1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Bilangan Euler(e)

Rukmono Budi Utomo30115301

Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat

March 5, 2016

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asal Usul Bilangan Euler e

1 1. Bilangan Euler

2 2. Asal-Usul Bilangan e

3 3. Identitas Euler

4 4. Referensi

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asal Usul Bilangan Euler e

Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.

Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.

Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan eadalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakanbilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi

f (x) = (1 + x)1x atau secara matematis dapat dituliskan

sebagai

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asal Usul Bilangan Euler e

Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.

Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.

Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan eadalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakanbilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi

f (x) = (1 + x)1x atau secara matematis dapat dituliskan

sebagai

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asal Usul Bilangan Euler e

Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.

Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.

Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan eadalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakanbilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi

f (x) = (1 + x)1x atau secara matematis dapat dituliskan

sebagai

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asa-Usul Bilangan e

Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma

Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawahhiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.

Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbolapersegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secaraeksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjanghiperbola yx = 1 dan logaritma.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asa-Usul Bilangan e

Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma

Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawahhiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.

Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbolapersegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secaraeksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjanghiperbola yx = 1 dan logaritma.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Asa-Usul Bilangan e

Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma

Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawahhiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.

Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbolapersegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secaraeksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjanghiperbola yx = 1 dan logaritma.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupasehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebutmerupakan cikal bakal munculnya bilangan e

Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bungamajemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukanbatas dari suatu fungsi f (x) = (1 + 1

x )x untuk x cenderungmembesar dan menuju tak hingga

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupasehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebutmerupakan cikal bakal munculnya bilangan e

Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bungamajemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukanbatas dari suatu fungsi f (x) = (1 + 1

x )x untuk x cenderungmembesar dan menuju tak hingga

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan epertama kalinya

Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.

Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens danmemberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitianHuygens yakni b (dan bukan e)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan epertama kalinya

Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.

Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens danmemberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitianHuygens yakni b (dan bukan e)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan epertama kalinya

Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.

Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens danmemberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitianHuygens yakni b (dan bukan e)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampaiakhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuahsurat Euler kepada Goldbach.

Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karyafenomenalnya yang berjudul Introductio di analysininfinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·

atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampaiakhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuahsurat Euler kepada Goldbach.

Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karyafenomenalnya yang berjudul Introductio di analysininfinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·

atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.

Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan olehEuler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan olehEuler merupakan singkatan dari eksponensial.

Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baikkarena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnyakepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertamakali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductiodi analysin infinitorum miliknya

Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan JohnNapieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanyamemperkenalkan konsep logaritma pertama kali.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.

Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan olehEuler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan olehEuler merupakan singkatan dari eksponensial.

Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baikkarena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnyakepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertamakali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductiodi analysin infinitorum miliknya

Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan JohnNapieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanyamemperkenalkan konsep logaritma pertama kali.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.

Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan olehEuler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan olehEuler merupakan singkatan dari eksponensial.

Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baikkarena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnyakepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertamakali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductiodi analysin infinitorum miliknya

Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan JohnNapieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanyamemperkenalkan konsep logaritma pertama kali.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.

Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan olehEuler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan olehEuler merupakan singkatan dari eksponensial.

Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baikkarena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnyakepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertamakali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductiodi analysin infinitorum miliknya

Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan JohnNapieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanyamemperkenalkan konsep logaritma pertama kali.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Identitas Euler

Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni

e iθ = cos θ + i sin θ

Bukti Menurut Euler

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Analog dengan hal tersebut

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)n

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Identitas Euler

Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni

e iθ = cos θ + i sin θ

Bukti Menurut Euler

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Analog dengan hal tersebut

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)n

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Identitas Euler

Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni

e iθ = cos θ + i sin θ

Bukti Menurut Euler

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x

Analog dengan hal tersebut

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)n

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Untuk x = z diperoleh

ez = limn→∞

(1 +

z

n

)nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperolehbentuk

ex+iy = limn→∞

(1 +

x + iy

n

)n

atau dapat ditulis

ex+iy = limn→∞

[(1 +

x

n

)+ i

y

n

]n· · · (∗1)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanUntuk x = z diperoleh

ez = limn→∞

(1 +

z

n

)n

karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperolehbentuk

ex+iy = limn→∞

(1 +

x + iy

n

)n

atau dapat ditulis

ex+iy = limn→∞

[(1 +

x

n

)+ i

y

n

]n· · · (∗1)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanUntuk x = z diperoleh

ez = limn→∞

(1 +

z

n

)nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperolehbentuk

ex+iy = limn→∞

(1 +

x + iy

n

)n

atau dapat ditulis

ex+iy = limn→∞

[(1 +

x

n

)+ i

y

n

]n· · · (∗1)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanUntuk x = z diperoleh

ez = limn→∞

(1 +

z

n

)nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperolehbentuk

ex+iy = limn→∞

(1 +

x + iy

n

)n

atau dapat ditulis

ex+iy = limn→∞

[(1 +

x

n

)+ i

y

n

]n· · · (∗1)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dari (∗1) dapat diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[√(1 +

x

n

)+ i

y

n

]natau dapat dituliskan kembali sebagai

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[1 +

(2x

n+

x2

n2+

y2

n2

)] n2

pada akhirnya akan diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = e

limn→∞

[1+

(2xn+ x2

n2+ y2

n2

)] n2

atau |ex+iy | = e

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[√(1 +

x

n

)+ i

y

n

]natau dapat dituliskan kembali sebagai

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[1 +

(2x

n+

x2

n2+

y2

n2

)] n2

pada akhirnya akan diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = e

limn→∞

[1+

(2xn+ x2

n2+ y2

n2

)] n2

atau |ex+iy | = e

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[√(1 +

x

n

)+ i

y

n

]natau dapat dituliskan kembali sebagai

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[1 +

(2x

n+

x2

n2+

y2

n2

)] n2

pada akhirnya akan diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = e

limn→∞

[1+

(2xn+ x2

n2+ y2

n2

)] n2

atau |ex+iy | = e

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[√(1 +

x

n

)+ i

y

n

]natau dapat dituliskan kembali sebagai

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[1 +

(2x

n+

x2

n2+

y2

n2

)] n2

pada akhirnya akan diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = e

limn→∞

[1+

(2xn+ x2

n2+ y2

n2

)] n2

atau |ex+iy | = e

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[√(1 +

x

n

)+ i

y

n

]natau dapat dituliskan kembali sebagai

∣∣ex+iy∣∣ = lim

n→∞

[1 +

(2x

n+

x2

n2+

y2

n2

)] n2

pada akhirnya akan diperoleh

∣∣ex+iy∣∣ = e

limn→∞

[1+

(2xn+ x2

n2+ y2

n2

)] n2

atau |ex+iy | = e

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin),tanθ = y

x atau θ = arctan yx dan berdasarkan Teorema De

Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθatau arg(zn) = n arctan y

x

berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskankembali sebagai

arg(ex+iy

)= lim

n→∞n

[arctan

yn(

1 + xn

)]atau

arg(ex+iy

)= lim

n→∞n

[arctan y

n+xy

n+x

]y

n+x · · · (∗2)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin),tanθ = y

x atau θ = arctan yx dan berdasarkan Teorema De

Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθatau arg(zn) = n arctan y

x

berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskankembali sebagai

arg(ex+iy

)= lim

n→∞n

[arctan

yn(

1 + xn

)]

atau

arg(ex+iy

)= lim

n→∞n

[arctan y

n+xy

n+x

]y

n+x · · · (∗2)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin),tanθ = y

x atau θ = arctan yx dan berdasarkan Teorema De

Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθatau arg(zn) = n arctan y

x

berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskankembali sebagai

arg(ex+iy

)= lim

n→∞n

[arctan

yn(

1 + xn

)]atau

arg(ex+iy

)= lim

n→∞n

[arctan y

n+xy

n+x

]y

n+x · · · (∗2)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

karena

limt→∞

[arctan 1

t1t

]= lim

t→∞

[1

1 + 1t2

]yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh

arg(ex+iy

)= lim

n→∞ynn+x

atau dapat dituliskan kembali sebagai

arg(ex+iy

)= y . . . (∗3)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

karena

limt→∞

[arctan 1

t1t

]= lim

t→∞

[1

1 + 1t2

]yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh

arg(ex+iy

)= lim

n→∞ynn+x

atau dapat dituliskan kembali sebagai

arg(ex+iy

)= y . . . (∗3)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

karena

limt→∞

[arctan 1

t1t

]= lim

t→∞

[1

1 + 1t2

]yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh

arg(ex+iy

)= lim

n→∞ynn+x

atau dapat dituliskan kembali sebagai

arg(ex+iy

)= y . . . (∗3)

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ+ i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg(z), diperolehz = |z |[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4)

ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5)

substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehex+iy = ex(cos y + i sin y) atau e iy = (cos y + i sin y)

Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperolehe iθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ+ i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg(z), diperolehz = |z |[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4)

ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5)

substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehex+iy = ex(cos y + i sin y) atau e iy = (cos y + i sin y)

Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperolehe iθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ+ i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg(z), diperolehz = |z |[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4)

ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5)

substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehex+iy = ex(cos y + i sin y) atau e iy = (cos y + i sin y)

Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperolehe iθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ+ i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg(z), diperolehz = |z |[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4)

ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5)

substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehex+iy = ex(cos y + i sin y) atau e iy = (cos y + i sin y)

Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperolehe iθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Akibat Identitas Euler

Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan

e iπ + 1 = 0

BuktiDari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikute iπ = cosπ + i sinπ= −1 + 0= −1Dengan demikian e iπ + 1 = 0Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Akibat Identitas Euler

Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan

e iπ + 1 = 0

Bukti

Dari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikute iπ = cosπ + i sinπ= −1 + 0= −1Dengan demikian e iπ + 1 = 0Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Akibat Identitas Euler

Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan

e iπ + 1 = 0

BuktiDari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikute iπ = cosπ + i sinπ= −1 + 0= −1Dengan demikian e iπ + 1 = 0Q.E.D

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Referensi

www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler)Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wib

www.id.wikipedia.org(Identitias Euler)Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wib

www.mathematics.blogspot.comDikutip tanggal 5 maret 2016

Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)