Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016
6
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm 1 dari 6 Istiarto Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS AMN – IST – ISI Rabu, 15 Juni 2016 | 100 menit [ Boleh membuka buku | Tidak boleh memakai komputer ] SOAL 1 [30%] Hasil sigi (survei) lalu lintas di suatu kawasan, yang dibagi menjadi delapan zona, menghasilkan data jumlah perjalanan dan jumlah mobil setiap hari seperti disajikan pada tabel di bawah ini. zona jumlah mobil jumlah perjalanan 1 240 780 2 200 420 3 90 100 4 500 1340 5 440 1100 6 120 440 7 400 1000 8 330 900 (a) Temukanlah hubungan antara kedua variabel (jumlah perjalanan sebagai fungsi jumlah mobil) dengan teknik regresi linear, metode kuadrat terkecil. [Bobot 15%] Catatan: kedua variabel adalah variabel diskrit, jumlah perjalanan dan jumlah mobil adalah bilangan bulat positif. (b) Berapakah koefisien korelasi hubungan linear kedua variabel tersebut? [Bobot 15%] PENYELESAIAN (a) Regresi linear [bobot 15%] Jika jumlah perjalanan dinyatakan sebagai variabel Y dan jumlah mobil dalam perjalanan tersebut dinyatakan sebagai variabel X, maka hubungan antara kedua variabel, yang diperoleh dari regresi linear, dapat dinyatakan dalam persamaan di bawah ini: = ! + ! Variabel atau sering pula disimbolkan dengan ! adalah jumlah perjalanan sebagai fungsi jumlah mobil. Nilai a0 dan a1 dalam persamaan regresi dicari dengan persamaan berikut: ! = ! ! ! !!! − ! ! !!! ! ! !!! ! ! ! !!! − ! ! !!! ! dan ! = − ! Dalam persamaan di atas, n adalah ukuran sampel atau jumlah data, dan adalah jumlah perjalanan rata-rata dan jumlah mobil rata-rata. Hitungan regresi linear dengan metode kuadrat terkecil disajikan pada Tabel 1 pada halaman setelah halaman ini. Dari Tabel 1, diperoleh informasi sebagai berikut: § jumlah data, n = 8; § jumlah perjalanan rata-rata, = ! ! !!! = 6.080 8 = 760; § jumlah mobil rata-rata, = ! ! !!! = 2.320 8 = 290. Koefisien ! dan ! pada persamaan garis regresi dihitung sebagai berikut:
Transcript of Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm1dari6
Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM
�http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/
UJIANAKHIRSEMESTERSTATISTIKADANPROBABILITAS
AMN–IST–ISIRabu,15Juni2016|100menit
[Bolehmembukabuku|Tidakbolehmemakaikomputer]
SOAL1[30%]
Hasilsigi(survei)lalulintasdisuatukawasan,yangdibagimenjadidelapanzona,menghasilkandatajumlahperjalanandanjumlahmobilsetiapharisepertidisajikanpadatabeldibawahini.
zona jumlahmobil jumlahperjalanan1 240 7802 200 4203 90 1004 500 13405 440 11006 120 4407 400 10008 330 900
(a) Temukanlahhubunganantarakeduavariabel(jumlahperjalanansebagaifungsijumlahmobil)
denganteknikregresilinear,metodekuadratterkecil.[Bobot15%]Catatan:keduavariabeladalahvariabeldiskrit,jumlahperjalanandanjumlahmobiladalahbilanganbulatpositif.
(b) Berapakahkoefisienkorelasihubunganlinearkeduavariabeltersebut?[Bobot15%]
PENYELESAIAN
(a)Regresilinear[bobot15%]
JikajumlahperjalanandinyatakansebagaivariabelYdanjumlahmobildalamperjalanantersebutdinyatakansebagaivariabelX,makahubunganantarakeduavariabel,yangdiperolehdariregresilinear,dapatdinyatakandalampersamaandibawahini:
𝑌 = 𝑎! + 𝑎!𝑋
Variabel𝑌atauseringpuladisimbolkandengan𝑌! adalahjumlahperjalanansebagaifungsijumlahmobil.Nilaia0dana1dalampersamaanregresidicaridenganpersamaanberikut:
𝑎! =𝑛 𝑥!𝑦!!
!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!
!!!
𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!
!!!! dan 𝑎! = 𝑌 − 𝑎!𝑋
Dalampersamaandiatas,nadalahukuransampelataujumlahdata,𝑌dan𝑋adalahjumlahperjalananrata-ratadanjumlahmobilrata-rata.HitunganregresilineardenganmetodekuadratterkecildisajikanpadaTabel1padahalamansetelahhalamanini.DariTabel1,diperolehinformasisebagaiberikut:
§ jumlahdata,n=8;§ jumlahperjalananrata-rata,𝑌 = 𝑦!!
!!! 𝑛 = 6.080 8 = 760;§ jumlahmobilrata-rata,𝑋 = 𝑥!!
!!! 𝑛 = 2.320 8 = 290.
Koefisien𝑎! dan 𝑎!padapersamaangarisregresidihitungsebagaiberikut:
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm2dari6
Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM
�http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/
𝑎! =𝑛 𝑥!𝑦!!
!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!
!!!
𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!
!!!! =
8×2.184.000 − 2.320×6.0808×832.600 − 2.320!
= 2.6333.
𝑎! = 𝑌 − 𝑎!𝑋 = 760 − 2.6333×290 = −3.6546.
Dengandemikian,hubunganantarajumlahperjalanandanjumlahmobilyangdiperolehdariregresilinearantarakeduavariabeladalah:
𝑌 = −3.6546 + 2.6333 𝑋atau𝑦! = 2.6333 𝑥! − 3.6446.
TABEL1HITUNGANREGRESILINEARHUBUNGANANTARAJUMLAHPERJALANANDANJUMLAHMOBILDENGANMETODEKUADRATTERKECIL
i 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊𝟐1 240 780 187.200 57.6002 200 420 84.000 40.0003 90 100 9.000 8.1004 500 1.340 670.000 250.0005 440 1.100 484.000 193.6006 120 440 52.800 14.4007 400 1.000 400.000 160.0008 330 900 297.000 108.900Σ 2.320 6.080 2.184.000 832.600
(b)Koefisienkorelasi[bobot15%}
Koefisienkorelasi,r,dinyatakandalampersamaanberikut:
𝑟 =𝑆! − 𝑆!𝑆!
=𝑦! − 𝑌 !!
!!! − 𝑦! − 𝑌!!
!!!
𝑦! − 𝑌 !!!!!
atau
𝑟 =𝑛 𝑥!𝑦!!
!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!
!!!
𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!
!!!! 𝑛 𝑦!!!
!!! − 𝑦!!!!!
!
HitunganuntukmendapatkannilaiStdannilaiSrdilakukansecaratabulasidalamTabel2bawahini.Hitunganmengacukepadapersamaanrdiatasyangdisebelahkiri.
TABEL2HITUNGANKOEFISIENKORELASIANTARAJUMLAHPERJALANANDANJUMLAHMOBIL
i 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐 𝒚𝒊 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 𝟐1 240 780 400 628 23.1042 200 420 115.600 523 10.6093 90 100 435.600 233 17.6894 500 1.340 336.400 1.313 7295 440 1.100 115.600 1.155 3.0256 120 440 102.400 312 16.3847 400 1.000 57.600 1.050 2.5008 330 900 19.600 865 1.225 𝑺𝒕 = 1.183.200 𝑺𝒓 = 75.265
Catatan:𝑦! adalahjumlahperjalanan,variabeldiskrit,bilanganbulat.
Koefisienkorelasi:
𝑟 =𝑆! − 𝑆!𝑆!
=1.183.200 − 75.265
1.183.200= 0.9677.
Akarkuadratdapatbernilaipositifataunegatif.Koefisienkorelasidapatbernilaipositifataunegatif.Karenagradiengarisregresi,𝑎!,bernilaipositif,ataudengankatalainjumlahperjalanan
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm3dari6
Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM
�http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/
berbandinglurusdenganjumlahmobil,makakoefisienkorelasipunbernilaipositif,r=0.9677.Gambar1menyajikandatasecaragrafis.Gambarinitidakwajibdibuatkarenasoaltidakmemintanya.
GAMBAR1HUBUNGANLINEARANTARAJUMLAHPERJALANANDANJUMLAHMOBIL
SOAL2[70%]
Angka-angkadibawahiniadalahkuatdesakbetondalamsatuanMPayangdiperolehdariujilaboratoriumterhadap36buahsampel.
28 26 30 28 29 32
34 26 28 34 31 28
33 32 30 30 30 32
26 28 30 30 26 24
34 28 32 32 28 30
34 32 37 30 30 32
(a) Buatlahtabelfrekuensidenganrentangkelas2MPa,batasbawahrentangkelaspertama
adalah23MPa(rentangkelaspertama23-25MPa).[Bobot15%](b) Hitunglahnilairata-rata,median,danmodus(mode)kuatdesakbetondenganmemakaitabel
frekuensi.[Bobot15%](c) Hitunglahnilaisimpanganbakukuatdesakbetondenganmemakaitabelfrekuensi.[Bobot
10%](d) Hitunglahrentangkeyakinankuatdesakrata-ratadengantingkatkeyakinan90%.[Bobot15%](e) Ujilahhipotesisyangmenyatakanbahwakuatdesakrata-ratabetontersebutadalah32MPa
dengantingkatkeyakinan95%.[Bobot15%]
y=2.6333x-3.6546r²=0.93652
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 100 200 300 400 500 600
Jumlahperjalanan,Y
Jumlahmobil,X
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm4dari6
Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM
�http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/
PENYELESAIAN
(a)Tabelfrekuensi[bobot15%]
Tabelfrekuensiadalahsalahsatucarapenyajiandata.Kuatdesakbetonadalahvariabelrandomkontinu.Datadiatasdiperolehdariujilaboratorium.Datakuatdesaktersebutadalahdatasampel,bukandatapopulasi.TabelfrekuensidisajikanpadaTabel3dibawahini.
TABEL3KUATDESAKBETONHASILUJILABORATORIUM
i Kuatdesak,X[MPa] Frekuensi𝒇𝒊
𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐Kelas 𝒙𝒊1 23 - 25 24 1 24 5762 25 - 27 26 4 104 27043 27 - 29 28 8 224 62724 29 - 31 30 10 300 90005 31 - 33 32 8 256 81926 33 - 35 34 4 136 46247 35 - 37 36 1 36 1296 Σ= 36 1080 32664
Ukuransampelataujumlahdatadalamsampelujikuatdesakbetonadalah 𝑓! = 36.Operatorpenjumlahan 𝑓! dibaca 𝑓!!
!!! .Indekspadaoperatorpenjumlahantidakdituliskanuntukmenyederhanakanpenulisan.
DatadapatpuladisajikandalambentukgrafikbatangatauhistogramsepertidisajikanpadaGambar2.Grafikinitidakwajibdibuatkarenasoaltidakmemintanya.Perhatikanbentukkurvapadagambartersebut.Tampakjelasbahwabentukkurvamengindikasikanbahwasampelkuatdesakbetonberdistribusinormal.
GAMBAR2KUATDESAKBETONHASILUJILABORATORIUM
(b)Nilairata-rata,median,modus[bobot15%]
Nilairata-ratadihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkansatukolomyangberisinilaifrekuensidikalikandengannilaidata,𝑓!𝑥! .
Kuatdesakrata-rataadalah:
0
2
4
6
8
10
12
23-25 25-27 27-29 29-31 31-33 33-35 35-37
Frekuensi
KuatdesakbetondalamsatuanMPa
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm5dari6
Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM
�http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/
𝑋 =𝑓!𝑥!𝑓!
=108036
= 30MPa.
Nilaimediandannilaimodusdapatdilihatlangsungpadatabelfrekuensidiatas:
§ mediankuatdesakadalah30MPaatau29-31MPa,§ moduskuatdesakadalah30MPaatau29-31MPa.
(c)Simpanganbaku[bobot10%]
Simpanganbakukuatdesakbetondihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkankolomyangberisi𝑓!𝑥!!.Nilaisimpanganbakuadalah:
𝑠! =𝑥! − 𝑋 !
𝑓! − 1=
𝑓!𝑥!! − 𝑓! 𝑋 !
𝑓! − 1=
32664 − 36×30!
36 − 1= 2.7464 MPa.
(d)Rentangkeyakinankuatdesakrata-rata[bobot15%]
Rentangkeyakinankuatdesakrata-rata,denganasumsibahwakuatdesakbetontersebutberdistribusinormal,dinyatakandenganpersamaanberikut:
prob 𝑙 ≤ 𝜇! ≤ 𝑢 = 1 − 𝛼
Dalampersamaandiatas,ladalahbatasbawahrentangkeyakinan,uadalahbatasatasrentangkeyakinan,dan1 − 𝛼adalahtingkatkeyakinan.Batasbawahdanbatasatasrentangkeyakinankuatdesakbetonrata-ratadinyatakandenganpersamaanberikut:
𝑙 = 𝑋 −𝑠!𝑛𝑡!!! !,!!!dan𝑢 = 𝑋 +
𝑠!𝑛𝑡!!! !,!!!
Nilai𝑡!!! !,!!!adalahnilaitpadapdfdistribusitsedemikianhinggaprob 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝛼 2padanilaiderajatkebebasan𝜈 = 𝑛 − 1,nukuransampel(jumlahdata).Karenatingkatkeyakinantelahditetapkan,yaitu1 − 𝛼 = 90%,maka1 − 𝛼 2 = 95%.Nilai𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!",!"dibacapadatabeldistribusit.Bacaantabelmenjadimudahdilakukandengancaramembuatsketsapdfdistribusit.
Daritabeldistribusit,diperoleh:
𝑡!.!",!" = 1.6896
Dengandemikian,batasbawahdanbatasatasrentangadalah:
𝑙 = 30 − 1.68962.746436
= 29.23 MPa.
𝑢 = 30 + 1.68962.746436
= 30.77 MPa.
Dengandemikian,rentangkeyakinan90%kuatdesakrata-rataadalah:
prob 29.33 MPa ≤ 𝜇! ≤ 30.77 MPa = 0.90.
(e)Ujihipotesiskuatdesakrata-rata[bobot15%]
H0: 𝜇! = 32 MPa
H1: 𝜇! ≠ 32 MPa
Karenavarianspopulasitidakdiketahui(𝜎!!tidakdiketahui),makastatistikaujiadalah:
𝑡!.!",!"𝑡!.!",!" = −𝑡!.!",!"
1 − 𝛼 = 0.90𝛼 2⁄ = 0.05𝛼 2⁄ = 0.05
Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm6dari6
Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM
�http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/
𝑇 =𝑛𝑠!
𝑋 − 𝜇! =36
2.746430 − 32 = −4.3693.
Batas-bataspenerimaanataupenolakanstatistikaujidengantingkatkeyakinan1 − 𝛼 = 95%danjumlahsampeln=36adalah:𝑡! !,!!! = 𝑡!.!"#,!"dan𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!"#,!".
Daritabeldistribusit,diperoleh:
𝑡!.!"#,!" = 2.0301𝑡!.!"#,!" = −2.0301
Dengandemikian,statistikauji𝑇 = −4.3693beradadiluarrentangpenerimaanhipotesisH0( 𝑇 >𝑡!.!"#,!"),sehinggahipotesisyangmenyatakanbahwakuatdesakrata-
rataadalah32MPatidakditerimaatauditolak.
-o0o-
𝑡!.!"#,!" = 2.0301𝑡!.!"#,!" = −2.0301
1 − 𝛼 = 0.95𝛼 2⁄ = 0.025𝛼 2⁄ = 0.025
