Pendugaan Parameter

PENDUGAAN PARAMETERDARMANTO

PENDAHULUAN - 1

Statistika Inferensial → Terdiri atasmetode untuk menarik kesimpulan ataumemprediksi mengenai populasi →Dengan kata lain, menduga parameter(karakteristik populasi) berdasarkan datasampel.

Dua metode pendugaan parameter:1. Metode Klasik → Estimasi sepenuhnya

berasal dari data sampel.

2. Metode Bayes → Estimasi tidaksepenuhnya berasal dari data sampel tapijuga melibatkan informasi awal tentangdistribusi populasi.

PENDAHULUAN - 2

Statistika inferensial berkutat pada 2 hal:1. Pendugaan parameter

Seorang pengusaha yang hendak memasarkanproduk barunya mungkin ingin mengestimasiproporsi sesungguhnya calon pembeli produkbarunya dengan menanyakan pendapat sampelacak ukuran 100 calon pembeli.

2. Pengujian hipotesis

Seorang ibu ingin menentukan apakah sabun cucimerek A lebih unggul dari merek B, dan setelahmengadakan pengujian secukupnya, si ibu dapatmemutuskan apakah menerima atau menolakhipotesis. [Parameter tidak diestimasi, tapimendapat keputusan yang benar mengenaihipotesis yang ditetapkan sebelumnya.]

PENDAHULUAN - 3

Metode estimasi:

1. Estimasi Titik

Parameter = → Nilai estimasi = or

Misal:

2. Estimasi Selang

Estimasi dari berupa

adl selang kepercayaan(1‒α)100%

1‒α adalah koefisien/taraf kepercayaan

α adalah taraf nyata atau tingkat

signifikansi atau taraf kesalahan [Umumnya:

0.1; 0.05; 0.01]

ˆ( )E 2 2 ˆ( ) ; ( ) ; ( )E x E S E p p

1 2ˆ ˆ( ) 1P

1 2ˆ ˆ

ESTIMASI RATA-RATA

PENDUGAAN PARAMETER

RATA-RATA 1 POPULASI

ESTIMASI RATA-RATA

RATA-RATA 1 POP - 1

Pandang estimasi selang untuk μ, bila

normal maka

Ingat bahwa

Dapat ditulis

/ 2 / 2( ) 1P z Z z

/

xZ

n

/ 2 / 2 1/

xP z z

n

/ 2 / 2 1P x z x zn n

RATA-RATA 1 POP - 2

Selang kepercayaan untuk μ jika σdiketahui dan n ≥ 30:

Bila rata-rata sampel acak berukuran n

dari suatu populasi dengan varians σ2 yang

diketahui, maka selang kepercayaan(1‒α)100% untuk μ adalah

Bila zα/2 menyatakan nilai z sehingga

daerah di sebelah kanannya mempunyailuas α/2.

x

/ 2 / 2x z x zn n

RATA-RATA 1 POP - 3

Didapat dua batas kepercayaan

1 / 2 2 / 2ˆ ˆ dan x z x z

n n

z

zα/2-zα/2 0

α/2α/2 1‒α/2

RATA-RATA 1 POP - 4

Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswatingkat S-1 adalah 2.6. Hitung selang kepercayaan95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswaS-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya0.3.

Solusi:Diketahui x-bar = 2.6; σ = 0.3; z0.025 = 1.96; z0.005 = 2.575

◦ Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata IP semuamahasiswa S-I:

◦ Interpretasi: Dapat dipercaya sebesar 95% bahwa rata-rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.50 hingga 2.70

0.3 0.3

2.6 1.96 2.6 1.9636 36

2.50 2.70

RATA-RATA 1 POP - 5

Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata IP semua

mahasiswa S-I:

Interpretasi: Dengan tingkat kesalahan 1%, dapat

dinyatakan bahwa rata-rata IP semua mahasiswa S-1

antara 2.47 hingga 2.73.

--00--

Perhatikan:

0.3 0.3

2.6 2.575 2.6 2.57536 36

2.47 2.73

/ 2x zn

/ 2x z

n

x

galat

RATA-RATA 1 POP - 6

Teorema: Bila x-bar dipakai untuk menaksir μ maka dengan

kepercayaan (1‒α)100% galatnya akan lebih kecil dari

.

◦ Pada contoh lalu, kita percaya 95% bahwa perbedaanrata-rata sampel (2.6) dengan rata-rata sesungguhnya (μ)

kurang dari 0.1 dan percaya 99% bahwa perbedaan

tersebut kurang dari 0.13.

Teorema: Bila x-bar dipakai untuk menaksir μ maka dengan

kepercayaan (1‒α)100% galatnya akan lebih kecil dari suatu

bilangan g yang ditetapkan sebelumnya asal saja ukuran

sampelnya adalah

/ 2 .z n

2

/ 2zn

g

RATA-RATA 1 POP - 6

Contoh: Berapa besar sampel yangdiperlukan jika ingin percaya 95% bahwaestimasi untuk μ kurang dari 0.05?Diketahui standar deviasi populasi 0.3.

Jadi, dengan kepercayaan 95% sampelacak ukuran 138 akan memberikanestimasi x-bar yang perbedaannyadengan μ kurang dari 0.05.

22

/ 21.96 0.3

138.30.05

zn

g

RATA-RATA 1 POP - 7

Seringkali varians populasi tidak diketahui dan

harus diestimasi berdasarkan data sampel.

Dist. Z → Dist. t-student

/ 2 / 2

1 1( ) 1db n db nP t t t

dengan 1/ /

x xZ t db n

n S n

/ 2 / 2

1 1 1/

db n db n

xP t t

S n

/ 2 / 2

1 1 1db n db n

S SP x t x t

n n

RATA-RATA 1 POP - 8

Contoh: Tujuh botol yang mirip masing-masing

berisi asam sulfat 9.8; 10.2; 10.4; 9.8; 10.0; 10.2;

dan 9.6 liter. Carilah selang kepercayaan 95%

untuk rata-rata isi botol semacam itu bila

distribusinya dianggap hampir normal.

Solusi:

◦ Dihitung x-bar = 10.0 dan S = 0.283

◦ Dari tabel t0.025db=6 = 2.447

◦ Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata semua isi botol

sejenis itu adalah 0.283 0.283

10.0 2.447 10.0 2.4477 7

9.74 10.26

RATA-RATA 1 POP - 9

RATA-RATA 1 POP - 10

KESIMPULAN:

Selang kepercayaan (1-α)100%

untuk μ jika:

a. σ diketahui dan n ≥ 30

b. σ tidak diketahui dan n < 30

/ 2 / 2x z x zn n

/ 2 / 2

1 1db n db n

S Sx t x t

n n

LATIHAN

1. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga

banyaknya minuman yang dikeluarkannya berdistribusi

hampir normal dengan standar deviasi 0.15 desiliter. Cari

selang kepercayaan 95% untuk rata-rata semua minuman

yang dikeluarkan mesin tersebut bila sampel acak 36

cangkir minuman berisi rata-rata 2.25 desiliter!

2. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang

berbentuk silinder. Sampel beberapa potongan diukur dan

ternyata diameternya 1.01; 0.97; 1.03; 1.04; 0.99; 0.98;

0.99; 1.01; dan 1.03 cm. Hitunglah selang kepercayaan

99% untuk rata-rata diameter potongan yang dihasilkan

mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal!

SELISIH RATA-RATA 2 POPULASI

ESTIMASI RATA-RATA

SELISIH RATA-RATA 2 POP -

1 Bila ada 2 populasi masing-masing

dengan rata-rata μ1 dan μ2, varians σ12

dan σ22, maka estimasi dari selisih μ1

dan μ2 adalah

Sehingga,

1 2.x x

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

x xZ

n n


2 Dan,

/ 2 / 2( ) 1P z Z z

1 2 1 2

/ 2 / 22 2

1 2

1 2

1x x

P z z

n n

2 2

1 21 2 / 2 1 2

1 2

2 2

1 21 2 / 2

1 2

1

x x zn n

P

x x zn n


3 Selang kepercayaan (1-α)100% untuk μ1‒μ2 ; σ1

2

dan σ22 diketahui:

Contoh: Diketahui nilai ujian kimia yang diberikanpada 50 siswa putri dan 75 siswa putramempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76dan 86. Cari selang kepercayaan 96% untukselisih μ1‒μ2. ! Anggap standar deviasi populasiuntuk masing-masing putra dan putri adalah 8dan 6.

2 2

1 21 2 / 2 1 2

1 2

2 2

1 21 2 / 2

1 2

x x zn n

x x zn n


4 Misal:

x-bar1 = 86 adl rata-rata nilai siswa putra, n1 = 75 dan σ1 = 8.

x-bar2 = 76 adl rata-rata nilai siswa putri, n2 = 50 dan σ2 = 6.

α = 0.04 → z0.02 = 2.05

Selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilai siswa

putra dengan siswa putri adalah

2 2

1 2

2 2

1 2

8 686 76 2.05

75 50

8 6 86 76 2.05

75 50

3.43 8.57


5 Interpretasi:

1. Dapat dipercaya 96% bahwa selisih rata-rata

nilai ujian kimia semua siswa putra dengan

siswa putri berkisar antara 3.43 hingga 8.57.

2. Dengan tingkat signifikansi 4%, rata-rata nilai

ujian kimia semua siswa putra lebih tinggi

antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimia

semua siswa putri.

3. Dll.


6 Selang kepercayaan (1-α)100% untuk μ1‒μ2 ;

dimana σ12 = σ2

2 , σ12 dan σ2

2 tidak diketahui:

dengan,

1 2

1 2

/ 2

1 2 2 1 2

1 2

/ 2

1 2 2

1 2

1 1

1 1

db n n p

db n n p

x x t Sn n

x x t Sn n

2 2

1 1 2 2

1 2

1 1

2p

n S n SS

n n


7 Contoh:

Dalam makalah “Macroinvertebrate Community Structure a snIndicator of Acid Mine Pollution” yang diterbitkan di Journal ofEnviromental Pollution (Vol.6, 1974), disajikan laporan mengenaipenelitian yang dilakukan di Cane Creek, Alabama, untukmenentukan hubungan antara parameter fisiokimia yang terpilihdengan ukuran yang berlainan dari struktur kelompok makroinvertebrata. Satu segi dari penelitian itu ialah penurunan kualitas airakibat pembuangan asam tambang. Dari segi konsep, indeks yangtinggi dari keragaman spesies makro invertebrata seharusnyamenunjukkan sistem perairan tidak terganggu, sedangkan indekskeragaman yang rendah menunjukkan sistem perairan yangterganggu.

Dua stasion sampling yang bebas dipilih untuk tujuan penelitian ini,satu di titik muara pembuangan asam tambang dan satu lagi di hulu.Sebanyak 12 sampel bulanan diambil dari stasiun muara, dataindeks keragaman spesiesnya menghasilkan nilai rata-rata 3.11 danstandar deviasi 0.771, sedangkan dari stasiun hulu diambil 10sampel bulanan dengan rata-rata indeks 2.04 dan standar deviasi0.448. Buat selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-ratapopulasi dari kedua stasiun, anggap kedua populasi berdistribusihampir normal dengan varians sama!


8 Misal:

x-bar1 = 3.11 adl rata-rata indeks stasiun muara, n1 = 12, S1 =

0.771.

x-bar2 = 2.04 adl rata-rata indeks stasiun hulu, n2 = 10, S2 =

0.448.

Diasumsikan varians sama, maka

α = 0.1 → t0.05db=12+10-2 = t0.05

db=20 = 1.725

Jadi, selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata indeks

keragaman spesies di muara dengan di hulu adalah

2 2

12 1 0.771 10 1 0.4480.646

12 10 2pS

1 2

1 2

1 13.11 2.04 1.725 0.646

12 10

1 1 3.11 2.04 1.725 0.646

12 10

0.593 1.547


9 Selang kepercayaan (1-α)100% untuk

μ1‒μ2 ; dimana σ12 ≠ σ2

2 , σ12 dan σ2

2

tidak diketahui:

dengan,

2 2 2 2

/ 2 / 21 2 1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

db v db v

S S S Sx x t x x t

n n n n

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 2

1 21 1

S S

n nv

S S

n n

n n


10 Contoh:

Suatu penelitian mengenai “Nutrient Retention andMacroinvertebrata Community Response to Sewage Stress inA Stream Ecosystem” yang dilakukan oleh Department ofZoology di Virginia Polytechnic Institute and State Universitytahun 1980 menaksir selisih banyaknya bahan kimiaortofosfor yang diukur pada dua stasion yang berlainan diSungai James. Ortofosfor diukur dalam mg per liter.

Lima belas sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampeldiukur dari stasion 2. ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyairata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi 3.07mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cariselang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadarortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut,anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normaldengan varians yang berbeda!


11 Misal:

x-bar1 = 3.84 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 1, n1 = 15, S1 = 3.07.

x-bar2 = 1.49 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 2, n2 = 12, S2 = 0.80.

Diasumsikan varians berbeda, maka

α = 0.05 → t0.025db= v = t0.025

db=16 = 2.120

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor di

stasion1 dengan stasion2 adalah

22 2

2 22 2

3.07 0.80

15 1216.3 16

3.07 0.80

15 12

15 1 12 1

v

2 2 2 2

1 2

1 2

3.07 0.80 3.07 0.803.84 1.49 2.120 3.84 1.49 2.120

15 12 15 12

0.60 4.10

AMATAN BERPASANGAN

ESTIMASI RATA-RATA

AMATAN BERPASANGAN -1

Sampel tidak bebas dan varians tidakperlu sama.

Setiap satuan percobaan mempunyaisepasang pengamatan.

Contoh: Pengujian metode diet Aterhadap 15 orang → Akan diamatiperubahan antara “sebelum” dengan“sesudah” diet.

AMATAN BERPASANGAN -2

Yang diamati adalah selisih untuk

setiap amatan berpasangan (di).

Sehingga,

/ 2 / 2

1 1( ) 1db n db nP t t t

dengan 1/ /

dd

d d

dxZ t db n

n S n

/ 2 / 2

1 1 1d d

d ddb n d db n

d d

S SP d t d t

n n

AMATAN BERPASANGAN - 3 Contoh:

Dalam makalah “EssentialElements in Fresh and CannedTomatoes”, yang diterbitkan diJournal of Food Science (Jilid 46,1981), kandungan unsur pentingditentukan dalam tomat segar dankalengan menggunakanspektrofotometer penyerapanatom. Kandungan tembaga dalamtomat segar dibanding dengankandungan tembaga pada tomatyang sama setelah dikalengkandicatat dan hasilnya seperti disamping.

Carilah selang kepercayaan 98%untuk selisih sesungguhnya rata-rata kandungan tembaga dalamtomat segar dan kaleng biladianggap distribusi selisihnyanormal.

No. Tomat

Segar

Tomat

Kaleng

di

1 0.066 0.085 -0.019

2 0.079 0.088 -0.009

3 0.069 0.091 -0.022

4 0.076 0.096 -0.02

5 0.071 0.093 -0.022

6 0.087 0.095 -0.008

7 0.071 0.079 -0.008

8 0.073 0.078 -0.005

9 0.067 0.065 0.002

10 0.062 0.068 -0.006

d-bar -0.0117

Sd 0.008394

AMATAN BERPASANGAN - 4

Misal:

α = 0.02 → t0.01db= 9 = 2.821

Jadi, selang kepercayaan 98% untuk selisih kandungan

tembaga pada tomat segar dengan tomat kalengan adalah

Jadi, dapat disimpulkan bahwa dengan tingkat

kepercayaan 98% dipercaya selisih kandungan tembaga

antara tomat kalengan dengan tomat segar berkisar antara

0.0042 hingga 0.0192, sehingga dapat dikatakan bahwa

kandungan tembaga dalam tomat kalengan lebih besar

daripada tomat segar.

0.0084 0.0084

0.0117 2.821 0.0117 2.82110 10

0.0042 0.0192

d

d

ESTIMASI PROPORSI 1 POPULASI

PENDUGAAN PARAMETER

PROPORSI 1 POPULASI - 1

Estimator untuk P adalah (baca: p-

hat / p-topi), dengan dimana x

adalah banyaknya kejadian sukses

dalam n kali percobaan (proses

bernoulli).

Pendekatan Binomial dengan Normal

adalah

p

ˆx

pn

ˆ

. /

p pZ

p q n


Definisi: Jika p-hat menyatakan

proporsi yang sukses dalam sampel

acak ukuran n, maka selangkepercayaan (1-α)100% untuk

parameter binomial P adalah

/ 2 / 2

ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ

p q p qp z P p z

n n


Contoh: Pada suatu sampel acak 500

kaluarga yang memiliki pesawat

televisi di kota Hamilton, Kanada,

ditemukan bahwa 340 keluarga tv-nya

berwarna. Carilah selang kepercayaan

95% untuk proporsi sesungguhnya

dari keluarga yang memiliki tv

berwarna di kota tersebut!

ESTIMASI SELISIHPROPORSI 2 POPULASI

PENDUGAAN PARAMETER

SELISIH PROPORSI 2 POPULASI

- 1

Definisi: Bila p1-hat dan p2-hat

menyatakan proporsi sukses dalam

sampel acak masing-masing

berukuran n1 dan n2, maka selangkepercayaan (1-α)100% untuk selisih

kedua parameter binomial P1-P2

adalah

1 1 2 21 2 / 2 1 2

1 2

1 1 2 21 2 / 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ

p q p qp p z P P

n n

p q p qp p z

n n

SELISIH PROPORSI 2 POPULASI

- 2 Contoh: Suatu perubahan dalam cara

pembuatan suku cadang sedangdirencanakan. Sampel diambil dari caralama maupun yang baru untuk melihatapakah cara baru tersebut memberikanperbaiikan. Bila 75 dari 1500 sukucadang yang berasal dari cara lamaternyata cacat. Dan 80 dari 2000 yangberasal dari cara baru ternyata cacat.Carilah selang kepercayaan 90% untukselisih sesungguhnya proporsi yang baikdalam kedua cara tersebut!

ESTIMASI VARIANS 1 POPULASI

PENDUGAAN PARAMETER

VARIANS 1 POPULASI - 1

Estimasi selang untuk σ2 diturunkan

dengan menggunakan statistik χ2

(baca: chi-square) dengan derajat

bebas db = n-1 2

2

2

1n S

χ21-α/2

1-αα/2 α/2

χ2α/2


Definisi: Bila S2 varians sampel acak

ukuran n dari populasi normal makaselang kepercayaan (1-α)100% untuk

σ2 diberikan oleh

2 2

2

2 2

/ 2 1 / 2

1 1n S n S


Contoh: Data berikut menyatakan

berat, dalam gram, 10 bungkus bibit

sejenis tanaman yang dipasarkan oleh

suatu perusahaan: 46.6; 46.1; 45.8;

47.0; 46.1; 45.9; 45.8; 46.9; 45.2; dan

46.0. Carilah selang kepercayaan

95% untuk varians semua bungkusan

bibit yang dipasarkan perusahaan

tersbut, anggap populasinya normal!

ESTIMASI RASIO VARIANS 2 POPULASI

PENDUGAAN PARAMETER

RASIO VARIANS 2 POPULASI -

1 Bila σ1 dan σ2 varians dua populasi

normal, maka estimasi selang untukrasio σ1/σ2 diperoleh dengan

menggunakan statistik F yakni

Dengan derajat bebas v1=n1-1 dan

v2=n2-1

2 2

2 11, 22 2

1 2

.~

.v v

SF F

S


2 Bila S1

2 dan S22 varians dari sampel

acak masing-masing berukuran n1 dan

n2 dari populasi normal, maka selangkepercayaan (1-α)100% untuk rasio

σ1/σ2 adalah

Varians dikatakan sama jika dan

hanya jika selang mencakup nilai 1.

2 2 2/ 21 1 1

2, 12 / 2 2 2

2 1, 2 2 2

1v v

v v

S SF

S F S


3 Contoh: Suatu selang kepercayaan

untuk perbedaan rataan kadar

ortofosfor, diukur dalam mg/liter, pada

dua stasiun di sungai James telah

dihitung sebelumnya dengan

menganggap kedua varians populasi

normal tidak sama. Beri dukungan

atas anggapan ini dengan membuat

selang kepercayaan 98% untuk rasioσ1/σ2 !

Pendugaan Parameter

Business

Transcript of Pendugaan Parameter