Penerapan Diferensiasi 1

BAB 8 PENERAPAN DIFERENSIASI I

Latihan Ujian 8

3. x = 2 cos3 Ө Ө =

y = 2 sin3 Ө

Gradient garis normal = melalui ( )

(GUSTARA IQBAL(09-081)

5. Carilahradius kurvatur dan koordinat pusat lurvatur di titik x =4 pada kurva yang persamaannya ialah

Penyelesaian :


Radius Kurvatur sebesar 477,255 satuan

Pusat Kurvatur (h,k) =

EVIROZA INDAH SAVITRI (09 0404 084)

6. Diketahui bahwa x = 1 + sin , y = sin cos 2 , tunjukkanlah bahwa = 2

Carilah radius kurvatur dan pusat kurvatur untuk titik pada kurva ini di mana = 30o.

Penyelesaian!!


x = 1 + sin y = sin cos 2

= cos = cos + sin 2

= . = (cos + sin 2 ) .

= = = 1 + 2

= ) = )

= 2 cos . = 2

R = = =

= = = = = = 5,59

x = 1 + sin = 1 + sin 30o = 1 + 0,5 = 1,5

y = sin cos 2 = sin 30o cos 2(30o) = 0,5 – 0,25 = 0,25


h = x – R sin = 1,5 – 5,59 sin 30o = - 1,295

k = y + R cos = 0,25 + 5,59 cos 30o = 5,09

C (- 1,295 ; 5,09)

(Khairun Nazli 09-059)

SOAL-SOAL LANJUTAN 8

2. Carilah persamaan garis-singgung dan normal terhadap terhadap kurva 4x3 + 4xy + y2 = 4 di (0,2), dan carilah koordinat titik potong lain garis-singgung ini dan kurvanya.

Penyelesaian!!

4x3 + 4xy + y2 = 4

Diferensiasikan sebagaimana adanya terhadap x

12x2 + 4y + 4x + 2y = 0

(4x + 2y) = - (12x2 + 4y)

= , titik (0,2)

= = = – 2

(a) Gasir-singgung melalui (0,2) y – 2 = – 2(x – 0)y + 2x = 2

(b) Gradien garis-normal = , melalui (0,2) y – 2 = (x – 0)

2y = x + 4


Titik potong pada sumbu x, y = 0

y + 2x = 2

0 + 2x = 2

2x = 2

x = 1 titik potong (1,0)


5. cari radius kurvatur dari kartenari

Penyelesaian

:

di titik

=

Dan

Jari-jari pembulatan R adalah seperti

R =


R = c

= c .

GUNAWAN SYAHPUTRA (090404044)

7. Tunjukkanlah bahwa persamaan garis-singgung terhadap kurva x = 2a cos3 t, y = a sin 3 t, di sebarang

titik P ialah x sin t + 2y cos t – 2a sin t cos t = 0. jika garis-singgung di P memotong sumbu-y di

Q, tentukanlah luas segitiga POQ.

Jawaban :

a2cos3t sin t


8. Carilah persamaan normal di titik x = a cos , y = b sin , pada elips + = 1. Normal di P

pada elips itu bertemu sumbu major elips di N. Tunjukkanlah bahwa lokus titik tengah PN merupakan suatu elips dan nyatakanlah panjang sumbu-sumbu prinsipalnya.

9. untuk titik dimana kurva y = lewat melalui titik asal , tentukan

a. Persamaan garis singgung .b. radius kurva nyac. koordinat pusat kurvanya


Penyelesaian;

y =

=

=

=

Maka pada (0,0) = 1 and = - 2

(0,0) 15

R=

=

= -

tan θ =

= 1

jadi θ =

Sin θ = and cos θ =

garis kurva melalui (h,k) dimana

h= - R sin θ

k = + R cos


Dimana

(

jadi (h,k) = (1,-1)

GUNAWAN SYAHPUTRA (090404044)

10. Pada masing-masing kasus berikut, carilah radius kurvatur dan koordinat pusat kurvatur untuk titik yang ditentukan dibawah ini :

(a)

Penyelesaian

Differensiasikan terhadapa adanya x


Mia Karlina Mierza (09 0404 096)

(b)

(c)

11. Carilah radius kurvatur di titik (1,1) pada kurva x3 – 2xy + y3 = 0

Penyelesaian!!

x3 – 2xy + y3 = 0

diferansiasikan sebagaimana adanya terhadap x


3x2 – 2y – 2x +3y2 = 0

3x2 – 2y + (– 2x +3y2 ) = 0

(– 2x +3y2 ) = – 3x2 + 2y

= , titik (1,1)

= = = = – 1

= =

= , titik (1,1)

=

= = – 8 –8 = – 16


R =

R = = = –0,177


12. Jika 3ay2 = x(x – a)2 dengan a>0, buktikanlah bahwa radius kurvatur di titik (3a, 2a) ialah

Penyelesaian

3ay2 = x(x – a)2

3ay2 = x(x2 – 2xa + a2)

3ay2 = x3 – 2x2a + a2x

Differensiasikan sebagaimana terhadap x


Mia Karlina Mierza (09 0404 096)

13. x = 2Ө - sin 2Ө dan y = 1 – cos 2Ө



14 . Carilah radius kurvatur kurva

Penyelesaian :


Radius kurvatur sebesar 2,74 satuan


9. Jika ρ adalah jari-jari kelengkungan di sembarang titik P

pada parabola x² = 4ay , S adalah titik (0,a) tunjukkanlah

bahwa dengan O adalah titik asal

koordinat.

Penyelesaian:


(M FAKHRU ROZI 09 062)

18. Carilah radius dan koordinat pusat kurvatur kurva y = 3 ln x, di titik tempat kurva itu bertemu sumbu-x

19. Tunjukkan bahwa harga numerik jari-jari kelengkungan parabola y² = 4ax di titik ( x1 , y1 ) adalah

Jika c adalah pusat kelengkungan dititik asal O dan S adalah titik ( a, 0 ), Tunjukkan bahwa OC = 2 (OS).Penyelesaian:y² = 4ax2y = 4a

Maka:

Jari-jari kelengkungan adalah sebagai berikut:


Maka:

Saat y²= 4ax

Sudut kemiringan tangent x-axis adalah θ, dimana :

Maka:

Dan:

Pusat kelengkungan berada di ( h, k ), dimana :h = 0 – Rsin θ


= 2adan , k= 0 + R cos θ = 0

Pusat kelengkungan C berada : ( 2a , 0 )

Dan titik S berada pada titik : ( a , 0 )

Maka : OC = 2 ( OS )


Penerapan Diferensiasi 1

Documents

Transcript of Penerapan Diferensiasi 1