Paper Getaran OK
description
Transcript of Paper Getaran OK
SISTEM TRANSMISI TENAGA
Oleh
M. CAHYO ADI NOGROHO
4204 100 061
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN
FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2008
GETARAN
PENGERTIAN GETARAN
Pergerakan suatu benda yang berulang-ulang pada masa tertentu atau berayun
terhadap kedudukan keseimbangan disebut getaran. Getaran terjadi apabila suatu
sistem yang mempunyai daya tersimpan diayunkan dari keadaan keseimbangan.
Sistem cenderung untuk kembali kepada kedudukan asal, tetapi apabila sistem
semula melalui kedudukan keseimbangan, lajunya tidak sama. Oleh karena itu, ia
bergerak menjauhi kedudukan keseimbangan. Proses ini berlaku berulang-ulang,
lalu menyebabkan getaran.
Getaran merupakan satu ciri keperluan bagi kebanyakan mesin, sebagai
contoh, untuk memadatkan tanah atau konkrit, digunakan alat penggetar. Sistem
yang berayun adalah konsep yang digunakan dalam kebanyakan jam yang
menggunakan bandul. Walaupun sifat getaran adalah mustahak dalam
kejuruteraan, fenomena ini boleh mendatangkan masalah karena getaran yang
berlebihan bisa merusak suatu struktur karena wujudnya gesekan yang berlebihan.
Struktur yang selalu bergetar akan mengalami kelesuan. Getaran bisa
menyebabkan kehilangan tenaga seperti tenaga gerak dan tenaga bunyi. Dengan
demikian, optimalisasi kerja suatu mesin akan berkurang. Oleh sebab itu, getaran
suatu struktur akan dibentuk dan diberi pertimbangan jika struktur itu dikehendaki
bergetar. Bagi struktur yang tidak dikehendaki bergetar, maka getaran tidak perlu
diubah bentuk.
Secara umum, terdapat dua jenis getaran yaitu getaran bebas dan getaran
paksa. Getaran bebas berlaku apabila pergerakan disebabkan oleh graviti
atau daya yang tersimpan seperti pergerakan bandul atau pegas. Getaran
paksa ialah getaran yang disebabkan oleh daya yang dikenakan secara
berkala atau mengikut tempoh ulangan tertentu. Bagi kedua jenis getaran ini,
ia terbagi lagi pada dua keadaan yaitu getaran tanpa redaman dan getaran
dengan redaman. Apabila gesekan diabaikan, getaran tersebut disebut getaran
tanpa redaman. Ini bermakna getaran akan berlaku berterusan dengan amplitudo
yang sama. Umumnya, kebanyakan getaran yang terjadi ialah getaran dengan
redaman yaitu apabila ia dipengaruhi oleh gesekan. Amplitudo getaran semakin
berkurang dan akhirnya sistem akan berhenti bergerak. Ringkasnya, terdapat
empat jenis getaran, iaitu
a) getaran bebas tanpa redaman atau pergerakan harmonik mudah,
c) getaran paksa tanpa redaman,
b) getaran bebas dengan redaman ,
d) getaran paksa dengan redaman
Beberapa contoh getaran yang biasa dilihat ialah getaran bebas pegas,
bandul mudah, tali gitar, cakera yang dilekatkan pada hujung rod getah dan
kemudian diputar (puntiran), pergerakan dalam bulatan, denyutan jantung, dan
pergerakan cakera pengimbang di dalam jam.
Dalam bab ini kajian difokuskan kepada getaran yang mempunyai satu
derajat kebebasan yaitu getaran dalam satu arah saja. Analisis untuk sistem yang
mempunyai lebih dari satu derajat kebebasan adalah berdasarkan satu derajat
kebebasan yang sudah diubah dan disesuaikan.
1.2 ISTILAH UNTUK GETARAN
Untuk menjelaskan beberapa istilah yang digunakan dalam getaran,
dicontohkan sebatang rod yang dilekatkan satu jisim pada salah satu hujungnya
dan hujung yang satu lagi ditetapkan supaya tidak bergerak . Jika jisim ditarik ke
titik a sejauh xm dan kemudian dilepaskan, jasad tersebut akan berayun berulang-
alik antara titik a dan b.
Berdasarkan kondisi tersebut, istilah yang digunakan adalah seperti berikut:
a) Kedudukan keseimbangan atau kedudukan purata: kedudukan benda ketika
berada dalam keadaan diam seperti kedudukan benda pada titik o.
b) Ayunan, x: jarak yang diukur dari kedudukan keseimbangan pada suatu masa
dan mempunyai nilai positif atau negatif yang menunjukkan arah anjakan.
c) Amplitudo, xm: anjakan maksimum (biasanya anjakan pada mula pergerakan).
Ia juga mempunyai nilai positif atau negatif.
d) Satu putaran lengkap: pergerakan dari satu titik mula sehingga sampai ke titik
mula sekali lagi seperti pergerakan dari a ke b ke a.
e) Periode, T: masa yang diperlukan untuk membuat satu putaran lengkap.
f) Frekuensi, f: bilangan pusingan lengkap bagi satu unit masa. Unit bagi
frekuensi ialah pus/s dan lebih dikenal sebagai Hertz dan ditandakan dengan
simbol Hz (1 pus/s = 1 Hz). Frekuensi sebenarnya adalah salingan bagi tempoh
berkala iaitu f = 1/T.
g) Sudut fasa mula : sudut mula antara kedudukan keseimbangan dan kedudukan
pada masa t = 0.
h) Sudut fasa : sudut antara kedudukan keseimbangan dan kedudukan pada suatu
masa t.
i) Keceatan, v : laju pada arah ayunan, x
j) Perceatan, a : pecutan pada arah anjakan, x
k) Getaran berkala : getaran yang mempunyai amplitudo tetap bagi suatu jeda
masa.
l) Getaran tak berkala: pergerakan yang mempunyai amplitudo tidak tetap yaitu
jarak pergerakannya semakin kecil bagi suatu jeda masa dan akhirnya berhenti
pada kedudukan keseimbangan karena wujudnya pengaruh pada geseran yang
menghalangi pergerakan yang seterusnya. Kebanyakan getaran yang berlaku
adalah getaran tak berkala.
Bila sebuah sistem dipengaruhi oleh eksitasi harmonik paksa, maka respon
getarannya akan berlangsung pada frekuensi yang sama dengan frekuensi
eksitasinya. Sumber-sumber eksitasi haemonik adalah ketidak seimbangan pada
mesin – mesin yang berputar, gaya-gaya yang dihasilkan oleh mesin torak atau
gerak mesin itu sendiri. Eksitasi ini mungkin tidak digunakan oleh mesin karena
dapat mengganggu operasinya atau menggangu struktur mesin itu apabila
amplitudo getaran yang besar. Dalam banyak hal resonansi harus dihindari dan
untuk mencegah berkembangnya amplitudo yang besar maka sering kali
digunakan peredam (damper) dan penyerap (absorbers).
1. GERAK HARMONIK
Gerak harmonik merupakan gerak periodik yang paling sederhana. Gerakan ini
dapat diperagakan oleh sebuah massa yang digantungkan pada suatu pegas.
Massa akan berosilasi pada titik kesetimbangan. Saat massa melewati titik ini,
massa mengalami kecepatan maksimum dengan percepatan sama dengan nol.
Sedangkan pada saat simpangan maksimum, kecepatan massa akan sama dengan
nol dengan percepatan maksimum.
Gerakan massa akan berbentuk sinusoidal dengan simpangan maksimum
(amplitudo ) sebesar A. Waktu yang dibutuhkan untuk setiap siklusnya (periode)
adalah t. Dari bentuk sinusoidal seperti gambar diatas, maka gerakan sistem dapat
dibuat dalam persamaan :
sin nx A t (1.1.1)
Dimana n adalah frekuensi natural system dalam rad/s, yang diberikan dengan
persamaan :
t 2
n (1.1.2)
Kecepatan dan percepatan dari massa merupakan turunan pertama dan kedua dari
persamaan 1.1.1
K
M
A t
t
tAx
tAx
nn
nn
sin
cos2
(1.1.3)
Dengan memperhatikan persamaan untuk simpangan dan percepatan seperti
persamaan 1.1.1 dan 1.1.3 maka gerakan sistem dapat dinyatakan dalam
persamaan differensial orde dua
2nx x&&
atau
2nx x 0 &&
(1.1.4)
Secara matematis persamaan 1.1.4 mempunyai penyelesaian sebagai berikut :
sin cos1 n 2 nx A t A t (1.1.5)
dengan turunan pertamanya adalah
cos sin1 n n 2 n nx A t A t &
dimana A1 dan A2 adalah suatu konstanta yang sangat tergantung dari kondisi
awal system.
Jika kondisi pada awal ( t=0 ), masa memiliki simpangan (x) sama dengan x0 dan
kecepatan ( x ) sama dengan v0, maka harga A1 dan A2 masing-masing didapat :
01
n
2 0
vA
A x
&
Sehingga persamaan gerakan system dapat ditulis menjadi
sin cos0n 0 n
n
vx t x t
atau
cos tan
22 10 00 n
n 0 n
v vx x t
x
2. PERSAMAAN GERAKAN BERBAGAI MODEL SISTEM
2.1. SISTEM PEGAS – MASSA
Suatu pegas dengan kekakuan K, mengalami peregangan sebesar D ( defleksi
statis ) akibat gaya berat benda ( w = mg ) yang bekerja pada pegas. Pada kondisi
statis ini, benda/massa berada pada titik kesetimbangannya. Sesuai dengan
Hukum Newton, Pegas memberikan gaya reaksi terhadap gaya berat benda.
Besarnya gaya reaksi pegas sama dengan perkalian antara kekakuan pegas dengan
defleksi :
KD = mg (1.2.1)
Sehingga kekakuan pegas dapat dihitung :
mgK
D (1.2.2)
K K2
K
D
mm x
K(D+x)
mg
Jika massa diberi simpangan sebesar x dari titik kesetimbangannya dan kemudian
ber-osilasi (bergerak bolak-balik disekitar titik kesetimbangan), gaya yang terjadi
pada pegas akan akan berubah-ubah sesuai dengan posisi dari massa.
Dengan menggunakan Hukum Newton II, dan memberikan tanda positif untuk
arah gaya kebawah, maka gerakan dari pegas massa dapat dirumuskan menjadi :
( )xF mx
K x mg mx
D &&
&& (1.2.3)
karena KD = mg, persamaan ( 1.2.3 ) dapat ditulis menjadi :
mx Kx 0
Kx x 0
m
&&
&& (1.2.4)
Memperhatikan persamaan (1.1.4) dan (1.2.4) yang merupakan persamaan yang
ekuivalen, maka sistem pegas-massa ini memiliki frekuensi natural :
nK
m
(1.2.5)
2.1.1. Pegas Hubungan Seri
Jika dua buah pegas ( masing-masing memiliki kekakuan K1 dan K2 )
dihubungkan secara seri pada suatu sistem pegas-massa, maka masing-masing
K1
K2
D2
D1
m
K1
K2D
m
Ks
mg
mg
K1D
1
K2D
2
pegas akan mengalami defleksi sebesar D1 dan D2. Hal ini diakibatkan karena
setiap titik pada pegas akan bekerja gaya reaksi dari gaya berat ( mg ). Sedangkan
defleksi keseluruhan atau simpangan dari massa adalah sebesar D yang merupakan
penjumlahan defleksi dari masing-masing pegas. Hubungan antara kekakuan dan
defleksi dari masing-masing pegas dapat ditulis :
11
22
1 2
mg
K
mg
K
D
D
D D D (1.2.6)
Bila kedua pegas hubungan seri digantikan dengan sebuah pegas ekuivalen
dengan kekakuan Ks, defleksi yang terjadi sebesar :
s
mg
KD
(1.2.7)
Dengan mensubstitusikan persamaan 1.2.6 dan 1.2.7 maka didapat :
s 1 2
s 1 2
mg mg mg
K K K
1 1 1
K K K
(1.2.8)
Untuk hubungan seri sejumlah n-pegas, yang memiliki kekakuan K1, K2,……, Kn
dapat diganti dengan sebuah pegas dengan kekakuan Ks:
.....s 1 2 n
s n
i 1 i
1 1 1 1
K K K K
atau
1K
1K
(1.2.9)
2.1.2. Pegas Hubungan Paralel
Jika dua buah pegas ( masing-masing memiliki kekakuan K1 dan K2 )
dihubungkan secara paralel pada suatu sistem pegas-massa, maka masing-masing
pegas akan mengalami defleksi yang sama yaitu sebesar D yang merupakan
simpangan dari massa. Gaya reaksi dari gaya berat ( mg ) akan didistribusikan
pada kedua pegas tersebut masing-masing sebesar T1 dan T2. Besarnya masing-
masing gaya reaksi sangat tergantung dari kekakuannya masing-masing.
Hubungan antara kekakuan dan gaya reaksi dari masing-masing pegas dapat
ditulis :
1 1
2 2
1 2
T K
T K
mg T T
D D (1.3.10)
Bila kedua pegas hubungan paralel digantikan dengan sebuah pegas ekuivalen
dengan kekakuan Kp, gaya reaksi yang terjadi sebesar :
pT mg K D (1.2.11)
Dengan mensubstitusikan persamaan 1.2.10 dan 1.2.11 maka didapat :
p 1 2
p 1 2
K K K
K K K
D D D
(1.2.12)
K1 K2 K2K1
D
m
KP
mg
T1
K1D
m
T2
Untuk hubungan paralel sejumlah n-pegas, yang memiliki kekakuan K1, K2,……,
Kn dapat diganti dengan sebuah pegas dengan kekakuan Kp:
n
p ii 1
K K
(1.2.13)
2.2. SISTEM POROS
Suatu poros elastis terkait dengan sebuah piringan pada salah satu
ujungnya dan pada ujung yang lain tertanam pada suatu dinding. Piringan pejal
dengan massa M dan jari-jari R diputar pada sumbu vertikal sebesar q,
mengakibatkan poros mengalami puntiran sebesar q. Jika gaya pemutar dari
piringan dilepas akan terjadi osilasi akibat elastisitas dari poros.
Gerakan osilasi ini dapat dirumuskan dalam kesetimbangan momen dinamis yaitu:
0
0
q
J
K
KJ
JM
(1.2.13)
dimana :
J : inersia dari piringan
= MR2
K : kekakuan dari poros
= l
Gd
32
4
G : Modulus geser dari material poros
ld
2R
Mq
Memperhatikan persamaan (1.1.4) dan (1.2.13) yang merupakan persamaan yang
ekuivalen, maka sistem poros - piringan ini memiliki frekuensi natural :
J
Kn
(1.2.14)
2.3. PENDULUM
sin
M I
I MgL 0
q
q q
(1.2.15)
dimana : I = ML2
untuk harga q yang kecil maka sin q @ q.
sehingga persamaan 1.2.15 dapat dibuat menjadi :
2ML MgL 0
g0
L
q q
q q
(1.2.16)
Memperhatikan persamaan (1.1.15) dan (1.2.16) yang merupakan persamaan yang
ekuivalen, maka sistem pendulum ini memiliki frekuensi natural :
ng
L
(1.2.17)
Mg
L
q
Mg sin q
Sumbu - q
O
Suatu pendulum dengan massa M dan panjang lengan L berosilasi pada titik O
disekitar sumbu vertikal. Arah percepatan dari massa pendulum adalah sumbu - q,
yang arahnya selalu tegak lurus terhadap batang/lengan pendulum. Dari free body
diagram, kesetimbangan dinamis untuk momen torsi sistem didapat : : momen
inersia dari massa m
1. GETARAN KARENA GAYA HARMONIK
Eksitasi harmonik sering dihadapi dalam sistem rekayasa. Eksitasi ini
biasanya dihasilkan oleh ketidakseimbangan mesin-mesin yang berputar.
Walaupun eksitasi harmonik murni lebih jarang terjadi dibanding eksitasi periodik
atau eksitasi jenis yang lain, namun mempelajari sifat sistem yang mengalami
eksitasi harmonik adalah penting agar dapat respon sistem terhadap jenis eksitasi
yang lebih umum. Eksitasi harmonik dapat berbentuk gaya atau simpangan
beberapa titik dalam sistem.
Mula-mula akan diperlihatkan sistem dengan satu derajat kebebasan yang
mengalami redaman dan rangsangan oleh gaya harmonik F0 sin t seperti gambar
dibawah.
Dari diagram benda bebas persamaan diferensial gerakannya adalah :
tsinFkxxcxm O
K C
M
F0 sin tF0 sin t
Kx C
Penyelesaian dari persamaan ini terdiri dari dua bagian yaitu complimentary
function yang merupakan solusi persamaan homogen dan integral khusus. Dalam
hal ini complimentary function adalah getaran bebas teredam .
Penyelesaian khusus dari persamaan tersebut adalah osilasi keadaan tunak
(steady state) dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi eksitasi.
Penyelesaian dari PD diatas :
tsinDtcosC)tsinBtcosA(ex ddt)m2/c(
Dengan mengabaikan transient term, dan hanya memakai steady state term, maka
solusi PD diatas :
o22
o
o
180)tcos(X)tcos(Xx
90)tcos(X)tsin(Xx
)90)tcos(Xx
tsinDtcosCx
dimana : X : amplitudo osilasi
f : beda fase simpangan terhadap gaya eksitasi
Dengan mensubstitusi ke PD gerakannya :
tsinF)tcos(kX90)t(coscX180)t(cosmX Ooo2
Jika persamaan tersebut ditunjukkan secara grafik :
Dari grafik diatas didapat
KX
CX
M2XF0
t
KX - M2X
2n
n
2n
22n
O
222
O
222
O
222O
222O
)/(1
/2tan
)/2(])/(1[
k/FX
)k/c()k/mk(
k/FX
)c()mk(
FX
)c()mk(XF
)Xc()XmkX(F
Jadi persamaan amplitudo yang nondimensional menjadi
2n
22nO )/2(])/(1[
1
k/F
X
Dari persamaan – persamaan tersebut terlihat bahwa amplitudo nondimensional
dan fase getaran hanya merupakan fungsi dari rasio frekuensi /n dan faktor
redaman . Faktor redaman mempunyai pengaruh yang besar terhadap amplitudo
dan sudut fase pada frekuensi dekat resonansi.
2. GETARAN KARENA PUTARAN MASSA TAK SEIMBANG
Ketidak seimbangan pada mesin-mesin yang berputar merupakan sumber
eksitasi getaran yang biasa dijumpai.
K C
m
M
e
Perhatikan sistem pegas massa yang hanya dibatasi untuk hanya bergerak dalam
arah vertikal dan dirangsang oleh mesin yang berputar yang tidak setimbang.
Ketidak setimbangan tersebut ditunjukkan olrh massa eksentrik m dengan
eksentrisitase yang berputar dengan kecepatan sudut . Dengan mengambil x
sebagai simpangan massa yang tak berputar (M-m) dari posisi statis, maka
simpangan m adalah x + e sin t.
Jadi persamaan gerak adalah
xckx)tsinex(
dt
dmx)mM(
2
2
atau dapat disusun kembali menjadi
tsinmekxxcxM 2
Jelaslah bahwa persamaan ini identik dengan persamaan deferensial getaran
paksa karena gaya harmonik. Dengan mengganti FO = m e 2, maka :
2n
n
2n
22n
2
)/(1
/2tan
)/2(])/(1[
k/meX
Persamaan ini selanjutnya dapat diubah menjadi bentuk non dimensional
2
n22
n
2n
)/2(])/(1[
)/(
me
MX
3. GETARAN KARENA GERAKAN PENYANGGA
Dalam banyak hal sistem dinamik dieksitasi oleh gerak titik penyangga,
seperti pada gambar.
CK
Mx
M
y
K(x-y)
Simpangan harmonik dari titik penyangga adalah y dan simpangan massa M yaitu
x dari suatu acuan inersia.
Pada posisi yang telah disimpangkan, gaya-gaya yang membuat tak seimbang
disebabkan oleh redaman dan pegas, dan persamaan diferensial gerak menjadi
)yx(C)yx(KxM
dengan mensubstitusikan z = x – y, maka didapat :
tsinYMKzzCzM
yMKzzCzM
2
dengan y = Y sin t menggambarkan gerak dasarnya. Bentuk persamaan ini
identik dengan persamaan deferensial getaran paksa karena gaya harmonik.
Dengan mengganti FO = M2Y, maka :
2
222
2
mk
ctan
)c(]mK[
YmZ
)tsin(Zz
Bila gerak absolut massa diinginkan, maka x dapat dicari dari x = z + y. Dengan
menggunakan bentuk eksponensial untuk gerak harmonik diperoleh
tii)t(i
tii)t(i
ti
e)Xe(Xex
e)Ze(Zez
Yey
Dengan mensubstitusikan ke persamaan gerakan didapat
ti2
tii
2
2i
Yetimk
tikx
e)YZe(x
timk
YmZe
Dari persamaan terakhir, amplitudo keadaan steady-nya:
22
2
222
22
)c()mK(K
mctan
)c()mk(
)c(k
Y
X
4. ISOLASI GETARAN
Gaya-gaya penggetar yang ditimbulkan oleh mesin-mesin seringkali tak
dapat dihindari, namun pengaruhnya pada sistem dinamik dapat banyak dikurangi
oleh pegas yang dirancang dengat tepat, yang dikenal sebagai isolator.
Ketika massa berosilasi maka terjadi gaya reaksi dinamis pada pegas dan
redaman baik terhadap massa maupun pada struktur penyangga sistem tersebut.
Besarnya gaya ini sangat tergantung pada simpangan dari massa. Pada saat
simpangan sebesar x, maka besarnya gaya-gaya yang terjadi pada komponen
sistem adalah :
A. Gaya Pegas
)tsin(KXKx
B. Gaya Redaman
)tcos(XCxC
Dari kedua komponen gaya terlihat bahwa pada setiap harga t arah gaya antara
gaya pegas dan gaya redaman selalu tegak lurus. Sehingga penjumlahan vektor
dari kedua ini mengahasilkan suatu gaya yang ke struktur penyangganya.
Besarnya gaya trasmisibilitas (FT) ini adalah:
CK
M
2
nT
2T
22T
)2(1kXF
)k
c(1kXF
)Xc()kX(F
Perbandingan antara gaya trasmisibilitas dengan amplitudo gaya eksitasi
diistilahkan sebagai Transmision ratio. Sehingga besarnya Transmision ratio dapat
dijabarkan sebagai berikut :
2n
22n
2n
222
22
O
T
)/2())/(1(
)/2(1TR
)c()mk(X
)c(kXTR
F
FTR
Dari persamaan ini didapat bahwa besarnya gaya yang ditransmisikan sangat
tergantung dari nilai rasio frekuensi dan faktor redaman. Pada harga rasio
frekuensi dibawah 2 gaya yang ditransmisikan akan lebih besar dari gaya
eksitasi.
5. INSTRUMEN PENGUKUR GETARAN
Elemen dasar berbagai instrumen pengukur getaran adalah unit seismik pada
gambar diatas. Simpangan, kecepatan atau percepatan ditunjukkan oleh gerak
x
y
K C
M
massa yang digantungkan relatif terhadap kotak/framenya, tergantung pada
frekuensi yang digunakan. Untuk mengetahui sifat instrumen semacam itu,
perhatikan persamaan gerak massa m dalam persamaan berikut.
Persamaan gerakan sistem :
)yx(k)yx(cxm
dimana x dan y masing-masing adalah simpangan massa seismik dan simpangan
benda yang bergetar, yang mana kedua-duanya diukur terhadap suatu acuan
inersia tertentu. Misalkan z adalah simpangan relatif dari massa m, maka z = x –
y.
Dan dianggap benda yang bergetar bergerak sinusoidal :
y = Y sin t ; maka
tsinYmkzzczm 2
Dengan mensubstitusikan FO = m 2 Y, maka solusi steady state z = Z sin (t -
), hasilnya adalah :
2n
n2
2n
22n
2n
222
2
)/(1
/2
mk
ctan
/2)/(1
)/(Y
)c()mk(
YmZ
q
Sedangkan rasio amplitudo getaran relatif massa seismik dengan benda yang
bergetar, sesuai dengan prinsip getaran yang bersumber dari struktur penyangga di
dapat sebagai berikut :
222
22
)c()mk(
)c(k
Y
X
Sehingga dengan mendapatkan hasil pengukuran dengan amplitudo X, maka
persamaan gerakan dari benda yang bergetar dapat dihitung.