PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK

S K R I P S I

Untuk memenuhi sebagian persyaratan

Mencapai derajat sarjana (S-1)

HANISAR

F1A1 12 122

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HALU OLEO

KENDARI

2016

iii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah Alhamdulillah Alhamdulillah, saya ingin mengucapkan

terima kasih saya terdalam kepada Allah atas Rahmat-Nya, berkat,dan bimbingan,

sehingga peneliti akhirnya dapat mencapai hasil dalam menyelesaikan skripsi ini

dengan judul “PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI

PEROKOK”

Penghargaan terdalam saya dan syukur ditujukan kepada orang tua saya

tercinta, Bahring dan Hanisah serta kedua orang tua angkat saya. Saya tidak punya

kata-kata untuk mengungkapkan perasaan terdalam saya. Terima kasih untuk

semuanya, terima kasih untuk doa yang selalu dihanturkan kepada saya, terima

kasih atas dukungan mental dan financial. Terima kasih untuk semua yang telah

diberikan kepada saya.

Selain itu, ucapan terima kasih kepada atasan peneliti, Drs. Asrul Sani,

M.Sc, Ph.D selaku pembimbing I dan Dr. Mukshar, S.Si., M.Si. selaku

pembimbing II yang telah memberikan waktu dalam memberikan ide-ide, nasihat,

dan perhatian besar untuk mencapai hasil ini. Peneliti menyadari bahwa skripsi ini

tidak dapat diselesaikan dengan sukses tanpa bimbingan mereka.

Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta

arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan

ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya:

iv

1. Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse,

M.S.

2. Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si.,

M.Si.

3. Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu

Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.

4. Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma

Muchtar, S.Si., M.Si.

5. Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati,

M.Si.

6. Norma Muchtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah

memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah.

7. La Gubu, S.Si., M.Si., Dr. La Ode Saidi, M.Kom., dan Rasas Raya., S.Si.,

M.Si. selaku dewan penguji.

8. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F-

MIPA UHO, yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan dan

pengarahan selama studi hingga penyelesaian skripsi ini.

9. Keluarga besarku: Mama Tua, paman-paman, tante-tante, kakak Tyas, S.Kep,

Ners., Nining, S.Kep, Ners, Sitti Sarah, S.Si, Rina, S.IK, Ratna Munawar, S.Si,

Mamat, Ita, Antarufin, Sartina Yati yang selalu memberi doa dan motivasi.

10. Saudara-saudara indahku: Ikbal, Watati, Rufihana dan Rahmad Senah.

11. Teman terdekatku yang selalu menemani dalam perjuangan susah senang

maupun duka, serta motivasi dan dukungan yang diberikan.

v

12. Teman yang selalu ada dan paling sabar dalam membantu penyelesaian skripsi

ini : Aini Isman La Ode Muhammad Riswan, Ilah Fitria, kadek Ayu Puspita

Sari, Muliawati, Rifky Adrian, Rajab, jio, Gede , dan Astriana.

13. ChinguQ yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: Ekha

Fitriah Maladewi, S.Mat, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Narni, Desi Astuty,

S.Mat, Herdiana, S.Mat, dan Hesti Yuspita yang tiada henti memberi semangat,

bantuan dan doa kepada penulis.

14. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 2012: Yani, Bertin, Obil, Pantri

Elastic, S.Mat, Astri, Treni, S.Mat, Jendri, Igo, Fuad, Hajar, Suri, Yuli, Astin,

Ratni, Mega, Novita, S.Mat, Ummi, Asni, Umi, Mergar, Ima, Nella, S.Mat,

Syem Abdullah, S.Mat, Rahmadin, S,mat, Rianto, S.Mat, Sarfia, S.Mat,

Sarwiati, S.Mat dan seluruh mahasiswa seangkatan 012 yang telah memberikan

semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi.

15. Barisan senior-senior: Arfan, S.Mat, Rahmat, S.Mat, Kartini, S.Mat, Mega,

S.Mat, Ahsan, S.Mat dan barisan junior-junior Matematika: Tessa, Mail, Noni,

Rahma, dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu atas bantuan

dan bimbingannya selama masa perkuliahan.

16. Teman-teman KKNku: La Ahi, Dede Acuguh, Mamat Adrianto, Seffto,

Mutiarah Rahman, Auliyah Resky, Dewi Astuti

Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari

kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis

menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir

vi

kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang

membutuhkan.

Kendari, Oktober 2016

Penulis

vii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ............................................................................... i

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................ ii

KATA PENGANTAR ............................................................................ iii

DAFTAR ISI ........................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR .............................................................................. ix

DAFTAR TABEL ................................................................................... x

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................... xi

ABSTRAK ............................................................................................. xii

ABSTRACT ........................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ............................................................. 4

1.4 Manfaat Penelitian ........................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Dasar Penyebaran Penyakit .................................. 5

2.1.1 Model Epidemi SI................................................... 5

2.1.2 Model Epidemi SIR ................................................ 6

2.1.3 Model Epidemi SEIR ............................................. 6

2.2 Dasar-dasar Matematika .................................................. 7

2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial ................................ 7

2.2.2 Titik Kesetimbangan .............................................. 9

2.2.3 Linierisasi di sekitar Titik Kesetimbangan ............. 10

2.2.4 Nilai Eigen dan Faktor Eigen ................................. 12

2.2.5 Sifat-sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan............ 13

2.3 Solusi Numerik ............................................................... 15

2.3.1 Metode Runge -Kutta ............................................. 15

viii

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ......................................... 17

3.2 Metode dan Prosedur Penelitian ..................................... 17

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Matematika Populasi Perokok ............................. 19

4.1.1 Asumsi Populasi Perokok ....................................... 19

4.1.2 Skema Model Tipe SEIR Populasi Perokok ........... 21

4.1.3 Model Matematika.................................................. 22

4.2 Titik kesetimbangan Populasi Perokok ........................... 23

4.3 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan (AKTK) ........ 26

4.3.1 AKTK Bebas dari Perokok ..................................... 28

4.3.2 AKTK epidemic Perokok ....................................... 31

4.4 Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Perokok ........ 33

4.4.1 Simulasi Numerik Bebas Perokok .......................... 34

4.4.2 Simulasi Numerik Epidemik .................................. 36

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan ...................................................................... 41

5.2 Saran ................................................................................ 42

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Metode Penelitian ......................................................................... 18

Gambar 4.1 Laju Pertumbuhan Bebas Perokok pada Model SEIR ................. 35

Gambar 4.2 Grafik 3 Dimensi Bebas Perokok ................................................. 36

Gambar 4.3 Laju Pertumbuhan Epidemik ........................................................ 38

Gambar 4.4 Grafik 3 Dimensi Pertumbuhan Epidemik ................................... 39

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Kestabilan di titik Kesetimbangan Bebas Perokok .......................... 30

Tabel 4.2 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok........................... 34

Tabel 4.3 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok .................. 37

Tabel 4.4 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok........................... 39

Tabel 4.5 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok .................. 41

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Titik Kesetimbangan ........................................... .............. 44

Lampiran 2. Nilai Eigen Umum ............................................................. 45

Lampiran 3. Niilai Eigen Kasus I Numerik ............................................ 46

Lampiran 4. Nilai Eigen Kasus II ........................................................... 47

Lampiran 5. Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas dari Perokok ............... 48

Lampiran 6. Program Matlab Phase Potret Epidemik Perokok .............. 49

xii

PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK

Oleh:

HANISAR

F1A1 12 122

ABSTRAK

Pemodelan matematika berusaha menyelesaikan masalah-masalah yang ada

dikehidupan nyata. Seperti contoh pada masalah semakin meningkatnya

penyebaran populasi perokok yang dapat mengancam kelangsungan hidup. Model

yang dapat digunakan pada penyebaran populasi perokok adalah model tipe SEIR.

Yang terdapat empat sub-komponen saling berinteraksi yaitu Susceptible adalah

individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, yang disimbolkan dengan 𝑆,

Exposed adalah individu yang perokok kadang-kadang yang disimbolkan dengan

𝐸, Ifected adalah individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok yang

disimbolkan dengan 𝐼, Recovered adalah perokok yang telah berhenti untuk

merokok yang disimbolkan dengan 𝑅. Berdasarkan analisis kesetimbangan

diperoleh dua titik kesetimbangan bebas dari perokok yaitu 𝐸0∗ = (

𝜑

𝜇, 0,0,0) =

(833,0,0,0) dan titik kesetimbangan epidemik perokok yaitu 𝐸1∗ =

(𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = (90,20,30,5) , pada analisis numerik, dilakukan dengan

menggunakan metode rungge-kutta orde empat dengan memvariasikan beberapa

parameter.

Kata kunci : Model tipe SEIR, Titik Kesetimbangan, Metode Runge kutta.

xiii

MATHEMATICAL MODELLING TYPE OF SEIR ON SMOKER

POPULATION

By

HANISAR

F1A1 12 122

ABSTRAC

Mathematical modeling tried to resolve the problems that exist real life. As an

example on the issue of increasing the spread of smoking population that could

threaten survival. The model can be used in the deployment of smoking population

is a model of the type of SEIR. That there are four sub-components interact that is

susceptible are healthy individuals but the range to be a smoker, symbolized by 𝑆,

Exposed is individual smokers sometimes symbolized by 𝐸, Ifected are healthy

individuals but the range to be a smoker symbolized by I , recovered is smokers

who had stopped to smoke symbolized by R. Based on the analysis of equilibrium

obtained two free equilibrium point of smokers is 𝐸0∗ = (

𝜑

𝜇, 0,0,0) =

(833,0,0,0) and the equilibrium point of the epidemic smokers are 𝐸1∗ =

(𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = (90,20,30,5) , the numerical analysis, done using methods

rungge-kutta order four by varying several parameters.

Keywords: Model type of Seir, equilibrium point, Runge-Kutta methods.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Rokok sudah dikenal sejak lama oleh suku asli yang mendiami daerah

Meksiko, yaitu suku Indian. Pada abad ke-15 kebiasaan merokok terus menyebar

keseluru dunia termasuk Indonesia seiring dengan menyebarnya presepsi yang

salah yaitu dengan menghirup daun tembakau dapat menyembuhkan penyakit

(Husaini, 2007).

Berdasarkan penggunaan rokok, rokok dapat dibedakan menjadi rokok Filter

dan rokok non-Filter (Haris, 2012). Tembakau merupakan bahan utama rokok yang

terdiri dari beberapa kandungan yang tidak dimiliki oleh daun lainnya yaitu nikotin

dan eugenol yang berbahaya bagi kesehatan tubuh. Selain itu, tembakau yang

merupakan tanaman perkebunan, yang tidak terlepas dari zat kimia yaitu pestisida

(Husaini, 2007). Dalam satu batang rokok, terdapat sekitar 4.800 bahan kimia

diantaranya Karbon Monoksida, Nikotin, Tar dan Polycyclic dan lain-lain.

Indonesia menjadi negara ketiga pada jumlah perokok aktif terbanyak setelah

Cina dan India, yaitu sebesar 34% di Indonesia pada tahun 2008. Jumlah perokok

ini terus meningkat pada tahun 2010 sebesar 34,7% (Tobacco Control Support

Center, 2012). Salah satu hal yang menyebabkan jumlah perokok terus meningkat

adalah di abaikannya bahaya merokok. Hingga saat ini terdapat sekitar 4.800 bahan

kimia yang terkandung pada rokok dengan komponen utama yaitu tar, nikotin dan

CO (karbon monoksida) (Tirtosastro dan Murdiyati, 2010). Kebiasaaan merokok

berhubungan dengan sedikitnya 25 jenis penyakit pada berbagai organ tubuh

2

(Aditama, 2001). Selain pada orang yang merokok (perokok aktif), penyakit

tersebut juga berdampak pada orang yang tidak merokok (perokok pasif). Hal ini

disebabkan karena secara tidak langsung mereka menghirup asap rokok. Bahkan

pada perokok pasif usia anak, asap rokok yang dihirup dapat mempengaruhi

pertumbuhan tubuh pada anak (Samet, 2010).

Pemodelan tentang peningkatan jumlah perokok bukan hal yang baru.

Beberapa peneliti telah mengembangkan model matematika terkait peningkatan

jumlah perokok, seperti yang dilakukan oleh Sharoni dan Gumel (1980) serta

Gunawan dan Nurtamam (2008). Pada tahun 2007, Mickens mengenalkan model

dinamik akar kuadrat. Interaksi pada model dinamik akar kuadrat dilambangkan

dengan akar kuadrat dari perkalian dua kompartemen (subpopulasi) yang saling

berinteraksi (Zeb dkk., 2013).

Pemodelan matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu

mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah

tersebut dapat dibawah kedalam model matematis dengan menggunakan asumsi-

asumsi tertentu. Dari model yang akan dicari solusinya, baik dengan cara analisis

maupun secara numerik.

Pada bidang kesehatan model matematika digunakan untuk mengetahui

bagaimana penyebaran suatu penyakit menular maupun tidak menular dan

penderita jumlah suatu penyakit baik yang berupa epidemik maupun tidak.

Beberapa penyakit mempunyai periode laten, artinya selang waktu dimana suatu

individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Periode laten inilah yang menjadi

alasan pembentukan model SEIR. Salah satu model matematika yaitu model SEIR,

3

model ini diterapkan pada penyakit yang memiliki masa inkubasi cukup lama. Pada

umumnya selama masa laten tersebut individu tidak bias menularkan penyakit.

Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan

populasi perokok menggunakan model SEIR, yang didalamnya terdapat empat sub-

populasi sebagai berikut yaitu, 𝑆 adalah populasi susceptible yaitu individu-

individu tidak merokok tapi rentang untuk merokok. 𝐸 adalah populasi exposed

yaitu individu-indiividu yang kadang-kadang merokok. 𝐼 adalah populasi yang

𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 yaitu individu-individu yang merokok (perokok berat) dan dapat

mempengaruhi seseorang yang tidak merokok (sehat). 𝑅 adalah populasi

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 yaitu individu-individu yang telah berhenti untuk merokok. Dengan

waktu penyebaran yang diperlukan untuk menyebarnya populasi rokok tersebut

cukup lama.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang diatas maka perumusan adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana pemodelan matematika pada tipe SEIR untuk populasi perokok?

2. Bagaimana bentuk kesetimbangan dan perilaku selesian pada populasi

perokok sehingga mempengaruhi populasi perokok yang rentang ?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui pemodelan matematika tipe SEIR pada populasi

perokok.

4

2. Untuk mengetahui bentuk kesetimbangan dan perilaku selesaian pada

populasi perokok sehingga mempengaruhi populasi yang tidak merokok

tapi rentang untuk meroko.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapatkan adalah sebagai berikut:

1. Agar memberikan suatu sumbangsi pengetahuan bahwa ilmu matematika

mempunyai peranan yang sangat luas bagi kehidupan.

2. Dapat dimanfaatkan dalam menambah wawasan atau pengetahuan pada

masyarakat luas.

5

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Model Dasar Penyebaran Penyakit

Ada beberapa model epidemi selain model SI dan SIS, yaitu SIR, SEIR,

dan SEIRS. Secara singkat dapat digambarkan tentang model SI,SIR dan SEIR

sebagai berikut.

2.1.1 Model Epidemi SI

Pada model epidemi SI populasi dibagi menjadi dua kelompok yaiti:

1. Susceptible (𝑆) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi

penyakit (rentan) dan

2. Infected (𝐼) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi penyakit dan dapat

menularkan ke populasi yang sehat.

Model Epidemi SI dapat dinyatakan sbagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛼𝑆

𝐼

𝑁 ,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛼𝑆

𝐼

𝑁,

Keterangan:

𝛼 : Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan invected

setiap satuan waktu.

N : Jumlah populasi.

6

2.1.2 Model Epidemi SIR

Pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok

yaitu susceptible (𝑆), yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi

penyakit, infected (𝐼) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat sembuh

dari penyakit, dan recovered (𝑅) yaitu kelompok populasi yang telah sembuh dan

kebal dari penyakit. Model epidemi SIR dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛼𝑆

𝐼

𝑁 ,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛼𝑆

𝐼

𝑁− 𝛽𝐼,

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛽𝐼 ,

Keterangan:

2.1.3 Model Epidemi SEIR

Pada model epidemi SEIR klasik, populasi dibagi menjadi empat

kelompok yaitu susceptible (𝑆) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat

terinfeksi penyakit, exposed (𝐸) yaitu kelompok populasiyang dicurigai terinfeksi

oleh penyakit, infected (𝐼) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat

𝛼: Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan Recovered

setiap satuan waktu.

𝛽: Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan Recovered

setiap satuan waktu.

N: Jumlah populasi.

7

sembuh dari penyakit, dan recovered (𝑅) yaitu kelompok populasi yang telah

sembuh dan kebal dari penyakit. Model epidemi SEIR dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛼𝑆

𝐼

𝑁 ,

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝐼

𝑁𝛼𝑆 − 𝛽𝐸,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽𝐸 − 𝛾𝐼,

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛽𝐼 ,

(2.1)

Keterangan:

𝛼: Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan

Recovered setiap satuan waktu.

𝛽: Laju perpindahan populasi dari golongan exposed ke golongan

invectedsetiap satuan waktu.

𝛾: Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan recovered

setiap satuan waktu.

N: Jumlah populasi.

2.2 Dasar- Dasar Matematika

2.2.1 Sisitem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem persamaan yang memuat

turunan beberapa fungsi yang tak diketahui. Persamaan diferensial seringkali

8

muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan

dikehidupan nyata. Sebagai contoh, laju pertumbuhan populasi perokok. Suatu

persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang berbentuk

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 = (𝑥1𝑥2, … , 𝑥𝑛), dengan 𝑥, 𝑥′, … , 𝑥(𝑛) semuanya ditentukan

nilainya oleh t.

Pada penelitian ini hanya akan dibahas sistem persamaan diferensial orde 1.

Klasifikasi sistem persamaan diferensial yaitu:

1. Sistem persamaan diferensial liniear orde 1

Suatu fungsi 𝑓(𝐱) merupakan fungsi yang linear misalnya 𝑓(𝐱) = 𝐀𝐱. Sistem

𝐱′ = 𝐀𝐱 dengan x vektor dalam 𝑅𝑛 disebut sistem linear berdimensi n, jika

𝑥: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 adalah pemetaan linear, dan 𝑅𝑛 = {(𝑥1, … , 𝑥𝑛)|𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅}

sedangkan 𝐱, 𝐱′ dan A ditulis:

𝐱 = [

𝑥1

⋮𝑥𝑛

] , 𝐱′ = [

𝑑𝑥1

𝑑𝑡

⋮𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡

] dan 𝐀 = [

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

]. (2.2)

(Arrowsmith dan Place, 1982).

2. Sistem persamaan diferensial nonliniear

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear

𝑑𝐱

𝑑𝑡= 𝑓(𝐱, 𝑡) , 𝐱 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛).

Sistem persamaan diferensial 𝐱′ = 𝑓(𝐱, 𝑡) dikatakan nonlinear apabila fungsi

𝑓(𝑥) tak linear dan kontinu. Sistem di atas dapat berbentuk:

9

𝑑𝐱1

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡)

⋮𝑑𝐱𝑛

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡) 𝑘𝑜𝑛𝑑𝑖𝑠𝑖 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑥𝑡0

(𝑡0) = 𝑥𝑖; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

(2.3)

3. Sistem persamaan diferensial nonlinear yang autonomous

Suatu sistem persamaan diferensial yang berbentuk

𝑑𝐱1

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡)

⋮𝑑𝐱𝑛

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡).

(2.4)

Dikatakan sistem autonomous apabila fungsi f tidak tergantung terhadap waktu

yakni 𝐱′ = 𝑓(𝐱) dengan 𝑓(𝐱) merupakan fungsi yang nonlinear (Arrowsmith dan

Place,1982).

2.2.2 Titik Kesetimbangan

Model matematika yang terbentuk pada populasi perokok adalah sistem

persamaan diferensial non linear karena adanya interaksi antara komponen-

komponen dari ke-empat sub-populasi, sehingga perlu dicari solusi khusus. Salah

satu solusi khusus dari model matematika jumlah perokok adalah titik

kesetimbangan yang berikutnya akan dianalisis kestabilannya dari titik

kesetimbangan yang didapatkan. Berikut ini diberikan beberapa definisi dan

teorema yang berhubungan dengan analisis kesetimbangan sistem linier:

Definisi 2.1 (Olsder, 2011). Titik 𝑥∗ pada sistem autonomous

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥), (2.5)

Dikatakan titik setimbangan jika memenuhi 𝑓 (𝑥∗) = 0.

10

Definisi Matriks Jacobian adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan

turunan parsial pertama dari beberapa fungsi. Misalkan terdapat tiga persamaan

dengan tiga variabel sebagai berikut:

𝑦1 = 𝑓1(𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛)

𝑦2 = 𝑓2(𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛)

⋮

𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛)

(2.6)

Ditulis dalam bentuk Matriks Jacobian sebagai berikut:

𝐽 =

[ 𝜕𝑦1

𝜕𝑥1

𝜕𝑦1

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑦2

𝜕𝑥1

𝜕𝑦2

𝜕𝑥2⋯

⋮𝜕𝑦𝑛

𝜕𝑥1

⋮𝜕𝑦𝑛

𝜕𝑥2

⋱⋯

𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑦2

𝜕𝑥𝑛

⋮𝜕𝑦𝑛

𝜕𝑥𝑛]

. (2.7)

(Kelley dan Peterson, 2010)

2.2.3 Linearisasi di Sekitar Titik Kesetimbangan

Salah satu cara untuk menganalisa sistem nonlinear autonomous 𝐱′ = 𝑓(𝐱)

adalah menentukan titik kesetimbangan 𝑥0 = (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) dan menentukan sifat

solusi di sekitar titik tersebut. Sifat solusi sistem nonlinear 𝐱′ = 𝑓(𝐱) dapat didekati

dengan meninjau sifat solusi sistem linear 𝐱′ = 𝐀𝐱, dimana A matriks Jacobian 𝐀 =

𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛). Fungsi linear 𝐀𝐱 = 𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)𝐱 disebut bagian linear dari f

di sekitar titik (𝑥01, … , 𝑥0𝑛).

Definisi 2.2 Titik (𝑥01, … . , 𝑥0𝑛) ∈ 𝑅𝑛 adalah titik kesetimbangan dari 𝐱′ = 𝑓(𝐱),

apabila 𝑓(𝑥01, … . , 𝑥0𝑛) = 0. Titik kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) disebut titik

11

kesetimbangan hiperbolik dari 𝐱′ = 𝑓(𝐱) jika semua nilai eigen dari matriks

𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) tidak nol bagian realnya. Deret Taylor 𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛) sampai

𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) di sekitar titik kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) adalah:

𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) +𝜕𝑓1(𝑥01,…,𝑥0𝑛)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥01) + ⋯+

𝜕𝑓1(𝑥01,…,𝑥0𝑛)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛) + ⋯

𝑓2(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) +𝜕𝑓2(𝑥01,…,𝑥0𝑛)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥01) + ⋯+

𝜕𝑓2(𝑥01,…,𝑥0𝑛)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛) + ⋯

⋮

𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) +𝜕𝑓𝑛(𝑥01,…,𝑥0𝑛)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥01) + ⋯+

𝜕𝑓𝑛(𝑥01,…,𝑥0𝑛)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛) + ⋯

Karena dititik kesetimbangan

𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)=𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) = ⋯ = 𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)=0 dan 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) di

sekitar titik kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) yang jaraknya dianggap cukup kecil,

maka suku-suku yang memuat pangkat dua atau lebih seperti (𝑥1 − 𝑥01)2, (𝑥2 −

𝑥02)2, dan seterusnya, nilainya akan sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga

diperoleh:

[

𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛)𝑓2(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

⋮𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

]

≈

[ 𝜕𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥2⋯

⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥1

⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥2

⋱⋯

𝜕𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥𝑛

⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

𝜕𝑥𝑛 ]

[

𝑥1 − 𝑥01

𝑥2 − 𝑥02

⋮𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛

]

(2.8)

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi linear 𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)𝑥 merupakan

aproksimasi linear untuk fungsi nonlinear 𝑓(𝐱) di sekitar titik (𝑥01, … , 𝑥0𝑛),

12

sehingga tafsiran solusi dari sistem nonlinear 𝐱′ = 𝑓(𝐱) di sekitar (𝑥01, … , 𝑥0𝑛)

dapat didekati dengan solusi dari sistem 𝐱′ = 𝐀𝐱.

dimana 𝐱 = [

𝑥1

⋮𝑥𝑛

] , 𝐱′ = [

𝑑𝑥1

𝑑𝑡

⋮𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡

] dan 𝐀 = 𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) adalah matriks turunan

parsial pertama (matriks Jacobian). Secara umum, jika komponen dari f berupa:

𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),… , 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

Maka dapat dituliskan matriks dari persamaan tersebut adalah:

𝐴 =

[ 𝜕𝑓1

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓2

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2

𝜕𝑥2⋯

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥1

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥2

⋱⋯

𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2

𝜕𝑥𝑛

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥𝑛]

. (2.9)

Nilai eigen matriks konstan A memberikan informasi kestabilan lokal di titik

kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) (Nayfeh dan Balachendra,1995).

2.2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.3 Misalkan A suatu matriks n x n. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai

karakteristik (characteristic value) dari A jika terdapat suatu vector tidak nol x,

sehingga Ax= λx. Vektor x disebut vector eigen atau vector karakteristik dari A

yang bersesuaian dengan λ.

Teorema 2.1 Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut

ekuivalen satu sama lain:

a) λ adalah nilai eigen dari A

b) Sistem persamaan (𝜆𝐈 − 𝐀)b = 0 mempunyai pemecahan yang tak nol.

c) λ adalah pemecahan real dari persamaan 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0 (Leon,2001).

13

Bukti:

(𝑎) ⇒ (𝑏) Diketahui λ adalah nilai eigen dari A. berdasarkan Definisi 2.3,

diperoleh 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱 atau 𝜆𝐱 − 𝐀𝐱 = 0, dengan mengalikan matriks identitas I yang

berukuran n x n, dapat dituliskan dengan 𝜆𝐈𝐱 − 𝐀𝐱 = 0 atau (𝜆𝑰 − 𝐀)𝐱 = 0.

(𝑏) ⇒ (𝑐) Diketahui (𝜆𝐈 − 𝐀)𝐱 = 0 dan mempunyai pemecahan tak nol. Ambil

vektor 𝑥1 ≠ 0 sehingga (𝜆𝐈 − 𝐀) = 0. Karena 𝑥1 ≠ 0, maka 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0

(𝑐) ⇒ (𝑎) Diketahui λ adalah pemecahan real dari dari persamaan 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) =

0. Berarti ada x vektor tak nol sehingga dapat dituliskan (𝜆𝑰 − 𝐀)𝐱 = 0 atau 𝐀𝐱 −

𝜆𝐱. Berdasarkan Definisi 2.3, λ merupakan nilai eigen.

Menurut Teorema 2.1 agar λ dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan

tak nol dari persamaan (𝜆𝑰 − 𝐀)𝐱 = 0 dan pemecahan tak nol diperoleh jika dan

hanya jika:

𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0. (2.10)

2.2.5 Sifat-Sifat Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan

Sistem persamaan diferensial pada populasi perokok adalah sistem

persamaan nonlinear 𝐱′ = 𝑓(𝐱) yang telah dilinearisasi menjadi sistem diferensial

linear berbentuk 𝐱′ = 𝐀𝐱, dengan A adalah matriks Jacobian yang mempunyai nilai

eigen dan vektor eigen, misalkan 𝑤𝑗 = 𝑢𝑗 + 𝑖𝑣𝑗 adalah vektor eigen dari matriks A

yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆𝑗 = 𝑎𝑗 + 𝑖𝑏𝑗.Didefinisikan 𝐸𝑠 =

𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢𝑗 , 𝑣𝑗|𝑎𝑗 < 0}, 𝐸𝑐 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢𝑗 , 𝑣𝑗|𝑎𝑗 = 0}, 𝐸𝑢 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢𝑗 , 𝑣𝑗|𝑎𝑗 > 0},

Sehingga dapat dikatakan bahwa:

14

- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya negative akan

membentuk ruang stabil (𝐸𝑠). Ruang stabil biasanya berbentuk spiral dan

simpul.

- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya positif akan

membentuk ruang tidak stabil (𝐸𝑢). Ruang tidak stabil biasanya berbentuk spiral

dan simpul.

- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya nol akan membentuk

ruang pusat (𝐸𝑐).

Adapun bentuk-bentuk umum dan tipe-tipe kesetimbangan metode linear

dengan enam sifat kestabilannya yaitu:

I. Nilai eigen kompleks:

1. Bagian real nol, menghasilkan trayektori pusat sentral atau stabil netral

(neutral center atau neutral stable).

2. Bagian real positif, menghasilkan spiral tak stabil.

3. Bagian real negative, menghasilkan spiral stabil.

II. Nilai eigen real:

1. Kedua nilai eigen negative, menghasilkan simpul stabil (stable node).

2. Kedua nilai eigen positif, menghasilkan trayektori simpul tak stabil

(unstable node).

3. Nilai eigen positif, yang lainnya negative, menghasilkan titik pelana

(saddle point) (Tarumingkeng, 1994).

15

2.3 Solusi Numerik

2.3.1 Metode Runge Kutta

Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang

tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat

ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari

turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi (x,y) pada titik terpilih

dalam setiap selang langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode persamaan

diferensial biasa yang paling popular karena banyak dipakai dalam praktek.

Bentuk umum metode Runge Kutta orde-n ialah:

𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 + 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 + ⋯𝑎𝑛𝑘𝑛 Dengan 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 adalah tetapan,

dan

𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟)

𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑟 + 𝑞11𝑘1)

𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑟 + 𝑞21𝑘1 + 𝑞22𝑘2)

⋯

𝑘𝑛 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 + 𝑝𝑛−1ℎ, 𝑦𝑟 + 𝑞𝑛−1,1𝑘1 + 𝑞𝑛−1,2𝑘2 + ⋯+ 𝑞𝑛−1,𝑛−1𝑘𝑛−1) (2.11)

Nilai 𝑎𝑖, 𝑝𝑖, 𝑞𝑖𝑗 dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat perlangkah.

Secara umum metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat utama yaitu:

1. Metodenya satu langkah : untuk mencapai 𝑦𝑟+1 hanya diperlukan keterangan

yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu 𝑥𝑟, 𝑦𝑟

2. Mendekati ketelitian deret Taylor sampai suku dalam ℎ𝑝 , dimana nilai p

berbeda untuk metode yang berbeda, dan nilai p ini disebut derajat dari metode

16

3. Tidak memerlukan perhitungan turunan 𝑓(𝑥, 𝑦) tetapi hanya memerlukan fungsi

itu sendiri.

Metode Runge-Kutta yang umum digunakan untuk mengintegrasikan

persamaan differensial adalah metode Runge-Kutta orde keempat yang berbentuk

𝑦𝑟+1= 𝑦𝑟 + ℎ

6 (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4

dimana:

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟 )

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑟 + ℎ

2 , 𝑦𝑟 +

ℎ𝑘1

2)

𝑘3 = f (𝑥𝑟 + ℎ

2 , 𝑦𝑟 +

ℎ𝑘2

2)

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑟 + ℎ, 𝑦𝑟 + ℎ𝑘3 ). (Djojodihardjo, 2000).

17

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan Agustus samapi Oktober 2016.

Kegiatan ini dilakukan di Laboratorium Komputasi Matematika dan Fakultas

Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo Kendari.

3.2 Metode dan Prosedur Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan

atau studi literature. Adapun langkah-langkah dalam pembentukan model SEIR

pada populasi perokok.

1. Identifikasi masalah, yaitu membaca dan memahami literature yang

berkaitan dengan model matematika tipe SEIR pada populasi perokok,

sehingga dapat menentukan sub-sub populasi yang akan digunakan dalam

model.

2. Menyusun model matematika pada penyebaran populasi perokok

menggunakan tipe SEIR dengan asumsi-asumsi yang digunakan.

3. Menyusun sistem persamaan model matematika pada populasi perokok

dengan menggunakan tipe SEIR.

4. Analisis titik kesetimbangan diperlukan untuk mendapatkan suatu titik dari

persamaan 𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝑑𝐼

𝑑𝑡=

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 0.

5. Mencari nilai eigen berdasarkan matriks jacobian yang melibatkan titik

kesetimbangan.

18

6. Menentukan sifat-sifat kesetimbangan.

7. Simulasi Numerik.

8. Interpretasi`

9. penarikan suatu kesimpulan sehingga mendapatkan suatu hasil yang akan

didapatkan.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan tugas akhir

tentang populasi perokok pada tipe SEIR pada waktu laten, secara skematik dapat

diliat pada skema dalam Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Skema metode penelitian

Asumsi

Modeling matematika

Analisis titik kesetimbangan dari 𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝑑𝐼

𝑑𝑡 , =

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 0

Skema

Menentukan Nilai Eigen dari matriks jacobian

Sifat-sifat kestabilan dari simulasi pada model

matematika

Interpestasi

19

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Matematika Populasi Perokok Pada tipe SEIR

Pembahasan pada penelitian populasi perokok dengan menggunakan tipe

SEIR. yang terdapat empat sub-populasi, yakni individu sehat yang rentang untuk

menjadi perokok yaitu (𝑆), perokok kadang-kadang yaitu (𝐸), perokok yaitu (𝐼),

dan individu yang pernah menjadi perokok tapi sudah berhenti merokok yaitu (𝑅).

Asumsi 4.1.

Asumsi yang digunakan pada penelitian populasi perokok adalah sebagai berikut:

1. Populasi dibedakan menjadi empat kelompok yaitu 𝑠𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑒𝑙 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑆)

adalah individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi

perokok, 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐸) adalah perokok yang kadang-kadang,

𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐼) adalah perokok, dan 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑅) adalah perokok

yang telah berhenti merokok dan sudah kebal sehingga tidak akan kembali untuk

merokok lagi.

2. Individu yang dapat menyebarkan populasi perokok meningkat dikelompokkan

dalam dua kategori yaitu populasi perokok kadang-kadang atau

𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐸) dimana individu tersebut sudah menjadi perokok tapi belum

dapat menularkan menjadi perokok berat tetapi dapat berhenti sesaat dan belum

menjadi perokok berat dan individu yang perokok 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 (𝐼)

individu yang perokok berat (2 atau 3 bungkus dalam 1 harian) yang dapat

menularkan ke individu yang rentang.

20

3. Laju kelahiran individu baru yaitu 𝜑, yang masuk ke perokok yang rentang

sehingga individu yang baru lahir dapat menjadi individu yang rentang untuk

menjadi perokok.

4. Laju kematian indidvidu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok,

perokok kadang-kadang, perokok dan perokok yang telah berhenti. Untuk laju

kematian pada perokok yang rentang sebesar 𝜇𝑆, laju kematian perokok kadang-

kadang sebesar 𝜇𝐸, laju kematian pada perokok sebesar 𝜇𝐼, dan laju kematian

pada perokok yang berhenti sebesar 𝜇𝑅.

5. Laju pertumbuhan populasi individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi

perokok terhadap waktu yang dipengaruhi oleh besarnya 𝜑 atau kelahiran

individu yang masuk ke individu yang rentang, sehingga laju perubahan 𝛼1𝑆𝐸

yang keluar dari populasi perokok yang rentang ke yang perokok kadang-

kadang, sehingga laju perubahan individu yang merokok dapat masuk ke

perokok yang rentang sebesar 𝛽2𝐼 dan populasi individu yang kadang-kadang

merokok yang masuk ke populasi perokok tapi rentang untuk merokok sebesar

𝛼2𝐸 sehingga keluar suatu kematian alami yang terjadi pada populasi individu

yang tidak merokok tapi rentang untuk merokok sebesar 𝜇𝑆.

6. Laju populasi individu yang kadang-kadang merokok terhadap waktu sehingga

laju perubahan dari populasi individu yang tidak merokok tapi rentang untuk

merokok besarnya 𝛼1𝑆𝐸 yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok

sehingga besarnya laju perubahan pada populasi kadang-kadang merokok ke

yang tidak merokok dapat keluar sebesar 𝛼2𝐸 sehingga laju perubahan yang

keluar dari populasi individu yang kadang-kadang ke yang berhenti merokok

21

yaitu sebesar 𝛾2𝐸 sehingga dalam populasi individu yang kadang-kadang

merokok dapat keluar suatu angkah kematian sebesar 𝜇𝐸.

7. Laju populasi individu perokok berat terhadap waktu yang dapat mempengaruhi

laju perubahan individu dari yang kadang-kadang merokok ke yang perokok

yang masuk sebesar 𝛽1𝐸 sehingga besarnya 𝛽2𝐼 laju perubahan dari yang

berhenti merokok ke individu yang perokok tapi rentang untuk merokok, serta

besarnya laju perubahan 𝛾1𝐸 yang keluar menjadi individu yang berhenti

merokok sehingga dalam populasi perokok dapat keluar suatu kematian alami

sebesar 𝜇𝑅.

8. Laju populasi individu yang berhenti merokok terhadap waktu mempengaruhi

laju perubahan dari populasi yang merokok ke yang berhenti merokok yang

masuk sebesar 𝛾1𝐼 dan besarnya laju perubahan dari populasi yang kadang-

kadang merokok ke yang berhenti merokok yang masuk sebesar 𝛾2𝐸 sehingga

dalam populasi yang berhenti merokok dapat keluar suatu angkah kematian

alami sebesar 𝜇𝑅.

4.1.2 Skema Model Tipe SEIR Pada populasi Perokok

Dari Asumsi 4.1 maka didapatkan skema model Tipe SEIR Pada Populasi

Perokok yang dapat dilihat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1.1 Tipe SEIR Pada Populasi Perokok

22

4.1.3 Model Matematika

Berdasarkan Asumsi pada 4.1 dan skema Gambar 4.1 maka diperoleh

model populasi perokok tipe SEIR sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆.

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽1𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸.

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝑅.

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅.

(4.1)

Keterangan sebagai berikut:

𝜑 adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang

berpotensial merokok

𝑆 adalah tidak merokok tapi rentang untuk menjadi perokok.

𝛼1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang

merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok.

𝛼2 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang

masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok

𝐸 adalah perokok yang kadang-kadang.

𝛽1 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang

masuk kedalam populasi perokok berat.

23

𝐼 adalah perokok berat.

𝛾1 adalah laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi

individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok.

𝑅 adalah perokok yang sudah berhenti merokok dan tidak lagi

merokok.

𝛽2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk

menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi

merokok.

𝛾2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga

menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula.

𝜇 adalah laju kematian alami pada semua populasi perokok.

4.2 Titik Kesetimbangan dari populasi perokok

Kestabilan dari populasi perokok dapat ditentukan dengan mencari suatu

titik kesetimbangan pada populasi perokok tipe SEIR, dapat ditentukan ketika laju

perubahan populasi yang rentang, laju perubahan populasi yang kadang-kadang

merokok, laju perubahan populasi perokok, dan laju perubahan populasi yang

berhenti merokok berubah terhadap waktu . yang diperoleh secara sistem

persamaan 𝑑𝑆

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 0. Didapatkan dua titik kesetimbangan

yaitu sebagai berikut:

a. Titik Kesetimbangan bebas perokok

24

Titik kesetimbangan bebas merokok dapat dinyatakan dalam bentuk 𝐸0∗ =

(𝑆0,𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) terjadi jika 𝐸 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝐼 = 0, sehingga berdasarkan sistem

persamaan pada model tersebut diperoleh:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼1𝐸 − 𝜇𝑆 = 0.

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 = 0.

(4.2)

Karena 𝐸 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝐼 = 0, maka diperoleh:

𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼1𝐸 − 𝜇𝑆 = 0

𝜑 − 𝛼1𝑆(0) + 𝛽2(0) − 𝛼2(0) + 𝜇𝑆 = 0

𝜑 = 𝜇𝑆

𝑆0 =𝜑

𝜇.

(4.3)

Dan untuk mendapatkan nilai R diperoleh sebagai berikut:

𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 = 0

𝛾1(0) + 𝛾2(0) − 𝜇𝑅 = 0

−𝜇𝑅 = 0.

(4.4)

Jadi, titik kesetimbangan bebas perokok adalah

𝐸0∗ = (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) = (

𝜑

𝜇 ,0,0,0). (4.5)

25

b. Titik kesetimbangan epidemik

Titik kesetimbangan epidemik dinyatakan dalam bentuk 𝐸1∗ =

(𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) terjadi jika 𝐸 > 0 dan 𝐼 > 0. Berdasarkan dengan sistem persamaan

pada model tersebut diperoleh:

Untuk 𝑑𝐸

𝑑𝑡= 0, diperoleh sebagai berikut:

𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 = 0

(𝛼1𝑆 + 𝛼2)𝐸 − (𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇)𝐸

(𝛼1𝑆 + 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇)

𝑆1 =𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇

𝛼1,

(4.6)

Dengan bantuan soffwere Maple

𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2

2

𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

,

𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇

2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2

𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,

𝑅1 =(−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2+𝜇𝛾2+𝛽1𝛾1−𝛾2

2

𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

.

Jadi titik kesetimbangan epidemik perokok adalah

𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = 𝑆1 =

𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇

𝛼1 ,

𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2

2

𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

,

𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1+𝛾2𝛽1𝜇−𝛾2𝛾1𝜇+𝛽1𝜇2−𝛾1𝜇𝛼2+𝛽1𝜇𝛽2+𝛾1𝜑𝛼1−𝛾1𝜇𝛽2−𝛾1𝜇2

𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

,

𝑅1 =(−𝜑𝛼1 + 𝜇𝛾2 + 𝜇2 + 𝜇𝛼2 + 𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2 + 𝜇𝛾2 + 𝛽1𝛾1 − 𝛾2

2

𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

.

26

4.3 Analisis Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan

Pada pembahasan ini akan dilakukan analisis kestabilan pada titik

kesetimbangan dengan cara pelinearisasian suatu sistem model penyebaran

perokok. Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut:

𝑓1(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = 𝜑 − 𝛼𝟏𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼𝟐𝐸 − 𝜇𝑆

𝑓2(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, ) = 𝛼𝟏𝑆𝐸 − 𝛼𝟐𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸

𝑓3(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = 𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼

𝑓4(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅

(4.7)

Dari keempat persamaan nonlinear di atas dapat dilinearkan sebagai berikut:

𝑑𝑓1𝑑𝑠

=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)

𝑑𝑠= −𝛼1𝐸 − 𝜇

𝑑𝑓1𝑑𝐸

=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)

𝑑𝐼= −𝛼1𝑆 + 𝛼2

𝑑𝑓1𝑑𝐼

=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)

𝑑𝐼= 𝛽2

𝑑𝑓1𝑑𝑅

=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)

𝑑𝑅= 0

𝑑𝑓2𝑑𝑆

=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )

𝑑𝑆= 𝛼1𝐸

𝑑𝑓2𝑑𝐸

=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )

𝑑𝐸= 𝛼1𝑆 − 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇

𝑑𝑓2𝑑𝐼

=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )

𝑑𝐼= 0

27

𝑑𝑓2𝑑𝑅

=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )

𝑑𝑅= 0

𝑑𝑓3𝑑𝑠

=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)

𝑑𝑠= 0

𝑑𝑓3𝑑𝐸

=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)

𝑑𝐸= 𝛽1 − 𝛾1

𝑑𝑓3𝑑𝐼

=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)

𝑑𝐼= −𝛽2 − 𝜇

𝑑𝑓3𝑑𝑅

=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)

𝑑𝑅= 0

𝑑𝑓4𝑑𝑆

=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )

𝑑𝑆= 0

𝑑𝑓4𝑑𝐸

=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )

𝑑𝐸= 𝛾2

𝑑𝑓4𝑑𝐼

=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )

𝑑𝐼= 𝛾1

𝑑𝑓4𝑑𝑅

=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )

𝑑𝑅= −𝜇

Linearisasi sistem persamaan diatas adalah matriks jacobian J.

Selanjutnya dari hasil persamaan linear yang didapatkan diatas, maka

dimasukkan kedalam matriks jacobian J, sehingga diperoleh suatu matrik jacobian

yang berukuran 4x4 sebagai berikut:

28

𝐽 =

[ 𝜕𝑓1𝜕𝑆𝜕𝑓2𝜕𝑆𝜕𝑓3𝜕𝑆

𝜕𝑓1𝜕𝐸

𝜕𝑓1𝜕𝐼

𝜕𝑓1𝜕𝑅

𝜕𝑓2𝜕𝐸

𝜕𝑓2𝜕𝐼

𝜕𝑓2𝜕𝑅

𝜕𝑓3𝜕𝐸

𝜕𝑓3𝜕𝐼

𝜕𝑓3𝜕𝑅

𝜕𝑓4𝜕𝑆

𝜕𝑓4𝜕𝐸

𝜕𝑓4𝜕𝐼

𝜕𝑓4𝜕𝑅 ]

.

Selanjutnya hasil yang didapatkan dari persamaan nonlinear diatas di

subtitusikan ke dalam matriks jacobian, sehingga diperoleh matriks sebagai berikut:

𝐽 = [

−𝛼1𝐸 − 𝜇 −𝛼1𝑠 + 𝛼2 𝛽2 0

𝛼𝟏𝐸00

𝛼𝟏𝑆 − 𝛼𝟐 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇𝛽1 − 𝛾1

𝛾2

0−𝛽2 − 𝜇

𝛾1

00

−𝜇

]. (4.8)

4.3.1 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Dari Rokok

Analisis kestabilan titik kesetimbangan bebas dari rokok 𝐸0∗ =

(𝑆0𝐸0𝐼0𝑅0)dimana (𝑆 =𝜑

𝜇, 𝐸 = 0, 𝐼 = 0, 𝑅 = 0).

Disubtitusi pada persamaan 4.8 sehingga di peroleh sebagai berikut:

𝐽1 = 𝐽(𝐸0∗)

[

−𝜇 −𝛼1𝜑

𝜇+ 𝛼2 𝛽2 0

000

𝛼1𝜑

𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇

𝛽1 − 𝛾1

𝛾2

0−𝛽2 − 𝜇

𝛾1

00

−𝜇

]

.

Untuk mencari nilai eigen matriks jacobian yang berukuran 4x4, maka matriks

jacobian 𝐽1 ditulis sebagai berikut: 𝑑𝑒𝑡[𝜆𝐼 − 𝐽0] = 0

29

𝑑𝑒𝑡

(

𝜆 [

1000

0 0 01 0 00 1 00 0 1

] −

[

−𝜇 −𝛼1𝜑

𝜇+ 𝛼2 𝛽2 0

000

𝛼1𝜑

𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇

𝛽1 − 𝛾1

𝛾2

0−𝛽2 − 𝜇

𝛾1

00

−𝜇]

)

=0

𝑑𝑒𝑡

(

[

𝜆 0 0 0000

𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆

] −

[

−𝜇 −𝛼1𝜑

𝜇+ 𝛼2 𝛽2 0

000

𝛼1𝜑

𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇

𝛽1 − 𝛾1

𝛾2

0−𝛽2 − 𝜇

𝛾1

00

−𝜇]

)

=0

𝑑𝑒𝑡

(

[

𝜆 + 𝜇 𝛼1𝜑

𝜇+ 𝛼2 −𝛽2 0

000

𝜆 +𝛼1𝜑

𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇

−𝛽1 − 𝛾1

−𝛾2

0𝜆 + 𝛽2 − 𝜇

−𝛾1

00

−𝜇]

)

=0

Persamaan karakteristiknya adalah:

(

(𝜆 + 𝜇 ) [

𝜆 +𝛼1𝜑

𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇

−𝛽1 − 𝛾1

−𝛾2

0𝜆 + 𝛽2 − 𝜇

−𝛾1

00

−𝜇] −

𝛼1𝜑

𝜇+

𝛼2 [0 0 00 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 00 −𝛾1 −𝜇

]

)

= 0

(𝜆 + 𝜇 ) ((𝜆 +𝛼1𝜑

𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇) (𝜆 + 𝛽2 − 𝜇)(−𝜇)) −

𝛼1𝜑

𝜇+ 𝛼2(𝜆 +

𝛽2 − 𝜇)(−𝜇) = 0.

Berdasarkan bantuan dari software maple, sehingga diperoleh nilai

eigennya sebagai berikut:

30

𝜆1 = −𝜇1 ,

𝜆2 = −𝜇1 ,

𝜆3 = −−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2

𝜇 ,

𝜆4 = −𝛽2 − 𝜇.

(4.9)

Dari nilai eigen yang diperoleh, ditunjukkan bahwa 𝜆1, 𝜆2 < 0, dikarenakan nilai

dari 𝜇 > 0. Jika –−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2

𝜇 pada 𝜆3 memiliki nilai real negatif, maka

nilai eigen untuk 𝜆3 < 0, dan jika −𝛽2 − 𝜇 pada 𝜆4 memiliki nilai real negatif

maka nilai eigen dari 𝜆4 < 0 sehingga titik kesetimbangan bebas perokok

menghasilkan perilaku stabil asimtotik., sebaliknya jika −𝜑𝛼1 >𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2

𝜇

pada 𝜆3 memiliki nilai real positif maka nilai 𝜆3 > 0 dan jika −𝛽2 > −𝜇 pada 𝜆4

memiliki nilai real positif maka nilai 𝜆4 > 0 sehingga titik kesetimbangan bebas

perokok menghasilkan perilaku 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡. Secara umum, sifat kestabilan bebas

perokok di sajikan pada Tabel 4.1 berikut.

Tabel 4.1 Kestabilan di titik kesetimbangan bebas perokok

𝜆 1 𝜆2 𝜆3 𝜆4 Sifat

kestabilan

Titik

kesetimbangan

bebas dari

perokok

Real

negative

Real

negative

Real

negative

Real

negative

Stabil

asimtotik

Real

negative

Real

negative

Real

positif

Real

positif

Saddle

Point

31

4.3.2 Analisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok

Kestabilan titik kesetimbangan epidemik 𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼, 𝑅1) dimana,

𝑆1 =𝛼2+𝛽2+𝛾2+𝜇

𝛼1,

𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇

2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22

𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,

𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇

2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2

𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,

𝑅1 =(−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2+𝜇𝛾2+𝛽1𝛾1−𝛾2

2

𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

.

Disubstitusi pada persamaan 4.10 sehingga diperoleh:

𝐽2 = 𝐽(𝐸1∗)=

[

−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2

− 𝜇 −𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 𝛽2 0

−−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2

00

0 0 0𝛽1 − 𝛾1 −𝛽2 − 𝜇 0𝛾2 𝛾1 −𝜇

]

(4.10)

Untuk mencari nilai eigen matrik jacobian 𝐽2 yang berukuran 4 x 4, maka matriks

jacobian 𝐽2 ditulis sebagai:

𝑑𝑒𝑡[𝜆𝐼 − 𝐽2] = 0

𝑑𝑒𝑡

(

[

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]

−

[

−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

− 𝜇 −𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 𝛽2 0

−−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇

2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

00

0 0 0𝛽1 − 𝛾1 −𝛽2 − 𝜇 0𝛾2 𝛾1 −𝜇

]

)

= 0

32

𝑑𝑒𝑡

(

[

𝜆 0 0 00 𝜆 0 00 0 𝜆 00 0 0 𝜆

]

−

[

−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

− 𝜇 −𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 𝛽2 0

−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

00

0 0 0𝛽1 − 𝛾1 −𝛽2 − 𝜇 0𝛾2 𝛾1 −𝜇

]

)

= 0

[

[ 𝜆 + ((

−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

) −) + 𝜇 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 −𝛽2 0

−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2

2

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

0 0 0

0 −𝛽1 − 𝛾1 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 00 −𝛾2 −𝛾1 𝜆 + 𝜇 ]

]

= 0

Persamaan karakteristiknya adalah

(𝜆 + ((−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇

2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

) −)

+ 𝜇 ) [

0 0 0−𝛽1 − 𝛾1 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 0

−𝛾2 −𝛾1 𝜆 + 𝜇1

]

+ (𝛽2 − 𝛾2

− 𝜇)

[ −𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇

2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22

𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2

0 0

0 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 00 −𝛾1 𝜆 + 𝜇]

= 0

Untuk nilai eigen pada titik kesetimbangan epidemik perokok akan dihitung secara

numeric.

33

4.4 Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Pada Populasi Perokok

Pada subbab ini simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan metode

rungge-kutta orde empat. Simulasi dinamika pada populasi perokok menggunakan

model SEIR dilakukan dengan memvariasikan parameter-parameter yang

mempengaruhi model tersebut. Beberapa parameter yang divariasikan yaitu 𝜑

adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial

merokok, 𝛼1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang

merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok, 𝛼2 adalah laju

perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk ke individu yang

tidak merokok tapi rentang merokok, 𝛽1 adalah laju perubahan populasi yang

kadang-kadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat, 𝛾1 adalah

laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti

merokok dan tidak lagi merokok, 𝛽2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang

sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi

merokok. Sementara itu 𝛾2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial

sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula.

4.4.1 Simulasi Numerik Bebas Perokok

Kasus 1

Simulasi pada keadaan bebas perokok menggunakan syarat awal untuk individu

perokok yang rentan 𝑆(0) = 50, perokok yang kadang-kadang 𝐸(0) = 8 ,

perokok berat 𝐼(0) = 10, dan perokok yang berhenti 𝑅(0) = 20, dan parameter-

parameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.2 berikut.

34

Tabel 4.2 Nilai parameter-parameter dalam model perokok

Parameter Nilai Penafsiran

𝜑 1 Laju kelahiran individu baru yang masuk ke

populasi yang berpotensial merokok

𝛼1 0,01 Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok

tapi rentang merokok yang masuk ke individu

yang kadang-kadang merokok.

𝛼2 0,2 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-

kadang merokok yang masuk ke individu yang

tidak merokok tapi rentang merokok

𝛽1 0,1 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-

kadang merokok yang masuk kedalam populasi

perokok berat.

𝛾1 0,5 Laju perubahan populasi perokok berat yang

masuk menjadi individu yang berhenti merokok

dan tidak lagi merokok.

𝛾2 0,6 Laju perubahan dari individu perokok potensial

sehingga menjadi perokok berat akibat dari

interaksi dari perokok mula-mula.

𝜇 0,0012 Laju kematian alami pada semua populasi

perokok

𝛽2 0,01 Laju perubahan perokok kadang-kadang

sehingga masuk menjadi populasi individu yang

berhenti merokok dan tidak lagi merokok.

Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan bebas virus, dapat dilakukan

dengan cara mensubstitusi nilai parameter-parameter pada persamaan (4.10)

sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan

pada Tabel 4.3 berikut:

35

Tabel 4.3 Sifat kestabilan titik kesetimbangan bebas perokok bagian pertama

Titik kesetimbangan Nilai eigen Sifat kestabilan

𝐸0∗ = (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) =

(𝜑

𝜇 ,0,0,0) = (833,0,0,0)

𝜆1 = −0,0012

𝜆2 = −0,0012

𝜆3 = −0,0112

𝜆4 = 7.522

saddle point

Berdasarkan nilai awal dan nilai dari parameter-parameter dari model populasi

perokok maka diperoleh laju pertumbuhan bebas perokok seperti pada Gambar 4.1

berikut:

Gambar 4.1 Laju pertumbuhan bebas perokok pada model SEIR dengan

perilaku 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 pada saat 0 ≤ 𝑡 ≤ 100.

Berdasarkan Gambar 4.1 diatas, populasi individu yang rentang merokok

akan mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena semakin banyaknya

kelahiran yang terjadi disetiap bulan sehingga individu yang baru lahir akan masuk

ke yang rentang untuk merokok. Populasi individu yang kadang-kadang merokok

mengalami suatu penurunan karena individu yang kadang-kadang merokok belum

36

menjadi perokok berat dan belum dapat terjadinya suatu penularan yang dapat

memepenggaruhi populasi yang rentang merokok. Populasi individu yang perokok

berat mendekati suatu keadaan minimum dan belum terjadi suatu penularan yang

terjadi karenah pada perlakuan keadaan yang bebas dari pengaruh rokok tersebut

maka populasi terbebas dari pengaruh rokok, maka populasi perokok berat akan

mengalami suatu kepunahaan. Dan individu yang berhenti merokok akan

mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena tidak ada lagi pengaruh

rokok sehingga kekebalan tubuh yang dimiliki akan membuat individu tersebut

berhenti dan tidak lagi terpengaruhi oleh perokok.

Gambar 4.2 Grafik 3 dimensi untuk 𝑠𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 atau individu yang rentang

untuk menjadi perokok, 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 atau perokok yang kadang-kadang, dan 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑

atau perokok pada titik kesetimbangan bebas perokok dengan perilaku saddle

point.

4.4.2 Simulasi Numerik Epidemik

Simulasi pada keadaan epidemik perokok menggunakan syarat awal untuk

individu perokok yang rentan 𝑆(0) = 90, kadang-kadang merokok 𝐸(0) = 20 ,

37

perokok berat 𝐼(0) = 30, dan berhenti merokok 𝑅(0) = 5, dan parameter-

parameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.4 berikut.

Tabel 4.4 Nilai parameter-parameter dalam model Perokok

Parameter Nilai Penafsiran

𝜑 1 Laju kelahiran individu baru yang masuk ke

populasi yang berpotensial merokok

𝛼1 0,001 Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok

tapi rentang merokok yang masuk ke individu

yang kadang-kadang merokok.

𝛼2 0,02 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-

kadang merokok yang masuk ke individu yang

tidak merokok tapi rentang merokok

𝛽1 0,001 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-

kadang merokok yang masuk kedalam populasi

perokok berat.

𝛾1 0,05 Laju perubahan populasi perokok berat yang

masuk menjadi individu yang berhenti merokok

dan tidak lagi merokok.

𝛾2 0,06 Laju perubahan dari individu perokok potensial

sehingga menjadi perokok berat akibat dari

interaksi dari perokok mula-mula.

𝜇 0,02 Laju kematian alami pada semua populasi

perokok

𝛽2 0,001 Laju perubahan perokok kadang-kadang

sehingga masuk menjadi populasi individu yang

berhenti merokok dan tidak lagi merokok.

Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik, dapat

dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai dari parameter-parameter pada Tabel

38

(4.2) ke persamaan (4.3) sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya,

seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.5 berikut:

Tabel 4.5 Sifat kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok

Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter-parameter pada Tabel 4.4 maka

diperoleh laju pertumbuhan epidemik perokok seperti Gambar 4.3 berikut.

Gambar 4.3 Laju pertumbuhan epidemik perokok pada model SEIR pada saat 0 ≤

𝑡 ≤ 100

Titik kesetimbangan Nilai eigen Sifat

kestabilan

𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) =

𝛼2+𝛽2+𝛾2+𝜇

𝛼1 ,

−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽22

𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

,−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇

2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2

𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,(−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2+𝜇𝛾2+𝛽1𝛾1−𝛾2

2

𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)

= (90,20,30,5)

𝜆1 = −0,02

𝜆2 = 0,03

𝜆3

= −0,016

𝜆4

= −0,0167

Saddle

Point

39

Pada Gambar 4.3 Gambar tersebut merupakan grafik yang menunjukkan

jumlah masing-masing subpopulasi dalam setiap satuan waktu, individu yang tidak

merokok tapi rentang untuk menjadi perokok mengalami penurunan karena

individu yang rentang sangat mudah terpengaruh untuk menjadi perokok, hal ini

dipengaruhi oleh suatu interaksi yang terjadi antara perokok kadang-kadang

dengan yang rentang. Perokok kadang-kadang mengalami penurunan karena

adanya suatu interaksi dengan individu yang rentang masuk ke yang perokok

kadang-kadang dalam waktu yang cukup lama sehingga dapat terpengaruh menjadi

perokok . Perokok berat mengalami mula-mula terjadi penurunan karena individu

tersebut memilih untuk berhenti karena adanya suatu individu yang telah berhasil

sembuh dari pengaruh dari perokok akibat dari rokok yang dikonsumsi. Individu

yang berhenti merokok mengalami kenaikan karenah semakin banyak perokok

berat memilih untuk berhenti merokok dan memilih alternative lain untuk

mengganti rokok yang biasa dikonsumsi (Gambar 4.4).

Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi untuk rentang merokok, kadang-kadang merokok

dan perokok

40

pada titik kesetimbangan epidemik perokok Berdasarkan Gambar 4.4,

ditunjukkan bahwa garis dengan titik awal (90, 2, 3, 3) tidak menuju ke titik

kesetimbangan epidemik pada 𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = (90,20,30,5) sehingga titik

kesetimbangan epidemik memiliki perilaku 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡.

41

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut yaitu :

1. Model populasi perokok dengan menggunakan Tipe SEIR diperoleh:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝑅

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅

2. Pada analisis titik kesetimbangan model matematika populasi perokok

dengan menggunakan tipe SEIR diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu

bebas dari perokok 𝐸0∗ dan epidemik perokok 𝐸1

∗:

𝐸0∗ = (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) = (

𝜑

𝜇, 0,0,0) = (833,0,0,0),

titik kesetimbangan bebas perokok 𝐸0∗ selalu bersifat stabil asimtotik lokal,

𝐸1∗ = (𝑆1𝐸1𝐼1𝑅1) = (90,20, ,30,5),

dimana:

𝑆1 =𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇

𝛼1,

𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇

2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22

𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,

𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇

2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2

𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,

42

𝑅1 =(−𝜑𝛼1 + 𝜇𝛾2 + 𝜇2 + 𝜇𝛼2 + 𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2 + 𝜇𝛾2 + 𝛽1𝛾1 − 𝛾2

2

𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)

,

titik kesetimbangan epidemik perokok 𝐸1 selalu bersifat stabil 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡.

5.2 Saran

Pada tugas akhir ini, penulis melakukan penelitian tentang pemodelan

matematika dengan menggunakan tipe SEIR dan diharapkan pada penelitian

selanjutnya dapat dikembangkan lagi dengan bentuk model MSEIR.

43

DAFTAR PUSTAKA

Aditama, T.Y. 2001. Masalah Merokok dan Penanggulangannya. Ikatan Dokter

Indonesia,Jakarta.

Djojodihardjo, H. 2000. Metode Numerik. PT Gramedia Pustaka Utama: jakarta.

Gunawan, A.Y. & Nurtaman, M.E. 2008, Model Dinamik Sederhana untuk

Masalah Peningkatan Populasi Perokok. Mathematics Subject

Classification. Vol. 14. Hal. 63-72.

Haris, A. dan Ikhsan, M. & Rogayah, R. 2012. Asap Rokok sebagai Bahan

Pencemar dalam Ruangan. Universitas Indonesia-Rumah Sakit

Persahabatan, :Jakarta.

Husaini, A. 2007. Tobat Merokok. Mizan Media Utama. Bandung.

Horward, A.1997. Aljabar Linear Elementer.Erlangga: jakarta.

Kelley, W.G. & Peterson, A.C. 2010. The Theory of Differential Equation:

Classical and Qualitative. Springer Science + Business Media. New York.

Kusumah, Y. S. 1989. Persamaan Diferensial.jakarta: Departemen pendidikan dan

kebudayaan.

Leon, S. J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi kelima.

Erlangga: jakarta.

Merkin, D.R. 1997. Introduction to the Theory of stability. Springer-Verlag New

York Inc: Amerika.

Musta”adah, E. 2004. Aplikasi Teorema Titik Tetap pada Penyelesaian Persamaan

Diferensial Biasa. Skripsi. Tidak diterbitkan. Malang: UIN.

Olsder, G.J. & Woude, J.W. van der, 2003, Mathematical System Theory. Second

Edition. Delft University. The Netherlands.

Olsder, G.J. & Woude, J.W. van der. Maks. J.G., Jeltsema. D. 2011.Mathematical

Systems Theory.Fourth Edition. Delft University. The Netherlands.

Pamuntjak, R. J. & Santosa, W. 1990. Persamaan Diferensial Biasa. Bandung: ITB

Samet, J.M. 2010. Passive smoking and Health. Tobacco Science, Policy and

Health. Second Edition. Chapter 16.

44

Sharomi, O. & Gumel, A.B. 2008. Curtailing Smoking dynamics: A Mathematical

modeling Approach. Applied Mathematics and Computation. Vol. 195. Hal.

475-499.

Tirtosastro, S. & Murdiyati, A.S. 2010. Kandungan Kimia Tembakau dan Rokok.

Buletin Tanaman Tembakau, Serat dan Minyak Industri 2. Hal. 33-43.

Tobacco Control Support Center. 2012. Fakta Tembakau, Permasalahannya di

Indonesia.

Zeb, A. Zaman, G. & Momani, S. 2013. Square-root Dynamics of Giving Up

Smoking Model. Applied Mathematical Modelling.Vol. 37, Hal. 5326-5334.

Zhang j, Ma Z.Global dynamic of an SEIR Epidemic model wiht saturating contact

rate. Math Biosci 2003:185:15-23.

45

Lampiran 1 Titik Kesetimbangan

46

Lampiran 2 Nilai Eigen Umum

47

Lampiran 3 Nilai Eigen Kasus 1 Numerik

48

Lampiran 4 Nilai Eigen Kasus II

49

Lampiran 5 Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas Perokok

function SEIR clear all; global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; phi=1; alpha1=0.01; alpha2=0.2; betha1=0.1; betha2=0.01; miu=0.0012; gamma1=0.5; gamma2=0.6; t0=0; tf=100; y0=[90 20 30 5] %tstep=0.1; %[t y]=ode45 (@dxdt,[t0:tstep;tf],y0); [t y]=ode45(@dxx,[t0:0.1:tf],y0); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Populasi perokok tipe model SEIR') xlabel('Waktu(tahun)') ylabel('Jumlah Individu perokok') legend ('Susceptible(rentan untuk merokok)','exposed(perokok

kadang-kadang)','Infected(perokok berat)','Recovered(berhenti

merokok)') hold on

figure

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('Susceptible(rentan untuk merokok)'); ylabel('exposed(perokok kadang-kadang)'); zlabel('Infected(perokok berat)'); grid on

function dy=dxx(t,y) global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; dy=[phi-alpha1*y(1)*y(3)+betha1*y(2)+alpha2*y(3)-miu*y(1); alpha1*y(1)*y(3)-alpha2*y(3)-betha2*y(3)-gamma2*y(3)-miu*y(3); betha1*y(3)-betha2*y(2)-gamma1*y(3)-miu*y(2); gamma1*y(2)+gamma2*y(3)-miu*y(4)];

50

Lampiran 6 Program Matlab Untuk Menentukan Phase Potret Epidemik Perokok

Kasus II

function SEIR clear all; global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; phi=1; alpha1=0.001; alpha2=0.02; betha1=0.001; betha2=0.001; miu=0.02; gamma1=0.05; gamma2=0.06; t0=0; tf=100; y0=[90 20 30 5] %tstep=0.1; %[t y]=ode45 (@dxdt,[t0:tstep;tf],y0); [t y]=ode45(@dxx,[t0:0.1:tf],y0); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Populasi perokok tipe model SEIR') xlabel('Waktu(tahun)') ylabel('Jumlah Individu perokok') legend ('Susceptible(rentan untuk merokok)','exposed(perokok

kadang-kadang)','Infected(perokok berat)','Recovered(berhenti

merokok)') hold on

figure

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('Susceptible(rentan untuk merokok)'); ylabel('exposed(perokok kadang-kadang)'); zlabel('Infected(perokok berat)'); grid on

function dy=dxx(t,y) global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; dy=[phi-alpha1*y(1)*y(3)+betha1*y(2)+alpha2*y(3)-miu*y(1); alpha1*y(1)*y(3)-alpha2*y(3)-betha2*y(3)-gamma2*y(3)-miu*y(3); betha1*y(3)-betha2*y(2)-gamma1*y(3)-miu*y(2); gamma1*y(2)+gamma2*y(3)-miu*y(4)];