STATISTIKA DAN PROBABILITAS

TUGAS IV

I. PENGERTIAN DAN KONSEP DASAR

untuk membantu memahami distribusi dari suatu karakteristik populasi yang tidak

diketahui, ilmuwan dan insinyur sering menggunakan data sampel

teknik sampling berguna dalam penarikan kesimpulan (inference) yg valid dan dapat

dipercaya

teknik pengambilan sampling yang baik dan benar dapat menghemat biaya dan waktu

tanpa mengurangi keakuratan hasil

populasi terhingga (finite population) adalah populasi yang jumlah seluruh

anggotanya tetap dan dapat didaftar. Contoh: pengukuran berat badan mahasiswa ITS

jurusan Teknik Kelautan angkatan 2007.

populasi tak terhingga (infinite population) adalah populasi yang memiliki anggota

yang banyaknya tak terhingga. Contoh: pengamatan kejadian kecelakaan yang terjadi

di bundaran ITS selama kurun waktu yang tidak dibatasi

Random Sampling atau sampling secara acak adalah suatu proses pengambilan sampel

dimana setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih

sebagai sampel.

Sampling dengan pergantian : sampling dimana setiap anggota sebuah populasi bisa

terpilih lebih dari sekali.

Sampling tanpa pergantian : sampling dimana setiap anggota sebuah populasi tidak

bisa terpilih lebih dari sekali.

Sample Acak

Jika dipilih sample berukuran n dari sebuah populasi, sehimpunan variabel acak X1, X2,

X3, ...., Xn-1, Xn akan membentuk sebuah sampel acak dari populasi jika:

a) Xi saling bebas secara statistik

b) Masing-masing Xi mengikuti fungsi

distribusi probabilitas yang mengatur populasi

Nama : Debora Elluisa Manurung

NPM : 11312760

Dosen : Prof. Dr. Johan Harlan

SMTS 06 2012 B

Distribusi Sampling adalah distribusi nilai statistik sampel-sampel. Jika statistik yang

ditinjau adalah mean dari masing-masing sampel, maka distribusi yang terbentuk disebut

distribusi mean-mean sampling (sampling distribution of the means). Dengan demikian dapat

juga diperoleh distribusi deviasi standard, varians, median dari sampling. Masing-masing

jenis distribusi sampling dapat dihitung ukuran-ukuran statistik deskriptifnya (mean, range,

deviasi standard, da lain-lain). Fungsi mempelajari distribusi sampling, yaitu :

untuk membantu memahami distribusi dari suatu karakteristik populasi yang tidak

diketahui, ilmuwan dan insinyur sering menggunakan data sample.

Teknik sampling berguna dalam penarikan kesimpulan (inference) yang valid dan

dapat dipercaya.

Teknik pengambilan sampling yang baik dan benar dapat menghemat biaya dan

waktu tanpa mengurangi keakuratan hasil. Adapun teori dalam distribusi sampling,

yaitu :

o Mengadakan estimasi (menaksir) keadaan parameter dari statistik seperti yang

baru dibicarakan.

o Mengadakan penyelidikan adalah perbedaan-perbedaan yang diobservasi

antara dua sample atau lebih merupakan perbedaan yang meyakinkan ataukah

karena faktor kebetulan

Populasi Sampel (dengan pengembalian)

X1 , X2 1

X3 , X4 2 Distriubusi Sampling

Mean

X…… Xn 3

example :

1. Dengan Pengembalian :

populasi : N = 3

S = {4, 6, 8}

Sampel n = 2

(4, 4) 1 = 4

(4, 6) 2 = 5

(4, 8) 3 = 6

(6, 6) 4 = 6

(6, 8) 5 = 7

X1 , X2

X3 , Xn

X1 , X2

X3 , Xn

X1 , X2

X3 , Xn

(8, 8) 6 = 8

2. Tanpa Pengembalian

Populasi : N = 3

S = {4, 6, 8}

Sampel n = 2

(4, 6) 1 = 5

(4, 8) 2 = 6

(6, 8) 3 = 7

Distribusi parameter

Statistika Infensi Statistik : Distribusi Mean

Sampling dengan pengembalian :

Distribusi Distribusi

Mean

Variansi 2

Standar Deviasi (SD)

� =

Z = Z =

y

x

mean sama

Distribusi � Distribusi

Normal

Normal Sampel besar � Z =

Sampel kecil t Z = (mendekati normal)

Sebarang

Sampel Besar : Normal (�) ; n 30

Sampel Kecil ; n

II. TABEL DISTRIBUSI T

Pembacaan tabel Distribusi t

Misalkan n = 9 db = 8 ; Nilai ditentukan = 2,5% dikiri dan kanan kurva t

tabel (db, ) = t tabel (8; 0,025) = 2.306. Jadi t = 2.306 dan –t = -2.306.

Arti gambar diatas :

Nilai t sample berukuran n = 9, berpeluang 95% jatuh dalam selang -2.306 < t <

2.306. peluang t > 2.306 = 2,5% dan peluang t < -2.306 = 2,5%

\

III. DISTRIBUSI MEAN-MEAN SAMPLING

Distribusi mean-mean sampling adalah distribusi mean-mean aritmetika dari seluruh

sampel acak berukuran n yang mungkin, yang dipilih dari sebuah populasi yang

dikaji.

Mean dan Deviasi Standard dari Distribusi Mean Sampling

Misalkan X1, X2, X3, ...., Xn-1, Xn adalah suatu sampel acak dari suatu populasi yg

memiliki mean.

Jika sampling tanpa pergantian dari suatu populasi

Jika sampling dengan pergantian (populasi tak hingga)

Dimana:

μ : mean dari distribusi mean samplingₓ

μ : mean populasi

σ : deviasi standard dari distribusi mean samplingₓ

σ : deviasi standard populasi

N : ukuran populasi

n : ukuran sampel

disebut faktor koreksi untuk populasi terhingga

Deviasi standard distribusi mean sampling disebut juga error standard mean.

IV. PENGERTIAN UJI HIPOTESIS

• Hipotesis Statistik : pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi.

• Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis.

• Kebenaran (benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan

pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. (Memeriksa seluruh populasi? Apa

mungkin?)

• Lalu apa yang kita lakukan, jika kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi

untuk memastikan kebenaran suatu hipotesis?

• Kita dapat mengambil contoh acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari

contoh itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.

Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK

hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR

dan

Penolakan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA

hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.

• Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini, yang menyebabkan para

statistikawan atau peneliti mengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuat

hipotesis yang diharapkan ditolak, tetapi dapat membuktikan bahwa pendapatnya

dapat diterima.

• Hipotesis Awal yang diharap akan ditolak disebut : Hipotesis Nol (H0 )

• Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H1) (beberapa

buku menulisnya sebagai HA )

• Nilai Hipotesis Nol (H0 ) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter.

H0 ditulis dalam bentuk persamaan

Sedangkan Nilai Hipotesis Alternatif ( H1 ) dapat memiliki beberapa kemungkinan.

H1 ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ¹)

• Penolakan atau Penerimaan Hipotesis dapat membawa kita pada 2 jenis kesalahan

(kesalahan= error = galat), yaitu :

• Galat Jenis 1 Penolakan Hipotesis Nol (H0 ) yang benar

Galat Jenis 1 dinotasikan sebagai

juga disebut taraf nyata uji

Catatan : konsep a dalam Pengujian Hipotesis sama dengan konsep konsep a pada

Selang Kepercayaan

• Galat Jenis 2 Penerimaan Hipotesis Nol (H0 ) yang salah

Galat Jenis 2 dinotasikan sebagai

• Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai dan

• Dalam perhitungan, nilai dapat dihitung sedangkan nilai hanya bisa dihitung jika

nilai hipotesis alternatif sangat spesifik.

• Pada pengujian hipotesis, kita lebih sering berhubungan dengan nilai . Dengan

asumsi, nilai yang kecil juga mencerminkan nilai yang juga kecil.

• Prinsip pengujian hipotesa adalah perbandingan nilai statistik uji (z hitung atau t

hitung) dengan nilai titik kritis (Nilai z tabel atau t Tabel)

• Titik Kritis adalah nilai yang menjadi batas daerah penerimaan dan penolakan

hipotesis.

• Nilai pada z atau t tergantung dari arah pengujian yang dilakukan.

V. ARAH PENGUJIAN HIPOTESA

Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara : 1. Uji Satu Arah

2. Uji Dua Arah

a. Uji Satu Arah ⟹ Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:

H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

Contoh 6.

Contoh Uji Satu Arah

a. H0 : m = 50 menit b. H0 : m = 3 juta

H1 : m < 50 menit H1 : m < 3 juta

Nilai a tidak dibagi dua, karena seluruh a diletakkan hanya di salah satu sisi

selang misalkan :

H0 : = 0 *)

H1 : < 0’

Wilayah Kritis **) : z < - z atau t < -t( db; )

*) 0 adalah suatu nilai tengah yang diajukan dalam H0

**) Penggunaan z atau t tergantung ukuran contoh-contoh besar menggunakan z;

contoh kecil menggunakan t.

b. Uji Dua Arah⇔

Pengajuan H0 dan H1 dalam uji dua arah adalah sebagai berikut :

H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

H1 : ditulis dengan menggunakan tanda ¹

Contoh 7.

Contoh Uji Dua Arah

a. H0 : = 50 menit a. H0 : = 3 juta

H1 : 50 menit H1 : 3 juta

Nilai a dibagi dua, karena a diletakkan di kedua sisi selang misalkan :

H0 : = 0 *)

H1 : 0

Wilayah Kritis **) : z < - z dan z > z

Atau

t -t (db , ) dan t t (db , )

*) 0 adalah suatu nilai tengah yang diajukan dalam H0

**) Penggunaan z atau t tergantung ukuran contoh

contoh besar menggunakan z; contoh kecil menggunakan t.

c. 7 Langkah Pengerjaan Uji Hipotesis

1. Tentukan H0 dan H1

2* Tentukan statistik uji [ z atau t]

3* Tentukan arah pengujian [1 atau 2]

4* Taraf Nyata Pengujian [ atau /2]

5. Tentukan nilai titik kritis atau daerah penerimaan-penolakan H0

6. Cari nilai Statistik Hitung

7. Tentukan Kesimpulan [terima atau tolak H0 ]

*) Urutan pengerjaan langkah ke 2, 3 dan 4 dapat saling dipertukarkan!

Beberapa Nilai z yang penting

z5% = z0.05 =1.645 z2.5% = z0.025 =1.96

z1% = z 0.01 = . = 2.33 z0.5% = z 0.005 = 2.575

a. Rumus-rumus Penghitungan Statistik Uji

1. Nilai Tengah dari Contoh Besar

2. Nilai Tengah dari Contoh Kecil

3. Beda 2 Nilai Tengah dari Contoh Besar

4. Beda 2 Nilai Tengah dari Contoh Kecil