.071684 1.140000 3.609128

7 0.02 1.14 3.609128 -7.547383 1.160000 3.458180

8 0.02 1.16 3.458180 -7.054540 1.180000 3.317089

9 0.02 1.18 3.317089 -6.591267 1.200000 3.185264

10 0.02 1.2 3.185264 -6.155791 1.220000 3.062148

Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 2)

′ ( ) ( )

n h xn yn y' x(n+1) y(n+1)

0 0.05 0 0.000000 0.000000 0.050000 0.000000

1 0.05 0.05 0.000000 0.050000 0.100000 0.002500

2 0.05 0.1 0.002500 0.100006 0.150000 0.007500

3 0.05 0.15 0.007500 0.150056 0.200000 0.015003

4 0.05 0.2 0.015003 0.200225 0.250000 0.025014

5 0.05 0.25 0.025014 0.250626 0.300000 0.037546

6 0.05 0.3 0.037546 0.301410 0.350000 0.052616

7 0.05 0.35 0.052616 0.352768 0.400000 0.070255

8 0.05 0.4 0.070255 0.404936 0.450000 0.090501

( )

Page 12: Metodo de Euler