PROBABILITAS DAN

STATISTIKABAB 3

HARAPAN MATEMATIK

PEMBAHASAN Rataan Peubah Acak Variansi dan Kovariansi Rataan dan Variansi dari Kombinasi

Linear Peubah Acak Teorema Chebyshev

RATAAN PEUBAH ACAKDEFINISI 1 Misalkan X suatu peubah acak dengan

sebaran probabilitas f(x). Nilai rataan atau nilai harapan dari X adalah

bila X diskrit, dan

bila X kontinu.

x

xxfXE )()(

dxxxfXE )()(

CONTOH 1 Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan

dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog

Jawab :

Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia . Distribusi peluang X adalah…

Beberapa perhitungan sederhana menghasilkan f(0) = 1/35, f(1) = 12/35 , f(2) = 18/35 dan f(3) =4/35

3,2,1,0,

3

73

34

)(

xxx

Xf

Jadi…

Jadi, bila suatu panitia beranggota 3 orang dipilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka rata-ratanya akan beranggota 1,7 kimiawan

35

43

35

182

35

121

35

10)(XE

7,17

12

TEOREMA 1 Misalkan X merupakan peubah acak

dengan sebaran probabilitas f(x). Nilai rataan atau nilai harapan peubah acak g(X) adalah

jika X diskrit dan

jika X kontinu.

)()()]([)( xfxgxgEXg

dxxfxgXgEXg )()()]([)(

CONTOH 2 Banyaknya mobil X yang masuk ke

suatu pencuci mobil setiap haria antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi peluang :

x 4 5 6 7 8 9

P(X=x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6

Misalkan g(X) = 2X-1 menyatakan upah, dalam ribuan rupiah, para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut.

Jawab :

= (7)(1/12) + (9)(1/12) + (11)(1/4) + (13) (1/4) + (15)(1/6) +(17)(1/6)

= Rp 12,67

9

4

)()12()12()]([X

xfxXExgE

DEFINISI 2 Misalkan X dan Y merupakan peubah acak

gabungan dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y). Nilai rataan atau nilai harapan peubah acak g(X,Y) adalah

jika X dan Y diskrit, dan

Bila X dan Y kontinu.

x y

yxfyxgYXgEYXg ),(),()],([),(

dxdyyxfyxgYXgEYXg ),(),(),([),(

CONTOH 3 Misalkan X dan Y peubah acak dengan

distribusi peluang gabungan pada Tabel 2.6 hal 75. Hitunglah nilai harapan g(X,Y) = XY

= (0) (0) f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) +

(1)(0) f (1,0) + (1)(1) f(1,1) + (2)(0) f(2,0)

= f(1,1) = 3/14

2

0

2

0

),()(X Y

yxxyfXYE

VARIANSI DAN KOVARIANSIDEFINISI 3 Misalkan X merupakan suatu peubah acak

dengan sebaran probabilitas f(x) dan nilai tengah µ. Ragam x adalah

jika x diskrit, dan Jika X kontinu

Akar kuadrat positif dari ragam, disebut simpangan baku X.

)()()[( 222xfxXE

x

dxxfxXE )()()[( 222

CONTOH 4 Misalkan peubah acak X menyatakan

banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A adalah

x 1 2 3

f(x) 0,3 0,4 0,3

Dan untuk kantor B adalah

x 0 1 2 3 4

f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1

Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada variansi kantor A

Jawab : Untuk kantor A diperoleh

dan

= (1-2)2 (0,3)+ (2-2)2 (0,3)+ (3-2)2 (0,3)=0,6

0,2)3,0)(3()4,0)(2()3,0)(1()( XE

)()2(23

1

2xfx

x

Untuk kantor B diperoleh :

Dan

= (0-2)2 (0,2) + (1-2)2 (0,1) +(2-2)2 (0,3)+(3-2)2 (0,3) + (4-2)2 (0,1)

=1,6

Jelas..variansi banyaknya mobil yang digunakan untukKeperluan dinas lebih besar untuk kantor B daripadauntuk kantor A.Rumus yang lebih mudah diberikan oleh teoremaBerikut :

Ragam peubah acak X adalah (Teorema 2)

0,2)1,0)(4()3,0)(3()3,0)(2()1,0)(1()2,0)(0()( XE

)()2(24

0

2xfx

x

2

222 )( XE

TEOREMA 3 Misalkan X merupakan sebuah peubah

acak dengan sebaran probabilitas f(x). Ragam peubah acak g(X) adalah

jika X diskrit

jika X kontinu.

)(])([}])({[ 2)(

2)()(

2xfxgXgE

x

XgXgXg

)()(])([}])({[ 2)(

2)()(

2xdxfxgXgE XgXgXg

DEFINISI 4 Misalkan X dan Y merupakan peubah acak

dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y). variansi dari X dan Y adalah

Jika X dan Y diskrit

jika X dan Y kontinu

x y

yxyxXY yxfyxYXE ),())(())([(

dxdyyxfyxYXE YXYXXY ),())(()])([(

TEOREMA 4 Peragam dari dua peubah acak X dan Y

dengan nilai tengah masing-masing µX dan µY diberikan oleh

YXXY XYE )(

RATAAN DAN VARIANSI DARI KOMBINASI LINEAR PEUBAH ACAK Jika a dan b merupakan konstanta,

makaE(aX+b) = aE(X)+b

akibat dari teorema di atas adalah: Dengan membuat a=0, kita lihat bahwa

E(b)=0 Dengan membuat b=0, kita lihat bahwa

E(aX)=aE(X)

Nilai harapan penjumlahan atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X adalah penjumlahan atau perbedaan dari nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lainE[g(X)±h(X)] = E[g(X)]±E[h(X)]

Nilai harapan dari penjumlahan atau perbedaan dua fungsi atau lebih dari peubah acak X dan Y merupakan penjumlahan atau perbedaan dari nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lainE[g(X,Y)±h(X,Y)] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)]

Akibat dari teorema di atas adalah

Dengan membuat g(X,Y) = g(X) dan h(X,Y) = h(Y) kita lihat bahwa E[g(X)±h(Y)]=E[g(X)]±E[h(Y)]

Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, kita lihat bahwa E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

X dan Y adalah dua peubah acak bebas, maka

E(XY) = E(X)E(Y)

Jika a dan b merupakan konstanta maka

Akibat dari teorema tersebut adalah Dengan membuat a=1

dengan membuat b=0

22222 aa XYaX

222 XbX

22222 aa XaX

Jika X dan Y adalah peubah acak dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y) maka

Akibat dari teorema tersebut adalah Jika X dan Y adalah peubah acak bebas,

maka

Jika X dan Y merupakan peubah acak bebas, maka

XYYXbYaX abba 222222

22222YXbYaX ba

22222YXbYaX ba

Jika X1, X2,…….,Xn adalah peubah acak bebas, maka

222221....... ...22

1

2

2211 Xnnxxaxaxa aaaxnn

TEOREMA CHEBYSHEV

Probabilitas bahwa setiap peubah acak X akan mengambil suatu nilai di dalam k simpangan baku dari nilai tengah paling sedikit adalah 1-1/k² P(µ-kσ<X<µ+kσ)≥1-1/k²

CONTOH Suatu peubah acak X mempunyai

rataan µ=8, variasi = 9, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a P(-4<X<20), dan b P( 6 ).

Jawab :a. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)]

15/16b. P( 6 ) = 1–P( < 6)

= 1–P(-6 < X -8 < 6) = 1–P[8-(2)(3)<X< 8+(2)

(3)] 1/4

2

8X 8X

8X