Solusi Fundamental untuk Media Anisotropik ∗

Moh. Ivan Azis†

November 2001

Abstrak

Penurunan solusi fundamental untuk dua kelas persamaan pembangun dari masalah untukmedia anisotropik didiskusikan dalam artikel ini. Kedua kelas persamaan pembangun ini relevanuntuk sistem perembesan air, perambatan gelombang, konduksi panas, dan sistem difusi-konveksi,masing-masing untuk media anisotropik. Teknik penurunan solusi melibatkan transformasi sistemkordinat Cartesian ke suatu sistim kordinat baru.

Daftar Isi

1 Pengantar 1

2 Solusi Fundamental untuk Media Isotropik 2

3 Penurunan Solusi Fundamental untuk Media Anisotropik 3

1 Pengantar

Dalam pembicaraan mengenai Metode Persamaan Integral Batas untuk solusi masalah nilaiawal/batas yang dibangun oleh suatu persamaan differensial parsial, solusi fundamental dari suatumasalah dengan persamaan pembangun tertentu memegang peran penting, karena dalam persamaanintegral yang diturunkan dari suatu persamaan differensial fungsi solusi fundamental selalu terlibatsebagai bagian dari kernel persamaan integral itu. Sehingga pengetahuan atau ketersediaan solusifundamental adalah mutlak diperlukan dalam implementasi Metode Persamaan Integral Batas.

Media anisotropik adalah media yang memiliki karakteristik tertentu yang besarannya ke salahsatu arah tidak sama dengan besaran karakteristik tersebut ke arah lainnya. Sebagai contoh, kayumerupakan suatu medium anisotropik dalam aspek karakteristik keelastikannya; urat kayu menye-babkan perbedaan karateristik keelastikan kayu searah urat dan arah tegak lurus dari arah urat.Sebaliknya, media isotropik adalah media yang memiliki besaran karakteristik tertentu sama untuksemua arah. Logam, secara umum, dapat dianggap sebagai suatu medium isotropik untuk aspekkarakteristik keelastikan.

Secara umum, solusi fundamental untuk media isotropik telah tersedia secara luas untuk berbagaijenis persamaan pembangun prototipe, seperti persamaan Laplace, persamaan Helmholtz, persamaandifusi-konveksi, dan lainnya. Namun hal ini tidak benar untuk media anisotropik. Sekalipun demikian,adalah suatu kenyataan yang menguntungkan bahwa solusi fundamental untuk media anisotropikselalu bisa diturunkan dari solusi fundamental untuk media isotropik yang umumnya telah diketahui.

Pada tulisan ini akan diperlihatkan suatu teknik penurunan solusi fundamental untuk mediaanisotropik dengan memanfaatkan pengetahuan akan solusi fundamental untuk media isotropik.Teknik ini melibatkan transfomasi sistem kordinat awal (dalam hal ini kordinat Cartesian) ke su-atu sistem kordinat baru, sedemikian sehingga persamaan pembangun untuk media anisotropik dapatditransformasikan ke suatu persamaan yang relevan untuk media isotropik.

∗Disampaikan pada Konferensi Nasional Matematika XI, Malang, 22-25 Juli 2002†Dosen Jurusan Matematika Fak. MIPA Unhas, Makassar Indonesia. Email:mohivanazis@hotmail.com

1

Dengan merujuk pada sistem kordinat Cartesian Ox1x2, pada tulisan ini akan diperlihatkan penu-runan solusi fundamental dari dua jenis persamaan pembangun untuk media anisotropik, yaitu

λij∂2ϕ

∂xi∂xj+ kϕ = 0 (1)

λij∂2ϕ

∂xi∂xj− vi

∂ϕ

∂xi= 0 (2)

dimana λij , k, dan vi adalah kofisien konstan. Juga, matriks kofisien [λij ] merupakan matriks bilanganreal yang definit positif dan simetris. Selain itu, pada (1) dan (2) jumlahan untuk index yang berulangdiberlakukan, sehingga (1) dan (2) dapat dituliskan secara eksplisit sebagai

λ11∂2ϕ

∂x21

+ 2λ12∂2ϕ

∂x1∂x2+ λ22

∂2ϕ

∂x22

+ kϕ = 0

λ11∂2ϕ

∂x21

+ 2λ12∂2ϕ

∂x1∂x2+ λ22

∂2ϕ

∂x22

− v1∂ϕ

∂x1− v2

∂ϕ

∂x2= 0

2 Solusi Fundamental untuk Media Isotropik

Persamaan (1) dan (2) adalah relevan untuk media anisotropik, tetapi mencakup kasus isotropiksebagai kasus khusus, yang terjadi bila λ11 = λ22 dan λ12 = 0. Sehingga untuk kasus isotropik,persamaan pembangun bersesuaian masing-masing adalah

∂2ϕ

∂x21

+∂2ϕ

∂x22

+ kϕ = 0 (3)

D

(∂2ϕ

∂x21

+∂2ϕ

∂x22

)− v1

∂ϕ

∂x1− v2

∂ϕ

∂x2= 0 (4)

dimana k dan D adalah kofisien konstan. Solusi fundamental Φ(x,x0) untuk kasus isotropik (3) dan(4) yang didefiniskan oleh persamaan

∂2Φ

∂x21

+∂2Φ

∂x22

+ kΦ = δ(x− x0) (5)

D

(∂2Φ

∂x21

+∂2Φ

∂x22

)+ v1

∂Φ

∂x1+ v2

∂Φ

∂x2= −δ(x− x0) (6)

dimana δ adalah fungsi delta Dirac, telah tersedia secara umum di buku-buku atau artikel-artikelmetode elemen batas atau lainnya, yaitu masing-masing

Φ(x,x0) =

12π lnR jika k = 0

ı4H

(2)0 (√|k|R) jika k > 0

−12πK0(

√|k|R) jika k < 0

(7)

Φ(x,x0) =1

2πDexp

(−v.R

2D

)K0

(vR

2D

)(8)

dimana vektor v = (v1, v2), vektor R = x − x0, v adalah panjang vektor v, yakni v =√v21 + v22 ,

R adalah panjang vektor R, ı =√−1, H

(2)0 adalah fungsi Hankel jenis kedua berorde nol, dan K0

adalah fungsi Bessel termodifikasi berorde nol.

2

3 Penurunan Solusi Fundamental untuk Media Anisotropik

Sejalan dengan pendefinisian solusi fundamental Φ dalam (5) dan (6) untuk persamaan (3) dan (4),kita definisikan solusi fundamental ϕ∗ untuk persamaan (1) dan (2) sebagai berikut

λij∂2ϕ∗

∂xi∂xj+ kϕ∗ = δ(x− x0) (9)

λij∂2ϕ∗

∂xi∂xj+ vi

∂ϕ∗

∂xi= −δ(x− x0) (10)

Misalkanz = x1 + τx2

z = x1 + τx2(11)

dimana τ adalah akar kompleks dengan bagian imajiner positif dari persamaan kuadrat

λ11 + 2λ12τ + λ22τ2 = 0 (12)

dan tanda bar menunjukkan operator konjugat pada sistem bilangan kompleks. Maka

∂∂x1

= ∂∂z

∂z∂x1

+ ∂∂z

∂z∂x1

= ∂∂z + ∂

∂z∂

∂x2= ∂

∂z∂z∂x2

+ ∂∂z

∂z∂x2

= τ ∂∂z + τ ∂

∂z∂2

∂x21

=(

∂∂z + ∂

∂z

) (∂∂z + ∂

∂z

)= ∂2

∂z2 + 2 ∂2

∂z∂z + ∂2

∂z2

∂2

∂x1∂x2=

(∂∂z + ∂

∂z

) (τ ∂∂z + τ ∂

∂z

)= τ ∂2

∂z2 + (τ + τ) ∂2

∂z∂z + τ ∂2

∂z2

∂2

∂x22

=(τ ∂∂z + τ ∂

∂z

) (τ ∂∂z + τ ∂

∂z

)= τ2 ∂2

∂z2 + 2ττ ∂2

∂z∂z + τ2 ∂2

∂z2

(13)

Sehingga

λij∂2ϕ∗

∂xi∂xj= 2 [λ11 + λ12(τ + τ) + λ22ττ ]

∂2ϕ∗

∂z∂z

vi∂ϕ∗

∂xi= (v1 + τv2)

∂ϕ∗

∂z + (v1 + τv2)∂ϕ∗

∂z

(14)

Selanjutnya, misalkan

z = x1 + ıx2 (15)

z = x1 − ıx2 (16)

τ = τ + ıτ (17)

Maka, dari persamaan (15) dan (16) diperoleh

x1 = 12 (z + z)

x2 = 12ı (z − z)

(18)

Sehingga∂∂z = ∂

∂x1

∂x1

∂z + ∂∂x2

∂x2

∂z = 12

(∂

∂x1− ı ∂

∂x2

)∂∂z = ∂

∂x1

∂x1

∂z + ∂∂x2

∂x2

∂z = 12

(∂

∂x1+ ı ∂

∂x2

)∂2

∂z∂z = ∂∂z

∂∂z = 1

4

(∂2

∂x21+ ∂2

∂x22

).

(19)

Juga, dari (11) dan (18) diketahuix1 = x1 − x2τ /τx2 = x2/τ .

(20)

Substitusi (19) ke dalam (14), kemudian ke dalam (9) dan (10) masing-masing memberikan

∂2ϕ∗

∂x21

+∂2ϕ∗

∂x22

+k

Dϕ∗ =

1

Dδ(x− x0) (21)

D

(∂2ϕ∗

∂x21

+∂2ϕ∗

∂x22

)+ (v1 + τ v2)

∂ϕ∗

∂x1+ τ v2

∂ϕ∗

∂x2= −δ(x− x0) (22)

3

dimanaD = [λ11 + λ12(τ + τ) + λ22ττ ]/2.

Sekarang, fungsi delta Dirac δ(x− x0) di ruas kanan (21) dan (22) perlu pula ditransformasikan kesistem kordinat baru Ox1x2.

Dengan mengingat bahwa pada saat menurunkan persamaan integral untuk persamaan differensial(1) atau (2), integral dari fungsi delta Dirac selalu dilakukan. Ini mengisyaratkan bahwa Jacobian Jdari transformasi (20) yang diberikan oleh

J =

∣∣∣∣∣ ∂x1

∂x1

∂x1

∂x2∂x2

∂x1

∂x2

∂x2

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1 − τ

τ0 1

τ

∣∣∣∣ = 1

τ

harus diperhitungkan. Secara spesifik∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ(x− x0) dx1 dx2 = 1,

yakni ∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ(x− x0) |J | dx1 dx2 =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ(x− x0)

1

τdx1 dx2 = 1.

Sehingga ∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ(x− x0) dx1 dx2 = τ .

Ini berarti bahwa kuantitas τ seharusnya merupakan pengali pada ruas kanan dari (21) dan (22)sehingga (21) dan (22) menjadi

∂2ϕ∗

∂x21

+∂2ϕ∗

∂x22

+k

Dϕ∗ =

τ

Dδ(x− x0) (23)

D

(∂2ϕ∗

∂x21

+∂2ϕ∗

∂x22

)+ v1

∂ϕ∗

∂x1+ v2

∂ϕ∗

∂x2= −τ δ(x− x0), (24)

dimana

v1 = v1 + τ v2 v2 = τ v2 (25)

x1 = x1 + τx2 x2 = τx2 (26)

Persamaan (23) dan (24) adalah persamaan yang relevan untuk kasus isotropik dalam sistem kordinatbaru Ox1x2

Dengan demikian maka dengan membandingkan persamaan (23) dan (5) solusi fundamental ϕ∗

untuk (1) dapat diturunkan dari solusi fundamental Φ dalam (7), yaitu

ϕ∗(x,x0) =

K2π ln R jika k = 0ıK4 H

(2)0 (ωR) jika k/D > 0

−K2π K0(ωR) jika k/D < 0

(27)

Dengan cara yang sama, dengan membandingkan persamaan (24) dan (6) solusi fundamental ϕ∗ untuk(2) dapat diturunkan dari solusi fundamental Φ dalam (8) sebagai berikut

ϕ∗(x,x0) =K

2πexp

(− v. R

2D

)K0

(vR

2D

)(28)

dimana K = τ /D, ω =√|k/D|, R = x − x0, x = (x1, x2), x0 = (a, b), v = (v1, v2), a = a + τ b,

b = τ b, x0 = (a, b), R adalah panjang vektor R, dan v adalah panjang vektor v.

References

[1] M. I. Azis, On the boundary integral equation method for the solution of some problems for in-homogeneous media (PhD Thesis), Department of Applied Mathematics, University of Adelaide,2001.

4