TESIS PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN ...Penulis menggunakan metode Euler, metode Heun, dan...

i

TESIS

PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN,

DAN METODE ITERASI VARIASIONAL DALAM

MENYELESAIKAN SISTEM TRANSMISI TUBERKULOSIS

GABARIELA PURNAMA NINGSI

NIM: 171442014

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PADA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

TESIS

PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN,

DAN METODE ITERASI VARIASIONAL DALAM

MENYELESAIKAN SISTEM TRANSMISI TUBERKULOSIS

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister

Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika

GABARIELA PURNAMA NINGSI

NIM: 171442014

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PADA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019


1

TESIS

PENERAPAI\ METODE EULER, METODE HEUIT{,I}AI{ METODE TTERASI VARL{SIONAL DALAM

N{ENI'ELE SAI KAN SISTEM TRA1YSMIS T T TBERKU LO SIS

Sudi Mungkasi, S. Si.,M.Math. Sc.,Ph.D. Tanggal 6 Maret 2019

lll

fi14*414

gwEgr ffiTnl-\ -B

7^#S?lOTelah disetujui *leh:


q

TESIS

PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUI\,I}A1\ METOT}E ITERASI VARIASIONAL DALAM

MENYELESATKAN SISTEM TRANSMISI TUBERKULOSIS

Diprsiapkan dan ditulis oleh:

Gabari ela Purnama Ningsi171442014

Telah dipertahankan di depn Panitia Penguji

Pada tanggal 19 Maret 2019

dan dinyatakan memenuhi syarat

L

Susunan Panitia Penguj i

Yogyakarta" 19 Maret 2019

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

iv

M.Si.

Anggota :

Anggota :

Anggota :

L S.Si., M.Math.Sc.,


v

HALAMAN MOTTO

“Learn from the mistakes in the past, try by using a different way, and always hope

for a successful future”.

(Belajarlah dari kekeliruan di masa lalu, mencoba dengan cara yang berbeda, dan

senantiasa berharap untuk sebuah kesuksesan di masa depan).

“An action is the foundation of a success”.

(Sebuah tindakan adalah dasar dari sebuah keberhasilan)


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dengan penuh rasa syukur dan terima kasih, aku persembahkan tesis ini untuk

Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan membimbingku, bapa Zakarias Latip dan mama

Vilomena Surni yang senantiasa memberikanku dukungan dan doa, adik-adikku tercinta, sahabat dan

teman-teman terkasih serta lembaga STKIP Santu Paulus Ruteng yang dengan caranya masing-masing

telah membantuku dalam menyelesaikan tesis ini.


.=

PERNYATAAN KEASLIAII KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa, tesis yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daltar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakart4 l9 Maret 2019Penulis

A0-, f,Ci\lltril

Gabariela Fumama Ningsi

vil


viii

ABSTRAK

Gabariela Purnama Ningsi, 2019. Penerapan Metode Euler, Metode Heun,

dan Metode Iterasi Variasional dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

Tuberkulosis.

Tesis.

Program Studi Pendidikan Matematika pada Program Magister, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penulis meneliti tentang sistem transmisi Tuberkulosis (TB) yang

dimodelkan dengan model epidemi SIR. Penulis menggunakan metode Euler,

metode Heun, dan metode iterasi variasional, karena ada beberapa kemudahan

yang dapat diperoleh dari penerapan ketiga metode tersebut.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh solusi pendekatan dari

sistem transmisi TB model epidemi SIR, yang merupakan persamaan diferensial

nonlinear. Solusi dari sistem persamaan diferensial ini diselesaikan dengan

menggunakan tiga metode numeris, yaitu metode Euler, metode Heun, dan

metode iterasi variasional (VIM). Metode penelitian yang digunakan dalam

menyelesaikan penelitian ini adalah metode studi pustaka. Hasil dari penelitian

menunjukkan bahwa, ketiga metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan sistem transmisi TB model epidemi SIR. Dengan membandingkan

solusi yang diperoleh, dapat ditemukan bahwa selisih antara VIM dengan metode

Euler lebih besar jika dibandingkan dengan selisih antara VIM dengan metode

Heun. Penelitian ini dapat digunakan untuk memotivasi siswa SMA dalam

mengaplikasikan materi turunan dan anti turunan dalam menyelesaikan persoalan

dunia nyata. Selain itu, konsep variasi terbatas dalam metode iterasi variasional

dapat digunakan untuk menemukan akar persamaan kuadrat.

Kata kunci: Sistem Transmisi TB, Model Epidemi SIR, Metode Euler, Metode

Heun, Metode Iterasi Variasional.


ix

ABSTRACT

Gabariela Purnama Ningsi, 2019. Euler’s Method, Heun’s Method, and

Variational Iteration Method Used to Solve the Tuberculosis Transmission

System.

Thesis.

Mathematics Education Study Program in the Masters Program, Department of

Mathematics and Natural Sciences Education, Teacher Training and

Education Faculty, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

In this thesis, the author studies about the Tuberculosis (TB) transmission

system modeled by the SIR epidemic model. The author uses the Euler’s method,

the Heun’s method and the variational iteration method (VIM), because there are

several conveniences that can be obtained from the application of the three

methods.

The goal of this research is to find the solutions of the TB transmission

model of the SIR epidemic, which is a nonlinear differential equation. The

solution of the system of differential equations is solved using three numerical

methods, namely the Euler’s method, the Heun’s method and the variational

iteration method (VIM). The research method used in completing this research is

the literature study method. The results of the study show that, these three

methods can be used to solve the SIR epidemic model TB transmission equation.

By comparing the solutions obtained, it can be found that the difference between

the variational iteration method and the Euler’s method is greater than the

difference between variational iteration method and the Heun’s method. This

research can be used to motivate high school students to apply derivative and

anti-derivative material in solving real world problems. In addition, the concept

of limited variation in variational iteration methods can be used to find the root of

the quadratic equation.

Keywords: TB Transmission Model, SIR Epidemic Model, Euler’s Method,

Heun’s Method, Variational Iteration Method.


LEMBAR PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Gabariela Purnama Ningsi

NIM :171442014

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma sebuah karya ilmiah yang bedudul:

PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN, DAN METODE

ITERASI VARIASIONAL DALAM MENYELESAIKAII SISTEM

TRANSMISI TUBERKULOSIS

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di Internet atau media lain

untuk keperluan akademis tanpa meminta izin dafi saya maupun memberikan

royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 19 Maret 2019

Yang menyatakan

4?,''rGabariela Purnama Ningsi

x


xi

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam International

Conference of Science and Technology for Internet of Things. Konferensi ini

diselenggarakan oleh Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa di Hotel Phoenix

Yogyakarta pada tanggal 20 Oktober 2018.


xii

KATA PENGANTAR

Syukur dan pujian penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas

segala rahmat, bimbingan dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan tesis ini meskipun masih jauh dari kesempurnaan. Tesis ini ditulis

untuk memenuhi salah satu persyaratan memperoleh gelar Magister Pendidikan

Matematika pada Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister,

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam menyelesaikan tesis ini, penulis mendapat banyak bantuan dari

berbagai pihak yang mendukung, oleh karena itu ijinkan penulis untuk

menyampaikan terima kasih kepada:

1. Orang tua tercinta bapak Zakarias Latip dan ibu Vilomena Surni, adik-adik

terkasih Apolinaris Valindo Lestari, Yosep Vantura Monte Carlo, dan

Theresiana Muliati Ningsi yang selalu mendoakan dan memberikan dukungan

yang luar biasa kepada penulis.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

tesis yang dengan rela dan sabar menyediakan waktu untuk membimbing dan

memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan, M.Si, selaku dosen penguji

yang telah memberikan banyak masukan untuk memperbaiki tesis ini.

4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku dosen penguji dan Ketua

Program Studi yang telah memberikan dukungan kepada penulis.

5. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku dekan FKIP Universitas

Sanata Dharma yang telah mengesahkan tesis ini.

6. Lembaga STKIP Santu Paulus Ruteng yang telah memberikan kesempatan

dan rela membiayai penulis untuk menempuh studi memperoleh gelar

Magister Pendidikan di Universitas Sanata Dharma.

7. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan

selama penulis menempuh kuliah, sehingga dapat menyelesaikan studi tepat

waktu.


xiii

8. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi

kampus selama penulis menyelesaikan studi di sini.

9. Semua keluargaku yang dengan caranya masing-masing telah mendukung dan

memberikan doa demi kesuksesanku.

10. Semua sahabat dan saudaraku terkasih yang selalu mendukungku, Osniman

Maure, Olive Dapa Kambu, Rio Nangku, dan semua teman seperjuangan yang

dengan caranya masing-masing telah memberikan dukungan kepada penulis

dalam menyelesaikan tesis ini.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Selamat membaca.

Penulis

Gabariela Purnama Ningsi


xiv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iv

HALAMAN MOTTO ................................................................................. v

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................... vii

ABSTRAK .................................................................................................. viii

ABSTRACT ................................................................................................ ix

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................................. x

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN .......................................... xi

KATA PENGANTAR ................................................................................ xii

DAFTAR ISI ............................................................................................... xiv

DAFTAR DIAGRAM ................................................................................. xvi

DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xvii

DAFTAR TABEL ....................................................................................... xix

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... xx

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1

A. Latar Belakang ...................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................. 3

C. Batasan Masalah.................................................................................... 3

D. Tujuan Penelitian .................................................................................. 4

E. Manfaat Penelitian ................................................................................ 4

F. Metode Penelitian.................................................................................. 5

G. Tinjauan Pustaka ................................................................................... 6

H. Sistematika Penelitian ........................................................................... 10

BAB II LANDASAN TEORI ..................................................................... 12

A. Pemodelan Matematika ......................................................................... 12

B. Tuberkulosis .......................................................................................... 13

C. Model Epidemi Susceptible-Infection-Recovery ................................... 14

D. Metode Euler ......................................................................................... 15

E. Metode Heun ......................................................................................... 17

F. Metode Iterasi Variasional .................................................................... 19

G. Persamaan Diferensial ........................................................................... 21

H. Kerangka Berpikir ................................................................................. 21


xv

BAB III ASPEK MATEMATIS PADA SISTEM TRANSMISI

TUBERKULOSIS ....................................................................................... 22

A. Model Epidemi Susceptible-Infection-Recovery pada Tuberkulosis .... 22

B. Penyelesaian Model 𝑆𝐼𝑅 pada TB dengan Metode Euler ..................... 26

1. Simulasi I ........................................................................................ 27

2. Simulasi II ....................................................................................... 29

3. Simulasi III ...................................................................................... 30

4. Simulasi IV ..................................................................................... 32

C. Penyelesaian Model 𝑆𝐼𝑅 pada TB dengan Metode Heun ..................... 33

1. Simulasi I ........................................................................................ 34

2. Simulasi II ....................................................................................... 36

3. Simulasi III ...................................................................................... 37

4. Simulasi IV ..................................................................................... 39

D. Penyelesaian Model 𝑆𝐼𝑅 pada TB dengan Metode Iterasi Variasional 41

1. Simulasi I ........................................................................................ 44

2. Simulasi II ....................................................................................... 47

3. Simulasi III ...................................................................................... 49

4. Simulasi IV ..................................................................................... 52

E. Analisis Hasil Simulasi ......................................................................... 54

1. Simulasi I ........................................................................................ 55

2. Simulasi II ....................................................................................... 56

3. Simulasi III ...................................................................................... 58

4. Simulasi IV ..................................................................................... 59

BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ................................................................ 62

A. Pembelajaran di Sekolah Menengah ..................................................... 62

B. Refleksi ................................................................................................. 67

BAB V PENUTUP ...................................................................................... 72

A. KESIMPULAN ..................................................................................... 72

B. SARAN ................................................................................................. 72

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 73

LAMPIRAN ................................................................................................ 76


xvi

DAFTAR DIAGRAM

Diagram 1. Model epidemi SIR .................................................................. 7

Diagram 2. Metode Euler ............................................................................ 8

Diagram 3. Metode Heun ............................................................................ 8

Diagram 4. Metode Iterasi Variasional ....................................................... 9


xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Pemodelam Matematika Menurut Lovvet .............................. 12

Gambar 3.1. Diagram populasi manusia model SIR (Side dan Sanusi,

2016: 11) ..................................................................................... 22

Gambar 3.2. Skema Populasi Manusia untuk Penularan TB Model SIR

(Side dan Sanusi, 2016: 11) ........................................................ 23

Gambar 3.3 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model

epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi I) ............... 28


epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi II) ............. 30


epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi III) ............ 31


epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi IV) ............ 33


epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi I) ...... 35


epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi II) ..... 37


epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi III) ... 39


epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi IV) ... 40

Gambar 3.11 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam

laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi I) .......................... 48


laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi II)......................... 49


laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi III) ....................... 51


laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi IV) ....................... 54

3.15.a Grafik pendekatan solusi nilai 𝑥(𝑡) untuk sistem laju transmisi

TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 55

3.15.b Grafik pendekatan solusi nilai 𝑦(𝑡) untuk sistem laju transmisi


3.15.c Grafik pendekatan solusi nilai 𝑧(𝑡) untuk sistem laju transmisi











xviii












xix

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi TB

Epidemi SIR (Side, 2015) ........................................................ 24

Tabel 3.2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi TB (Side,

2015:138) ................................................................................. 27

Tabel L.5.1 Data Hasil Perhitungan Nilai 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), dan 𝑧(𝑡) untuk

Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler

pada Simulasi I ........................................................................ 96



pada Simulasi II ....................................................................... 97



pada Simulasi III ...................................................................... 98



pada Simulasi IV...................................................................... 99


Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun

pada Simulasi I ........................................................................ 100



pada Simulasi II ....................................................................... 101



pada Simulasi III ...................................................................... 102



pada Simulasi IV...................................................................... 103


Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Iterasi

Variasional pada Simulasi I ..................................................... 104



Variasional pada Simulasi II .................................................... 105



Variasional pada Simulasi III .................................................. 106



Variasional pada Simulasi IV .................................................. 107


xx

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran I Program MATLAB untuk Metode Euler ................................. 72

Lampiran II Program MATLAB untuk Metode Heun ................................ 76

Lampiran III Program MATLAB untuk VIM ............................................. 80

Lampiran IV Program MATLAB untuk Analisis Hasil Simulasi ............... 84

Lampiran V Data Hasil Perhitungan Metode Euler .................................... 96

Lampiran VI Data Hasil Perhitungan Metode Heun ................................... 100

Lampiran VII Data Hasil Perhitungan Metode Iterasi Variasional ............. 104

Lampiran VIII Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ........................ 108

Lampiran IX Materi Pembelajaran.............................................................. 111

Lampiran X Lembar Kerja Siswa ............................................................... 117


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali ditemukan berbagai masalah yang

menuntut untuk segera diselesaikan. Salah satu masalah yang muncul adalah

tentang transmisi penyakit menular baik penyakit fatal maupun penyakit tidak

fatal yang menghambat aktivitas sehari-hari. Banerjee (2015: 48) mengatakan

bahwa penyakit menular biasanya disebabkan oleh mikroorganisme patogen,

seperti virus, bakteri, jamur dan parasit. Transmisi penyakit ini dapat terjadi kapan

saja dan di mana saja. Sering kali transmisi penyakit menular terjadi ketika kita

bersentuhan dengan orang lain serta ketika berpindah tempat tinggal. Selain itu

peyebaran juga terjadi melalui air dan udara. Penyakit-penyakit ini adalah salah

satu penyebab utama kematian di seluruh dunia. Terlepas dari semua kemajuan

dalam obat-obatan, wabah penyakit menular masih menjadi ancaman yang

signifikan bagi kesehatan masyarakat dan ekonomi.

Pemodelan matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang dapat

digunakan untuk menganalisis transmisi dan pengendalian terhadap penyakit

menular tersebut. Untuk merumuskan model matematika, dapat dilakukan dengan

mengklarifikasi beberapa asumsi, variabel dan parameter yang relevan terhadap

transmisi penyakit yang dianalisis. Model matematika dan simulasi komputer

dapat dijadikan sebagai alat untuk bereksperimen yang mana keduanya dapat

digunakan untuk mengkaji dugaan secara kuantitatif laju transmisi penyakit,

menentukan kepekaan terhadap perubahan nilai parameter yang digunakan dan

memperkirakan parameter kunci dari data yang diberikan. Selain itu, model

matematika dan simulasi komputer ini dapat membantu memahami karakteristik

dari transmisi penyakit menular di suatu komunitas, wilayah, dan negara sehingga

dapat mengarah pada pendekatan yang lebih baik untuk mengurangi transmisi

penyakit ini. Model matematika digunakan dalam membandingkan,

merencanakan, mengimplementasikan, mengevaluasi, dan mengoptimalkan

berbagai program deteksi, pencegahan, terapi, dan kontrol (Hethcote, 2000: 600).


2

Tuberkulosis (TB) merupakan salah satu penyakit menular yang sangat

berbahaya. Organisasi Kesehatan Dunia (WHO) pada tahun 2009 (Side,

2015:137) menyatakan bahwa, kira-kira ada 9 juta pasien TB baru dan 3 juta

kematian akibat TB di seluruh dunia. Selanjutnya, 95% dari kasus TB dan 98%

kematian akibat TB di seluruh dunia terjadi di negara-negara berkembang. Lima

dari 22 negara dengan kasus TB tertinggi berada di Asia Tenggara, di mana 35%

dari semua kasus TB di dunia berasal dari wilayah ini. Dengan kondisi ini, WHO

menyatakan TB sebagai keadaan darurat global sejak tahun 1993.

Wallis (2016:1) mengatakan bahwa respon terhadap pengobatan TB juga

samahalnya sebagai suatu variabel, karena kambuhnya penyakit aktif pada

beberapa pasien seolah-olah muncul kemudian sembuh pada akhir pengobatan.

Lebih lanjut dikatakan bahwa, saat ini tidak ada cara langsung untuk

mengidentifikasi penyebab terberantasnya bakteri Mycobacterium Tuberulosis

(MTb) dalam diri seorang pasien. Apakah dengan respon imun bakterisida atau

sterilisasi kemoterapi antimikroba. Hal inilah yang menghambat penelitian dasar

untuk pengembangan obat TB serta Penundaan pemberian vaksin TB. Model

matematika dapat dimanfaatkan dalam menyikapi masalah ini. Dalam

penerapannya, model matematika dapat digunakan untuk mengukur atau

memprediksi, menganalisis transmisi dan pengendalian terhadap TB tersebut yang

tidak dapat diamati secara langsung. Model matematika yang dapat digunakan

antara lain model epidemi SEIR, SIR, SI, dll. Dalam penelitian ini, model

matematis yang akan digunakan adalah model epidemik SIR. Penulis memilih

model SIR dikarenakan tiga hal berikut: pertama, pengalaman dan waktu

penelitian yang dimiliki oleh penulis terbatas; kedua, model ini merupakan

sebuah model epidemik yang tidak mudah dan juga tidak sulit untuk di selesaikan;

ketiga, model SIR sudah banyak diterima oleh para penulis dan peneliti

sebelumnya, dikatakan demikian karena model SIR sudah sering digunakan oleh

para peneliti sebelumnya untuk memodelkan system transmisi penyakit menular

(Kasbawati, 2011; McCluskey, 2010; Meng dan Chen, 2008).


3

Penyelesaikan dari model laju transmisi TB dengan menggunakan model

epidemi SIR ini dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai macam metode

atau pendekatan. Ada tiga metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu

metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional. Metode Euler dan

metode Heun merupakan metode yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial

yang memiliki nilai awal. Solusi tersebut merupakan solusi pendekatan atau solusi

numeris. Metode iterasi variasional adalah metode yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial linear dan nonlinear yang akan

memperkirakan solusi dengan cepat dan akurat (Shakeri dan Dehghan, 2007:

1199).

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya,

maka masalah yang dirumuskan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana modifikasi model SIR pada laju transmisi TB yang dibuat oleh

Side pada tahun 2015?

2. Bagaimana menyelesaikan model matematika epidemi SIR pada laju transmisi

TB dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi

variasional?

3. Bagaimana rancangan rencana pembelajaran matematika di Sekolah

Menengah Atas yang sesuai dengan konsep metode numeris?

C. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, masalah yang dibahas adalah masalah tentang

penyelesaian sistem transmisi TB model SIR yang diselesaikan dengan

menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional. Selain

itu, dibahas juga tentang keterkaitan topik tulisan dengan penerapannya dalam

materi yang telah dan/atau akan dipelajari oleh siswa Sekolah Menengah Atas.


4

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dibuat, maka tujuan penelitian

ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui hasil modifikasi model SIR pada sistem transmisi TB yang

dibuat Side pada tahun 2015.

2. Untuk mengetahui solusi dari model matematika sistem transmisi TB model

epidemi SIR dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode

iterasi variasional.

3. Untuk mengetahui rancangan rencana pembelajaran di Sekolah Menengah

Atas yang seusai dengan konsep metode numeris.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah:

1. Mengetahui rumusan model matematika dari masalah dunia nyata khususnya

masalah tentang transmisi TB yang dimodelkan dengan menggunakan model

epidemi SIR.

2. Mengetahui hal yang akan terjadi pada ketiga populasi manusia yaitu S

(Susceptible), I (Infection), dan R (Recovered), jika populasi manusia yang

belum terinfeksi TB selalu berinteraksi dengan populasi manusia yang telah

terinfeksi TB.

3. Mengetahui beberapa metode numeris yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial seperti model matematika epidemi SIR

pada transmisi TB.

4. Dapat memberikan informasi kepada peneliti selanjutnya untuk

menyelesaikan kasus yang lebih kompleks dengan menggunakan model

epidemi SIR, metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional.

5. Dapat memberikan pengetahuan dan contoh nyata dari penerapan pemodelan

matematika serta persamaan diferensial dalam kehidupan dan bidang kajian

lain kepada para pembaca.


5

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur.

Di sini penulis mengkaji semua literatur yang terkait materi penelitian, baik yang

diambil dari buku ataupun jurnal. Dalam penelitian ini, peneliti belajar secara

mendalam tentang model epidemi SIR yang digunakan untuk merumuskan model

laju transmisi TB. Persamaan diferensial yang dihasilkan dalam proses pemodelan

diselesaikan dengan menggunakan tiga buah metode numeris yaitu metode Euler,

metode Heun, dan metode iterasi variasional.

Dalam mencari solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan

metode Euler dan metode Heun, peneliti menggunakan simulasi komputer dengan

MATLAB. Peneliti menggunakan simulasi komputer dengan program Maple dan

MATLAB untuk menemukan solusi dari persamaan diferensial dengan

menggunakan metode iterasi variasional. Program MATLAB dan Maple ini dapat

membantu dalam perhitungan yang rumit serta menggambar grafik.

Dalam menyelesaikan penelitian ini dilakukan beberapa langkah kerja.

Langkah pertama adalah melakukan kajian terhadap literatur baik buku, jurnal,

artikel, atau makalah yang berkaitan dengan topik penelitian yang diselesaikan.

Langkah kedua adalah mempelajari secara mendalam tentang pembuatan model

matematika laju transmisi TB dengan menggunakan model epidemi SIR yang

dilakukan oleh Side (2015). Langkah ketiga adalah menyelesaikan atau mencari

solusi dari model matematika dengan menggunakan ketiga metode yang sudah

dipilih yaitu metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional. Langkah

keempat adalah menjelaskan tentang hasil prilaku solusi dalam bentuk grafik

solusi yang diperoleh dengan menggunakan MATLAB dan Maple. Langkah

kelima adalah menentukan salah satu topik atau konsep dalam pembelajaran SMA

yang dapat membelajarkan konsep model epidemi SIR atau ketiga buah metode

numeris yang telah dipilih. Dalam langkah kelima ini, peneliti memilih topik

menemukan akar persamaan kuadrat dengan menggunakan konsep variasi

terbatas.


6

G. Tinjauan Pustaka

Masalah tentang laju transmisi penyakit menular dengan model epidemi

SIR, serta penerapan metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional

dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear dan nonlinear telah banyak

dibahas dalam berbagai buku dan jurnal yang telah dipublikasikan. Dalam

menyelesaikan penelitian ini, penulis menggunakan beberapa buku dan artikel

yang dijadikan sebagai acuan. Buku dan artikel tersebut membahas tentang model

SIR serta penerapan metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional

dalam menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear. Adapun beberapa tinjauan

pustaka yang digunakan oleh peneliti dapat dilihat pada diagram 1 sampai

diagram 4. Selain tinjauan pustaka, diagram 1 sampai diagram 4 juga

memperlihatkan tentang kebaruan penelitian penulis.

Pada diagram 1 mengilustrasikan tentang model transmisi penyakit

menular yaitu model epidemi SIR. Model SIR dikemukakan oleh Kermack-

McKendrick dan telah banyak digunakan oleh para peneliti sebelumnya seperti

Side (2015), Yoshida dan Hara (2007), He, Gao, dan Xie (2013), dll. Dalam

penelitian ini, penulis akan menyelesaikan sistem transmisi TB model epidemi

SIR yang telah dimodelkan oleh Side (2015), dengan menggunakan tiga metode

numeris yaitu metode Euler, Heun, dan Iterasi Variasional.

Diagram 2 sampai diagram 4 di atas memaparkan tentang metode Euler,

metode Heun dan metode iterasi variasional, serta penelitian-penelitian

sebelumnya yang berkaitan dengan ketiga metode tersebut. Adapun acuan utama

yang digunakan penulis untuk menyelesaikan penelitian ini adalah jurnal yang

ditulis oleh Side (2015), Rangkuti, et al. (2014), dan buku yang ditulis oleh

Griffiths dan Higham (2010). Dalam penelitiannya, Side merumuskan model

matematika dari penyebaran TB dengan menggunakan model SIR. Model inilah

yang diselesaikan oleh peneliti dengan menerapkan tiga metode numeris yang

telah dipaparkan. Dalam artikel Rangkuti, dkk., dijelaskan tentang penyelesaian

model SIR dari sistem transmisi penyakit demam berdarah dengan menggunakan

dua metode yaitu perturbasi homotopy dan iterasi variasional. Sedangkan buku


7

yang ditulis oleh Griffiths and Higham menjelaskan beberapa metode numeris

yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa,

termasuk metode Euler dan metode Heun. Kebaruan yang ada dalam penelitian

penulis ini adalah implementasi dari tiga buah metode numeris yaitu metode

Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional dalam menyelesaikan sistem

transmisi TB model epidemi SIR.

Susceptible-

Infected-

Recovered

(SIR)

“Mathematical Models in Population

Biology and Epidemiology”

Penulis: Brauer and Chavez (2012)

“Global Stability of a Delayed SIR Epidemic

Model with Density Dependent Birth and

Death Rates”

oleh: Yoshida and Hara (2007)

Penemu Model:

Kermack-McKendrick

“Study of Simple SIR Epidemic Model”

oleh Porwal, et.al. (2015)

“A Susceptible-Infected-Recovered Model

and Simulation for Transmission of

Tuberculosis”

oleh Side (2015)

Beberapa

Penelitia

n Terkait

“An SIR Epidemic Model with Time-Varying

Pulse Control Schemes and Saturated

Infectious Force”

oleh: He, Gao, and Xie (2013)

Penelitian

Penulis:

“Euler’s Method, Heun’s Method and

Variational Iteration Method Used to

Solve a SIR Epidemic Model of

Tuberculosis”

oleh Ningsi and Mungkasi (2019)

Diagram 1. Model epidemi SIR


8

Metode

Euler

Penemu Metode:

Leonhard Euler

“Numerical Methods for Ordinary

Differential Equations”

Penulis: Butcher (2008)

“Euler’s Method Used to Solve a SIR

Epidemic Model of Tuberculosis”




Penulis: Griffiths and Higham (2010)

Beberapa

Penelitian

Terkait

Penelitian

Penulis

“An Introduction to Difference

Equations”

Penulis: Elaydi (2005)

Metode

Heun

Penemu Metode:

Karl Heun



Penulis: Butcher (2008)

“Heun’s Method Used to Solve a

SIR Epidemic Model of

Tuberculosis”


“Application of Modified Euler’s

Method in Obtaining Numerical

Solution of Swing Equation”

oleh: Agrawal (2016)

Beberapa

Penelitian

Terkait

Penelitian

Penulis

“Improving the Efficiency of

Heun’s Method”

oleh: Chandio and Memon (2010)

Diagram 2. Metode Euler

Diagram 3. Metode Heun


9

Metode

Iterasi

Variasional

“A Study on the Convergence of Variational

Iteration Method”

oleh Odibat (2010)

“Numerical Analytic Solution of SIR Model

of Dengue Fever Disease in South Sulawesi

using Homotopy Perturbation Method and

Variational Iteration Method”

oleh Rangkuti, et al. (2014)

“Variational Iteration Method Used to Solve

the One-Dimensional Acoustic Equations”

oleh Setianingrum dan Mungkasi (2017)

“Variational Iteration Method for Solving the

Population Dynamics Model of Two Species”

oleh Yuliyanto dan Mungkasi (2017)

Penemu

Metode:

Ji-Huan He

Beberapa

Penelitian

Terkait

Penelitian

Penulis

“Variational Iteration Method – a Kind of Non-

Linear Analytical Technique: Some Examples”

oleh: Ji-Huan He (1999)

“Revised Variational Iteration Method for

Solving Systems of Ordinary Differential

Equations”

oleh Salehpoor, et, al. (2010)

“Variational Iteration Method Used to Solve

a SIR Epidemic Model of Tuberculosis”


Diagram 4. Metode Iterasi Variasional


10

H. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan yang dibuat adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab I ini, dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah,

batasan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Metode Penelitan,

Tinjauan Pustaka, dan Sistematika Penulisan. Masalah yang dijelaskan dalam bab

ini dimulai dengan masalah yang muncul dalam kehidupan sehari-hari yang salah

satunya adalah masalah tentang transmisi penyakit menular khususnya transmisi

TB. Laju transmisi TB ini dapat dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang

terdapat dalam bidang ilmu matematika, sehingga orang yang berkewajiban

menangani penyakit ini dapat membandingkan, merencanakan,

mengimplementasikan, mengevaluasi, dan mengoptimalkan berbagai program

deteksi, pencegahan, terapi, dan kontrol terhadap TB. Solusi dari persamaan

tersebut dicari dengan menggunakan tiga buah metode numeris yaitu metode

Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab II, dijelaskan tentang teori-teori yang berkaitan dengan topik

penelitian. Adapun teori-teori yang di maksud adalah teori tentang pemodelan

matematika, TB, model epidemi SIR, metode Euler, metode Heun, dan metode

iterasi variasional. Serta dibahas tentang kerangka berpikir dalam menyelesaikan

penelitian ini.

BAB III ASPEK MATEMATIS PADA SISTEM TRANSMISI

TUBERKULOSIS

Dalam bab III ini, dijelaskan tentang alur membuat model matematika

epidemi SIR untuk laju transmisi TB, paparan hasil penyelesaian dan pembahasan

model Susceptible-Infection-Recovery pada laju transmisi TB dengan metode

Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional, serta selanjutnya menganalisis

hasil pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia yang telah dibentuk. Hal


11

yang dibahas dalam bab 3 ini mengacu pada rumusan masalah yang terdapat pada

bab 1.

BAB IV ASPEK KEPENDIDIKAN

Bab IV membahas tentang sebuah rancangan pembelajaran matematika

materi menemukan akar persamaan kuadrat. Dalam materi persamaan kuadrat,

diambil salah satu konsep utama metode iterasi variasional yaitu konsep variasi

terbatas, serta menerapkannya untuk menemukan akar sebuah persamaan kuadrat.

Dalam rancangan pembelajaran yang dibuat, diberikan beberapa masalah untuk

diselesaikan kepada siswa. Selain itu, dalam bab ini peneliti juga menyajikan

sebuah tulisan refleksi terkait pengalaman peneliti dalam menyelesaikan tesis ini.

BAB V PENUTUP

Dalam bab V ini, dijelaskan tentang kesimpulan dari semua hal yang telah

dibahas dalam bab sebelumnya. Peneliti juga menambah beberapa saran yang

berkaitan dengan hal yang dibahas dalam tesis ini.


12

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika merupakan sebuah cara atau proses

menyederhanakan sebuah persoalan dalam dunia nyata yang sangat kompleks, dan

tidak serta-merta dapat diselesaikan, ke dalam bentuk matematis. Model

matematika dari sebuah masalah tersebut dapat berupa persamaan,

pertidaksamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, lambang atau simbol

matematis. Lovvet (Putranto, 2017: 10) mengatakan bahwa suatu pemodelan

matematika ditandai dengan dua ciri khusus, yaitu:

1. Pemodelan diawali dan diakhiri dengan dunia nyata,

2. Pemodelan akan membentuk sebuah siklus.

Dalam prosesnya, pemodelan akan memiliki beberapa tahap yang akan saling

berhubungan satu dengan yang lain. Siklus dalam pemodelan akan selalu

mengalami perbaikan apabila ada temuan baru terkait asumsi yang digunakan

dalam membuat suatu model matematika.

Gambar 2.1. Pemodelam Matematika Menurut Lovvet

Dunia Nyata Model

Matematika

Perumusan

Perbaikan

Interpretasi


13

Haberman (1977: 3) mengatakan bahwa mengaplikasikan matematika

dalam permasalahan dunia nyata dapat dilakukan dengan 3 langkah, yaitu:

1. Rumusan masalah, membuat perkiraan dan asumsi berdasarkan percobaan

atau pengamatan, melihat hal-hal yang perlu dikembangkan, disederhanakan,

dan memahami model matematika dari masalah tersebut;

2. Pemecahan masalah harus realistis (termasuk perhitungan yang relevan);

3. Interpretasi hasil matematis dalam konteks masalah non matematika.

Lebih lanjut dijelaskan bahwa, dalam proses membuat model matematika tidak

semua masalah dikaji, tetapi kita dapat mengkaji hanya beberapa masalah saja

dengan mempertimbangkan efek dan objek tertentu, serta melihat pengaruh mana

yang memberikan efek yang penting dan tidak penting yang mempengaruhi

masalah tersebut.

B. Tuberkulosis

Tuberkulosis (Betancourt, et al., 2017: 1), yang disingkat TB, merupakan

sebuah penyakit menular yang dapat disembuhkan dan biasanya kronis.

Tuberkulosis muncul karena terjadi penularan bakteri pada manusia dan hewan

yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis (Mtb) (Adebiyi, 2016:

1; Taufik, et al., 2015: 192). TB tidak hanya menyerang organ paru-paru dalam

tubuh tetapi dapat juga menyerang organ lain seperti otak, ginjal, usus, tulang dan

kulit (Rohaeti, et. al., 2015: 2560). Penyakit ini ditandai dengan terbentuknya

tuberkel pada paru-paru dan jaringan tubuh lainnya, yang seringkali berkembang

lama setelah infeksi awal. Penularan Mtb ini terjadi melalui udara/angin (Side,

2015:137). Hal ini terjadi ketika pasien yang menderita TB mengalami batuk,

bersin, atau berbicara, maka secara tidak sengaja melepaskan bakteri yang

terdapat pada air liur yang jatuh ke tanah. Jika tetesan terkena sinar matahari atau

suhu panas, nukleusnya menguap. Uapan tetesan air liur ini masuk ke saluran

pernafasan melalui udara yang dihirup. Orang yang menghirup tersebut,

berpotensi untuk tertular bakteri Mtb yang akhirnya menderita TB.


14

Seorang penderita TB yang belum menunjukkan gejala terinfeksi, namun

bakteri Mtb telah berada di tubuh pasien dan belum aktif, disebut pasien TB laten.

Ini disebabkan oleh adanya kekebalan (body protector) yang bisa menghentikan

perkembangan bakteri. Pasien TB laten dapat berkembang menjadi TB aktif jika

terjadi kontak langsung dengan pasien TB aktif. Hal ini terjadi karena bakteri pada

pasien TB laten meningkat secara signifikan yang disebabkan oleh kontak

langsung tersebut (Egbetade, et al., 2013: 41).

C. Model Epidemi Susceptible-Infection-Recovery

Model SIR pertama kali dikemukakan oleh Kermack-McKendrick pada

tahun 1927 (Porwal, et al., 2015: 1). Model SIR kadang dikenal sebagai Model

Kompartemen, Model Generalized atau Model Kermack-McKendrick

(Bubniakov´a, 2007: 24). Dalam model ini dikatakan bahwa, populasi yang diteliti

dikelompokkan dalam tiga kelompok yang diberi label 𝑆, 𝐼, dan 𝑅. Di sini, 𝑆(𝑡)

merupakan kelompok individu yang rentan (Susceptibles) terhadap penyakit yaitu

orang yang belum terinfeksi dalam waktu 𝑡; 𝐼(𝑡) merupakan kelompok individu

yang terinfeksi (Infectives) dalam waktu 𝑡, kelompok terinfeksi ini mampu

menularkan penyakit kepada kelompok rentan (Susceptible) jika terjadi kontak

langsung; 𝑅(𝑡) (Recovered atau Removed) merupakan kelompok individu yang

sudah pernah terinfeksi dan sembuh dari penyakit tersebut, serta tidak akan

terinfeksi lagi (sembuh permanen) (Allman dan Rhodes, 2004: 282; Murray,

2002:320).

Model SIR yang dikemukakan oleh Kermack-McKendrick adalah sebagai

berikut (Brauer dan Chavez, 2012: 351):

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛽𝑆𝐼

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽𝑆𝐼 − 𝛼𝐼

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛼𝐼

(2.1)


15

dengan,

𝛽 adalah parameter yang mengukur jumlah rata-rata kontak yang efektif per

satuan waktu per individu infeksi (kontak yang efektif adalah infeksi yang

ditularkan dari individu yang infeksi ke individu yang rentan).

𝛼 adalah parameter tingkat pemulihan individu dari kelompok terinfeksi ke

kelompok sembuh secara permanen.

D. Metode Euler

Euler memperkenalkan metode ini dalam tiga jilid karyanya Institutiones

Calculi Integralis pada tahun 1768-1770 (Butcher, 2008: 51). Metode Euler

merupakan salah satu metode numeris tertua yang dapat menyelesaikan

persamaan diferensial dengan waktu diskrit (Elaydi, 2005: 20). Diberikan

persamaan diferensial biasa seperti berikut (Griffiths & Higham, 2010: 19):

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥′(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑡), 𝑡 > 𝑡0

(2.2)

𝑥(𝑡0) = 𝑥0

Penerapan metode Euler dalam menyelesaikan persamaan (2.2) di atas, dimulai

dengan menerapkan deret Taylor berikut:

𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ𝑥′(𝑡) +1

2!ℎ2𝑥′′(𝑡) + ⋯ (2.3)

Jika 𝑅1(𝑡) =1

2!ℎ2𝑥′′(ℓ) dengan ℓ𝜖(𝑡, 𝑡 + ℎ), maka persamaan (2.3) di atas dapat

ditulis sebagai berikut:

𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ𝑥′(𝑡) + 𝑅1(𝑡) (2.4)

Jika terdapat sebuah bilangan positif 𝑀 sedemikian sehingga |𝑥′′(𝑡)| ≤

𝑀, ∀ 𝑡𝜖(𝑡0, 𝑡𝑓), maka akan diperoleh:

|𝑅1(𝑡)| ≤1

2𝑀ℎ2, 𝑅1(𝑡) = Ο(ℎ2)


16

Selanjutnya, jika persaaan (2.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.4), maka

kita akan memperoleh persamaan (2.5) berikut:

𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ𝑓(𝑥(𝑡), 𝑡) + 𝑅1(𝑡) (2.5)

dengan, 𝑅1(𝑡) adalah kesalahan pemotongan lokal. Nilai 𝑅1(𝑡) cukup kecil karena

pengambilan nilai ℎ yang cukup kecil. Ketika nilai 𝑡 = 𝑡𝑖 dengan 𝑡𝑖 = 𝑡0 + 𝑖ℎ,

𝑖 = 1: 𝐼 dan 𝐼 = (𝑡𝑓 − 𝑡0)/ℎ adalah jumlah langkah ℎ yang tidak lebih dari 𝑡 = 𝑡𝑓.

Dengan 𝑡 = 𝑡𝑖 untuk 𝑖 < 𝐼 dalam persamaan (2.5) kita akan memperoleh:

𝑥(𝑡𝑖+1) = 𝑥(𝑡𝑖) + ℎ𝑓(𝑥(𝑡𝑖), 𝑡𝑖) + 𝑅1(𝑡𝑖), 𝑖 = 0: 𝐼 − 1 (2.6)

dengan kondisi awal 𝑥(𝑡0) = 𝑥0.

Karena nilai 𝑅1(𝑡) = Ο(ℎ2) cukup kecil (dengan pengambilan ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 yang

cukup kecil), sehingga ketika diabaikan kita akan memperoleh metode Euler

sebagai berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖, 𝑡𝑖), 𝑖 = 0,1,2,3, …. (2.7)

Berdasarkan persamaan (2.7), jika diberikan sistem persamaan diferensial dengan

tiga buah variabel tak bebas seperti berikut:

𝑥′(𝑡) = 𝑝(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)

𝑦′(𝑡) = 𝑞(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)

𝑧′(𝑡) = 𝑟(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)

𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, 𝑧(𝑡0) = 𝑧0

maka dengan menerapakan metode Euler untuk sistem persamaan tersebut akan

diperoleh:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ𝑝(𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) (2.8)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑞(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖 , 𝑡𝑖) (2.9)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 + ℎ𝑟(𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) (2.10)

dengan,

ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖, 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, 𝑧(𝑡0) = 𝑧0


17

E. Metode Heun

Metode Heun merupakan salah satu metode numeris yang digunakan

untuk menyelesaikan masalah dalam dunia matematika yang memiliki masalah

nilai awal seperti pada persamaan diferensial. Metode heun ini biasa dikenal

sebagai perbaikan metode Euler. Metode ini merupakan hasil generalisasi metode

Euler oleh Heun pada tahun 1900 (Butcher, 2008: 93). Pada metode Heun, solusi

perkiraan awal diambil dari solusi yang diperoleh dari metode Euler dan biasa

disebut predictor. Kemudian, predictor ini diperbaiki dengan menggunakan

metode Heun dan disebut sebagai corrector. Diberikan persamaan diferensial orde

satu yang mempunyai syarat awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0,

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡) (2.11)

Jika persamaan (2.11) diintegralkan kedua ruasnya dengan batasan dari 𝑡𝑖 sampai

𝑡𝑖+1 dan ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖, maka diperoleh:

∫ 𝑦′(𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡

𝑦(𝑡) |𝑡𝑖+1

𝑡𝑖= ∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡

𝑦(𝑡𝑖+1) − 𝑦(𝑡𝑖) = ∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 = ∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡 (2.12)

Selanjutnya, ∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)𝑡𝑖+1

𝑡𝑖𝑑𝑡 dapat dicari dengan menggunakan kaidah

trapesium, sehingga diperoleh:


18

∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡 =[𝑓(𝑦𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓(𝑦𝑖+1, 𝑡𝑖+1)]

2(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖)

atau

∫ 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑡)

𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

𝑑𝑡 =ℎ

2[𝑓(𝑦𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓(𝑦𝑖+1, 𝑡𝑖+1)] (2.13)

Selanjutnya, persamaan (2.13) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.12)

sehingga diperoleh:

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +ℎ

2[𝑓(𝑦𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓(𝑦𝑖+1, 𝑡𝑖+1)] (2.14)

Persamaan (2.14) disebut sebagai persamaan metode Heun, dengan: 𝑦𝑖+1 adalah

hampiran sekarang dan 𝑦𝑖 adalah hampiran sebelumnya, dengan 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑛.

Nilai 𝑦𝑖+1 merupakan solusi perkiraan awal (predictor) metode Heun yang

diperoleh dengan menggunakan metode Euler. Sehingga persamaan Heun dapat

ditulis sebagai berikut:

Predictor:

𝑦𝑖+1(0)

= 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑦𝑖, 𝑡𝑖) (2.15)

Corrector:


2[𝑓(𝑦𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓(𝑦𝑖+1

(0), 𝑡𝑖+1)] (2.16)

Berdasarkan penjabaran metode Heun di atas, maka jika diberikan sebuah

sistem persamaan diferensial orde satu dengan tiga variabel tidak bebas:

𝑥′(𝑡) = 𝑝(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)

𝑦′(𝑡) = 𝑞(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)

𝑧′(𝑡) = 𝑟(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)

𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, 𝑧(𝑡0) = 𝑧0

(2.17)


19

Dengan, ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 maka persamaan metode Heun untuk sistem persamaan

tersebut adalah:

Predictor:

𝑥𝑖+1(0)

= 𝑥𝑖 + ℎ𝑝(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) (2.18)

𝑦𝑖+1(0)

= 𝑦𝑖 + ℎ𝑞(𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) (2.19)

𝑧𝑖+1(0)

= 𝑧𝑖 + ℎ𝑟(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖, 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) (2.20)

Corrector

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 +ℎ

2[𝑝(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖, 𝑧𝑖 , 𝑡𝑖) + 𝑝(𝑥𝑖+1

(0), 𝑦𝑖+1

(0), 𝑧𝑖+1

(0), 𝑡𝑖+1)] (2.21)


2[𝑞(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑞(𝑥𝑖+1

(0), 𝑦𝑖+1

(0), 𝑧𝑖+1

(0), 𝑡𝑖+1)] (2.22)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 +ℎ

2[𝑟(𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑟(𝑥𝑖+1

(0), 𝑦𝑖+1

(0), 𝑧𝑖+1

(0), 𝑡𝑖+1)] (2.23)

Dengan, 𝑖 = 0,1,2,3,4, ….

F. Metode Iterasi Variasional

Metode iterasi variasional (VIM) diperkenalkan oleh He pada tahun 1999

(Salehpoor, et al., 2010: 111). Metode iterasi variasional adalah sebuah metode

yang digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial nonlinear yang akan

memperkirakan solusi dengan cepat dan mudah jika dibandingkan dengan metode

lain seperti metode dekomposisi Adomian (Shakeri dan Dehghan, 2007: 1199; He

dan Wu, 2007: 883; He, 1999: 699).

Metode iterasi variasional merupakan hasil modifikasi dari metode pengali

Lagrange umum yang telah terbukti dapat menemukan solusi yang efektif dan

akurat dengan mudah dari persamaan diferensial nonlinear (Abbasbandy dan

Shivanian, 2009: 147; Side, 2014: 95; Mohyud-Din, et al., 2017: 191). Dalam

metode ini, persamaan awalnya tidak diketahui dan sebuah fungsi koreksi

dibentuk oleh pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi secara optimal

melalui teori variasional, serta tidak ada batasan atau asumsi yang tidak realistis

seperti linierisasi atau parameter kecil yang digunakan pada operator nonlinear

(Wu dan Lee, 2010: 2506). Metode iterasi variasional dapat dipercaya karena


20

banyaknya peneliti yang menggunakan metode ini dalam tulisan mereka, seperti

Abdou dan Soliman (2005: 245); Biazar dan Ghazvini (2007: 311), Sweilam dan

Khader (2007: 146); Tatari dan Dehghan (2007: 672).

Metode iterasi variasional memiliki 3 konsep utama yang digunakan untuk

menyelesaikan sebuah persamaan diferensial nonlinear yaitu pengali Lagrange,

fungsi koreksi dan variasi terbatas (Yuliyanto dan Mungkasi, 2017: 2). Untuk

menggambarkan prosedur dalam metode iterasi variasional ini, kita

mempertimbangkan persamaan diferensial berikut (Odibat, 2010: 1182):

𝐿𝜇𝑖(𝑡) + 𝑁𝜇𝑖(𝑡) = 𝑔𝑖(𝑡), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.24)

Dengan, 𝐿 adalah operator linear, 𝑁 adalah operator nonlinear, dan 𝑔𝑖(𝑡) adalah

bentuk persamaan diferensial nonhomogen. Menurut metode iterasi variasional,

syarat dari barisan (𝜇𝑖(𝑡)) dibuat sedemikian rupa sehingga barisan ini

menemukan solusi yang tepat dari model matematika tersebut (Salehpoor dan

Jafari, 2011: 390). 𝜇𝑖(𝑡) dihitung dengan koreksi fungsional sebagai berikut

(Setianingrum dan Mungkasi, 2017: 2):

𝜇𝑖,𝑛+1(𝑡) = 𝜇𝑖,𝑛(𝑡) + ∫ 𝜆𝑖[𝐿𝜇𝑖,𝑛(𝑠) + 𝑁𝜇𝑖,𝑛(𝑠)̃ − 𝑔𝑖(𝑡)]𝑑𝑠

𝑡

0

(2.25)

Di sini, 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 adalah pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara

optimal melalui teori variasional, indeks 𝑛 menunjukkan aproksimasi urutan ke-𝑛,

𝜇𝑖,𝑛(𝑠)̃ dianggap sebagai variasi terbatas yaitu 𝛿𝜇𝑖,𝑛(𝑠)̃ = 0. Setelah menentukan

pengali Lagrange, VIM digunakan untuk melakukan iterasi menggunakan

pendekatan awal, yang dipilih dengan solusi linear dari persamaan yang

memenuhi kondisi awal. Sehingga, dapat diperoleh solusi yang tepat dengan

menggunakan:

𝜇𝑡 = lim𝑛→∞

𝜇𝑖,𝑛(𝑡) (2.26)


21

G. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan matematika dalam

bentuk fungsi satu variabel atau lebih, yang mana persamaan tersebut akan

menghubungkan fungsi tersebut dengan turunannya dalam berbagai orde.

Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam kesuksesan disiplin ilmu

lain seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknologi (Haberman, 1977; Li dan Shuai,

2010: 1). Dalam penelitian ini, laju transmisi TB dibuat dalam bentuk tiga buah

persamaan diferensial non linear.

H. Kerangka Berpikir

Sebelumnya telah dijelaskan beberapa teori tentang pemodelan

matematika, proses transmisi TB, model epidemi SIR, metode Euler, metode

Heun, metode iterasi variasional dan persamaan diferensial. Berdasarkan hal

tersebut, maka akan dibahas cara membuat persamaan diferensial laju transmisi

TB dengan model epidemi SIR yang telah dirumuskan oleh Side (2005).

Selanjutnya persamaan diferensial yang telah dimodelkan akan diselesaikan

dengan menggunakan tiga buah metode numeris yaitu metode Euler, metode Heun

dan metode iterasi variasional, kemudian akan dibuat gambar perkiraan laju

transmisi TB tersebut dengan menggunakan program MATLAB atau Maple.


22

BAB III

ASPEK MATEMATIS PADA SISTEM TRANSMISI

TUBERKULOSIS MODEL SIR

A. Model Epidemi 𝑺𝑰𝑹 pada TB menurut Side

Model epidemik SIR untuk transmisi TB diperoleh dengan membentuk

populasi manusia menjadi tiga sub-populasi yaitu rentan (Susceptible), terinfeksi

(infected), dan dipulihkan (recovered). Setelah itu, dibuat beberapa asumsi yang

berkaitan dengan proses transmisi TB.

Menurut Side dan Sanusi (2016:11), untuk membuat model laju transmisi

TB didasarkan pada asumsi bahwa faktor yang dapat mempengaruhi laju

perubahan penularan TB terhadap waktu adalah jumlah kelahiran populasi

manusia 𝜇ℎ𝑁ℎ, jumlah manusia yang telah terinfeksi virus TB yaitu 𝛾𝛽ℎ𝐼ℎ𝑆ℎ

𝑁ℎ, serta

kematian dari populasi manusia yang bisa terinfeksi yaitu 𝜇ℎ𝑆ℎ pada waktu yang

sama. Perubahan yang terjadi pada populasi manusia dapat dilihat seperti pada

gambar berikut:

Gambar 3.1. Diagram populasi manusia model SIR (Side dan Sanusi, 2016: 11)

𝜇ℎ𝑁ℎ

𝜇ℎ

𝛽ℎ

𝛾𝛽ℎ𝐼ℎ𝑆ℎ

𝑁ℎ

𝜇ℎ

𝛿ℎ

𝜇ℎ

Suspected

Recovered

Infected I Infected II

𝜑ℎ

𝜇ℎ


23

Lebih lanjut dijelaskan bahwa laju perubahan jumlah manusia yang mudah

ditulari TB terhadap waktu diasumsikan dipengaruhi oleh faktor-faktor berikut:

pertama, 𝜇ℎ𝑁ℎ yaitu jumlah kelahiran populasi manusia; kedua, 𝛾𝛽ℎ𝐼ℎ𝑆ℎ

𝑁ℎ yaitu

jumlah manusia yang telah terinfeksi; ketiga, 𝜇ℎ𝑆ℎ yaitu kematian dari populasi

manusia yang bisa terinfeksi pada waktu yang sama. Laju perubahan jumlah

manusia terinfeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh faktor: pertama, 𝛽ℎ𝑆ℎ yaitu

jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus; kedua, 𝜇ℎ𝐼ℎ yaitu

jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi; ketiga, 𝛿ℎ𝐼ℎ yaitu jumlah

populasi manusia yang sembuh dari infeksi. Sedangkan laju perubahan jumlah

populasi manusia yang pulih terhadap waktu dipengaruhi oleh faktor: pertama,

𝛿ℎ𝐼ℎ yaitu jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi; kedua, 𝜇ℎ𝐼𝑖 yaitu

jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi; ketiga, 𝜇ℎ𝑅ℎ yaitu jumlah

kematian manusia pulih. Laju perubahan jumlah manusia rentan, terinfeksi dan

sembuh dari TB dapat diilustrasikan pada gambar berikut:

Gambar 3.2. Skema Populasi Manusia untuk Penularan TB Model SIR (Side dan

Sanusi, 2016: 11)

𝜇ℎ

𝑺𝒉 𝜇ℎ 𝜇ℎ𝑁ℎ


𝑁ℎ

𝐼𝑖

𝑅ℎ 𝜇ℎ

𝜑ℎ 𝛿ℎ

𝐼ℎ 𝜇ℎ

𝛽ℎ


24

Tabel 3.1. Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi TB Epidemi

SIR (Side, 2015)

Variabel/parameter Keterangan

𝑆ℎ Jumlah manusia yang rentan

𝐼ℎ, 𝐼𝑖 Jumlah manusia yang terinfeksi

𝑅ℎ Jumlah manusia yang sembuh

𝑁ℎ Jumlah seluruh populasi manusia

𝜇ℎ Rasio kelahiran atau kematian populasi manusia

𝛽ℎ Rasio manusia yang rentan

𝛾 Rasio manusia yang diduga akan terinfeksi I ke infeksi II

𝛿ℎ Rasio manusia yang terinfeksi I ke pupulasi sembuh

𝜑ℎ Rasio manusia yang terinfeksi II ke pupulasi sembuh

Laju perubahan jumlah manusia yang rentan terinfeksi TB dan mudah

ditulari terhadap waktu (𝑑𝑆ℎ

𝑑𝑡) adalah jumlah kelahiran populasi manusia 𝜇ℎ𝑁ℎ

dikurangi jumlah manusia terinfeksi oleh virus langsung 𝛾𝛽ℎ𝐼ℎ𝑆ℎ

𝑁ℎ dan jumlah

manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi 𝛽ℎ𝑆ℎ serta jumlah populasi

manusia sehat yang meninggal 𝜇ℎ𝑆ℎ, seperti yang ditunjukkan rumus berikut:

𝑑𝑆ℎ

𝑑𝑡= 𝜇ℎ𝑁ℎ −


𝑁ℎ− 𝛽ℎ𝑆ℎ − 𝜇ℎ𝑆ℎ (3.1)

Laju perubahan manusia terinfeksi I terhadap waktu (𝑑𝐼ℎ

𝑑𝑡) adalah jumlah populasi

manusia yang telah terinfeksi karena virus langsung 𝛽ℎ𝑆ℎ dikurangi jumlah

kematian populasi manusia yang terinfeksi 𝜇ℎ𝐼ℎ dan jumlah populasi manusia

yang sembuh dari virus 𝛿ℎ𝐼ℎ, seperti yang ditunjukkan oleh persamaan diferensial

berikut:

𝑑𝐼ℎ

𝑑𝑡= 𝛽ℎ𝑆ℎ − (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝐼ℎ (3.2)

Laju perubahan manusia terinfeksi II terhadap waktu (𝑑𝐼𝑖

𝑑𝑡) adalah jumlah

populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus dari manusia yang terinfeksi


𝑁ℎ dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi 𝜇ℎ𝐼𝑖 dan

jumlah populasi manusia yang sembuh dari virus 𝜑ℎ𝐼𝑖, seperti yang ditunjukkan

oleh persamaan diferensial berikut:


25

𝑑𝐼𝑖

𝑑𝑡=


𝑁ℎ− (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝐼𝑖 (3.3)

Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu (𝑑𝑅ℎ

𝑑𝑡)

adalah selisih dari jumlah manusia yang telah sembuh dari infeksi 𝛿ℎ𝐼ℎ dan 𝜑ℎ𝐼𝑖

dengan jumlah kematian manusia yang telah pulih dari virus, seperti yang

ditunjukkan oleh persamaan diferensial berikut:

𝑑𝑅ℎ

𝑑𝑡= 𝛿ℎ𝐼ℎ + 𝜑ℎ𝐼𝑖 − 𝜇ℎ𝑅ℎ (3.4)

Gambar 3.2 di atas, jika ditafsirkan membentuk sistem persamaan

diferensial nonlinear model epidemik 𝑆𝐼𝑅 dari transmisi TB, seperti berikut ini:

𝑑𝑆ℎ

𝑑𝑡= 𝜇ℎ𝑁ℎ −


𝑁ℎ− 𝛽ℎ𝑆ℎ − 𝜇ℎ𝑆ℎ

(3.5)

𝑑𝐼ℎ

𝑑𝑡= 𝛽ℎ𝑆ℎ − (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝐼ℎ

𝑑𝐼𝑖

𝑑𝑡=


𝑁ℎ− (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝐼𝑖

𝑑𝑅ℎ

𝑑𝑡= 𝛿ℎ𝐼ℎ + 𝜑ℎ𝐼𝑖 − 𝜇ℎ𝑅ℎ

dengan, 𝑁ℎ(𝑡) adalah konstan, 𝑁ℎ(𝑡) = 𝑆ℎ(𝑡) + 𝐼ℎ(𝑡) + 𝐼𝑖(𝑡) + 𝑅ℎ(𝑡), atau

𝑅ℎ(𝑡) = 𝑁ℎ(𝑡) − (𝑆ℎ(𝑡) + 𝐼ℎ(𝑡) + 𝐼𝑖(𝑡)).

Sistem persamaan nonlinear (3.5) di atas dapat disederhanakan dengan

menggunakan pecahan berikut:

𝑥(𝑡) =𝑆ℎ

𝑁ℎ, 𝑦(𝑡) =

𝐼ℎ

𝑁ℎ, 𝑧(𝑡) =

𝐼𝑖

𝑁ℎ (3.6)

Dengan demikian, model populasi laju transmisi TB epidemi 𝑆𝐼𝑅 akan menjadi

seperti berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜇ℎ − 𝛽ℎ𝑥 − 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑦 − 𝜇ℎ𝑥

(3.7) 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝛽ℎ𝑥 − 𝛼𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑦 − 𝜂𝑧


26

dengan, 𝑥(𝑡) =𝑆ℎ

𝑁ℎ, 𝑦(𝑡) =

𝐼ℎ

𝑁ℎ, 𝑧(𝑡) =

𝐼𝑖

𝑁ℎ, 𝛼 = 𝜇ℎ + 𝛿ℎ, 𝜂 = 𝜇ℎ + 𝜑ℎ. Lebih

lanjut, 𝑁ℎ adalah jumlah total populasi, 𝑆ℎ adalah jumlah manusia yang rentan

terhadap TB, 𝐼ℎ adalah jumlah manusia yang terinfeksi TB, dan 𝑅ℎ adalah jumlah

manusia yang sembuh dari TB. 𝜑ℎ𝐼𝑖 adalah jumlah orang yang pulih dari wabah

penyakit, 𝜇ℎ adalah tingkat kelahiran atau kematian pada populasi manusia, 𝛽ℎ

adalah tingkat manusia rentan terinfeksi, 𝛾 adalah tingkat populasi yang rentan

terinfeksi I ke terinfeksi II, 𝛿ℎ adalah parameter jumlah populasi yang yang

sembuh dari populasi terinfeksi I, dan 𝜑ℎ adalah parameter jumlah populasi yang

sembuh dari terinfeks II.

B. Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model 𝐒𝐈𝐑 dengan Metode Euler

Telah diperoleh bahwa persamaan diferensial nonlinear laju transmisi TB

model epidemi 𝑆𝐼𝑅 adalah sebagai berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜇ℎ − 𝛽ℎ𝑥 − 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑦 − 𝜇ℎ𝑥 (3.8)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝛽ℎ𝑥 − (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝑦 (3.9)

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑦 − (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝑧 (3.10)

Dalam menerapkan metode Euler pada ketiga persamaan ((3.8) – (3.10)) di atas,

dapat dilakukan dengan cara mengkonstruksi model tersebut sesuai dengan

persamaan (2.8)-(2.10) sehingga diperoleh sebagai berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ(𝜇ℎ − 𝛽ℎ𝑥𝑖 − 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝜇ℎ𝑥𝑖) (3.11)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(𝛽ℎ𝑥𝑖 − (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝑦𝑖) (3.12)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 + ℎ(𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖𝑦𝑖 − (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝑧𝑖) (3.13)

dengan, ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 , 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, 𝑧(𝑡0) = 𝑧0, dan 𝑖 = 0,1,2,3,4, ….

Untuk menyelesaikan permasalahan pada persamaan (3.8)-(3.10) dengan

menggunakan metode Euler pada persamaan (3.11)-(3.13), maka kita memerlukan

data awal. Jika diberikan data awal seperti yang terlihat dalam tabel 3.2 berikut:


27

Tabel 3.2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi TB (Side, 2015:138)

Kondisi Awal

dan Parameter

Nilai Kondisi Awal/Parameter

Simulasi 1 Simulasi II Simulasi III Simulasi IV

𝑁ℎ 8386763 8386763 1450000 1450000

𝑆ℎ 8377828 8377828 1446500 1446500

𝐼ℎ 8000 8000 3000 3000

𝐼𝑖 939 939 500 500

𝑅ℎ 4 4 0 0

𝑥(𝑡0) = 𝑥0 0.998935 0.998935 0.997586 0.997586

𝑦(𝑡0) = 𝑦0 0.000954 0.000954 0.002069 0.002069

𝑧(𝑡0) = 𝑧0 0.000112 0.000112 0.000345 0.000345

𝜇ℎ 0.000046 0.015000 0.000150 0.050000

𝛽ℎ 0.326666 0.325000 0.212500 0.120000

𝛾 0.123111 0.125000 0.020050 0.130000

𝛿ℎ 0.041230 0.055000 0.200050 0.020000

𝜑ℎ 0.003700 0.165000 0.150000 0.150000

Dengan menerapkan nilai pada tabel 3.2 di atas pada persamaan (3.11)-(3.13),

maka dapat diperoleh:

1. Simulasi I

Dengan menerapkan data awal (simulasi I), ℎ = 0.1, dan 𝑖 = 0,1,2,3, …, pada

persamaan (3.14)-(3.16) berikut, maka diperoleh iterasi perhitungan metode

Euler berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ(0.000046 − 0.326666𝑥𝑖 − 0.040216𝑥𝑖𝑦𝑖

− 0.000046𝑥𝑖) (3.14)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(0.326666𝑥𝑖 − 0.041276𝑦𝑖) (3.15)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 + ℎ(0.040216𝑥𝑖𝑦𝑖 − 0.003746𝑧𝑖) (3.16)

𝑥1 = 𝑥0 + (0.1)(0.000046 − 0.326666𝑥0 − 0.040216𝑥0𝑦0

− 0.000046𝑥0)

𝑥1 = 0.966299

(3.17)

𝑦1 = 𝑦0 + (0.1)(0.326666𝑥0 − 0.041276𝑦0)

𝑦1 = 0.033582

(3.18)


28

𝑧1 = 𝑧0 + (0.1)(0.040216𝑥0𝑦0 − 0.003746𝑧0)

𝑧1 = 0.000116

(3.19)

𝑥2 = 𝑥1 + (0.1)(0.000046 − 0.326666𝑥1 − 0.040216𝑥1𝑦1

− 0.000046𝑥1)

𝑥2 = 0.934603

(3.20)

𝑦2 = 𝑦1 + (0.1)(0.326666𝑥1 − 0.041276𝑦1)

𝑦2 = 0.065009

(3.21)

𝑧2 = 𝑧1 + (0.1)(0.040216𝑥1𝑦1 − 0.003746𝑧1)

𝑧2 = 0.000246

(3.22)

Jika iterasi dilanjutkan sampai 𝑖 = 50, maka kita akan memperoleh nilai 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖,

dan 𝑧𝑖 dengan menggunakan software MATLAB (program dapat dilihat pada

Lampiran I, simulasi I) seperti pada gambar 3.3 berikut ini (data perhitungan

lihat Lampiran V, tabel L.5.1):

Gambar 3.3 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR

menggunakan metode Euler (Simulasi I)


29

2. Simulasi II

Dengan menerapkan ℎ = 0.1, dan 𝑖 = 0,1,2,3, …, maka diperoleh iterasi

berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ(0.015 − 0.325𝑥𝑖 − 0.040625𝑥𝑖𝑦𝑖 − 0.015𝑥𝑖) (3.23)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(0.325𝑥𝑖 − 0.07𝑦𝑖) (3.24)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 + ℎ(0.040625𝑥𝑖𝑦𝑖 − 0.18𝑧𝑖) (3.25)

𝑥1 = 𝑥0 + (0.1)(0.015 − 0.325𝑥0 − 0.040625𝑥0𝑦0 − 0.015𝑥0)

𝑥1 = 0.966467

(3.26)

𝑦1 = 𝑦0 + (0.1)(0.325𝑥0 − 0.07𝑦0)

𝑦1 = 0.033413

(3.27)

𝑧1 = 𝑧0 + (0.1)(0.040625𝑥0𝑦0 − 0.18𝑧0)

𝑧1 = 0.000114

(3.28)

𝑥2 = 𝑥1 + (0.1)(0.015 − 0.325𝑥1 − 0.040625𝑥1𝑦1 − 0.015𝑥1)

𝑥2 = 0.934976

(3.29)

𝑦2 = 𝑦1 + (0.1)(0.325𝑥1 − 0.07𝑦1)

𝑦2 = 0.064589

(3.30)

𝑧2 = 𝑧1 + (0.1)(0.040625𝑥1𝑦1 − 0.18𝑧1)

𝑧2 = 0.000243

(3.31)



Lampiran I, simulasi II) seperti pada gambar 3.4 (data perhitungan lihat

Lampiran V, tabel L.5.2) berikut ini:


30


menggunakan metode Euler (Simulasi II)

3. Simulasi III


berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ(0.00015 − 0.2125𝑥𝑖 − 0.004261𝑥𝑖𝑦𝑖

− 0.00015𝑥𝑖) (3.32)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(0.2125𝑥𝑖 − 0.2002𝑦𝑖) (3.33)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 + ℎ(0.004261𝑥𝑖𝑦𝑖 − 0.15015𝑧𝑖) (3.34)

𝑥1 = 𝑥0 + (0.1)(0.00015 − 0.2125𝑥0 − 0.004261𝑥0𝑦0

− 0.00015𝑥0)

𝑥1 = 0.976386

(3.35)

𝑦1 = 𝑦0 + (0.1)(0.2125𝑥0 − 0.2002𝑦0)

𝑦1 = 0.023226

(3.36)

𝑧1 = 𝑧0 + (0.1)(0.004261𝑥0𝑦0 − 0.15015𝑧0)

𝑧1 = 0.000341

(3.37)


31

𝑥2 = 𝑥1 + (0.1)(0.00015 − 0.2125𝑥1 − 0.004261𝑥1𝑦1

− 0.00015𝑥1)

𝑥2 = 0.955629

(3.38)

𝑦2 = 𝑦1 + (0.1)(0.2125𝑥1 − 0.2002𝑦1)

𝑦2 = 0.043510

(3.39)

𝑧2 = 𝑧1 + (0.1)(0.004261𝑥1𝑦1 − 0.15015𝑧1)

𝑧2 = 0.000345

(3.40)



Lambiran I, simulasi III) seperti pada gambar 3.5 berikut ini (data perhitungan



menggunakan metode Euler (Simulasi III)


32

4. Simulasi IV


berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ(0.05 − 0.12𝑥𝑖 − 0.0156𝑥𝑖𝑦𝑖 − 0.05𝑥𝑖) (3.40)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(0.12𝑥𝑖 − 0.07𝑦𝑖) (3.41)

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 + ℎ(0.0156𝑥𝑖𝑦𝑖 − 0.2𝑧𝑖) (3.42)

𝑥1 = 𝑥0 + (0.1)(0.05 − 0.12𝑥𝑖 − 0.0156𝑥0𝑦0 − 0.05𝑥0)

𝑥1 = 0.985624

(3.43)

𝑦1 = 𝑦0 + (0.1)(0.12𝑥0 − 0.07𝑦0)

𝑦1 = 0.014026

(3.44)

𝑧1 = 𝑧0 + (0.1)(0.0156𝑥0𝑦0 − 0.2𝑧0)

𝑧1 = 0.000341

(3.45)

𝑥2 = 𝑥1 + (0.1)(0.05 − 0.12𝑥1 − 0.0156𝑥1𝑦1 − 0.05𝑥1)

𝑥2 = 0.973847

(3.46)

𝑦2 = 𝑦1 + (0.1)(0.12𝑥1 − 0.07𝑦1)

𝑦2 = 0.025755

(3.47)

𝑧2 = 𝑧1 + (0.1)(0.0156𝑥1𝑦1 − 0.2𝑧1)

𝑧2 = 0.000356

(3.48)



Lambiran I, simulasi IV) seperti pada gambar 3.6 berikut ini (data perhitungan



33


menggunakan metode Euler (Simulasi IV)

C. Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model 𝐒𝐈𝐑 dengan Metode Heun

Penerapan metode Heun pada ketiga persamaan ((3.8) – (3.10)) di atas

dilakukan dengan mengkonstruksi model sesuai dengan persamaan (2.18)-(2.23)

sehingga diperoleh seperti berikut:

Predictor:

𝑥𝑖+1(0)

= 𝑥𝑖 + ℎ(𝜇ℎ − 𝛽ℎ𝑥𝑖 − 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝜇ℎ𝑥𝑖) (3.49)

𝑦𝑖+1(0)

= 𝑦𝑖 + ℎ(𝛽ℎ𝑥𝑖 − (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝑦𝑖) (3.50)

𝑧𝑖+1(0)

= 𝑧𝑖 + ℎ(𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖𝑦𝑖 − (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝑧𝑖) (3.51)

Corrector:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 +ℎ

2[(𝜇ℎ − 𝛽ℎ𝑥𝑖 − 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝜇ℎ𝑥𝑖)

+ (𝜇ℎ − 𝛽ℎ𝑥𝑖+1(0)

− 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖+1(0)

𝑦𝑖+1(0)

− 𝜇ℎ𝑥𝑖+1(0)

)]

(3.52)


2[(𝛽ℎ𝑥𝑖 − (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝑦𝑖) + (𝛽ℎ𝑥𝑖+1

(0)− (𝜇ℎ + 𝛿ℎ)𝑦𝑖+1

(0))] (3.53)


34

𝑧𝑖+1 = 𝑧𝑖 +ℎ

2[(𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖𝑦𝑖 − (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝑧𝑖) + (𝛾𝛽ℎ𝑥𝑖+1

(0)𝑦𝑖+1

(0)

− (𝜇ℎ + 𝜑ℎ)𝑧𝑖+1(0)

)] (3.54)

Dengan,

𝑖 = 0,1,2,3,4, ….

Penyelesaian persamaan (3.8)-(3.10) dengan menggunakan metode Heun pada

persamaan (3.49)-(3.54), dapat dilakukan dengan menggunakan data awal yang

terdapat pada tabel 3.2, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

1. Simulasi I

Dengan menerapkan data awal yang telah diketahui, maka akan diperoleh

iterasi berikut:

Untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … ; dan ℎ = 0.1.

Predictor:

𝑥1(0)

= 𝑥0 + (0.1)(0.000046 − 0.326666𝑥0 − 0.040216𝑥0𝑦0 −

0.000046𝑥0)

𝑥1(0)

= 0.966299

(3.55)

𝑦1(0)

= 𝑦0 + (0.1)(0.326666𝑥0 − 0.041276𝑦0)

𝑦1(0)

= 0.033581

(3.56)

𝑧1(0)

= 𝑧0 + (0.1)(0.040216𝑥0𝑦0 − 0.003746𝑧0)

𝑧1(0)

= 0.000116

(3.57)

Corrector:

𝑥1 = 𝑥0 +0.1

2[(0.000046 − 0.326666𝑥0 − 0.040216𝑥0𝑦0 −

0.000046𝑥0) + (0.000046 − 0.326666𝑥(0)1 −

0.040216𝑥(0)1𝑦(0)

1− 0.000046𝑥(0)

1)]

𝑥1 = 0.966769

(3.58)


35

𝑦1 = 𝑦0 +0.1

2[(0.326666𝑥0 − 0.041276𝑦0) +

(0.326666𝑥(0)1 − 0.041276𝑦(0)

1)]

𝑦1 = 0.032981

(3.59)

𝑧1 = 𝑧0 +ℎ

2[(0.040216𝑥0𝑦0 − 0.003746𝑧0) +

(0.040216𝑥(0)1𝑦(0)

1− 0.003746𝑧(0)

1)]

𝑧1 = 0.000179

(3.60)

Berdasarkan hasil iterasi metode Heun (lihat Lampiran VI, tabel L.6.1), maka

dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi I) dapat

diperoleh grafik pendekatan solusi dari sistem transmisi TB mode SIR dengan

data awal yang diketahui (Simulasi I) seperti gambar 3.7 berikut ini:


menggunakan metode Heun (Data Simulasi I)


36

2. Simulasi II

Dengan menerapkan data awal yang telah diketahui, maka dapat diperoleh

penyelesaian dengan menggunakan metode Heun seperti yang ditunjukan

berikut:

Untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … ; dan ℎ = 0.1.

Predictor:

𝑥1(0)

= 𝑥0 + (0.1)(0.015 − 0.325𝑥0 − 0.040625𝑥0𝑦0 − 0.015𝑥0)

𝑥1(0)

= 0.966467

(3.61)

𝑦1(0)

= 𝑦0 + (0.1)(0.325𝑥0 − 0.07𝑦0)

𝑦1(0)

= 0.033413

(3.62)

𝑧1(0)

= 𝑧0 + (0.1)(0.040625𝑥0𝑦0 − 0.18𝑧0)

𝑧1(0)

= 0.000114

(3.63)

Corrector:

𝑥1 = 𝑥0 +0.1

2[(0.015 − 0.325𝑥0 − 0.040625𝑥0𝑦0 − 0.015𝑥0) +

(0.015 − 0.325𝑥(0)1 − 0.040625𝑥(0)

1𝑦(0)1

−

0.015𝑥(0)1)]

𝑥1 = 0.966956

(3.64)

𝑦1 = 𝑦0 +0.1

2[(0.325𝑥0 − 0.07𝑦0) + (0.325𝑥(0)

1 − 0.07𝑦(0)1

)]

𝑦1 = 0.032772

(3.65)

𝑧1 = 𝑧0 +ℎ

2[(0.040625𝑥0𝑦0 − 0.18𝑧0) + (0.040625𝑥(0)

1𝑦(0)1

−

0.18𝑧(0)1)]

𝑧1 = 0.000177

(3.66)


37


dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi II)

dapat diperoleh grafik pendekatan solusi dari sistem transmisi TB mode SIR

dengan data awal yang diketahui (Simulasi II) seperti gambar 3.8 berikut ini:


menggunakan metode Heun (Data Simulasi II)

3. Simulasi III



berikut:

Untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … ; dan ℎ = 0.1.

Predictor:

𝑥1(0)

= 𝑥0 + (0.1)(0.00015 − 0.2125𝑥0 − 0.004261𝑥0𝑦0 −

0.00015𝑥0)

𝑥1(0)

= 0.976379

(3.67)


38

𝑦1(0)

= 𝑦0 + (0.1)(0.2125𝑥0 − 0.2002𝑦0)

𝑦1(0)

= 0.023226

(3.68)

𝑧1(0)

= 𝑧0 + (0.1)(0.004261𝑥0𝑦0 − 0.15015𝑧0)

𝑧1(0)

= 0.000341

(3.69)

Corrector:

𝑥1 = 𝑥0 +0.1

2[(0.00015 − 0.2125𝑥0 − 0.004261𝑥0𝑦0 −

0.00015𝑥0) + (0.00015 − 0.2125𝑥(0)1 −

0.004261𝑥(0)1𝑦(0)

1− 0.00015𝑥(0)

1)]

𝑥1 = 0.976604

(3.70)

𝑦1 = 𝑦0 +0.1

2[(0.2125𝑥0 − 0.2002𝑦0) + (0.2125𝑥(0)

1 −

0.2002𝑦(0)1

)]

𝑦1 = 0.022789

(3.71)

𝑧1 = 𝑧0 +0.1

2[(0.004261𝑥0𝑦0 − 0.15015𝑧0) +

(0.004261𝑥(0)1𝑦(0)

1− 0.15015𝑧(0)

1)]

𝑧1 = 0.000345

(3.72)


dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi III)


dengan data awal yang diketahui (Simulasi III) seperti gambar 3.9 berikut ini:


39


menggunakan metode Heun (Data Simulasi III)

4. Simulasi IV



berikut:

Untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … ; dan ℎ = 0.1.

Predictor:

𝑥1(0)

= 𝑥0 + (0.1)(0.05 − 0.12𝑥0 − 0.0156𝑥0𝑦0 − 0.05𝑥0)

𝑥1(0)

= 0.985624

(3.73)

𝑦1(0)

= 𝑦0 + (0.1)(0.12𝑥0 − 0.07𝑦0)

𝑦1(0)

= 0.014026

(3.74)

𝑧1(0)

= 𝑧0 + (0.1)(0.0156𝑥0𝑦0 − 0.2𝑧0)

𝑧1(0)

= 0.000341

(3.75)


40

Corrector:

𝑥1 = 𝑥0 +0.1

2[(0.05 − 0.12𝑥0 − 0.0156𝑥0𝑦0 − 0.05𝑥0) +

(0.05 − 0.12𝑥(0)1 − 0.0156𝑥(0)

1𝑦(0)1

− 0.05𝑥(0)1)]

𝑥1 = 0.985716

(3.76)

𝑦1 = 𝑦0 +0.1

2[(0.12𝑥0 − 0.07𝑦0) + (0.12𝑥(0)

1 − 0.07𝑦(0)1

)]

𝑦1 = 0.013912

(3.77)

𝑧1 = 𝑧0 +0.1

2[(0.0156𝑥0𝑦0 − 0.2𝑧0) + (0.0156𝑥(0)

1𝑦(0)1

−

0.2𝑧(0)1)]

𝑧1 = 0.000351

(3.78)


dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi IV)


dengan data awal yang diketahui (Simulasi IV) seperti gambar 3.10 berikut

ini:


menggunakan metode Heun (Data Simulasi IV)


41

D. Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model 𝐒𝐈𝐑 dengan Metode Iterasi

Variasional

Penerapan VIM pada ketiga persamaan ((3.8) – (3.10)) di atas dilakukan

dengan mengkonstruksi model sesuai dengan persamaan (2.25) sehingga

diperoleh seperti berikut:

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥𝑛 + ∫ 𝜆1 [𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑠− 𝜇ℎ + 𝛽ℎ𝑥𝑛 + 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑛𝑦�̃� + 𝜇ℎ𝑥𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.79)

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦𝑛 + ∫ 𝜆2 [𝑑𝑦𝑛

𝑑𝑠− 𝛽ℎ𝑥�̃� + 𝛼𝑦𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.80)

𝑧(𝑛 + 1) = 𝑧𝑛 + ∫ 𝜆3 [𝑑𝑧𝑛

𝑑𝑠− 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑛𝑦�̃� + 𝜂𝑧𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.81)

Dengan 𝜇𝑖,𝑛(𝑠)̃ merupakan variasi terbatas yaitu 𝛿𝜇𝑖,𝑛(𝑠)̃ = 0 dan 𝜆𝑖 dengan 𝑖 =

1,2,3 adalah pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi secara optimal

melalui teori iterasi variasional dan tanda pembeda 𝑛 untuk menunjukan iterasi

ke-𝑛. Dalam mengoptimalkan 𝜆(𝑠), kita mengikuti proses berikut:

𝛿𝑥(𝑛 + 1) = 𝛿𝑥𝑛 + 𝛿 ∫ 𝜆1 [𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑠− 𝜇ℎ + 𝛽ℎ𝑥𝑛 + 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑛𝑦�̃� + 𝜇ℎ𝑥𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.82)

𝛿𝑦(𝑛 + 1) = 𝛿𝑦𝑛 + 𝛿 ∫ 𝜆2 [𝑑𝑦𝑛

𝑑𝑠− 𝛽ℎ𝑥�̃� + 𝛼𝑦𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.83)

𝛿𝑧(𝑛 + 1) = 𝛿𝑧𝑛 + 𝛿 ∫ 𝜆3 [𝑑𝑧𝑛

𝑑𝑠− 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑛𝑦�̃� + 𝜂𝑧𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.84)

Dengan, 𝑥�̃�, 𝑦�̃� , dan 𝑧�̃� merupakan variasi terbatas yaitu 𝛿𝑥�̃� = 0, 𝛿𝑦�̃� = 0, dan

𝛿𝑧�̃� = 0. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

𝛿𝑥(𝑛 + 1) = 𝛿𝑥𝑛 + 𝛿 ∫ 𝜆1 [𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑠− 𝜇ℎ + 𝛽ℎ𝑥𝑛 + 𝜇ℎ𝑥𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.85)


42

atau

𝛿𝑥(𝑛 + 1) = 𝛿𝑥𝑛 + ∫ [𝛿𝜆1

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑠− 𝛿𝜆1𝜇ℎ + 𝛿𝜆1(𝛽ℎ + 𝜇ℎ)𝑥𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.88)

𝛿𝑦(𝑛 + 1) = 𝛿𝑦𝑛 + ∫ [𝛿𝜆2

𝑑𝑦𝑛

𝑑𝑠+ 𝛼𝛿𝜆2𝑦𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.89)

𝛿𝑧(𝑛 + 1) = 𝛿𝑧𝑛 + ∫ [𝛿𝜆3

𝑑𝑧𝑛

𝑑𝑠+ 𝛿𝜆3𝜂𝑧𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.90)

Agar memperoleh kondisi tetap, maka harus dicari nilai 𝜆1, 𝜆2, dan 𝜆3 dengan cara

menyelesaikan persamaan (3.88)-(3.90) dengan menerapkan konsep integral

parsial sehingga diperoleh seperti berikut:

𝛿𝑥(𝑛 + 1) = 𝛿𝑥𝑛 + 𝛿𝜆1𝑥𝑛

− ∫[(𝑥𝑛𝛿𝜆′1 − 𝛿𝜆1(𝛽ℎ + 𝜇ℎ)𝑥𝑛) + 𝛿𝜆1𝜇ℎ]𝑑𝑠

𝑡

0

(3.91)

𝛿𝑦(𝑛 + 1) = 𝛿𝑦𝑛 + 𝛿𝜆2𝑦𝑛 − ∫[𝛿𝜆′2𝑦𝑛]𝑑𝑠

𝑡

0

+ ∫[𝛼𝛿𝜆2𝑦𝑛]𝑑𝑠

𝑡

0

(3.92)

𝛿𝑧(𝑛 + 1) = 𝛿𝑧𝑛 + 𝛿𝜆3𝑧𝑛 − ∫[𝛿𝜆′3𝑧𝑛]𝑑𝑠

𝑡

0

+ ∫[𝜂𝛿𝑧𝑛]𝑑𝑠

𝑡

0

(3.93)

atau

𝛿𝑦(𝑛 + 1) = 𝛿𝑦𝑛 + 𝛿 ∫ 𝜆2 [𝑑𝑦𝑛

𝑑𝑠+ 𝛼𝑦𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.86)

𝛿𝑧(𝑛 + 1) = 𝛿𝑧𝑛 + 𝛿 ∫ 𝜆3 [𝑑𝑧𝑛

𝑑𝑠+ 𝜂𝑧𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.87)


43

𝛿𝑥(𝑛 + 1) = 𝛿𝑥𝑛(1 + 𝜆1)

− ∫[((𝜆′1

− (𝛽ℎ + 𝜇ℎ)𝜆1)𝑥𝑛𝛿) + 𝛿𝜆1𝜇ℎ]𝑑𝑠

𝑡

0

(3.94)

𝛿𝑦(𝑛 + 1) = 𝛿𝑦𝑛(1 + 𝜆2) − ∫[(𝜆′2 − 𝜆2𝛼)𝛿𝑦𝑛]𝑑𝑠

𝑡

0

(3.95)

𝛿𝑧(𝑛 + 1) = 𝛿𝑧𝑛(1 + 𝜆3) − ∫[(𝜆′3 − 𝜂)𝛿𝑧𝑛]

𝑡

0

𝑑𝑠 (3.96)

Sehingga untuk setiap variasi 𝛿𝑥𝑛, 𝛿𝑦𝑛, 𝛿𝑧𝑛 dan 𝛿𝑥′𝑛, 𝛿𝑦′𝑛, 𝛿𝑧′𝑛diperoleh kondisi

stasioner atau kondisi tetap sebagai berikut:

𝛿𝑥𝑛:

𝛿𝑦𝑛:

𝛿𝑧𝑛:

𝛿𝑥𝑛:

𝛿𝑦𝑛:

𝛿𝑧𝑛:

(1 + 𝜆1(𝑡))│𝑠=𝑡 = 0

(1 + 𝜆2(𝑡))│𝑠=𝑡 = 0

(1 + 𝜆3(𝑡))│𝑠=𝑡 = 0

(𝜆′1

− (𝛽ℎ + 𝜇ℎ)𝜆1)│𝑠=𝑡 = 0

(𝜆′2 − 𝜆2𝛼)│𝑠=𝑡 = 0

(𝜆′3 − 𝜂)│𝑠=𝑡 = 0

(3.97)

Solusi dari persamaan (3.97) di atas adalah sebagai berikut:

𝜆1(𝑡) = −1

𝜆2(𝑡) = −1

𝜆3(𝑡) = −1

dan

𝜆1(𝑠) = −𝑒(𝛽ℎ+𝜇ℎ)(𝑠−𝑡)

𝜆2(𝑠) = −𝑒𝛼(𝑠−𝑡)

(3.98)


44

𝜆3(𝑠) = −1 + 𝜂(𝑠 − 𝑡)

Selanjutnya kita dapat menggunakan deret Taylor untuk mengembangkan pengali

Lagrange umum pada (3.98) sehingga diperoleh seperti berikut:

𝜆1(𝑠) = −1

𝜆2(𝑠) = −1

𝜆3(𝑠) = −1

(3.99)

Substitusikan nilai pengali Lagrange umum (3.99) ke persamaan awal (3.79)-

(3.81) sehingga diperoleh:

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥𝑛 − ∫ [𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑠− 𝜇ℎ + 𝛽ℎ𝑥𝑛 + 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑛𝑦𝑛 + 𝜇ℎ𝑥𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.100)

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦𝑛 − ∫ [𝑑𝑦𝑛

𝑑𝑠− 𝛽ℎ𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.101)

𝑧(𝑛 + 1) = 𝑧𝑛 − ∫ [𝑑𝑧𝑛

𝑑𝑠− 𝛾𝛽ℎ𝑥𝑛𝑦𝑛 + 𝜂𝑧𝑛] 𝑑𝑠

𝑡

0

(3.102)

Penyelesaian sistem laju transmisi TB dapat dilakukan dengan

menerapkan nilai awal dan nilai parameter yang terdapat dalam tabel 3.2,

sehingga dapat diperoleh hasil iterasi sebagai berikut:

1. Simulasi I

Dengan menerapkan data awal simulasi I dan program Maple, maka diperoleh

hasil iterasi berikut ini:

𝑥1 = 0.9989350 − 0.3263563771𝑡 (3.103)

𝑦1 = 0.000954 + 0.3262787234𝑡 (3.104)

𝑧1 = 0.000112 + 0.00003790582171𝑡 (3.105)

𝑥2 = 0.9989350 − 0.3263563771𝑡 + 0.04676467858𝑡2 +0.001427448330 𝑡3

(3.106)

𝑦2 = 0.000954 + 0.3262787234𝑡 − 0.06003850645𝑡2 (3.107)


45

𝑧2 = 0.000112 + 0.00003790582171𝑡 − 0.00142744833𝑡3 +0.006547522771𝑡2

(3.108)

𝑥3 = 0.9989350 − 0.3263563771𝑡 − 0.00286202769𝑡3 +0.04676467858𝑡2 + 5.744335804 𝑥 10−7𝑡6 +0.00001883673845𝑡5 − 0.0004670110798𝑡4

(3.109)

𝑦3 = 0.000954 + 0.3262787234𝑡 − 0.06003850645𝑡2 +0.000116574709𝑡4 + 0.005918193293𝑡3

(3.110)

𝑧3 = 0.000112 + 0.00003790582171𝑡 − 0.002239008540𝑡3 +0.00654752277𝑡2 − 5.744335804 𝑥 10−7𝑡6 −0.00001883673845𝑡5 + 0.0003517567604𝑡4

(3.111)

𝑥4 = 0.9989350 − 0.3263563771𝑡 − 0.002862027689𝑡3 +0.04676467858𝑡2 − 0.000002756277747𝑡6 +0.00007521136447𝑡5 − 0.0001760525241𝑡4 −2.448230300 x 10−13𝑡11 − 2.250294734 x 10−11𝑡10 −1.007622782 x 10−10𝑡9 + 2.031422741 x 10−8𝑡8 −1.572188648 x 10−7𝑡7

(3.112)

𝑦4 = 0.000954 + 0.3262787234𝑡 − 0.06003850645𝑡2 −0.000294801621𝑡4 + 0.005918193293𝑡3 +2.680684571 x 10−8𝑡7 + 0.000001025553667𝑡6 −0.00003147367582𝑡5

(3.113)

𝑧4 = 0.000112 + 0.00003790582171𝑡 − 0.002239008540𝑡3 +0.006547522769𝑡2 + 0.000001742340068𝑡6 −0.00004495927585𝑡5 + 0.000411914053𝑡4 +2.448230300 x 10−13𝑡11 + 2.250294734 x 10−11𝑡10 +1.007622782 x 10−10𝑡9 − 2.031422741 x 10−8𝑡8 +1.307156483 x 10−7𝑡7

(3.114)

𝑥5 = 1.389137310 x 10−23𝑡19 + 1.908731732 x 10−21𝑡18 +4.275599121 x 10−20𝑡17 − 3.070625662 x 10−18𝑡16 −6.696032013 x 10−17𝑡15 + 2.767045407 x 10−15𝑡14 +3.638359875 x 10−15𝑡13 − 1.080656305 x 10−12𝑡12 +1.527371442 x 10−11𝑡11 + 7.792503116 x 10−11𝑡10 −4.046378679 x 10−9𝑡9 + 4.358543285 x 10−8𝑡8 +3.85660582 x 10−8𝑡7 − 0.000007151798971𝑡6 +0.00005950247438𝑡5 − 0.0001760525239𝑡4 −0.00286202769𝑡3 + 0.04676467858𝑡2 + 0.9989350 −0.3263563771𝑡

(3.115)


46

𝑦5 = 0.000954 + 0.3262787234𝑡 − 0.06003850645𝑡2 −0.0002948016209𝑡4 + 0.005918193293𝑡3 −1.346732829 x 10−7𝑡7 + 0.000004311350505𝑡6 −0.00000906842842𝑡5 − 6.664613327 x 10−15𝑡12 −6.682679815 x 10−13𝑡11 − 3.291561037 x 10−12𝑡10 +7.373297123 x 10−10𝑡9 − 6.558067131 x 10−9𝑡8

(3.116)

𝑧5 = −1.389137310 x 10−23𝑡19 − 1.908731732 x 10−21𝑡18 −4.275599121 x 10−20𝑡17 + 3.070625662 x 10−18𝑡16 +6.696032013 x 10−17𝑡15 − 2.767045407 x 10−15𝑡14 −3.638359875 x 10−15𝑡13 + 1.087245431 x 10−12𝑡12 −1.461301562 x 10−11𝑡11 − 7.467075220 x 10−11𝑡10 +3.317400372 x 10−9𝑡9 − 3.722597923 x 10−8𝑡8 +8.914568603 x 10−8𝑡7 + 0.000003084459327𝑡6 −0.00004830738596𝑡5 + 0.0004119140531𝑡4 −0.000223900854𝑡3 + 0.006547522768𝑡2 + 0.000112 +0.00003790582171𝑡

(3.117)

⋮

dan seterusnya.

Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju

transmisi TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan

metode iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan

program MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi I)

seperti yang terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada

Lampiran VII, tabel L.7.1):

Gambar 3.11 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia

dalam laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi I)


47

2. Simulasi II

Dengan mensubstitusikan data awal simulasi II pada tabel 3.2 ke persamaan

(3.100)-(3.102), maka diperoleh iterasi berikut:

𝑥1 = 0.9989350 − 0.3246766150 𝑡 (3.118)

𝑦1 = 0.000954 + 0.3245870950 𝑡 (3.119)

𝑧1 = 0.000112 + 0.00003662057460 𝑡 (3.120)

𝑥2 = 0.998935 − 0.3246766150𝑡 + 0.001427099907𝑡3 +0.04861516254𝑡2

(3.121)

𝑦2 = 0.000954 + 0.324587095𝑡 − 0.0641204983𝑡2 (3.122)

𝑧2 = 0.000112 + 0.00001855497459𝑡 − 0.001427099907𝑡3 +0.006578192064𝑡2

(3.123)

𝑥3 = 0.998935 − 0.324676615𝑡 − 0.003215872887𝑡3 +0.04861516255𝑡2 + 6.195742933 x 10−7𝑡6 +0.00002156383315𝑡5 − 0.0004930186079𝑡4

(3.124)

𝑦3 = 0.000954 + 0.324587095𝑡 − 0.06412049825𝑡2 +0.0001159518674𝑡4 + 0.006762787570𝑡3

(3.125)

𝑧3 = 0.000112 + 0.00001855497459𝑡 − 0.00268853706𝑡3 +0.00657819206𝑡2 − 6.195742933 x 10−7𝑡6 −0.00002156383315𝑡5 + 0.0004359346117𝑡4

(3.126)

𝑥4 = 0.998935 − 0.324676615𝑡 − 0.003215872887𝑡3 +0.04861516255𝑡2 − 0.000003505912577𝑡6 +0.00008423680462𝑡5 − 0.0001669323465𝑡4 −2.653211227 x 10−13𝑡11 − 2.717981521 x 10−11𝑡10 −2.208997111 x 10−10𝑡9 + 2.482514778 x 10−8𝑡8 −1.606814262 x 10−7𝑡7

(3.127)

𝑦4 = 0.000954 + 0.324587095𝑡 − 0.0641204983𝑡2 −0.0003796384546𝑡4 + 0.00676278757𝑡3 +2.876594933 x 10−8𝑡7 + 0.000001168040962𝑡6 −0.00003366953566𝑡5

(3.128)

𝑧4 = 0.000112 + 0.00001855497459𝑡 − 0.002688537059𝑡3 +0.006578192061𝑡2 + 0.000002930877027𝑡6 −0.00006640518531𝑡5 + 0.0005612657096𝑡4 +

(3.129)


48

2.653211227 x 10−13𝑡11 + 2.717981521 x 10−11𝑡10 +2.208997111 x 10−10𝑡9 − 2.482514778 x 10−8𝑡8 +1.465197281 x 10−7𝑡7

𝑥5 = −0.324676615𝑡 + 3.503387871 x 10−15𝑡14 +1.726138723 x 10−14𝑡13 − 1.501912222 x 10−12𝑡12 +1.631887856 x 10−23𝑡19 + 2.464039695 x 10−21𝑡18 +6.970363037 x 10−20𝑡17 − 3.737390542 x 10−18𝑡16 −1.092444683 x 10−16𝑡15 + 1.761789098 x 10−11𝑡11 +1.459031575 x 10−10𝑡10 − 5.277675849 x 10−9𝑡9 +4.966214449 x 10−8𝑡8 + 1.126189630 x 10−7𝑡7 −0.000008636177424𝑡6 + 0.00006608279426𝑡5 −0.0001669323468𝑡4 − 0.003215872886𝑡3 +0.04861516255𝑡2 + 0.998935

(3.130)

𝑦5 = 0.000954 + 0.324587095𝑡 − 0.06412049828𝑡2 −0.0003796384546𝑡4 + 0.00676278757𝑡3 −1.744549223 x 10−7𝑡7 + 0.000004955638165𝑡6 −0.00000553566416𝑡5 − 7.185780407 x 10−15𝑡12 −8.030399948 x 10−13𝑡11 − 7.179240611 x 10−12𝑡10 +8.964636698 x 10−10𝑡9 − 6.779384996 x 10−9𝑡8

(3.131)

𝑧5 = 0.00001855497459𝑡 − 3.503387871 x 10−15𝑡14 −1.726138723 x 10−14𝑡13 + 1.505449837 x 10−12𝑡12 −1.631887856 x 10−23𝑡19 − 2.464039695 x 10−21𝑡18 −6.970363037 x 10−20𝑡17 + 3.737390542 x 10−18𝑡16 +1.092444683 x 10−16𝑡15 − 1.722254821 x 10−11𝑡11 −1.423687621 x 10−10𝑡10 + 4.836339889 x 10−9𝑡9 −4.612987776 x 10−8𝑡8 − 1.76971899 x 10−8𝑡7 +0.000005854914056𝑡6 − 0.00007493696023𝑡5 +0.0005612657099𝑡4 − 0.00268853706𝑡3 +0.006578192062𝑡2 + 0.000112

(3.132)

⋮

dan seterusnya.

Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju

transmisi TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan

metode iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan

program MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi II)

seperti yang terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada



49


dalam laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi II)

3. Simulasi III

Dengan mensubstitusikan data awal simulasi III pada tabel 3.2 ke persamaan


𝑥1 = 0.997586 + 0.2119954569 𝑡 (3.133)

𝑦1 = 0.002069 + 0.2115728112 𝑡 (3.134)

𝑧1 = 0.000345 − 0.00004300779685 𝑡 (3.135)

𝑥2 = 0.997586 − 0.2119954569𝑡 + 0.00006369985845𝑡3 +0.02209172317𝑡2

(3.136)

𝑦2 = 0.002069 + 0.2115728112𝑡 − 0.0437029557𝑡2 (3.137)

𝑧2 = 0.000345 − 0.00004300779685𝑡 − 0.00006369985845𝑡3 +0.0004519225911𝑡2

(3.138)

𝑥3 = 0.997586 − 0.2119954569𝑡 − 0.001440382563𝑡3 +0.02209172317𝑡2 + 1.976839172 𝑥 10−9𝑡6 +8.112199672 𝑥 10−7𝑡5 − 0.00001823362243𝑡4

(3.139)


50

𝑦3 = 0.002069 + 0.2115728112𝑡 − 0.0437029557𝑡2 +0.00000338405498𝑡4 + 0.0044812743𝑡3

(3.140)

𝑧3 = 0.000345 − 0.00004300779685𝑡 − 0.000148171141𝑡3 +0.0004519225911𝑡2 − 1.976839172 𝑥 10−9𝑡6 −8.112199672 𝑥 10−7𝑡5 + 0.00001723831214𝑡4

(3.141)

𝑥4 = 0.997586 − 0.2119954569𝑡 − 0.001440382562𝑡3 +0.02209172317𝑡2 − 1.405033340 𝑥 10−7𝑡6 +0.000002664544221𝑡5 + 0.00005696873931𝑡4 −2.591131027 𝑥 10−18𝑡11 − 4.944017127 𝑥 10−15𝑡10 −1.650851064 𝑥 10−12𝑡9 + 6.477143910 𝑥 10−11𝑡8 +3.233708052 𝑥 10−9𝑡7

(3.142)

𝑦4 = 0.002069 + 0.2115728112𝑡 − 0.0437029557𝑡2 −0.0003008081022𝑡4 + 0.004481274302𝑡3 +6.001118914 𝑥 10−11𝑡7 + 2.873070717 𝑥 10−8𝑡6 −9.104265146 𝑥 10−7𝑡5

(3.143)

𝑧4 = 0.000345 − 0.00004300779685𝑡 − 0.000148171141𝑡3 +0.0004519225911𝑡2 + 1.320531261 𝑥 10−7𝑡6 −0.000002406734773𝑡5 + 0.00002516757289𝑡4 +2.591131027 𝑥 10−18𝑡11 + 4.944017127 𝑥 10−15𝑡10 +1.650851064 𝑥 10−12𝑡9 − 6.47714391 𝑥 10−11𝑡8 −3.251358402 𝑥 10−9𝑡7

(3.144)

𝑥5 = −0.2119954569𝑡 + 0.997586 − 1.521811347 𝑥 10−19𝑡14 +1.097506894 𝑥 10−17𝑡13 + 1.433005522 𝑥 10−16𝑡12 +3.486914654 𝑥 10−32𝑡19 + 8.784967863 𝑥 10−29𝑡18 +5.98381246 𝑥 10−26𝑡17 + 1.01888879 𝑥 10−23𝑡16 −1.429739447 𝑥 10−21𝑡15 − 2.031673927 𝑥 10−14𝑡11 +7.384049783 𝑥 10−13𝑡10 − 3.216645077 𝑥 10−12𝑡9 −3.609042715 𝑥 10−10𝑡8 + 1.327932919 𝑥 10−8𝑡7 −2.626370678 𝑥 10−7𝑡6 − 2.75360797 𝑥 10−7𝑡5 +0.00005696873928𝑡4 − 0.001440382562𝑡3 +0.02209172317𝑡2

(3.145)

𝑦5 = 0.002069 + 0.2115728112𝑡 − 0.0437029557𝑡2 −0.0003008081024𝑡4 + 0.0044812743𝑡3 −5.086978008 𝑥 10−9𝑡7 + 1.247471725 𝑥 10−7𝑡6 +0.00001446552784𝑡5 − 4.588461193 𝑥 10−20𝑡12 −9.550942173 𝑥 10−17𝑡11 − 3.508058511 𝑥 10−14𝑡10 +1.529325646 𝑥 10−12𝑡9 + 8.439359011 𝑥 10−11𝑡8

(3.146)


51

𝑧5 = −0.00004300779685𝑡 + 1.521811347 𝑥 10−19𝑡14 −1.097506894 𝑥 10−17𝑡13 − 1.432870568 𝑥 10−16𝑡12 −3.486914654 𝑥 10−32𝑡19 − 8.784967863 𝑥 10−29𝑡18 −5.98381246 𝑥 10−26𝑡17 − 1.01888879 𝑥 10−23𝑡16 +1.429739447 𝑥 10−21𝑡15 + 2.034483027 𝑥 10−14𝑡11 −7.280871592 𝑥 10−13𝑡10 + 2.766843416 𝑥 10−12𝑡9 +3.359722024 𝑥 10−10𝑡8 − 1.184357818 𝑥 10−8𝑡7 +2.284297174 𝑥 10−7𝑡6 − 0.000002903301899𝑡5 +0.00002516757288𝑡4 − 0.000148171141𝑡3 +0.0004519225911𝑡2 + 0.000345

(3.147)

⋮

dan seterusnya.

Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju transmisi

TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan metode

iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan program

MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi Iii) seperti yang

terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada Lampiran

VII, tabel L.7.3):


dalam laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi III)


52

4. Simulasi IV

Dengan mensubstitusikan data awal simulasi II pada tabel 3.2 ke persamaan


𝑥1 = 0.997586 − 0.1196218185 𝑡 (3.148)

𝑦1 = 0.002069 + 0.1195654900 𝑡 (3.149)

𝑧1 = 0.000345 − 0.00003680151523 𝑡 (3.150)

𝑥2 = 0.997586 − 0.1196218185𝑡 + 0.00007437373499𝑒𝑡3 +0.009239425551𝑡2

(3.151)

𝑦2 = 0.002069 + 0.11956549𝑡 − 0.01136210126𝑡2 (3.152)

𝑧2 = 0.000345 − 0.00003680151523𝑡 − 0.00007437373499𝑡3 +0.0009321091702𝑡2

(3.153)

𝑥3 = 0.997586 − 0.1196218185𝑡 − 0.0003903528178𝑡3 +0.009239425552𝑡2 + 2.197108961 𝑥 10−9𝑡6 +2.997906807 𝑥 10−7𝑡5 − 0.00001277058333𝑡4

(3.154)

𝑦3 = 0.002069 + 0.11956549𝑡 − 0.01136210126𝑡2 +0.00000223121205𝑡4 + 0.000634692718𝑡3

(3.155)

𝑧3 = 0.000345 − 0.00003680151523𝑡 − 0.0001953552416𝑡3 +0.0009321091703𝑡2 − 2.197108961 𝑥 10−9𝑡6 −2.997906807 𝑥 10−7𝑡5 + 0.00001332838635𝑡4

(3.156)

𝑥4 = 0.997586 − 0.1196218185𝑡 − 0.0003903528178𝑡3 +0.009239425553𝑡2 − 3.061024631 𝑥 10−8𝑡6 +0.000001137372043𝑡5 + 0.00000451471888𝑡4 −6.952233584 𝑥 10−18𝑡11 − 3.218881594 𝑥 10−15𝑡10 −2.371500006 𝑥 10−13𝑡9 + 2.363382414 𝑥 10−11𝑡8 +4.957745258 𝑥 10−11𝑡7

(3.157)

𝑦4 = 0.002069 + 0.11956549𝑡 − 0.01136210126𝑡2 −0.0000228177071𝑡4 + 0.000634692718𝑡3 +3.766472504 𝑥 10−11𝑡7 + 5.995813613 𝑥 10−9𝑡6 −3.377309688 𝑥 10−7𝑡5

(3.158)

𝑧4 = 0.000345 − 0.00003680151523𝑡 − 0.0001953552416𝑡3 +0.0009321091699𝑡2 + 3.210919971 𝑥 10−8𝑡6 −0.000001236307663𝑡5 + 0.00002184303797𝑡4 +

(3.159)


53

6.952233584 𝑥 10−18𝑡11 + 3.218881594 𝑥 10−15𝑡10 +2.371500006 𝑥 10−13𝑡9 − 2.363382414 𝑥 10−11𝑡8 −4.016127131 𝑥 10−11𝑡7

𝑥5 = −0.1196218185𝑡 + 0.997586 + 6.006371216 𝑥 10−21𝑡14 +9.737800935 𝑥 10−19𝑡13 − 4.345951495 𝑥 10−17𝑡12 +2.149958882 x 10−31𝑡19 + 1.411995753 x 10−28𝑡18 +2.375239396 x 10−26𝑡17 − 6.961542069 x 10−25𝑡16 −3.044071581 x 10−22𝑡15 − 3.714803511 x 10−17𝑡11 +7.678303953 x 10−14𝑡10 − 2.449051382 x 10−12𝑡9 +1.573684466 x 10−11𝑡8 + 1.473393350 x 10−9𝑡7 −6.663436264 x 10−8𝑡6 + 6.275241534 x 10−7𝑡5 +0.000004514718864𝑡4 − 0.0003903528178𝑡3 +0.009239425552𝑡2

(3.160)

𝑦5 = 0.002069 + 0.1195654900𝑡 − 0.01136210126𝑡2 −0.0000228177071𝑡4 + 0.0006346927181𝑡3 −5.847052157 x 10−10𝑡7 + 2.668763549 x 10−8𝑡6 +4.278011526 x 10−7𝑡5 − 6.952233584 x 10−20𝑡12 −3.511507194 x 10−17𝑡11 − 2.845800007 x 10−15𝑡10 +3.151176552 x 10−13𝑡9 + 4.140954446 x 10−13𝑡8

(3.161)

𝑧5 = −0.00003680151523𝑡 − 6.006371216 x 10−21𝑡14 −9.737800935 x 10−19𝑡13 + 4.344213437 x 10−17𝑡12 −2.149958882 x 10−31𝑡19 − 1.411995753 x 10−28𝑡18 −2.375239396 x 10−26𝑡17 + 6.961542069 x 10−25𝑡16 +3.044071581 x 10−22𝑡15 + 2.836926713 x 10−17𝑡11 −7.749448953 x 10−14𝑡10 + 2.527830796 x 10−12𝑡9 −1.578633373 x 10−11𝑡8 − 1.647407359 x 10−9𝑡7 +7.561907686 x 10−8𝑡6 − 0.000001654746114𝑡5 +0.00002184303797𝑡4 − 0.0001953552416𝑡3 +0.00093210917𝑡2 + 0.000345

(3.162)

⋮

dan seterusnya.

Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju transmisi

TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan metode

iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan program

MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi IV) seperti

yang terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada



54

Gambar 3.14 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam laju

transmisi TB model SIR (VIM Simulasi IV)

E. Analisis Hasil Simulasi

Berdasarkan hasil perhitungan dari ketiga metode numeris yang digunakan

di atas, maka dapat dilihat perbandingan untuk nilai 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), dan 𝑧(𝑡) tiap

simulasi sebagai berikut:

1. Simulasi I

Perbandingan nilai 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), dan 𝑧(𝑡) dengan menggunakan metode Euler,

metode Heun dan metode iterasi variasional dalam menyelesikan sistem transmisi

TB model epidemi SIR dapat dilihat pada gambar berikut (program MATLAB

lihat Lampiran IV, simulasi I):


55

3.15.a Grafik pendekatan solusi nilai 𝑥(𝑡) untuk sistem laju transmisi TB model

SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM

3.15.b Grafik pendekatan solusi nilai 𝑦(𝑡) untuk sistem laju transmisi TB model



56

3.15.c Grafik pendekatan solusi nilai 𝑧(𝑡) untuk sistem laju transmisi TB model


3.15 Grafik perbandingan pendekatan solusi nilai 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) dan 𝑧(𝑡) untuk sistem

laju transmisi TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM

2. Simulasi II




lihat Lampiran IV, Simulasi II):




57








58

3. Simulasi III




lihat Lampiran IV, Simulasi III):






59





4. Simulasi IV




lihat Lampiran IV, Simulasi IV):




60








61

Dari hasil perhitungan menggunakan ketiga metode numeris di atas dapat

dilihat bahwa: pertama, semakin banyak manusia yang terinfeksi TB, maka

jumlah manusia dari populasi yang rentan terhadap penyakit tersebut juga akan

semakin menurun hingga akhirnya semua anggota populasi akan terinfeksi seiring

berjalannya waktu; kedua, selisih solusi hasil perhitungan antara metode Heun dan

VIM sangat kecil untuk nilai 𝑡 yang kecil; ketiga, selisih solusi hasil perhitungan

antara metode Euler dan VIM lebih besar jika dibandingkan dengan selisih solusi

hasil perhitungan antara metode Heun dan VIM untuk nilai 𝑡 yang kecil; keempat,

semakin besar nilai 𝑡 yang digunakan dalam VIM, maka solusi yang diperoleh

akan semakin tidak relevan.


62

BAB IV

ASPEK KEPENDIDIKAN

A. Aspek Kependidikan di Sekolah Menengah Atas

Tahap selanjutnya dari pembuatan tulisan ini adalah membuat suatu

rancangan pembelajaran yang materinya disesuaikan dengan materi yang terdapat

dalam pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Dalam

kurikulumnya, siswa sudah mulai mempelajari cara memodelkan suatu masalah

dalam kehidupan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Topik dalam tesis ini

membahas tentang cara memodelkan suatu proses penyebaran penyakit dengan

menggunakan model SIR, selanjutnya model tersebut diselesaikan dengan

menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional. Namun,

dalam materi matematika SMA belum diajarkan tentang persamaan diferensial,

oleh karena itu peneliti tidak menggunakan topik tentang memodelkan sistem

transmisi penyakit menular untuk digunakan dalam pembuatan rancangan

pembelajaran untuk siswa SMA. Meskipun siswa SMA belum diajarkan tentang

cara memodelkan proses penyebaran penyakit, tetapi mereka sudah dilatih untuk

memodelkan suatu persoalan yang melibatkan konsep fisika tentang gerak

vertikal, horizontal dan parabola, konsep aljabar, dan program linear untuk

menyelesaikan masalah sehari-hari. Oleh karena itu, dalam tulisan ini hanya

membahas tentang memodelkan suatu persoalan sehari-hari yang sesuai dengan

materi matematika yang telah dipelajari oleh siswa SMA. Selain itu, pemodelan

yang dibahas diselesaikan dengan menerapkan konsep variasi terbatas dalam

metode iterasi variasional.

Pembelajaran dalam kurikulum 2013 yang digunakan sekarang, selalu

diawali dengan pemberian masalah dalam kehidupan sehari-hari sehingga siswa

dituntut membiasakan diri untuk berpikir. Sehingga dalam rancangan

pembelajaran yang dibuatpun selalu diawali dengan masalah yang ditemukan

dalam kehidupan sehari-hari dan dibuat modelnya dalam kalimat matematika.


63

Untuk memodelkan suatu permasalahan ke dalam bentuk matematika, maka perlu

untuk melakukan langkah-langkah berikut: pertama, menemukan faktor-faktor

yang mempengaruhi munculnya masalah; kedua, mencari faktor-faktor yang

paling dominan; ketiga, membuat model matematika dari permasalahan yang ada

berdasarkan faktor yang paling dominan; keempat, menguji kesesuaian model

yang sudah dibuat terhadap masalah; kelima, menyelesaikan model.

Rancangan pembelajaran yang dibuat dalam tesis ini bertujuan untuk

membantu pengajar dan siswa SMA dalam mengajarkan dan mempelajari cara

memodelkan suatu permasalahan dalam dunia nyata ke dalam model matematika.

Adapun permasalahan yang dimaksud adalah suatu permasalahan yang

berhubungan dengan mencari akar persamaan kuadrat dan akan diselesaikan

dengan menggunakan konsep variasi terbatas. Rancangan pembelajaran yang

dimaksud dapat dilihat pada Lampiran VIII. Dalam rancangan pembelajaran ini,

dimuat juga materi tentang beberapa konsep yang sudah dipelajari oleh siswa

SMA dalam mencari akar persamaan kuadrat (lihat Lampiran IX). Selain materi

yang diberikan, telah disiapkan juga dua masalah yang akan diselesaikan oleh

siswa SMA tersebut, dengan tujuan agar mereka lebih memahami cara

memodelkan suatu model matematika dari permasalahan yang diberikan, dan

selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan konsep variasi terbatas. Adapun

masalah yang disiapkan oleh peneliti untuk membelajarkan konsep memodelkan

matematika dan diselesaikan dengan konsep variasi terbatas dapat dilihat pada

Lampiran X (LKS).

Dalam menyelesaikan masalah 1, siswa terlebih dahulu memodelkan

masalah tersebut dengan menggunakan konsep gerak parabola dalam fisika untuk

menentukan tinggi benda yang dilempar yang dihitung dari permukaan tanah.

Dalam menyelesaikan masalah 2, siswa dapat memodelkan semua informasi yang

terdapat dalam soal dengan menerapkan konsep volume balok dan aljabar. Hasil

dari pemodelan kedua masalah tersebut akan membentuk masing-masing sebuah

persamaan kuadrat.

Penyelesaian persamaan kuadrat atau mencari akar persamaan kuadrat

dapat dilakukan dengan menggunakan tiga cara yang telah dipelajari oleh siswa di


64

SMA seperti: menggunakan rumus akar kuadrat, faktorisasi, dan melengkapkan

kuadrat sempurna. Selain tiga cara tersebut, terdapat cara lain yang bisa dipelajari

oleh siswa SMA dalam mencari akar persamaan kuadrat yaitu dengan

menggunakan konsep variasi terbatas. Variasi terbatas merupakan salah satu

konsep yang digunakan dalam sebuah metode numeris yaitu metode iterasi

variasional. Variasi terbatas sangat mudah digunakan untuk mencari akar

persamaan kuadrat yang rumit. Iterasi yang dihasilkan akan dengan cepat

konvergen ke solusi yang ingin di cari.

Contoh permasalahan pemodelan matematika dalam kehidupan sehari-hari

dan penerapan konsep variasi terbatas dalam Pembelajaran Matematika di SMA

untuk menemukan akar persamaan kuadrat adalah seperti yang ditunjukan pada

contoh persoalan 1.

Persoalan 1:

Pak Ruben akan menjual sebidang tanah miliknya yang berbentuk persegi

panjang, dengan ukuran keliling tanah adalah 52 m dan luasnya adalah 160 m2.

Jika pak Ruben menjual tanah tersebut dengan harga 60000 kali panjang sisi

terpendek tanah per m2, maka berapakah jumlah uang yang akan diterima pak

Ruben?

Penyelesaian:

Dalam menyelesaikan masalah ini, terlebih dahulu harus memnemukan faktor-

faktor yang dominan dalam menyelesaikan masalah. Dalam masalah yang

diberikan, telah diketahui bahwa:

Keliling tanah adalah 52 m, luas tanah adalah 160 m2 dan harga tanah per m2

adalah 60000 kali panjang sisi terpendek tanah. Jika kita misalkan: panjang tanah

adalah 𝑝 dan lebar tanah adalah 𝑙. Maka kita akan peroleh:

2𝑝 + 2𝑙 = 52 → 𝑝 =52 − 2𝑙

2= 26 − 𝑙

𝑝 x l = 160 → (26 − 𝑙) x 𝑙 = 160

26𝑙 − 𝑙2 = 160 → 𝑙2 − 26𝑙 + 160 = 0


65

Konsep variasi terbatas dapat diterapkan untuk mencari nilai 𝑙 pada persamaan

kuadrat di atas, seperti yang ditunjukan berikut ini:

a. Mencari nilai 𝑙1

𝑙2 − 26𝑙 + 160 = 0 → 𝑙2 − 26𝑙 = −160

𝑙. 𝑙 − 26𝑙 = −160 → 𝑙(𝑙 − 26) = −160

𝑙 =−160

(𝑙 − 26)

→ 𝑙𝑛+1 =

−160

(−26 + 𝑙𝑛),

𝑙𝑛 ≠ 26

𝑛 = 0,1,2,3, ….

Misalkan: nilai awal adalah 𝑙0 = 15, maka akan diperoleh:

𝒏 𝒍𝒏 𝒍𝒏+𝟏

0 15 𝑙1 =

−160

(−26 + 𝑙0)=

−160

(−26 + 15)= 14.545455

1 14.545455 𝑙2 =

−160

(−26 + 𝑙1)= 13.968254

2 13.968254 13.298153

3 13.298153 12.596593

4 12.596593 11.937264

5 11.937264 11.377587

6 11.377587 10.942106

7 10.942106 10.625656

8 10.625656 10.406948

9 10.406948 10.260980

10 10.260980 10.165817

11 10.165817 10.104721

12 10.104721 10.065882

13 10.065882 10.041346

14 10.041346 10.025908


66

b. Mencari nilai 𝑙2

Misalkan: nilai awal adalah 𝑙0 = 1, maka akan diperoleh:

𝒏 𝒍𝒏 𝒍𝒏+𝟏

0 1 𝑙1 =

−160

𝑙0+ 26 =

−160

1+ 26 = −134

1 -134 𝑙2 =

−160

𝑙1+ 26 = 27.194030

2 27.194030 20.116356

3 20.116356 18.046273

4 18.046273 17.133903

5 17.133903 16.661789

6 16.661789 16.397190

7 16.397190 16.242230

8 16.242230 16.149136

9 16.149136 16.092349

10 16.092349 16.057387

11 16.057387 16.035739

12 16.035739 16.022287

13 16.022287 16.013910

14 16.013910 16.008686

15 16.008686 16.005426

16 16.005426 16.003390

17 16.003390 16.002118

Berdasarkan pola yang terlihat dalam kedua tabel di atas, maka dapat diperoleh

nilai 𝑙 adalah 10 atau 16. Untuk 𝑙 = 10 m akan diperoleh 𝑝 = 16 m dan

sebaliknya untuk 𝑙 = 16 m maka diperoleh 𝑝 = 10 m. Karena biasanya 𝑝 adalah

𝑙2 − 26𝑙 + 160 = 0 → 𝑙2 − 26𝑙 = −160

𝑙. 𝑙 − 26𝑙 = −160 → 𝑙(𝑙 − 26) = −160

𝑙 =−160

𝑙+ 26

→ 𝑙𝑛+1 =

−160

𝑙+ 26,

𝑙𝑛 ≠ 0 𝑛 = 0,1,2,3, ….


67

sisi terpanjang dan 𝑙 adalah sisi terpendek, maka kita peroleh 𝑝 = 16 m dan 𝑙 =

10 m. Di dalam soal, yang dicari adalah harga tanah seluruhnya dimana harga

tanah tersebut adalah 60000 kali panjang sisi terpendek yaitu 10 m, sehingga

diperoleh:

Harga tanah = 𝑅𝑝 (60000 x 10 x 160) = Rp 96.000.000,00

Jadi, jumlah uang seluruhnya yang diterima pak Ruben adalah Rp 96.000.000,00.

B. Refleksi

Saya tidak pernah membayangkan akan membuat tugas akhir tentang

matematika murni di awal perkuliahan. Dalam benak selalu terpikirkan bahwa,

karena kuliah di bidang pendidikan matematika maka tugas akhir yang akan

dibuat nantinya adalah tentang pendididikan matematika. Tentang bagaimana

menyikapi masalah-masalah dalam bidang pendidikan matematika di era

sekarang.

Menulis sebuah tugas akhir di bidang matematika murni adalah hal yang

pertama dan mungkin juga terakhir bagi saya. Awal menulis, saya tidak

mempunyai bayangan/ide yang mantap untuk menulis tugas akhir ini dan belum

mempunyai gambaran akan seperti apa hasilnya. Tetapi, karena besarnya

ketertarikan dan keinginan untuk membuat sebuah penelitian dalam bidang

matematika murni maka saya berani untuk memulai dan menyelesaikan tugas

akhir ini.

Awal mula tertarik dengan penelitian matematika murni adalah ketika saya

mempelajari materi-materi yang terdapat dalam perkuliahan Pemodelan

Matematika dan Landasan Matematika Terapan. Kedua mata kuliah ini

menyajikan hal-hal menarik yang berupa permasalahan dalam kehidupan sehari-

hari yang dapat dimodelkan dan selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan

ilmu matematika, selain itu dosen yang mengajarpun merupakan dosen-dosen

yang sangat menginspirasi.

Pada semester awal perkuliahan di Program Magister Pendidikan

Matematika, tidak pernah ada dalam benak peneliti bahwa akan langsung

memprogramkan mata kuliah kajian topik penelitian. Mata kuliah ini membantu


68

mahasiswa untuk menemukan ide dan ketertarikan mereka serta penentuan topik

dalam membuat tugas akhir. Awal perkuliahan saya sempat mengajukan niat

untuk membuat tugas akhir tentang pendidikan matematika. Hal ini dipilih karena

saya berpikir bahwa saya kuliah di Program Magister Pendidikan Matematika

sehingga otomatis tesis sayapun akan berkaitan dengan masalah dalam bidang

pendidikan matematika. Pemikiran saya berubah ketika saya sudah mengikuti

perkuliahan pemodelan matematika dan landasan matematika terapan. Ada

banyak hal yang menarik minat saya ketikan mengikuti perkuliahan kedua mata

kuliah tersebut, sehingga dengan ketertarikan ini serta penegasan dari pak Andy

(pengampu mata kuliah kajian topik penelitian) bahwa kami boleh membuat tugas

akhir dalam bidang matematika murni, maka akhirnya saya bertekad untuk

membuat tugas akhir tentang matematika murni.

Setelah berpindah dari topik pendidikan matematika ke matematika murni,

pak Andy meminta saya untuk memilih dosen pembimbing tesis. Dalam memilih

dosen pembimbing, saya sempat mengalami kebingungan karena ada dua orang

dosen (pak Sudi dan pak Hartono) yang saya ingini untuk dapat membantu saya

dalam menyelesaikan tugas akhir ini serta untuk belajar lebih banyak dari mereka.

Tetapi dengan berbagai pertimbangan akhirnya saya memilih pak Sudi sebagai

dosen pembimbing tesis.

Pertemuan awal dengan pak Sudi untuk mendiskusikan permasalahan yang

akan dibahas dalam tugas akhir adalah ketika selesai perkuliahan pemodelan

matematika. Dalam pertemuan tersebut, saya dan dua orang teman yang memilih

pak Sudi sebagai pembimbing membahas tentang topik yang menarik minat kami

untuk dibahas dalam tesis. Waktu itu saya memberitahukan bahwa saya tertarik

untuk membahas tentang pemodelan matematika dari sistem penyebaran penyakit

menular dengan model epidemi SIR. Ketika mendengar hal tersebut, pak Sudi

langsung menugaskan saya untuk mencari dan membaca hal-hal yang berkaitan

dengan sistem penyebaran penyakit model SIR serta jenis penyakit yang akan

dibahas.

Beberapa minggu setelah pertemuan awal, kami meminta waktu untuk

bimbingan dengan pak Sudi, dalam bimbingan kali ini saya memberitahukan


69

bahwa saya sudah membaca beberapa sumber tentang model SIR dan penyakit

yang saya pilih untuk dibahas adalah penyakit TBC. Ketika mendengar hal

tersebut, pak Sudi meminta saya untuk memilih metode penyelesaian dari masalah

yang akan saya modelkan. Beliau memberikan tiga buah pilihan yaitu metode

variasi iterasional, dekomposisi Adomian, dan beda hingga. Dari ketiga metode

itu saya memilih metode variasi iterasional. Selanjutnya beliau meminta kami

untuk mempelajari metode tersebut serta mengumpulkan berbagai sumber terkait

tugas akhir dan mulai menulis.

Ada banyak rintangan dan hambatan yang saya alami dalam

menyelesaikan tugas akhir ini. Mulai dari otak yang tidak bisa bekerja sama

dengan niat untuk memahami teori yang digunakan, mood yang tiba-tiba hilang

dan enggan untuk melanjutkan tulisan, bingung dalam menyatukan ide yang saya

pahami dengan ide yang dosen pembimbing sampaikan, sampai pada stres ringan

karena sering tidak teliti dalam mengetik, menggunakan kata dan simbol serta

tanda baca sehingga selalu diperbaiki oleh dosen pembimbing. Ketika tidak teliti

dalam mengetik dan menggunakan tanda baca, saya kecewa dengan diri sendiri

karena berulang kali pak Sudi memberitahukan bahwa saya harus teliti dan selalu

membaca ulang tulisan yang sudah dibuat. Meskipun dalam kenyataannya saya

sudah mengikuti saran beliau, tetapi tetap saja selalu ada hal-hal yang luput dari

hasil membaca ulang yang saya lakukan. Rintangan yang paling berat yang pernah

saya alami adalah ketika menjelang akhir dari penulisan tesis ini. Ketika itu, saya

dan Osni (teman bimbingan) sedang berkonsultasi dengan pak Sudi. Karena

berencana untuk segera ujian, akhirnya pada bimbingan kali tersebut pak Sudi

sudah mulai menanyakan pemahaman kami terhadap tesis yang sudah kami

kerjakan. Ada beberapa pertanyaan yang beliau berikan saat itu, salah satunya

adalah terkait model yang sudah saya selesaikan dengan metode iterasi

variasional. Beliau bertanya apakah penurunan rumus yang terdapat di dalam

model tersebut sudah benar atau tidak. Saat itu saya baru menyadari bahwa,

sebelumnya penurunan rumus itulah yang menjadi persoalan saya dengan teman

sebimbingan. Karena lamanya jeda bimbingan ketika itu, akhirnya saya lupa

menanyakan hal tersebut ke beliau. Ternyata setelah diperiksa ketika bimbingan


70

hari itu, saya baru menemukan bahwa penurunan rumus itu keliru. Ketika

mengetahui hal tersebut, saya sangat kecewa dengan diri sendiri karena tidak

terlebih dahulu mengecek setiap persamaan yang saya gunakan dalam tesis yang

saya buat. Selain kecewa, saya juga cemas. Saya cemas karena jika persamaan itu

salah, maka semua yang saya buat setelah itu otomatis sudah salah, padahal inti

dari tesis saya yang sebenarnya adalah penyelesaian model tersebut. Jika hal

demikian terjadi, maka saya harus membuat ulang tesis dari awal, dan cita-cita

untuk ujian cepat pastinya sudah gagal. Hari itu, ada tiga solusi yang pak Sudi

tawarkan kepada saya. Pertama, saya harus membaca ulang model transmisi

tuberkulosis yang ingin saya selesaikan dan mencoba untuk menurunkan ulang

rumus, dengan harapan bahwa mungkin ada beberapa hal yang keliru sehingga

model akhirnya tetap benar; kedua, beliau menyarankan agar saya mengirimkan

email kepada penulis yang membuat model tersebut untuk meminta pencerahan

dan penjelasan terkait penurunan rumus tersebut; ketiga, saya harus mencari

model transmisi TB yang lain untuk diselesaikan. Ketika pulang ke rumah, saya

langsung melaksanakan saran pak Sudi yang pertama, saya mencoba sampai

beberapa kali sambil memahami dan memeriksa apakah sudah benar atau belum,

tetapi hasilnya tetap tidak sesuai dengan model yang sudah saya selesaikan.

Setelah itu, saya mencoba saran yang kedua, meminta pencerahan kepada sang

penulis. Dua hari saya menunggu balasan emai dari beliau. Sambil menunggu,

saya membaca beberapa model tentang transmisi TBC model epidemi SIR dengan

harapan bahwa jika memang penulis tidak memberikan jawaban tentang email

yang dikirim, maka saya sudah mendapat model baru yang sudah saya pelajari dan

bisa diselesaikan sehingga penundaan ujian tidak terlalu lama.

Pak Sudi memang luar biasa, beliau tidak membiarkan masalah yang saya

hadapi begitu saja, beliau juga mencoba untuk menghubungi penulis. Sehari

setelah pak Sudi hubungi, sang penulis membalas email yang beliau kirim.

Balasan dari email tersebut begitu menggembirakan. Sang penulis berterima kasih

karena sudah dihubungi dan memohon maaf karena ternyata dalam penulisan

karya ilmiah tersebut beliau kurang teliti dalam mengetik rumus, sehingga ada

satu variabel yang lupa untuk ditulis dalam persamaan tersebut. Saya sangat


71

berterima kasih kepada dosen pembimbing saya yang super luar biasa selalu

membantu saya dalam menyelesaikan masalah tersebut.

Pengalaman ini membuat saya sepenuhnya sadar bahwa, memeriksa ulang

adalah suatu kegiatan yang wajib kita lakukan dalam melaksanakan atau

menyelesaikan sesuatu. Teliti adalah modal yang wajib dimiliki untuk

menyelesaikan suatu pekerjaan, apapun pekerjaannya. Ketika tidak teliti, maka

hasil dari pekerjaan tersebut tidak akan menggembirakan.

Dibalik semua rintangan dan hambatan yang saya alami, saya sangat

bersyukur dapat menyelesaikan tulisan ini meskipun masih jauh dari

kesempurnaan. Saya bersyukur Tuhan memberi saya kesempatan untuk menulis

tesis ini sampai selesai, bersyukur karena saya diberi kesempatan untuk dibimbing

oleh seorang dosen yang luar biasa, diberi kesempatan untuk belajar bersama

teman-teman satu dosen pembimbing yang luar biasa pula. Saya belajar banyak

hal dari pak Sudi dan teman-teman. Saya sangat berterima kasih kepada pak Sudi

karena mau membimbing saya dengan sabar dan selalu memberikan motivasi

yang luar biasa selama menyelesaikan tugas akhir ini. Terima kasih untuk semua

ilmu dan pengalaman yang saya terima ketika menjadi mahasiswa bimbingan

beliau. Beliau adalah sang motivator yang luar biasa baik dan pengertian bagi saya

dan teman-teman bimbingan yang lain. Kami mengagumi sosok beliau yang

selalu semangat dalam menjalankan setiap tugas dan panggilannya. Semoga kelak,

kami bisa sedikit memiliki semangat dan teladan seperti beliau. Amin.

Ada banyak orang yang membantu saya dalam menyelesaikan tesis ini,

bapa, mama, adik-adik, keluarga dan sahabat-sahabat saya yang terkasih (Enu

Osni, Kak Olive, Ka Ryo, Ka Yukema, Kk Ny, Kk Jho, dan semuanya). Oleh

karena itu, saya juga ingin berterima kasih kepada mereka. Terima kasih karena

mau membantu dan memberikan dukungan kepada saya dalam menyelesaikan

tesis. Bantuan kalian memiliki peran yang luar biasa bagi saya dalam

menyelesaikan tugas akhir ini. Terima kasih, saya menyayangi kalian.


72

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pada bagian ini, penulis menyajikan kesimpulan akhir dari semua hal yang

dibahas pada bab sebelumnya. Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya,

maka dapat disimpulkan bahwa metode Euler, metode Heun dan metode iterasi

variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial sistem

transmisi tuberkulosis yang sudah dimodelkan. Solusi hasil penyelesaian

menggunakan ketiga metode ini berupa solusi pendekatan analitis. Solusi ini dapat

dihitung dengan bantuan software MATLAB dan MAPLE.

Analisis solusi menunjukan bahwa: pertama, selisih solusi hasil

perhitungan antara metode Heun dan VIM sangat kecil untuk nilai 𝑡 yang kecil;

kedua,; selisih solusi hasil perhitungan antara metode Euler dan VIM lebih besar

jika dibandingkan dengan selisih solusi hasil perhitungan antara metode Heun dan

VIM untuk nilai 𝑡 yang kecil; ketiga, untuk nilai 𝑡 yang kecil solusi yang

diperoleh dengan menggunakan VIM masih relevan, namun metode iterasi

variasional ini kurang relevan untuk pengambilan nilai 𝑡 yang besar.

B. Saran

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, penulis menyarankan agar

para peneliti selajutnya dapat menerapkan model-model epidemi dan metode

numeris lainya untuk menyelesaikan persoalan tentang penyebaran penyakit

dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, penulis juga berharap agar para pembaca

dapat menjadi penulis yang berikutnya. Penulis yang ingin mempelajari lebih

dalam lagi terkait manfaat ilmu matematika dalam menyelesaikan masalah dalam

kehidupan sehari-hari.


73

DAFTAR PUSTAKA

Abbasbandy, S. dan Shivanian, E., 2009, Application of the Variational Iteration

Method for System of Nonlinear Volterra’s Integro-Differential Equations.

Mathematical and Computational Applications 14 (2), 147-158.

Abdou, M. A. dan Soliman, A. A., 2005, Variational Iteration Method for Solving

Burger’s and Coupled Burger’s Equations. Journal of Computational and

Applied Mathematics 181 (2), 245-251.

Adebiyi, A. O., 2016, Mathematical Modeling of the Population Dynamics of

Tuberculosis. Postgraduate Dissertation, Department of Mathematics and

Applied Mathematics, University of the Western Cape, South Africa.

Agrawal, N., 2016, Application of Modified Euler’s Method in Obtaining

Numerical Solution of Swing Equation. International Journal of Scientific

Research Engineering & Technology (IJSRET) 5 (11), 561-567.

Allman, E. S. dan Rhodes, J. A., 2004, Mathematical Models in Biology. New

York: Cambridge University Press.

Banerjee, S., 2015, Stability Analysis of a Non Vaccinated SIR Epidemic Model.

International Journal of Multidisciplinary Research 2 (7), 48-50.

Betancourt,F. A., Pizza, D. M. M., Loaiza, A. M., Montoya, J. F. A., Muñoz, C.

A. A., Arias, O. A. M., Olarte, J. A., Osorio, S. R., Contreras, H. M., dan

Zuluaga, V. Z., 2017, Modeling Pulmonary Tuberculosis for Optimal

Control Including Prevention. British Journal of Mathematics & Computer

Science 21 (6), 1-8.

Biazar, J. dan Ghazvini, H., 2007, He’s Variational Iteration Method for Solving

Hyperbolic Differential Equations. International Journal of Nonlinear

Sciences and Numerical Simulation 8 (3), 311-314.

Brauer, F. dan Chavez, C. C., 2012, Mathematical Models in Population Biology

and Epidemiology. New York: Springer.

Bubniakov´A, L., 2007, The Mathematics of Infectious Diseases. Bratislava:

Postgraduate Thesis, Department of Mathematical Analysis and Numerical

Mathematics, Comenius University.

Butcher, J. C., 2008, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.

England: John Wiley & Sons, Ltd.

Chandio, M. S. dan Memon, A. G., 2010, Improving the Efficiency of Heun’s

Method. Sindh University Research Journal (Science Series) 42 (2), 85-88.

Egbetade, S.A., Ibrahim, M.O., dan Ejieji, C.N., 2013, On Existence of a

Vaccination Model of Tuberculosis Disease Pandemic. International

Journal of Engineering and Science 2 (7), 41-44.

Elaydi, S., 2005, An Introduction to Difference Equations. New York: Springer

Science+Business Media, Inc.

Griffiths, D.F. dan Higham, D.J., 2010, Numerical Methods for Ordinary

Differential Equations. London: Springer.

Haberman, R., 1977, Mathematical Models, Mechanical Vibrations, Population

Dynamics, and Traffic Flow. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.


74

He, J. H., 1999, Variational Iteration Method – a Kind of Non-Linear Analytical

Technique: Some Examples. International Journal of Non-Linear

Mechanics 34 (4), 699-708.

He, J. H. dan Wu, X. H., 2007, Variational Iteration Method: New Development

and Applications. Computers and Mathematics with Applications 54 (7-8),

881-894.

Hethcote, H. W., 2000, The Mathematics of Infectious Diseases. SIAM Review 42

(4), 599-653.

He, Y., Gao, S., dan Xie, D., 2013, An SIR Epidemic Model with Time-Varying

Pulse Control Schemes and Saturated Infectious Force. Applied

Mathematical Modelling 37 (1), 8131–8140.

Kasbawati, 2011, Analisis Numerik Model Epidemiologi SIR dengan Faktor

Difusi. Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi 7 (2), 98-107.

Li, M. Y. dan Shuai, Z., 2010, Global-Stability Problem for Coupled Systems of

Differential Equations on Networks. Journal of Differential Equations 248

(1), 1-20.

McCluskey, C. C., 2010, Complete global stability for an SIR epidemic model

with delay — Distributed or discrete. Nonlinear Analysis: Real World

Applications 11 (1), 55–59.

Meng, X. dan Chen, L., 2008, The dynamics of a new SIR epidemic model

concerning pulse vaccination strategy. Applied Mathematics and

Computation 197 (1), 582–597.

Mohyud-Din, S. T., Sikander, W., Khan, U., dan Ahmed, N., 2017, Optimal

Variational Iteration Method for Nonlinear Problems. Journal of the

Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences 24 (1),

191-197.

Murray, J. D., 2002, Mathematical Biology, an Introduction. New York: Springer.

Odibat, Z. M., 2010, A Study on the Convergence of Variational Iteration

Method. Mathematical and Computer Modelling 51 (9-10), 1181-1192.

Porwal, P., Shrivastava, P., dan Tiwari, S. K., 2015, Study of Simple SIR

Epidemic Model. Advances in Applied Science Research 6 (4), 1-4.

Putranto, Y. W., 2017, Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi

Pemangsa-Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

Yogyakarta: Masters Thesis. Universitas Sanata Dharma.

Rangkuti, Y. M., Side, S., dan Noorani, M. S. M.,2014, Numerical Analytic

Solution of SIR Model of Dengue Fever Disease in South Sulawesi Using

Homotopy Perturbation Method and Variational Iteration Method. Journal

Mathematical and Fundamental Sciences 46 (1), 91-105.

Rohaeti, E., Wardatun, S., dan Andriyati, A., 2015, Stability Analysis Model of

Spreading and Controlling of Tuberculosis. Applied Mathematical

Sciences 9 (52), 2559-2566.

Salehpoor, E., Jafari, H., dan Afrapoli, M. A., 2010, Revised Variational Iteration

Method for Solving Systems of Ordinary Differential Equations.

Applications and Applied Mathematics: An International Journal 1 (1),

110-121.


75

Salehpoor, E. dan Jafari, H., 2011, Variational Iteration Method: A Tools for

Solving Partial Differential Equations. The Journal of Mathematics and

Computer Science 2 (2), 388-393.

Setianingrum, P. S. dan Mungkasi, S., 2017, Variational Iteration Method Used to

Solve the One-Dimensional Acoustic Equations. Journal of Physics:

Conference Series 856 (1), 012010 (1-7).

Shakeri, F. dan Dehghan, M., 2007, Numerical Solution of a Biological

Population Model Using He’s Variational Iteration Method. Computers

and Mathematics with Applications 54 (7-8), 1197-1209.

Side, S., 2015, A Susceptible-Infected-Recovered Model and Simulation for

Transmission of Tuberculosis. Advanced Science Letters 21 (2), 137-139.

Side, S. dan Sanusi, W., 2016, Pemodelan Matematika pada Penularan Penyakit

Tuberculosis. Makasar: Badan Penerbit Universitas Negeri Makassar.

Sweilam, N. H. dan Khader, M. M., 2007, Variational Iteration Method for One

Dimensional Nonlinear Thermoelasticity. Chaos, Solitons and Fractals 32

(1), 145-149.

Tatari, M. dan Dehghan, M., 2007, He’s Variational Iteration Method for

Computing a Control Parameter in a Semi-Linear Inverse Parabolic

Equation. Chaos, Solitons and Fractals 33 (2), 671-677.

Taufik, M. R., Lestari, D., dan Septiarini, T. W., 2015, Mathematical Model for

Vaccinated Tuberculosis Disease with VEIT Model. International Journal

of Modeling and Optimization 5 (3), 192-197.

Wallis, R. S., 2016, Mathematical Models of Tuberculosis Reactivation and

Relapse. Frontiers in Microbiology 7 (669), 1-7.

Wu, G. C. dan Lee, E.W.M., 2010, Fractional Variational Iteration Method and its

Application. Physics Letters A 374 (25), 2506-2509.

Yoshida, N., dan Hara, T., (2007), Global Stability of a Delayed SIR Epidemic

Model with Density Dependent Birth and Death Rates. Journal of

Computational and Applied Mathematics 201 (1), 339-347.

Yuliyanto, B. D. dan Mungkasi, S., 2017, Variational Iteration Method for

Solving the Population Dynamics Model of Two Species. Journal of

Physics: Conference Series 795 (1), 012044 (1-7).


76

LAMPIRAN I

PROGRAM MATLAB UNTUK METODE EULER

Simulasi I

% Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi I %% Initial Conditions a=0.000046; % Nilai Parameter Beta b=0.326666; % Nilai Parameter Alfa c=0.123111; % Nilai Parameter Gamma d=0.041230; % Nilai Parameter Delta e=0.003700; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;

%% Initializing Solution T=(t0:h:tEnd); X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0;

%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N % Metode Euler pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end %% Plot Results plot (T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r'); xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(i),y(i), dan z(i)'); grid on; title('Penerapan Metode Euler dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

TB Model Epidemi SIR Simulasi I'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)

adalah infected II') hold on


77

Simulasi II % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi II

%% Initial Conditions a=0.015; % Nilai Parameter Beta b=0.325; % Nilai Parameter Alfa c=0.125; % Nilai Parameter Gamma d=0.055; % Nilai Parameter Delta e=0.165; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;


%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end

%% Plot Results plot (T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r'); xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(i),y(i), dan z(i)'); grid on; title('Penerapan Metode Euler dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

TB Model Epidemi SIR Simulasi II'); legend('x(t) adalah Susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



78

Simulasi III % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi III





TB Model Epidemi SIR Simulasi III'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



79

Simulasi IV % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi IV





TB Model Epidemi SIR Simulasi IV'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected'I,'z(t)



80

LAMPIRAN II

PROGRAM MATLAB UNTUK METODE HEUN

Simulasi I % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi I %% Initial Conditions a=0.000046; % Nilai Parameter Beta b=0.326666; % Nilai Parameter Alfa c=0.123111; % Nilai Parameter Gamma d=0.041230; % Nilai Parameter Delta e=0.003700; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

TB Model Epidemi SIR Simulasi I'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



81

Simulasi II % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi II %% Initial Conditions a=0.015; % Nilai Parameter Beta b=0.325; % Nilai Parameter Alfa c=0.125; % Nilai Parameter Gamma d=0.055; % Nilai Parameter Delta e=0.165; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

TB Model Epidemi SIR Simulasi II'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



82

Simulasi III % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi III %% Initial Conditions a=0.000150; % Nilai Parameter Beta b=0.212500; % Nilai Parameter Alfa c=0.020050; % Nilai Parameter Gamma d=0.200050; % Nilai Parameter Delta e=0.150000; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

TB Model Epidemi SIR Simulasi III'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



83

Simulasi IV % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi IV %% Initial Conditions a=0.05; % Nilai Parameter Beta b=0.12; % Nilai Parameter Alfa c=0.13; % Nilai Parameter Gamma d=0.02; % Nilai Parameter Delta e=0.15; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi

TB Model Epidemi SIR Simulasi IV'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



84

LAMPIRAN III

PROGRAM MATLAB UNTUK VIM

Simulasi I %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi I

% Solving Using VIM's Method ii=0:0.1:5; XXX =1.389137310*10^(-23)*ii.^19+1.908731732*10^(-

21)*ii.^18+4.275599121*10^(-20)*ii.^17-3.070625662*10^(-

18)*ii.^16-6.696032013*10^(-17)*ii.^15+2.767045407*10^(-

15)*ii.^14+3.638359875*10^(-15)*ii.^13-1.080656305*10^(-

12)*ii.^12+1.527371442*10^(-11)*ii.^11+7.792503116*10^(-

11)*ii.^10-4.046378679*10^(-9)*ii.^9+4.358543285*10^(-

8)*ii.^8+3.85660582*10^(-8)*ii.^7-0.7151798971e-

5*ii.^6+0.5950247438e-4*ii.^5-0.1760525239e-3*ii.^4-0.2862027690e-

2*ii.^3+0.4676467858e-1*ii.^2+0.9989350-0.3263563771*ii; YYY =0.954e-3+0.3262787234*ii-0.6003850645e-1*ii.^2-0.2948016209e-

3*ii.^4+0.5918193293e-2*ii.^3-1.346732829*10^(-

7)*ii.^7+0.4311350505e-5*ii.^6-0.906842842e-5*ii.^5-

6.664613327*10^(-15)*ii.^12-6.682679815*10^(-13)*ii.^11-

3.291561037*10^(-12)*ii.^10+7.373297123*10^(-10)*ii.^9-

6.558067131*10^(-9)*ii.^8; ZZZ =-1.389137310*10^(-23)*ii.^19-1.908731732*10^(-21)*ii.^18-

4.275599121*10^(-20)*ii.^17+3.070625662*10^(-

18)*ii.^16+6.696032013*10^(-17)*ii.^15-2.767045407*10^(-

15)*ii.^14-3.638359875*10^(-15)*ii.^13+1.087245431*10^(-

12)*ii.^12-1.461301562*10^(-11)*ii.^11-7.467075220*10^(-

11)*ii.^10+3.317400372*10^(-9)*ii.^9-3.722597923*10^(-

8)*ii.^8+8.914568603*10^(-8)*ii.^7+0.3084459327e-5*ii.^6-

0.4830738596e-4*ii.^5+0.4119140531e-3*ii.^4-0.2239008540e-

2*ii.^3+0.6547522768e-2*ii.^2+0.112e-3+0.3790582171e-4*ii; %% Plot Result plot(ii,XXX,'g',ii,YYY,'b',ii,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi I'); legend('x(t) adalah Susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)

adalah Infected II') hold on


85

Simulasi II %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi II

%% Solving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.3246766150*s+3.503387871*10^(-15)*s.^14+1.726138723*10^(-

14)*s.^13-1.501912222*10^(-12)*s.^12+1.631887856*10^(-

23)*s.^19+2.464039695*10^(-21)*s.^18+6.970363037*10^(-20)*s.^17-

3.737390542*10^(-18)*s.^16-1.092444683*10^(-

16)*s.^15+1.761789098*10^(-11)*s.^11+1.459031575*10^(-10)*s.^10-

5.277675849*10^(-9)*s.^9+4.966214449*10^(-

8)*s.^8+1.126189630*10^(-7)*s.^7-0.8636177424e-

5*s.^6+0.6608279426e-4*s.^5-0.1669323468e-3*s.^4-0.3215872886e-

2*s.^3+0.4861516255e-1*s.^2+0.998935; YYY=0.954e-3+.3245870950*s-0.6412049828e-1*s.^2-0.3796384546e-

3*s.^4+0.6762787570e-2*s.^3-1.744549223*10^(-

7)*s.^7+0.4955638165e-5*s.^6-0.553566416e-5*s.^5-7.185780407*10^(-

15)*s.^12-8.030399948*10^(-13)*s.^11-7.179240611*10^(-

12)*s.^10+8.964636698*10^(-10)*s.^9-6.779384996*10^(-9)*s.^8; ZZZ=0.1855497459e-4*s-3.503387871*10^(-15)*s.^14-1.726138723*10^(-

14)*s.^13+1.505449837*10^(-12)*s.^12-1.631887856*10^(-23)*s.^19-

2.464039695*10^(-21)*s.^18-6.970363037*10^(-

20)*s.^17+3.737390542*10^(-18)*s.^16+1.092444683*10^(-16)*s.^15-

1.722254821*10^(-11)*s.^11-1.423687621*10^(-

10)*s.^10+4.836339889*10^(-9)*s.^9-4.612987776*10^(-8)*s.^8-

1.76971899*10^(-8)*s.^7+0.5854914056e-5*s.^6-0.7493696023e-

4*s.^5+0.5612657099e-3*s.^4-0.2688537060e-2*s.^3+0.6578192062e-

2*s.^2+0.112e-3; %% Plot Result plot(s,XXX,'g',s,YYY,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi II'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



86

Simulasi III %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi III

%% Solving Using VIM's Method

s=0:0.1:5; XXX=-0.2119954569*s+0.997586-1.521811347*10^(-

19)*s.^14+1.097506894*10^(-17)*s.^13+1.433005522*10^(-

16)*s.^12+3.486914654*10^(-32)*s.^19+8.784967863*10^(-

29)*s.^18+5.983812460*10^(-26)*s.^17+1.018888790*10^(-23)*s.^16-

1.429739447*10^(-21)*s.^15-2.031673927*10^(-

14)*s.^11+7.384049783*10^(-13)*s.^10-3.216645077*10^(-12)*s.^9-

3.609042715*10^(-10)*s.^8+1.327932919*10^(-8)*s.^7-

2.626370678*10^(-7)*s.^6-2.75360797*10^(-7)*s.^5+0.5696873928e-

4*s.^4-0.1440382562e-2*s.^3+0.2209172317e-1*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.2115728112*s-0.4370295570e-1*s.^2-0.3008081024e-

3*s.^4+0.4481274300e-2*s.^3-5.086978008*10^(-

9)*s.^7+1.247471725*10^(-7)*s.^6+0.1446552784e-4*s.^5-

4.588461193*10^(-20)*s.^12-9.550942173*10^(-17)*s.^11-

3.508058511*10^(-14)*s.^10+1.529325646*10^(-

12)*s.^9+8.439359011*10^(-11)*s.^8; ZZZ=-0.4300779685e-4*s+1.521811347*10^(-19)*s.^14-

1.097506894*10^(-17)*s.^13-1.432870568*10^(-16)*s.^12-

3.486914654*10^(-32)*s.^19-8.784967863*10^(-29)*s.^18-

5.983812460*10^(-26)*s.^17-1.018888790*10^(-

23)*s.^16+1.429739447*10^(-21)*s.^15+2.034483027*10^(-14)*s.^11-

7.280871592*10^(-13)*s.^10+2.766843416*10^(-

12)*s.^9+3.359722024*10^(-10)*s.^8-1.184357818*10^(-

8)*s.^7+2.284297174*10^(-7)*s.^6-0.2903301899e-

5*s.^5+0.2516757288e-4*s.^4-0.1481711410e-3*s.^3+0.4519225911e-

3*s.^2+0.345e-3;

%% Plot Result plot(s,XXX,'g',s,YYY,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi III'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



87

Simulasi IV %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi IV

%% Solving Using VIM's Method

s=0:0.1:5; XXX=-0.1196218185*s+0.997586+6.006371216*10^(-

21)*s.^14+9.737800935*10^(-19)*s.^13-4.345951495*10^(-

17)*s.^12+2.149958882*10^(-31)*s.^19+1.411995753*10^(-

28)*s.^18+2.375239396*10^(-26)*s.^17-6.961542069*10^(-25)*s.^16-

3.044071581*10^(-22)*s.^15-3.714803511*10^(-

17)*s.^11+7.678303953*10^(-14)*s.^10-2.449051382*10^(-

12)*s.^9+1.573684466*10^(-11)*s.^8+1.473393350*10^(-9)*s.^7-

6.663436264*10^(-8)*s.^6+6.275241534*10^(-7)*s.^5+0.4514718864e-

5*s.^4-0.3903528178e-3*s.^3+0.9239425552e-2*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.1195654900*s-0.1136210126e-1*s.^2-0.2281770710e-

4*s.^4+0.6346927181e-3*s.^3-5.847052157*10^(-

10)*s.^7+2.668763549*10^(-8)*s.^6+4.278011526*10^(-7)*s.^5-

6.952233584*10^(-20)*s.^12-3.511507194*10^(-17)*s.^11-

2.845800007*10^(-15)*s.^10+3.151176552*10^(-

13)*s.^9+4.140954446*10^(-13)*s.^8; ZZZ=-0.3680151523e-4*s-6.006371216*10^(-21)*s.^14-

9.737800935*10^(-19)*s.^13+4.344213437*10^(-17)*s.^12-

2.149958882*10^(-31)*s.^19-1.411995753*10^(-28)*s.^18-

2.375239396*10^(-26)*s.^17+6.961542069*10^(-

25)*s.^16+3.044071581*10^(-22)*s.^15+2.836926713*10^(-17)*s.^11-

7.749448953*10^(-14)*s.^10+2.527830796*10^(-12)*s.^9-

1.578633373*10^(-11)*s.^8-1.647407359*10^(-

9)*s.^7+7.561907686*10^(-8)*s.^6-0.1654746114e-

5*s.^5+0.2184303797e-4*s.^4-0.1953552416e-3*s.^3+0.9321091700e-

3*s.^2+0.345e-3;

%% Plot Result plot(s,XXX,'g',s,YYY,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data

Simulasi IV'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)



88

LAMPIRAN IV

PROGRAM MATLAB UNTUK ANALISIS HASIL SIMULASI

Simulasi I % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi I %% Initial Conditions aa=0.000046; % Nilai Parameter Beta bb=0.326666; % Nilai Parameter Alfa cc=0.123111; % Nilai Parameter Gamma dd=0.041230; % Nilai Parameter Delta ee=0.003700; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.998935; % Nilai x ketika t0 yy0=0.000954; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000112; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh;

%% Initializing Solution TT=(tt0:hh:ttEnd); XX=zeros(NN+1,1); XX(1)=xx0; YY=zeros(NN+1,1); YY(1)=yy0; ZZ=zeros(NN+1,1); ZZ(1)=zz0;

%% Solving Using Euler's Method for i = 1:NN % Metode Euler pi=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); XX(i+1)=XX(i)+hh*pi; qi=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); YY(i+1)=YY(i)+hh*qi; ri=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh*ri; end

%% Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi I %% Initial Conditions a=0.000046; % Nilai Parameter Beta b=0.326666; % Nilai Parameter Alfa c=0.123111; % Nilai Parameter Gamma d=0.041230; % Nilai Parameter Delta e=0.003700; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1;


89

N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end

%% Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi I % Solving Using VIM's Method ii=0:0.1:5; XXX =1.389137310*10^(-23)*ii.^19+1.908731732*10^(-

21)*ii.^18+4.275599121*10^(-20)*ii.^17-3.070625662*10^(-

18)*ii.^16-6.696032013*10^(-17)*ii.^15+2.767045407*10^(-

15)*ii.^14+3.638359875*10^(-15)*ii.^13-1.080656305*10^(-

12)*ii.^12+1.527371442*10^(-11)*ii.^11+7.792503116*10^(-

11)*ii.^10-4.046378679*10^(-9)*ii.^9+4.358543285*10^(-

8)*ii.^8+3.85660582*10^(-8)*ii.^7-0.7151798971e-

5*ii.^6+0.5950247438e-4*ii.^5-0.1760525239e-3*ii.^4-0.2862027690e-

2*ii.^3+0.4676467858e-1*ii.^2+0.9989350-0.3263563771*ii; YYY =0.954e-3+0.3262787234*ii-0.6003850645e-1*ii.^2-0.2948016209e-

3*ii.^4+0.5918193293e-2*ii.^3-1.346732829*10^(-

7)*ii.^7+0.4311350505e-5*ii.^6-0.906842842e-5*ii.^5-

6.664613327*10^(-15)*ii.^12-6.682679815*10^(-13)*ii.^11-

3.291561037*10^(-12)*ii.^10+7.373297123*10^(-10)*ii.^9-

6.558067131*10^(-9)*ii.^8; ZZZ =-1.389137310*10^(-23)*ii.^19-1.908731732*10^(-21)*ii.^18-

4.275599121*10^(-20)*ii.^17+3.070625662*10^(-

18)*ii.^16+6.696032013*10^(-17)*ii.^15-2.767045407*10^(-

15)*ii.^14-3.638359875*10^(-15)*ii.^13+1.087245431*10^(-

12)*ii.^12-1.461301562*10^(-11)*ii.^11-7.467075220*10^(-

11)*ii.^10+3.317400372*10^(-9)*ii.^9-3.722597923*10^(-

8)*ii.^8+8.914568603*10^(-8)*ii.^7+0.3084459327e-5*ii.^6-

0.4830738596e-4*ii.^5+0.4119140531e-3*ii.^4-0.2239008540e-

2*ii.^3+0.6547522768e-2*ii.^2+0.112e-3+0.3790582171e-4*ii;


90

%% Plot Result plot(T,ZZ,'g',T,Z,'b',ii,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai z1(t),z2(t), dan z3(t)'); grid on; title(' Infected II Euler, Heun dan VIM Simulasi I'); legend('z1(t) adalah Infected II Euler','z2(t) adalah Infected II

Heun','z3(t) adalah Infected II VIM') hold on

Simulasi II % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi II %% Initial Conditions a=0.015; % Nilai Parameter Beta b=0.325; % Nilai Parameter Alfa c=0.125; % Nilai Parameter Gamma d=0.055; % Nilai Parameter Delta e=0.165; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;


%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi II %% Initial Conditions aa=0.015; % Nilai Parameter Beta bb=0.325; % Nilai Parameter Alfa cc=0.125; % Nilai Parameter Gamma dd=0.055; % Nilai Parameter Delta ee=0.165; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.998935; % Nilai x ketika t0


91

yy0=0.000954; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000112; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh; %% Initializing Solutions TT=[tt0:hh:ttEnd]'; XX=zeros(NN+1,1); XX(1)=xx0; YY=zeros(NN+1,1); YY(1)=yy0; ZZ=zeros(NN+1,1); ZZ(1)=zz0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:NN % Metode Heun j1=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); k1=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); l1=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); tNew=TT(i)+hh; xNew=XX(i)+hh*j1; yNew=YY(i)+hh*k1; zNew=ZZ(i)+hh*l1; j2=aa-(bb*xNew)-(cc*bb*xNew*yNew)-(aa*xNew); k2=bb*xNew-(aa+dd)*yNew; l2=cc*bb*xNew*yNew-(aa+ee)*zNew; XX(i+1)=XX(i)+hh/2*(j1+j2); YY(i+1)=YY(i)+hh/2*(k1+k2); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh/2*(l1+l2); end %% Solving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.3246766150*s+3.503387871*10^(-15)*s.^14+1.726138723*10^(-

14)*s.^13-1.501912222*10^(-12)*s.^12+1.631887856*10^(-

23)*s.^19+2.464039695*10^(-21)*s.^18+6.970363037*10^(-20)*s.^17-

3.737390542*10^(-18)*s.^16-1.092444683*10^(-

16)*s.^15+1.761789098*10^(-11)*s.^11+1.459031575*10^(-10)*s.^10-

5.277675849*10^(-9)*s.^9+4.966214449*10^(-

8)*s.^8+1.126189630*10^(-7)*s.^7-0.8636177424e-

5*s.^6+0.6608279426e-4*s.^5-0.1669323468e-3*s.^4-0.3215872886e-

2*s.^3+0.4861516255e-1*s.^2+0.998935; YYY=0.954e-3+.3245870950*s-0.6412049828e-1*s.^2-0.3796384546e-

3*s.^4+0.6762787570e-2*s.^3-1.744549223*10^(-

7)*s.^7+0.4955638165e-5*s.^6-0.553566416e-5*s.^5-7.185780407*10^(-

15)*s.^12-8.030399948*10^(-13)*s.^11-7.179240611*10^(-

12)*s.^10+8.964636698*10^(-10)*s.^9-6.779384996*10^(-9)*s.^8; ZZZ=0.1855497459e-4*s-3.503387871*10^(-15)*s.^14-1.726138723*10^(-

14)*s.^13+1.505449837*10^(-12)*s.^12-1.631887856*10^(-23)*s.^19-

2.464039695*10^(-21)*s.^18-6.970363037*10^(-

20)*s.^17+3.737390542*10^(-18)*s.^16+1.092444683*10^(-16)*s.^15-

1.722254821*10^(-11)*s.^11-1.423687621*10^(-

10)*s.^10+4.836339889*10^(-9)*s.^9-4.612987776*10^(-8)*s.^8-

1.76971899*10^(-8)*s.^7+0.5854914056e-5*s.^6-0.7493696023e-

4*s.^5+0.5612657099e-3*s.^4-0.2688537060e-2*s.^3+0.6578192062e-

2*s.^2+0.112e-3; %% Plot Result


92

plot(T,Z,'g',T,ZZ,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x1(t),x2(t), dan x3(t)'); grid on; title('Susceptible Euler, Heun, dan VIM Simulasi II'); legend('x1(t) adalah Susceptible Euler','x2(t) adalah Susceptible

Heun','x3(t) adalah Susceptible VIM') hold on

Simulasi III % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi III %% Initial Conditions aa=0.000150; % Nilai Parameter Beta bb=0.212500; % Nilai Parameter Alfa cc=0.020050; % Nilai Parameter Gamma dd=0.200050; % Nilai Parameter Delta ee=0.150000; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.997586; % Nilai x ketika t0 yy0=0.002069; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000345; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh;


%% Solving Using Euler's Method for i = 1:NN pi=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); XX(i+1)=XX(i)+hh*pi; qi=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); YY(i+1)=YY(i)+hh*qi; ri=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh*ri; end % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi III %% Initial Conditions a=0.000150; % Nilai Parameter Beta b=0.212500; % Nilai Parameter Alfa c=0.020050; % Nilai Parameter Gamma d=0.200050; % Nilai Parameter Delta e=0.150000; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0


93

y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Solving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.2119954569*s+0.997586-1.521811347*10^(-

19)*s.^14+1.097506894*10^(-17)*s.^13+1.433005522*10^(-

16)*s.^12+3.486914654*10^(-32)*s.^19+8.784967863*10^(-

29)*s.^18+5.983812460*10^(-26)*s.^17+1.018888790*10^(-23)*s.^16-

1.429739447*10^(-21)*s.^15-2.031673927*10^(-

14)*s.^11+7.384049783*10^(-13)*s.^10-3.216645077*10^(-12)*s.^9-

3.609042715*10^(-10)*s.^8+1.327932919*10^(-8)*s.^7-

2.626370678*10^(-7)*s.^6-2.75360797*10^(-7)*s.^5+0.5696873928e-

4*s.^4-0.1440382562e-2*s.^3+0.2209172317e-1*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.2115728112*s-0.4370295570e-1*s.^2-0.3008081024e-

3*s.^4+0.4481274300e-2*s.^3-5.086978008*10^(-

9)*s.^7+1.247471725*10^(-7)*s.^6+0.1446552784e-4*s.^5-

4.588461193*10^(-20)*s.^12-9.550942173*10^(-17)*s.^11-

3.508058511*10^(-14)*s.^10+1.529325646*10^(-

12)*s.^9+8.439359011*10^(-11)*s.^8; ZZZ=-0.4300779685e-4*s+1.521811347*10^(-19)*s.^14-

1.097506894*10^(-17)*s.^13-1.432870568*10^(-16)*s.^12-

3.486914654*10^(-32)*s.^19-8.784967863*10^(-29)*s.^18-

5.983812460*10^(-26)*s.^17-1.018888790*10^(-

23)*s.^16+1.429739447*10^(-21)*s.^15+2.034483027*10^(-14)*s.^11-

7.280871592*10^(-13)*s.^10+2.766843416*10^(-

12)*s.^9+3.359722024*10^(-10)*s.^8-1.184357818*10^(-

8)*s.^7+2.284297174*10^(-7)*s.^6-0.2903301899e-


94

5*s.^5+0.2516757288e-4*s.^4-0.1481711410e-3*s.^3+0.4519225911e-

3*s.^2+0.345e-3; %% Plot Result plot(T,ZZ,'g',T,Z,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai z1(t),z2(t), dan z3(t)'); grid on; title('Infected II Euler, Heun dan VIM Simulasi III'); legend('z1(t) adalah Infected II Euler','z2(t) adalah Infected II

Heun','z3(t) adalah Infected II VIM') hold on

Simulasi IV % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi IV %% Initial Conditions aa=0.05; % Nilai Parameter Beta bb=0.12; % Nilai Parameter Alfa cc=0.13; % Nilai Parameter Gamma dd=0.02; % Nilai Parameter Delta ee=0.15; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.997586; % Nilai x ketika t0 yy0=0.002069; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000345; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh;


%% Solving Using Euler's Method for i = 1:NN pi=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); XX(i+1)=XX(i)+hh*pi; qi=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); YY(i+1)=YY(i)+hh*qi; ri=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh*ri; end % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB

Data Simulasi IV %% Initial Conditions a=0.05; % Nilai Parameter Beta b=0.12; % Nilai Parameter Alfa c=0.13; % Nilai Parameter Gamma d=0.02; % Nilai Parameter Delta e=0.15; % Nilai Parameter Fluks


95

t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% olving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.1196218185*s+0.997586+6.006371216*10^(-

21)*s.^14+9.737800935*10^(-19)*s.^13-4.345951495*10^(-

17)*s.^12+2.149958882*10^(-31)*s.^19+1.411995753*10^(-

28)*s.^18+2.375239396*10^(-26)*s.^17-6.961542069*10^(-25)*s.^16-

3.044071581*10^(-22)*s.^15-3.714803511*10^(-

17)*s.^11+7.678303953*10^(-14)*s.^10-2.449051382*10^(-

12)*s.^9+1.573684466*10^(-11)*s.^8+1.473393350*10^(-9)*s.^7-

6.663436264*10^(-8)*s.^6+6.275241534*10^(-7)*s.^5+0.4514718864e-

5*s.^4-0.3903528178e-3*s.^3+0.9239425552e-2*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.1195654900*s-0.1136210126e-1*s.^2-0.2281770710e-

4*s.^4+0.6346927181e-3*s.^3-5.847052157*10^(-

10)*s.^7+2.668763549*10^(-8)*s.^6+4.278011526*10^(-7)*s.^5-

6.952233584*10^(-20)*s.^12-3.511507194*10^(-17)*s.^11-

2.845800007*10^(-15)*s.^10+3.151176552*10^(-

13)*s.^9+4.140954446*10^(-13)*s.^8; ZZZ=-0.3680151523e-4*s-6.006371216*10^(-21)*s.^14-

9.737800935*10^(-19)*s.^13+4.344213437*10^(-17)*s.^12-

2.149958882*10^(-31)*s.^19-1.411995753*10^(-28)*s.^18-

2.375239396*10^(-26)*s.^17+6.961542069*10^(-

25)*s.^16+3.044071581*10^(-22)*s.^15+2.836926713*10^(-17)*s.^11-

7.749448953*10^(-14)*s.^10+2.527830796*10^(-12)*s.^9-

1.578633373*10^(-11)*s.^8-1.647407359*10^(-


96

9)*s.^7+7.561907686*10^(-8)*s.^6-0.1654746114e-

5*s.^5+0.2184303797e-4*s.^4-0.1953552416e-3*s.^3+0.9321091700e-

3*s.^2+0.345e-3; %% Plot Result plot(T,XX,'g',T,X,'b',s,XXX,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x1(t),x2(t), dan x3(t)'); grid on; title('Susceptible Euler, Heun dan VIM Simulasi IV'); legend('x1(t) adalah Susceptible Euler','x2(t) adalah Susceptible

Heun','x3(t) adalah Susceptible VIM') hold on


97

LAMPIRAN V

DATA HASIL PERHITUNGAN METODE EULER

A. Simulasi I

Tabel L.5.1 Data Hasil Perhitungan Nilai 𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕), dan 𝒛(𝒕) untuk Sistem

Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi I

𝒕 𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕) 𝒛(𝒕) 𝒕 𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕) 𝒛(𝒕)

0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.407483 0.540644 0.018857

0.1 0.966299 0.033582 0.000116 2.7 0.393289 0.551724 0.019736

0.2 0.934603 0.065009 0.000246 2.8 0.379572 0.562294 0.020601

0.3 0.903829 0.095271 0.000491 2.9 0.366317 0.572372 0.021452

0.4 0.873958 0.124403 0.000837 3 0.353510 0.581976 0.022287

0.5 0.844972 0.152438 0.001274 3.1 0.341138 0.591122 0.023106

0.6 0.816853 0.179412 0.001791 3.2 0.329186 0.599826 0.023909

0.7 0.789580 0.205355 0.002380 3.3 0.317642 0.608103 0.024694

0.8 0.763136 0.230300 0.003031 3.4 0.306492 0.615969 0.025461

0.9 0.737501 0.254279 0.003737 3.5 0.295724 0.623439 0.026211

1 0.712657 0.277321 0.004489 3.6 0.285325 0.630526 0.026943

1.1 0.688583 0.299456 0.005283 3.7 0.275284 0.637244 0.027656

1.2 0.665262 0.320714 0.006110 3.8 0.265590 0.643606 0.028351

1.3 0.642673 0.341122 0.006966 3.9 0.256230 0.649626 0.029028

1.4 0.620799 0.360708 0.007845 4 0.247193 0.655314 0.029686

1.5 0.599621 0.379498 0.008742 4.1 0.238470 0.660685 0.030327

1.6 0.579120 0.397520 0.009654 4.2 0.230050 0.665747 0.030949

1.7 0.559279 0.414797 0.010576 4.3 0.221923 0.670515 0.031553

1.8 0.540078 0.431354 0.011505 4.4 0.214079 0.674996 0.032140

1.9 0.521501 0.447216 0.012438 4.5 0.206508 0.679203 0.032709

2 0.503529 0.462406 0.013371 4.6 0.199202 0.683146 0.033261

2.1 0.486147 0.476946 0.014303 4.7 0.192151 0.686833 0.033796

2.2 0.469336 0.490858 0.015230 4.8 0.185347 0.690275 0.034314

2.3 0.453080 0.504164 0.016150 4.9 0.178781 0.693481 0.034816

2.4 0.437363 0.516883 0.017063 5 0.172446 0.696459 0.035301

2.5 0.422170 0.529037 0.017966


98

B. Simulasi II


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi II


0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.418994 0.520148 0.015799

0.1 0.966467 0.033413 0.000114 2.7 0.405363 0.530124 0.016400

0.2 0.934976 0.064589 0.000243 2.8 0.392207 0.539588 0.016978

0.3 0.904442 0.094524 0.000484 2.9 0.379512 0.548557 0.017532

0.4 0.874843 0.123256 0.000823 3 0.367263 0.557052 0.018062

0.5 0.846161 0.150826 0.001246 3.1 0.355445 0.565088 0.018568

0.6 0.818373 0.177270 0.001742 3.2 0.344044 0.572685 0.019050

0.7 0.791459 0.202627 0.002300 3.3 0.333046 0.579857 0.019507

0.8 0.765398 0.226931 0.002910 3.4 0.322438 0.586622 0.019941

0.9 0.740168 0.250218 0.003563 3.5 0.312207 0.592995 0.020350

1 0.715750 0.272521 0.004251 3.6 0.302340 0.598991 0.020736

1.1 0.692122 0.293876 0.004967 3.7 0.292824 0.604624 0.021099

1.2 0.669264 0.314313 0.005704 3.8 0.283649 0.609908 0.021438

1.3 0.647154 0.333863 0.006456 3.9 0.274802 0.614858 0.021755

1.4 0.625773 0.352559 0.007218 4 0.266272 0.619485 0.022050

1.5 0.605101 0.370429 0.007984 4.1 0.258049 0.623802 0.022323

1.6 0.585117 0.387501 0.008751 4.2 0.250121 0.627822 0.022575

1.7 0.565802 0.403805 0.009515 4.3 0.242479 0.631556 0.022807

1.8 0.547136 0.419367 0.010271 4.4 0.235113 0.635016 0.023018

1.9 0.529102 0.434213 0.011019 4.5 0.228013 0.638212 0.023211

2 0.511679 0.448370 0.011754 4.6 0.221169 0.641155 0.023384

2.1 0.494850 0.461861 0.012474 4.7 0.214573 0.643855 0.023539

2.2 0.478596 0.474710 0.013178 4.8 0.208216 0.646322 0.023677

2.3 0.462901 0.486942 0.013864 4.9 0.202090 0.648564 0.023797

2.4 0.447747 0.498577 0.014530 5 0.196187 0.650592 0.023901

2.5 0.433116 0.509639 0.015175


99

C. Simulasi III


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi III


0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.569541 0.328271 0.001550

0.1 0.976386 0.023226 0.000341 2.7 0.557365 0.333802 0.001607

0.2 0.955629 0.043510 0.000345 2.8 0.545449 0.338963 0.001662

0.3 0.935305 0.062946 0.000358 2.9 0.533786 0.343768 0.001716

0.4 0.915405 0.081561 0.000377 3 0.522372 0.348229 0.001768

0.5 0.895923 0.099380 0.000404 3.1 0.511201 0.352358 0.001819

0.6 0.876848 0.116429 0.000436 3.2 0.500269 0.356166 0.001869

0.7 0.858173 0.132731 0.000472 3.3 0.489570 0.359667 0.001916

0.8 0.839891 0.148310 0.000514 3.4 0.479099 0.362870 0.001963

0.9 0.821992 0.163188 0.000559 3.5 0.468852 0.365786 0.002007

1 0.804470 0.177389 0.000608 3.6 0.458823 0.368426 0.002050

1.1 0.787318 0.190932 0.000660 3.7 0.449010 0.370800 0.002091

1.2 0.770526 0.203840 0.000714 3.8 0.439405 0.372918 0.002131

1.3 0.754089 0.216133 0.000770 3.9 0.430007 0.374789 0.002169

1.4 0.737999 0.227831 0.000828 4 0.420809 0.376424 0.002205

1.5 0.722249 0.238952 0.000887 4.1 0.411808 0.377830 0.002239

1.6 0.706832 0.249516 0.000947 4.2 0.403000 0.379017 0.002272

1.7 0.691741 0.259541 0.001008 4.3 0.394380 0.379993 0.002303

1.8 0.676969 0.269044 0.001070 4.4 0.385944 0.380766 0.002332

1.9 0.662511 0.278044 0.001131 4.5 0.377690 0.381344 0.002360

2 0.648359 0.286556 0.001193 4.6 0.369612 0.381736 0.002386

2.1 0.634508 0.294596 0.001254 4.7 0.361707 0.381947 0.002410

2.2 0.620950 0.302182 0.001315 4.8 0.353971 0.381987 0.002433

2.3 0.607681 0.309327 0.001375 4.9 0.346401 0.381862 0.002454

2.4 0.594693 0.316048 0.001434 5 0.338994 0.381578 0.002473

2.5 0.581982 0.322358 0.001493


100

D. Simulasi IV


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi IV


0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.740775 0.248207 0.003893

0.1 0.985624 0.014026 0.000341 2.7 0.732895 0.255359 0.004102

0.2 0.973847 0.025755 0.000356 2.8 0.725144 0.262366 0.004312

0.3 0.962252 0.037261 0.000388 2.9 0.717520 0.269231 0.004522

0.4 0.950838 0.048547 0.000436 3 0.710021 0.275957 0.004733

0.5 0.939602 0.059617 0.000500 3.1 0.702645 0.282545 0.004944

0.6 0.928541 0.070475 0.000577 3.2 0.695390 0.288999 0.005155

0.7 0.917654 0.081124 0.000667 3.3 0.688255 0.295321 0.005365

0.8 0.906938 0.091568 0.000770 3.4 0.681237 0.301513 0.005575

0.9 0.896390 0.101810 0.000884 3.5 0.674336 0.307577 0.005784

1 0.886009 0.111854 0.001009 3.6 0.667549 0.313516 0.005992

1.1 0.875792 0.121704 0.001143 3.7 0.660874 0.319332 0.006199

1.2 0.865738 0.131361 0.001287 3.8 0.654310 0.325027 0.006404

1.3 0.855843 0.140831 0.001439 3.9 0.647855 0.330604 0.006607

1.4 0.846105 0.150115 0.001598 4 0.641507 0.336064 0.006809

1.5 0.836523 0.159217 0.001764 4.1 0.635265 0.341409 0.007010

1.6 0.827095 0.168141 0.001937 4.2 0.629127 0.346643 0.007208

1.7 0.817817 0.176889 0.002115 4.3 0.623092 0.351766 0.007404

1.8 0.808689 0.185465 0.002298 4.4 0.617157 0.356780 0.007598

1.9 0.799707 0.193871 0.002486 4.5 0.611322 0.361689 0.007789

2 0.790870 0.202110 0.002678 4.6 0.605585 0.366493 0.007978

2.1 0.782176 0.210186 0.002874 4.7 0.599944 0.371194 0.008165

2.2 0.773622 0.218101 0.003073 4.8 0.594397 0.375795 0.008349

2.3 0.765208 0.225857 0.003275 4.9 0.588944 0.380298 0.008531

2.4 0.756929 0.233459 0.003479 5 0.583583 0.384703 0.008709

2.5 0.748786 0.240908 0.003685


101

LAMPIRAN VI

DATA HASIL PERHITUNGAN METODE HEUN

A. Simulasi I


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi I


0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.413583 0.533605 0.019166

0.1 0.966769 0.032981 0.000179 2.7 0.399429 0.544655 0.020040

0.2 0.935521 0.063844 0.000364 2.8 0.385743 0.555205 0.020900

0.3 0.905173 0.093575 0.000655 2.9 0.372511 0.565273 0.021746

0.4 0.875706 0.122209 0.001042 3 0.359719 0.574876 0.022577

0.5 0.847104 0.149778 0.001512 3.1 0.347353 0.584029 0.023392

0.6 0.819347 0.176316 0.002058 3.2 0.335400 0.592748 0.024191

0.7 0.792416 0.201853 0.002670 3.3 0.323848 0.601048 0.024973

0.8 0.766294 0.226421 0.003340 3.4 0.312683 0.608944 0.025737

0.9 0.740961 0.250048 0.004060 3.5 0.301894 0.616450 0.026485

1 0.716399 0.272765 0.004824 3.6 0.291469 0.623579 0.027214

1.1 0.692590 0.294601 0.005626 3.7 0.281397 0.630344 0.027926

1.2 0.669514 0.315582 0.006459 3.8 0.271665 0.636759 0.028620

1.3 0.647154 0.335737 0.007319 3.9 0.262264 0.642836 0.029295

1.4 0.625491 0.355091 0.008200 4 0.253182 0.648587 0.029953

1.5 0.604507 0.373671 0.009097 4.1 0.244409 0.654023 0.030594

1.6 0.584185 0.391501 0.010008 4.2 0.235935 0.659156 0.031216

1.7 0.564507 0.408605 0.010928 4.3 0.227751 0.663996 0.031821

1.8 0.545454 0.425008 0.011854 4.4 0.219847 0.668554 0.032408

1.9 0.527011 0.440733 0.012783 4.5 0.212213 0.672840 0.032979

2 0.509160 0.455801 0.013711 4.6 0.204841 0.676864 0.033532

2.1 0.491885 0.470235 0.014638 4.7 0.197722 0.680635 0.034069

2.2 0.475169 0.484056 0.015560 4.8 0.190848 0.684163 0.034589

2.3 0.458997 0.497283 0.016475 4.9 0.184211 0.687456 0.035093

2.4 0.443352 0.509938 0.017383 5 0.177802 0.690523 0.035581

2.5 0.428219 0.522039 0.018280


102

B. Simulasi II


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi II


0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.425117 0.513049 0.015873

0.1 0.966956 0.032772 0.000177 2.7 0.411518 0.523013 0.016462

0.2 0.935929 0.063347 0.000359 2.8 0.398385 0.532475 0.017029

0.3 0.905835 0.092720 0.000643 2.9 0.385705 0.541454 0.017572

0.4 0.876653 0.120928 0.001015 3 0.373461 0.549966 0.018092

0.5 0.848364 0.148009 0.001464 3.1 0.361641 0.558029 0.018589

0.6 0.820948 0.173999 0.001979 3.2 0.350230 0.565660 0.019062

0.7 0.794382 0.198934 0.002551 3.3 0.339216 0.572875 0.019512

0.8 0.768648 0.222849 0.003169 3.4 0.328585 0.579689 0.019939

0.9 0.743725 0.245776 0.003826 3.5 0.318325 0.586117 0.020342

1 0.719592 0.267750 0.004514 3.6 0.308424 0.592174 0.020722

1.1 0.696230 0.288801 0.005227 3.7 0.298869 0.597874 0.021079

1.2 0.673617 0.308961 0.005958 3.8 0.289649 0.603230 0.021415

1.3 0.651735 0.328260 0.006702 3.9 0.280753 0.608256 0.021728

1.4 0.630563 0.346728 0.007453 4 0.272171 0.612963 0.022020

1.5 0.610082 0.364393 0.008208 4.1 0.263890 0.617365 0.022291

1.6 0.590273 0.381282 0.008962 4.2 0.255903 0.621473 0.022541

1.7 0.571116 0.397422 0.009713 4.3 0.248197 0.625298 0.022771

1.8 0.552594 0.412840 0.010456 4.4 0.240764 0.628852 0.022982

1.9 0.534688 0.427561 0.011189 4.5 0.233595 0.632144 0.023174

2 0.517379 0.441609 0.011909 4.6 0.226680 0.635185 0.023347

2.1 0.500651 0.455008 0.012615 4.7 0.220011 0.637985 0.023503

2.2 0.484485 0.467781 0.013305 4.8 0.213579 0.640554 0.023642

2.3 0.468865 0.479950 0.013977 4.9 0.207376 0.642900 0.023764

2.4 0.453775 0.491537 0.014630 5 0.201395 0.645033 0.023869

2.5 0.439197 0.502564 0.015262


103

C. Simulasi III


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi III


0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.572976 0.323260 0.001555

0.1 0.976607 0.022789 0.000345 2.7 0.560858 0.328776 0.001610

0.2 0.956062 0.042662 0.000353 2.8 0.548995 0.333932 0.001664

0.3 0.935942 0.061714 0.000369 2.9 0.537383 0.338738 0.001716

0.4 0.916238 0.079968 0.000391 3 0.526015 0.343207 0.001767

0.5 0.896942 0.097452 0.000420 3.1 0.514888 0.347351 0.001817

0.6 0.878046 0.114186 0.000453 3.2 0.503995 0.351182 0.001865

0.7 0.859543 0.130196 0.000491 3.3 0.493332 0.354710 0.001912

0.8 0.841425 0.145504 0.000534 3.4 0.482894 0.357946 0.001957

0.9 0.823683 0.160131 0.000580 3.5 0.472677 0.360901 0.002000

1 0.806311 0.174099 0.000629 3.6 0.462676 0.363584 0.002042

1.1 0.789301 0.187428 0.000680 3.7 0.452886 0.366006 0.002082

1.2 0.772646 0.200139 0.000734 3.8 0.443304 0.368177 0.002121

1.3 0.756339 0.212252 0.000790 3.9 0.433924 0.370105 0.002158

1.4 0.740373 0.223785 0.000847 4 0.424742 0.371800 0.002193

1.5 0.724740 0.234757 0.000905 4.1 0.415755 0.373270 0.002226

1.6 0.709434 0.245186 0.000965 4.2 0.406958 0.374523 0.002258

1.7 0.694450 0.255091 0.001025 4.3 0.398347 0.375569 0.002288

1.8 0.679779 0.264487 0.001085 4.4 0.389919 0.376415 0.002317

1.9 0.665415 0.273391 0.001145 4.5 0.381669 0.377069 0.002344

2 0.651354 0.281820 0.001205 4.6 0.373594 0.377538 0.002369

2.1 0.637587 0.289789 0.001265 4.7 0.365690 0.377830 0.002393

2.2 0.624110 0.297314 0.001325 4.8 0.357953 0.377952 0.002415

2.3 0.610916 0.304409 0.001384 4.9 0.350381 0.377910 0.002436

2.4 0.597999 0.311089 0.001442 5 0.342969 0.377711 0.002455

2.5 0.585354 0.317368 0.001499


104

D. Simulasi IV


Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi IV


0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.742442 0.246286 0.003944

0.1 0.985716 0.013912 0.000351 2.7 0.734600 0.253398 0.004151

0.2 0.974029 0.025531 0.000374 2.8 0.726885 0.260368 0.004359

0.3 0.962522 0.036931 0.000413 2.9 0.719295 0.267198 0.004567

0.4 0.951193 0.048115 0.000468 3 0.711829 0.273891 0.004776

0.5 0.940039 0.059086 0.000537 3.1 0.704485 0.280448 0.004985

0.6 0.929058 0.069849 0.000619 3.2 0.697261 0.286872 0.005193

0.7 0.918249 0.080406 0.000714 3.3 0.690154 0.293166 0.005401

0.8 0.907608 0.090761 0.000821 3.4 0.683164 0.299331 0.005608

0.9 0.897133 0.100918 0.000938 3.5 0.676289 0.305371 0.005815

1 0.886823 0.110879 0.001066 3.6 0.669526 0.311287 0.006020

1.1 0.876674 0.120649 0.001202 3.7 0.662875 0.317082 0.006224

1.2 0.866686 0.130230 0.001348 3.8 0.656333 0.322757 0.006427

1.3 0.856855 0.139626 0.001500 3.9 0.649898 0.328315 0.006628

1.4 0.847180 0.148840 0.001661 4 0.643570 0.333758 0.006827

1.5 0.837658 0.157875 0.001827 4.1 0.637347 0.339088 0.007025

1.6 0.828287 0.166734 0.002000 4.2 0.631226 0.344307 0.007220

1.7 0.819065 0.175419 0.002178 4.3 0.625207 0.349417 0.007414

1.8 0.809991 0.183935 0.002361 4.4 0.619288 0.354420 0.007605

1.9 0.801061 0.192284 0.002548 4.5 0.613467 0.359318 0.007795

2 0.792274 0.200469 0.002740 4.6 0.607742 0.364113 0.007981

2.1 0.783628 0.208492 0.002934 4.7 0.602113 0.368806 0.008166

2.2 0.775121 0.216357 0.003132 4.8 0.596578 0.373400 0.008347

2.3 0.766751 0.224066 0.003332 4.9 0.591134 0.377897 0.008527

2.4 0.758516 0.231622 0.003534 5 0.585782 0.382297 0.008703

2.5 0.750413 0.239028 0.003739


105

VII

DATA HASIL PERHITUNGAN METODE ITERASI

VARIASIONAL

A. Simulasi I


Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi I


0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.413151 0.534101 0.019166

0.1 0.966764 0.032987 0.000179 2.7 0.398900 0.545262 0.020041

0.2 0.935511 0.063855 0.000364 2.8 0.385095 0.555947 0.020903

0.3 0.905158 0.093592 0.000655 2.9 0.371720 0.566176 0.021751

0.4 0.875688 0.122230 0.001042 3 0.358756 0.575972 0.022585

0.5 0.847081 0.149805 0.001512 3.1 0.346185 0.585354 0.023404

0.6 0.819320 0.176347 0.002058 3.2 0.333991 0.594344 0.024208

0.7 0.792385 0.201888 0.002670 3.3 0.322153 0.602962 0.024998

0.8 0.766259 0.226460 0.003340 3.4 0.310654 0.611229 0.025772

0.9 0.740923 0.250091 0.004061 3.5 0.299475 0.619167 0.026531

1 0.716358 0.272813 0.004825 3.6 0.288597 0.626796 0.027275

1.1 0.692544 0.294652 0.005627 3.7 0.278000 0.634139 0.028005

1.2 0.669465 0.315638 0.006460 3.8 0.267665 0.641218 0.028721

1.3 0.647100 0.335798 0.007320 3.9 0.257571 0.648055 0.029423

1.4 0.625432 0.355158 0.008201 4 0.247698 0.654672 0.030113

1.5 0.604442 0.373745 0.009098 4.1 0.238024 0.661093 0.030790

1.6 0.584112 0.391584 0.010009 4.2 0.228527 0.667342 0.031457

1.7 0.564424 0.408700 0.010929 4.3 0.219184 0.673444 0.032112

1.8 0.545359 0.425118 0.011855 4.4 0.209974 0.679422 0.032759

1.9 0.526900 0.440861 0.012783 4.5 0.200871 0.685304 0.033397

2 0.509028 0.455953 0.013712 4.6 0.191851 0.691116 0.034027

2.1 0.491727 0.470418 0.014638 4.7 0.182888 0.696885 0.034652

2.2 0.474978 0.484277 0.015559 4.8 0.173957 0.702640 0.035271

2.3 0.458763 0.497553 0.016475 4.9 0.165030 0.708410 0.035887

2.4 0.443065 0.510268 0.017382 5 0.156079 0.714225 0.036500

2.5 0.427867 0.522444 0.018279


106

B. Simulasi II


Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi II


0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.424615 0.513664 0.015842

0.1 0.966950 0.032778 0.000177 2.7 0.410901 0.523768 0.016427

0.2 0.935918 0.063360 0.000358 2.8 0.397629 0.533399 0.016989

0.3 0.905819 0.092739 0.000641 2.9 0.384779 0.542580 0.017528

0.4 0.876633 0.120953 0.001013 3 0.372333 0.551334 0.018045

0.5 0.848340 0.148039 0.001463 3.1 0.360272 0.559684 0.018539

0.6 0.820919 0.174034 0.001978 3.2 0.348576 0.567654 0.019011

0.7 0.794350 0.198974 0.002549 3.3 0.337226 0.575266 0.019460

0.8 0.768612 0.222893 0.003167 3.4 0.326202 0.582545 0.019888

0.9 0.743685 0.245825 0.003824 3.5 0.315484 0.589513 0.020296

1 0.719548 0.267803 0.004512 3.6 0.305050 0.596195 0.020683

1.1 0.696182 0.288859 0.005225 3.7 0.294880 0.602615 0.021052

1.2 0.673565 0.309024 0.005956 3.8 0.284952 0.608799 0.021403

1.3 0.651678 0.328329 0.006699 3.9 0.275245 0.614770 0.021738

1.4 0.630500 0.346804 0.007450 4 0.265736 0.620557 0.022058

1.5 0.610012 0.364477 0.008205 4.1 0.256400 0.626184 0.022364

1.6 0.590194 0.381377 0.008958 4.2 0.247216 0.631679 0.022659

1.7 0.571026 0.397532 0.009707 4.3 0.238157 0.637070 0.022943

1.8 0.552489 0.412968 0.010449 4.4 0.229199 0.642386 0.023220

1.9 0.534564 0.427713 0.011180 4.5 0.220315 0.647657 0.023490

2 0.517231 0.441791 0.011899 4.6 0.211478 0.652914 0.023757

2.1 0.500472 0.455228 0.012602 4.7 0.202661 0.658187 0.024022

2.2 0.484267 0.468050 0.013289 4.8 0.193834 0.663511 0.024287

2.3 0.468597 0.480280 0.013958 4.9 0.184967 0.668919 0.024556

2.4 0.453445 0.491943 0.014607 5 0.176029 0.674447 0.024830

2.5 0.438790 0.503063 0.015235


107

C. Simulasi III


Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi III


0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.572921 0.323496 0.001551

0.1 0.976606 0.022794 0.000345 2.7 0.560795 0.329059 0.001605

0.2 0.956059 0.042671 0.000353 2.8 0.548923 0.334268 0.001658

0.3 0.935937 0.061726 0.000369 2.9 0.537299 0.339139 0.001709

0.4 0.916232 0.079985 0.000391 3 0.525918 0.343685 0.001759

0.5 0.896935 0.097471 0.000419 3.1 0.514774 0.347920 0.001807

0.6 0.878038 0.114210 0.000453 3.2 0.503862 0.351855 0.001853

0.7 0.859534 0.130223 0.000491 3.3 0.493177 0.355506 0.001897

0.8 0.841414 0.145533 0.000533 3.4 0.482714 0.358884 0.001940

0.9 0.823671 0.160163 0.000579 3.5 0.472468 0.362003 0.001981

1 0.806298 0.174134 0.000628 3.6 0.462433 0.364876 0.002020

1.1 0.789287 0.187466 0.000680 3.7 0.452604 0.367515 0.002056

1.2 0.772631 0.200180 0.000734 3.8 0.442977 0.369932 0.002091

1.3 0.756323 0.212296 0.000789 3.9 0.433546 0.372141 0.002124

1.4 0.740355 0.223833 0.000847 4 0.424307 0.374154 0.002154

1.5 0.724721 0.234809 0.000905 4.1 0.415255 0.375983 0.002183

1.6 0.709415 0.245243 0.000964 4.2 0.406384 0.377642 0.002209

1.7 0.694428 0.255154 0.001024 4.3 0.397691 0.379143 0.002233

1.8 0.679756 0.264557 0.001084 4.4 0.389170 0.380499 0.002255

1.9 0.665391 0.273470 0.001144 4.5 0.380816 0.381722 0.002274

2 0.651326 0.281910 0.001204 4.6 0.372625 0.382825 0.002292

2.1 0.637557 0.289893 0.001264 4.7 0.364592 0.383822 0.002307

2.2 0.624076 0.297435 0.001323 4.8 0.356712 0.384725 0.002319

2.3 0.610878 0.304552 0.001381 4.9 0.348980 0.385549 0.002330

2.4 0.597957 0.311257 0.001439 5 0.341392 0.386306 0.002338

2.5 0.585307 0.317567 0.001495


108

D. Simulasi IV


Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi IV


0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.742428 0.246303 0.003940

0.1 0.985716 0.013913 0.000350 2.7 0.734585 0.253417 0.004146

0.2 0.974028 0.025533 0.000373 2.8 0.726868 0.260389 0.004353

0.3 0.962521 0.036933 0.000413 2.9 0.719277 0.267222 0.004560

0.4 0.951191 0.048117 0.000467 3 0.711809 0.273917 0.004768

0.5 0.940036 0.059089 0.000537 3.1 0.704462 0.280478 0.004975

0.6 0.929055 0.069852 0.000619 3.2 0.697234 0.286906 0.005181

0.7 0.918245 0.080410 0.000714 3.3 0.690125 0.293204 0.005387

0.8 0.907604 0.090765 0.000821 3.4 0.683131 0.299375 0.005592

0.9 0.897129 0.100923 0.000938 3.5 0.676250 0.305421 0.005796

1 0.886818 0.110885 0.001065 3.6 0.669483 0.311344 0.005998

1.1 0.876670 0.120655 0.001202 3.7 0.662825 0.317146 0.006198

1.2 0.866681 0.130237 0.001347 3.8 0.656276 0.322831 0.006397

1.3 0.856850 0.139633 0.001500 3.9 0.649834 0.328399 0.006594

1.4 0.847174 0.148847 0.001660 4 0.643497 0.333854 0.006788

1.5 0.837651 0.157883 0.001827 4.1 0.637263 0.339198 0.006981

1.6 0.828280 0.166742 0.001999 4.2 0.631131 0.344432 0.007170

1.7 0.819058 0.175428 0.002177 4.3 0.625099 0.349559 0.007357

1.8 0.809983 0.183945 0.002360 4.4 0.619165 0.354581 0.007541

1.9 0.801053 0.192294 0.002547 4.5 0.613327 0.359500 0.007722

2 0.792265 0.200479 0.002738 4.6 0.607585 0.364319 0.007899

2.1 0.783619 0.208503 0.002933 4.7 0.601935 0.369039 0.008074

2.2 0.775111 0.216369 0.003130 4.8 0.596376 0.373663 0.008245

2.3 0.766740 0.224079 0.003330 4.9 0.590908 0.378192 0.008412

2.4 0.758504 0.231636 0.003532 5 0.585527 0.382628 0.008576

2.5 0.750401 0.239043 0.003735


109

LAMPIRAN VIII

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

SEKOLAH MENENGAH ATAS

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : X /Ganjil

Materi Pokok : Mencari akar persamaan kuadrat dengan Variasi

Terbatas

Alokasi Waktu : 1 Pertemuan x 3 Jam Pelajaran @45 Menit

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mengikuti proses pembelajaran, peserta didik diharapkan dapat:

1. Memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan

Konsep Variasi Terbatas.

2. Menjelaskan cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan

Konsep Variasi Terbatas.

3. Menyelesaikan beberapa soal mencari akar persamaan kuadrat dengan

menggunakan Konsep Variasi Terbatas.

B. Materi Pembelajaran

1. Persamaan kuadrat

2. Mencari akar persamaan kuadrat

3. Penerapan variasi terbatas dalam mencari akar persamaan kuadrat.

C. Metode Pembelajaran

Metode pembelajaran yang digunakan dalam rancangan pembelajaran ini

adalah Metode Ceramah, Diskusi dan Pemecahan Masalah.

D. Media/Alat Pembelajaran

1. Worksheet atau lembar kerja (siswa),

2. Penggaris, spidol, papan tulis,


110

3. Laptop dan infocus,

4. Kalkulator,

5. Buku, modul, LKS.

E. Sumber Belajar

1. Buku penunjang kurikulum 2013 mata pelajaran Matematika Wajib Kelas

X Kemendikbud, Tahun 2016.

2. Pengalaman peserta didik dan guru.

F. Langkah-Langkah Pembelajaran

Kegiatan Pendahuluan (15 Menit)

Orientasi

1. Guru melakukan pembukaan dengan salam pembuka, memanjatkan syukur

kepada Tuhan YME dan berdoa untuk memulai pembelajaran.

2. Guru memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap disiplin.

3. Guru menyiapkan fisik dan psikis peserta didik dalam mengawali kegiatan

pembelajaran.

Apersepsi

1. Guru memberikan motivasi atau pengantar yang berisi pentingnya materi yang

akan dipelajari untuk menyelesaikan beberapa masalah nyata di dalam

kehidupan sehari-hari seperti masalah tentang menghitung perkiraan waktu

jatuhnya sebuah bola jika ditendang pada kecepatan dan ketinggian tertentu

(penting untuk dipelajari oleh pencinta olahraga sepak bola).

2. Guru mengingatkan kembali materi prasyarat dengan bertanya.

3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan yang berlangsung

yaitu siswa diharapkan dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan

menggunakan konsep variasi terbatas.

4. Guru menjelaskan mekanisme pelaksanaan pengalaman belajar sesuai dengan

langkah-langkah pembelajaran.

5. Guru mengajukan pertanyaan tentang kesiapan siswa dalam mengikuti

kegiatan pembelajaran.


111

Kegiatan Inti ( 105 Menit )

a. Penjelasan Materi

1. Guru menyampaikan konsep-konsep dasar materi persamaan kuadrat serta

cara beberapa cara menyelesaikannya (mencari akar persamaan kuadrat).

2. Guru menjelaskan cara memodelkan suatu persoalan dalam dunia nyata

yang berhubungan dengan persamaan kuadrat.

3. Guru menjelaskan konsep tentang penerapan variasi terbatas dalam

menemukan akar persamaan kuadrat.

b. Diskusi kelompok

1. Guru siswa ke dalam kelompok-kelompok kecil.

2. Guru meminta siswa untuk duduk sesuai kelompok yang telah dibagikan.

3. Guru menyajikan dua buah masalah terkait persamaan kuadrat (LKS

terlampir).

4. Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk menyelesaikan dua

buah masalah yang telah disajikan di dalam LKS.

5. Ketika siswa mengerjakan masalah yang terdapat dalam LKS, guru

berkeliling ke kelompok-kelompok siswa untuk memberi topangan

apabila mereka mengalami kesulitan.

c. Presentasi hasil diskusi

1. Siswa menuliskan hasil diskusi ke dalam lembar jawaban yang telah

diberikan.

2. Guru meminta perwakilan dari tiap kelompok mahasiswa untuk

mempresentasikan hasil diskusi mereka di depan kelas.

3. Guru mendampingi jalannya proses diskusi ketika salah satu kelompok

memaparkan hasil diskusi mereka.

4. Jika waktu masih ada, guru akan memberikan soal tambahan untuk

mengecek kemampuan siswa dalam memahami materi yang dipelajari.


112

Kegiatan Penutup (15 Menit)

a. Guru memberikan penguatan serta kesimpulan akhir dari materi yang telah

dipelajari.

b. Guru bercerita tentang keterkaitan dari materi yang dipelajari hari ini dengan

tugas akhir yang sedang dikerjakan.

Sleman, 15 November 2018

Peneliti

Gabariela Purnama Ningsi


113

LAMPIRAN IX

MATERI PEMBELAJARAN

Persamaan Kuadrat, Akar Persamaan Kuadrat dan Mencari Akar

Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Variasi Terbatas

A. Persamaan Kuadrat

Pengertian:

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai

pangkat tertinggi sama dengan 2.

Contoh Persamaan Kuadrat:

1. 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

2. 11𝑥2 − 50𝑥 + 21 = 0

3. −2𝑥2 − 10𝑥 = 0

4. −𝑥2 + 1 = 0

Bentuk baku persamaan kuadrat dalam 𝒙 adalah:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Dengan catatan:

𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah anggota himpunan bilangan real (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R).

𝑎 adalah koefisien dari 𝑥2.

𝑏 adalah koefisien dari 𝑥1.

𝑐 adalah koefisien dari 𝑥0.

Beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat:

𝑎 = 1 → 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0: persamaan kuadrat biasa,

𝑏 = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0: persamaan kuadrat murni,

𝑐 = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0: persamaan kuadrat tak lengkap.


114

B. Akar Persamaan Kuadrat

Nilai 𝑥yang memenuhi persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎disebut akar

persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan 𝑥1 dan𝑥2. Akar–akar dari

persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu :

Faktorisasi:

Bentuk 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 diuraikan menjadi bentuk:

(𝑥 + 𝑥1)(𝑥 + 𝑥2) = 0

Contoh:

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

→ (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0

→ (𝑥 + 2) = 0 atau (𝑥 + 3) = 0

→ 𝑥1 = −2 atau 𝑥2 = −3

Melengkapkan kuadrat sempurna:

Bentuk 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 diuraikan menjadi bentuk:

(𝑥 + 𝑝)2 = 𝑞

Contoh:

1. 𝑥2 + 10𝑥 + 9 = 0

Penyelesaian:

𝑥2 + 10𝑥 = −9 → Kedua ruas di tambah dengan

(−9)

𝑥2 + 10𝑥 + (1

2. 10)

2

= (1

2. 10)

2

− 9

→ Kedua ruas di tambah dengan

(1

2. 𝑏)

2

= (1

2. 10)

2

𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 25 − 9

(𝑥 + 5)2 = 16 → Bentuk kuadrat sempurna

𝑥 + 5 = ±4

𝑥 + 5 = 4 atau 𝑥 + 5 = −4

𝑥1 = −1 atau 𝑥2 = −9 Akar kuadrat


115

2. 𝑥2 − 16𝑥 + 3 = 0

Penyelesaian:

𝑥2 − 16𝑥 = −3 → Kedua ruas di tambah

dengan (−3)

𝑥2 − 16𝑥 + (1

2. (−16))

2

= (1

2. (−16))

2

− 3

→ Kedua ruas di tambah

dengan (1

2. 𝑏)

2

=

(1

2. (−16))

2

𝑥2 − 16𝑥 + 64 = 64 − 3

(𝑥 − 8)2 = 61 → Bentuk kuadrat sempurna

𝑥 − 8 = ±√61

𝑥 − 8 = √61 atau 𝑥 − 8 = −√61

𝑥1 = 8 + √61 atau 𝑥2 = 8 − √61 Akar kuadrat

Menggunakan rumus kuadrat yang biasa disebut rumus abc:

Persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎mempunyai akar-akar persamaan

sebagai berikut:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Untuk menemukan rumus tersebut dapat dilihat pada langkah-langkah

berikut:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 → Kedua ruas di tambah dengan (−𝑐)

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 =

−𝑐

𝑎

→ Kedua ruas dikali dengan 1

𝑎

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 + (

1

2.𝑏

𝑎)

2

= (1

2.𝑏

𝑎)

2

−𝑐

𝑎

→ Kedua ruas di tambah dengan

(1

2.

𝑏

𝑎)

2

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2=

𝑏2

4𝑎2−

𝑐

𝑎

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

→ Bentuk kuadrat sempurna

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

√4𝑎2

→ Kedua ruas dipangkatkan 1

2


116

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

atau

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

→ Dua akar persamaan kuadrat

Contoh:

Tentukanlah akar kuadrat dari persamaan 6𝑥2 + 10𝑥 − 6 = 0.

Penyelesaian:

6𝑥2 + 10𝑥 − 6 = 0 → 𝑎 = 6, 𝑏 = 10, dan 𝑐 = −6

Sehingga,

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−10 ± √(10)2 − 4(6)(−6)

2(6)

atau 𝑥1,2 =

−10 ± √100 + 144

12

𝑥1,2 =−10 ± √244

12

atau 𝑥1,2 =

−10 ± 2√61

12

𝑥1 =−5 + √61

6

dan 𝑥2 =

−5 − √61

6

C. Variasi Terbatas

Dalam menentukan akar persamaan kuadrat menggunakan variasi

terbatas, kita akan mencari nilai akar dari sebuah persamaan kuadrat dengan

menggunakan iterasi. Semakin banyak iterasi yang kita lakukan, maka akan

semakin baik solusi yang akan diperoleh. Untuk menentukan akar persamaan

kuadrat dengan menggunakan variasi terbatas, kita akan mengikuti langkah-

langkah berikut:

1. Mengubah bentuk persamaan kuadrat ke persamaan dalam variasi terbatas.

2. Tentukan batas daerah yang akan kita cari akarnya.

3. Buat tebakan nilai awal dalam selang batas.

4. Iterasi.


117

Contoh:

Tentukanlah akar persamaan kuadrat dari 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0.

Penyelesaian:

a. Mencari nilai 𝑥1

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 → 𝑥2 + 3𝑥 = 10

�̃�. 𝑥 + 3𝑥 = 10 → 𝑥(�̃� + 3) = 10

𝑥 =10

(�̃� + 3)

→ 𝑥𝑛+1 =

10

(3 + 𝑥𝑛),

𝑥𝑛 ≠ −3

𝑛 = 0,1,2,3, ….

Misalkan: nilai awal adalah 𝑥0 = 0, maka akan diperoleh:

𝒏 𝒙𝒏 𝒙𝒏+𝟏

0 0 𝑥1 =

10

(3 + 𝑥𝑛)=

10

(3 + 0)= 0,333333333

1 0,333333333 𝑥2 =

10

(3 + 𝑥𝑛)=

10

(3 + 0,333333333)= 1,578947368

2 1,578947368 𝑥3 = 2,183908046

3 2,183908046 𝑥4 = 1,929046563

4 1,929046563 𝑥5 = 2,028789924

5 2,028789924 𝑥6 = 1,98854996

6 1,98854996 𝑥7 = 2,004590528

7 2,004590528 𝑥8 = 1,998165473

8 1,998165473 𝑥9 = 2,00073408

9 2,00073408 𝑥10 = 1,999706411

10 1,999706411 𝑥11 = 2,000117442

11 2,000117442 𝑥12 = 1,999953024

12 1,999953024 𝑥13 = 2,000018791

13 2,000018791 𝑥14 = 1,999992484

14 1,999992484 𝑥15 = 2,000003006


118

b. Mencari nilai 𝑥2

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 → 𝑥2 + 3𝑥 = 10

�̃�. 𝑥 + 3𝑥 = 10 → 𝑥(�̃� + 3) = 10

�̃� =10

𝑥− 3

→ 𝑥𝑛+1 =

10

𝑥𝑛− 3, 𝑥𝑛 ≠ 0, 𝑛 = 0,1,2,3, ….

Misalkan: nilai awal adalah 𝑥0 = 1, maka akan diperoleh:

𝒏 𝒙𝒏 𝒙𝒏+𝟏

0 1 𝑥1 =

10

𝑥𝑛− 3 =

10

1− 3 = 7

1 7 𝑥2 =

10

𝑥𝑛− 3 =

10

7− 3 = −1.571429

2 −1.571429 𝑥3 = −9.363636

3 −9.363636 𝑥4 = −4.067961

4 −4.067961 𝑥5 = −5.458234

5 −5.458234 𝑥6 = −4.832094

6 −4.832094 𝑥7 = −5.069496

7 −5.069496 𝑥8 = −4.972583

8 −4.972583 𝑥9 = −5.011027

9 −5.011027 𝑥10 = −4.995599

10 −4.995599 𝑥11 = −5.001762

11 −5.001762 𝑥12 = −4.999295

12 −4.999295 𝑥13 = −5.000282

13 −5.000282 𝑥14 = −4.999887

14 −4.999887 𝑥15 = −5.000045

15 −5.000045 𝑥16 = −4.999982

16 −4.999982 𝑥17 = −5.000007

17 −5.000007 𝑥18 = −5

Berdasarkan pola yang terlihat dalam kedua tabel di atas, maka dapat

disimpulkan bahwa akar persamaan kuadrat dari 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 adalah

𝑥 = 2 dan 𝑥 = −5.


119

LAMPIRAN X

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Variasi Terbatas.

Kelompok :

Nama anggota kelompok : 1. ……………………………...

2. ………………………………

3. ………………………………

4. ………………………………

5. ………………………………

Petunjuk:

1. Bacalah masalah yang terdapat dalam LKS dengan teliti.

2. Diskusikan dengan teman kelompokmu dalam menyelesaikan masalah

yang terdapat di dalam LKS.

3. Jika di dalam kelompokmu mengalami kesulitan dalam menyelesaikan

masalah, maka tanyalah kepada gurumu cara/langkah dalam

menyelesaikan masalah tersebut, tetapi kamu harus terlebih dahulu

berusaha secara maksimal.

Tujuan Pembelajaran:

1. Siswa dapat memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan Variasi

Terbatas.

2. Siswa dapat menjelaskan cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan

Variasi Terbatas.

3. Siswa dapat menyelesaikan beberapa soal mencari akar persamaan kuadrat dengan

menggunakan Variasi Terbatas.


120

MASALAH I:

Perhatikan gambar di bawah!

Sebuah bola dilontarkan dari atap sebuah gedung yang tingginya adalah ℎ = 10 𝑚 dengan

kecepatan awal 𝑉0 = 10 𝑚/𝑠. Jika percepatan gravitasi bumi adalah 10 𝑚/𝑠2, sudut yang

terbentuk antara arah lemparan bola dengan arah horizontal adalah 300 (gesekan bola

dengan udara diabaikan). Waktu yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah adalah….

Petunjuk:

1. Gunakan konsep gerak parabola dalam fisika untuk mencari ketinggian suatu benda

jika dilempar membentuk parabola.

2. Gunakan salah satu metode mencari akar persamaan kuadrat yang kalian ketahui

sebelumnya untuk mencari nilai waktu (𝑡) yang diperlukan bola untuk menyentuh

tanah.

3. Gunakan konsep variasi terbatas untuk mencari nilai waktu (𝑡) yang diperlukan bola

untuk menyentuh tanah dengan 𝑡 ≠ 0, 𝑡 ≠ 1.

4. Bandingkan hasil dari kedua cara yang kalian gunakan dan buatlah kesimpulan.

MASALAH II:

Selembar karton berbentuk persegi panjang, akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara

membuang persegi seluas 3 x 3 𝑐𝑚2 di masing-masing pojoknya. Apabila panjang alas

kotak 2 𝑐𝑚 lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 𝑐𝑚3. Tentukanlah panjang

dan lebar alas kotak tersebut dengan menggunakan:

1. Salah satu metode yang kalian ketahui dalam mencari akar persamaan kuadrat,

2. Variasi terbatas dengan menggunakan semua nilai kecuali 𝑥 = 0 dan 𝑥 = −2 (𝑥

adalah panjang alas kotak).

3. Bandingkan hasil dari kedua cara yang kalian gunakan dan buatlah kesimpulan.


121

LEMBAR Jawaban:


122


123


TESIS PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN ...Penulis menggunakan metode Euler, metode Heun, dan...

Documents

Transcript of TESIS PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN ...Penulis menggunakan metode Euler, metode Heun, dan...