PENGANTAR RANCANGAN PERCOBAANAsumsi-Asumsi yang Melandasi Analisis Ragam (ANOVA)

Disusun Oleh:1. Zidni Askar Haroki1350905001110102. Ella Rizki Yuliastuti1350905001110123. Aymang Ayu Indrawati1350905011110384. Askin Nur Habibah1350905011110445. Reza Nugraha Pratama1350905011110506. Nadia Faustina Quentin1350905071110087. Allia Samson Saufit135090507111014

PROGRAM STUDI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS BRAWIJAYAMALANG2014ASUMSI-ASUMSI YANG MELANDASI ANALISIS RAGAM (ANOVA)

1. Gambaran UmumAnalisis ragam pertama kali diperkenalkan oleh R.A. Fisher. Tujuan semula adalah untuk memudahkan analisis dan interpretasi data yang berasal dari penelitian-penelitian dalam bidang pertanian dan biologi, baik melalui percobaan lapangan maupun laboratorium. Saat ini, analisis ragam tidak hanya dipergunakan dalam bidang pertanian dan biologi, tetapi juga dalam bidang-bidang lain termasuk industri, sosial ekonomi, psikologi, pendidikan dan lain-lain.Analisis ragam teknik statistika. Oleh karena itu, persyaratan-persyaratan yang dikehendaki oleh teknik tersebut harus terpenuhi agar pemakaiannya terhadap sesuatu gugus data dapat dianggap sah. Sayangnya, meskipun misalnya kita mampu mengendalikan percobaan yang kita lakukan, tetapi tidak mungkin kita dapat sepenuhnya mengendalikan proses yang memungkinkan kita memperoleh data tersebut. Misalnya, eskiun pemberian pupuk N sebanyak 100 kg/ha dan pupuk P sebanyak 50 kg/ha masing-masing dapat menaikkan hasil padi sebanyak 2,0 ton/ha dan 0,5 ton/ha. Mungkin hasilnya lebih besar dari 2,5 ton atau justru lebih kecil, hanya 1 ton/ha misalnya. Proses yang menyebabkan hasilnya lebih besar atau kebih kecil dari 2,5 ton itulah yang tidak bisa kita kendalikan. Oleh Karena itu, kita tidak akan mengatakan persyaratan yang diminta untuk sahnya analisis ragam tetapi asumsi yang dikehendaki agar hasil analisis ragam tersebut dapat dipercaya.Asumsi-asumsi yang diperlukan untuk sahnya analisis ragam atas suatu gugus data adalah sebagai berikut:a. Pengaruh perlakuan dan lingkungan harus bersifat aditif (saling menambah)b. Galat percobaan harus bebas sesamanya(kebebasan galat), yang artinya bahwa peluang galat sesuatu pengamatan mempunyai nilai tertentu harus tidak tergantung pada nilai-nilai galat pengamatan lainnyac. Galat-galat percobaan harus mempunyai ragam umum, katakanlah (kehomogenan ragam)d. Galat-galat percobaan haruslah tersebar normal.Butir b, c dan d dapat diringkas dengan catatan : , yang artinya galat percobaan , tersebar secara normal dan bebas satu sama lain dengan nilai tengah 0 dan ragam .Tidak terpenuhinya satu atau beberapa asumsi diatas dapat mempengaruhi taraf nyata dan kepekaan dari uji F atau uji t (yitnosumarto,1993:168-169). Sehingga dapat mempengaruhi ketidaksahnya keputusan yang didapat. Penjelasan mengenai asumsinya akan dibahas dibawah ini secara jelas.a. Uji KeaditifanPada kesempatan kali ini kami akan menjelaskan bagaimana cara menggunakan uji Ketakaditifan. Uji Ketakaditifan ini digunakan untuk memeriksa apakah data percobaan memenuhi asumsi keaditifan (pengaruh aditif atau tidak). Uji ini perlu dilakukan sebelum menganalisis ragam data. Sebagai contoh pengujian terhadap asumsi keaditifan ini, digunakan data hasil pengamatan berikut ini :

Sebagai langkah pertama hitung nilai simpangan perlakuan (di) dan nilai simpangan kelompok (dj). Berikut ini perhitungan untuk nilai simpangan perlakuan A :

Dengan cara yang sama hasil hitung nilai simpangan perlakuan untuk B, C., D., dan E . yaitu berturut-turut -0,17, -0,02, 0,21 dan 0,34. Kemudian hitung nilai simpangan kelompok (dj). Untuk nilai simpangan kelompok I (dI) dihitung dengan cara berikut ini : Dengan cara yang sama hasil perhitungan nilai simpangan kelompok untuk kelompok II dan III . yaitu berturut-turut -0,08 dan 0,15. Dan hasil perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada tabel berikut ini :

Selanjutnya menghitung Nilai Q. Caranya perhatikan tabel di bawah ini. Hitung sesuai dengan rumus yang ada di judul kolom tabel tersebut.

Kemudian hitung analisis ragam terhadap data pengamatan. Dan hasilnya adalah berikut ini :

Selanjutnya hitung Jumlah kuadrat (JK) Tak-aditif dengan cara seperti berikut ini :

Dan hitung Kuadrat Tengah (KT) Tak-aditif = JK Tak-aditif / db Tak-aditif = 0,1592 / 1 = 0,1592.Selanjutnya hitung Jumlah kuadrat (JK) dan Kuadrat Tengah (KT) Pengujian (sisa) : JK Pengujian (sisa) = JK Galat JK Tak-aditif = 0,4937 0,1592 = 0,3344 KT Pengujian (sisa) = JK Pengujian (sisa) / db = 0,3345 / 7 = 0,0478 Dan anda hitung F hitung = KT Tak-aditif / KT Pengujian (sisa) = 0,1592 / 0,0478 = 3,33. Masukkan semua hasil perhitungan tersebut ke dalam tabel analisis ragam seperti berikut ini :

Perhatikan derajad bebas (db) Tak-aditif = 1 dan db Pengujian (sisa) = 7. Bila dijumlahkan kedua db tersebut sama dengan db galat = 8. Jadi kedua db tersebut merupakan penguraian dari db galatnya. Seandainya db galat anda 12, maka db Tak-aditif = 1 dan db Pengujian (sisa) = 11.Karena nilai F hitung untuk Tak-aditif = 3,33 lebih kecil dari nilai F tabel 5% dan 1%, maka dengan demikian dapat disimpulkan data anda aditif dan layak untuk dianalisis ragam. Seandainya hasil pengujian menunjukan tidak aditif (F hitung lebih dari F tabel), maka anda harus mentransformasi data anda dengan transformasi Logaritma.

Contoh Transformasi LogaritmaBeberapa buku ada yang menyebutnya dengan transformasi Log X. Transformasi Logaritma digunakan apabila data anda tidak memenuhi asumsi pengaruh aditif. Kalau X adalah data asli anda, maka X (X aksen) adalah data hasil transformasi anda dimana X = Log X. Jadi X = X. Ada beberapa hal yang perlu anda perhatikan dalam penggunaan transformasi logaritma ini yaitu : Apabila data asli anda menunjukkan sebaran nilai kurang dari 10 atau nilai mendekati nol, maka anda gunakan transfromasi log X + 1. Apabila data anda banyak mengandung nilai nol, maka sebaiknya gunakan transformasi yang lain, misalnya transformasi akar. Apabila data anda banyak mendekati nol (misalnya bilangan desimal), maka semua data dikalikan 10 sebelum dijadikan ke logaritma. Jadi X = log (10X). Misalnya X = 0,12 setelah di taransformasikan X akan menjadi X = log (10 x 0,12) = 0,079.

Sebagai contoh penggunaan transformasi logaritma ini, menggunakan data hasil pengamatan dari percobaan pengendalian Helicoverta armigera dengan penyemprotan isolat virus dan bakteri pada tanaman kapas. Hasil percobaan berupa populasi H. armigera per petak seperti pada tabel berikut ini :

Dan hasil analisis ragam data asli adalah berikut ini :

Hasil pengujian BNT5% terhadap data asli sebagai berikut :

Kemudian lakukan transformasi logaritma dengan rumus Log X. Misalnya untuk data perlakuan Ha NPV-Asb kelompok I, X = 20, maka hasil transformasinya adalah akar Log 20 = 1,30. Dan selanjutnya hingga data pada perlakuan Kontrol kelompok IV. Berikut ini adalah data hasil transformasi log X dari data asli :

Dan hasil analisis ragam dari data transformasi adalah berikut ini :

Hasil pengujian BNT5% terhadap data transformasi sebagai berikut :

Apabila kedua analisis ragam tersebut digabungkan, maka akan tampak perbedaan hasil analisis dari kedua data tersebut seperti berikut ini :

Perhatikan ternyata setelah data memenuhi asumsi analisis ragam, terdapat peningkatan nilai F hitung dari 27,84 menjadi 40,11. Dan apabila kedua hasil uji BNT5% digabungkan, maka akan tampak perbedaan hasil analisis pengujian dari kedua data tersebut seperti berikut ini :

Dari tabel di atas terlihat adanya perbedaan hasil pengujian antara data asli dengan data transformasi dimana perlakuan Ha NPV-Asb dan Ha NPV-Tub yang tadinya tidak berbeda nyata tetapi setelah data memenuhi asumsi analisis ragam kedua perlakuan tersebut berbeda nyata. Dalam hal ini tentu saja harus menggunakan hasil BNT pada data transformasi karena hasil itulah yang memberikan keadaan sesungguhnya dari percobaan.

b. Kebebasan Galat.Asumsi kebebasan galat ini biasanya bisa terpenuhi apabila sudah melakukan pengacakan dengan prinsip-prinsip perancangan percobaan terhadap satuan percobaan. Jadi apabila susunan satuan percobaan tersusun secara sistematis, maka kemungkinan asumsi kebebasan galat akan dilanggar.Galat adalah kesalahan di dalam suatu percobaan. Setiap percobaan pasti ada galat atau kesalahan. Tapi kesalahan yang seperti apa yang dimaksud? Kesalahan di sini maksudnya adalah kesalahan yang diakibatkan pengaruh acak dari percobaan. Kalau kesalahan itu terjadi sebagai akibat pengaruh acak dari percobaan, dengan catatan pengacakan perlakuan yang dilakukan sesuai dengan prosedur statistik yang benar, maka kesalahan tersebut akan dibenarkan atau diterima secara statistik dan kesalahan itu akan bergerak saling bebas, artinya kesalahan dari suatu pengamatan tidak berkaitan atau bergantung kepada yang lain. Tetapi apabila menempatkan satuan percobaan secara sistematis artinya tidak ditempatkan secara acak, maka akan menyebabkan tidak terpenuhinya asumsi kebebasan galat. Kalau ini terjadi, maka data percobaan menjadi tidak layak untuk dianalisis ragam. Karena dengan pengacakan yang tepat biasanya akan menjamin kebebasna galat percobaan, maka cara yang paling mudah untuk mendeteksi ketidakbebasan galat adalah dengan mengamati penataan percobaan.Sebagai ilustrasi, berikut ini kami lampirkan contoh pola yang sistematis dalam susunan perlakuan dari satu ulangan ke ulangan lainnya :

Dari gambar tersebut terlihat penataan suatu rancangan sistematis di mana beberapa pasangan perlakuan tertentu seperti A dan B selalu bedekatan satu dengan lainnya dalam semua ulangan dan pasangan B dan E selalu dipisahkan dengan dua petakan. Karena galat percobaan petak yang berdekatan cenderung serupa daripada yang lebih jauh, maka galat pada petak A dan B memungkinkan lebih berhubungan dari pada antara petak perlakuan B dan E.Untuk menguji asumsi kebebasan galat dari suatu percobaan dapat dilakukan dengan melihat plot sebaran data.

c. Uji Homogenitas Ragam.Galat percobaan memiliki ragam yang homogen.Misalnya dalam rancangan acak lengkap, komponen galat yang berasal dari perlakuan harus menduga ragam populasi yang sama. Kadang-kadang bila nilai tengah satu atau dua perlakuan lebih tinggi dari yang lainnya, akan mengakibatkan keragaman galat yang tidak homogen.Uji formal yang dapat digunakan untuk pengujian kehomogenan ragam galat adalah dengan uji Bartlett.Misalkan sampel berukuran n1,n2,,nk dengan data Yij = (I = 1,2,,k dan j = 1,2,,nk) dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Tabel dibawah ini. selanjutnya sampel sampel dihitung variansnya masing-masing yaitu , , , .Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji bartlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel sebagai berikut :

Dari tabel diatas hitung nilai-nilai yang dibutuhkan : Varians gabungan dari semua sampel

Harga satuan B dengan rumus :

Uji bartlett digunakan statistik chi-kuadrat yaitu :

Dengan ln 10 = 2.3026 Signifikasi :Jika maka Ho ditolakJika maka Ho diterimaDimana Jika didapatkan dari tabel distribusi chi-kuadrat denganpeluang (1-) dan dk = (k-1).Apabila tolak Ho maka dapat dilakukan transformasi akar. Contoh Transformasi AkarBeberapa buku ada yang menyebutnya dengan transformasi akar kuadrat. Transformasi akar digunakan apabila data tidak memenuhi asumsi kehomogenen ragam. Dengan kata lain transformasi akar berfungsi untuk membuat ragam menjadi homogen. Sebagai contoh penggunaan transformasi akar ini, digunakan data hasil pengamatan dari percobaan pengendalian Helicoverta armigera dengan parasit Trichogrammatoide armigera pada tanaman kapas. Hasil percobaan berupa populasi H. armigera pada tanaman umur 90 hari seperti pada tabel berikut ini :

Dan hasil analisis ragam data asli adalah berikut ini :

Hasil pengujian BNT5% terhadap data asli sebagai berikut :

Kemudian lakukan transformasi akar dengan rumus akar X + 0,5. Hal ini karena sebaran data tersebut kurang dari 10. Misalnya untuk data perlakuan A kelompok I, X = 3, maka hasil transformasinya adalah akar 3 + 0,5 = 3,5 = 1,87. Dan selanjutnya hingga data pada perlakuan D kelompok IV. Berikut ini adalah data hasil transformasi akar dari data asli :

Dan hasil analisis ragam dari data transformasi adalah berikut ini :

Hasil pengujian BNT5% terhadap data transformasi sebagai berikut :

Apabila kedua analisis ragam tersebut digabungkan, maka akan tampak perbedaan hasil analisis dari kedua data tersebut seperti berikut ini :

Perhatikan ternyata setelah data memenuhi asumsi analisis ragam, terdapat peningkatan nilai F hitung dari 22,07 menjadi 27,52. Dan apabila kedua hasil uji BNT5% digabungkan, maka akan tampak perbedaan hasil analisis pengujian dari kedua data tersebut seperti berikut ini :

Dari tabel di atas terlihat adanya perbedaan hasil pengujian antara data asli dengan data transformasi dimana perlakuan A dan B yang tadinya tidak berbeda nyata tetapi setelah data memenuhi asumsi analisis ragam terlihat semua perlakuan berbeda nyata satu sama lainnya. Dalam hal ini tentu saja anda harus menggunakan hasil BNT pada data transformasi karena hasil itulah yang memberikan keadaan sesungguhnya dari percobaan.

Tutorial minitab untuk homogenitas data1. Inpukan data ke cell yang tersedia seperti gambar di bawah ini

2. Klik Stat > Basic Statistics > 2 variances

Pilih Samples in different columns pada kotak kolom Data, pada kotak First pilih C1 dan C2 pada kotak Second. Klik OK3. Diperoleh output sebagai berikut:

Jika menggunakan uji F, diketahui bahwa Pvalue (0,899) > (0.05), maka terima Ho. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ragam semua perlakuan adalah sama.

d. Uji Normalitas.Maksud kenormalan di sini adalah data percobaan harus menyebar secara normal. Artinya data yang tidak menyebar secara normal tidak layak untuk dianalisis ragam. Secara visual kenormalan galat dapat dilihat dari plot peluang normal. Plot peluang normal ini dinamakan plot kuartil-kuartil (Plot Q-Q). Prosedur pemerikasaan kenormalan data dapat menggunakan plot Q-Q. Adapun uji formal yang dapat digunakan untuk menguji apakah suatu data menyebar normal adalah uji Lilliefors. Data yang akan diasumsikan berasal daricontoh acak berukuran n, yang fungsi sebarannya, F(x), belum diketahui dengan nilai parameter Dalam uji ini data disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar.Hipotesis yang diuji :H0: Populasi contoh menyebar normal.H1: Populasi contoh tidak menyebar normal.Langkah langkah adalah sebagai berikut :a. Membuat tabel kerja dengan 7 kolom.b. Memasukan nilai atau skor pada tabel kerja secara berurutan.c. Mencari nilai Z score, dengan rumus : .d. Menentukan Nilai Z tabel {F(z)} dengan menggunakan tabel Normal Baku dari O ke Z berdasarkan nilai Z score.e. Menentukan S(z) dengan rumus f. Menghitung harga Lilliefors hitung dengan rumus : Lh = |F(z) S(z)|g. Mencari nilai Lilliefors terbesar sebagai Lhitung h. Menentukan harga Lillefors tabel (Lt ) dengan rumus : (, n)i. Membuat kesimpulan : Jika harga Lh < Lt, maka data berdistribusi normalJika harga Lh > harga Lt, maka data tidak berdistribusi normal NOMORNILAI (X)f kumZ = (X - M)/SDF (Z)S (Z)| F (Z) - S(Z) |

1......

......

......

JUMLAH.Lh = > Lt (0.05; ) = .. maka data berdistribusi .

MEAN.

SD.

Contoh soal :Tabel kerja dengan menggunakan uji liliefors :ResponResidualZiF(Zi)S(Zi)|F(z)-S(z)|

23-24-241.3904E-1270.0833333330.083333

37-20.25-20.251.7762E-910.1666666670.166667

33-16.25-16.251.11682E-590.250.25

40-7-71.27981E-120.3333333330.333333

48-5.25-5.257.60496E-080.50.5

48-5.25-5.257.60496E-080.50.5

575.755.750.9999999960.5833333330.416666662

598.758.7510.6666666670.333333333

62101010.750.25

6815.7515.7510.8333333330.166666667

6916.7516.7510.9166666670.083333333

702121110

1. Hipotesis Ho : sampel berdistribusi normalH1 : sampel tidak berdistribusi normal2. Alfa = 0.053. PerhitunganLo=0.5L0,05;12=0.2424. KeputusanLo > Ltab : Tolak H05. KesimpulanDengan taraf nyata sebesar 0.05 dapat dibuktikan bahwa sampel diatas tidak memiliki distribusi normalTutorial MinitabUntuk uji normalitas data, kita dapat menggunakan software Minitab dengan menggunakan uji kolmogrov-smirnov. Berikut tutorialnya dengan menggunakan Minitab :

1. Masukkan residual dari data yang ingin kita uji. Sebelumnya, untuk mencari residual dari sebuah data, kita bisa menggunakan menuStat-Anova-OneWay(apabila data yang kita peroleh RAL)-masukkan variabel respon-pilih storage (pada kanan bawah)-centang storage-pilih OK.

2. Setelah kita mengetahui nilai residualnya, baru kita lakukan uji kolmogorov-smirnov dengan klik Stat-Basic Statistics-Normality test-centang Kolmogorv smirnov

3. Hasil ouput adalah sebagai berikut :

Dari grafik diatas, diperoleh bahwa nilai KS(0.148) < Pvalue(0.150). Maka Ho ditolak, sehingga dapat disimpulkan bahwa sampel data tersebut tidak berdistribusi normal.

e. Transformasi Data yang bisa digunakan selain yang telah dijelaskan sebelumnyaTransformasi Arcsin Beberapa buku ada yang menyebutnya dengan transformasi Angular. Transformasi Arcsin digunakan apabila data dinyatakan dalam bentuk persentase atau proporsi. Umumnya data yang demikian mempunyai sebaran binomial. Bentuk transformasi arcsin ini biasa disebut juga transformasi kebalikan sinus atau transformasi arcus sinus. Ada beberapa hal yang perlu anda perhatikan dalam penggunaan transformasi arcsin ini yaitu : Apabila data asli anda menunjukkan sebaran nilai antara 30% - 70%, tidak memerlukan transformasi. Apabila data asli anda menunjukkan sebaran nilai antara 0% - 30% dan 70% - 100%, maka lakukan transformasi arcsin. Apabila data anda banyak yang bernilai nol, maka gunakan transformasi arcsin akar (% + 0,5). Sebagai contoh penggunaan transformasi arcsin ini, kami gunakan data hasil pengamatan dari percobaan lima macam fungisida A, B, C, D, dan E untuk pengendalian cendawan Rhizoctinia pada tanaman kenaf. Persentase serangan yang diamati seperti pada tabel berikut ini :

Dan hasil analisis ragam data asli adalah berikut ini :

Hasil pengujian BNT5% terhadap data asli sebagai berikut :

Karena data menyebar antara 4% - 29%, maka data ditransformasi ke arcsin %. Misalnya untuk data perlakuan A kelompok I, X = 4 atau 0,04, maka hasil transformasinya adalah arcsin 0,04 = 11,53. Dan selanjutnya hingga data pada perlakuan El kelompok IV. Berikut ini adalah data hasil transformasi akar dari data asli :

Dan hasil analisis ragam dari data transformasi adalah berikut ini :

Hasil pengujian BNT5% terhadap data transformasi sebagai berikut :

Apabila kedua analisis ragam tersebut digabungkan, maka akan tampak perbedaan hasil analisis dari kedua data tersebut seperti berikut ini : Perhatikan ternyata setelah data memenuhi asumsi analisis ragam, terdapat peningkatan nilai F hitung dari 35,98 menjadi 55,94. Dan apabila kedua hasil uji BNT5% digabungkan, maka akan tampak perbedaan hasil analisis pengujian dari kedua data tersebut seperti berikut ini :

Dari tabel di atas terlihat adanya perbedaan hasil pengujian antara data asli dengan data transformasi dimana perlakuan A dan B yang tadinya tidak berbeda nyata tetapi setelah data memenuhi asumsi analisis ragam kedua perlakuan tersebut berbeda nyata. Begitu juga dengan perlakuan D da E. Dalam hal ini tentu saja harus menggunakan hasil BNT pada data transformasi karena hasil itulah yang memberikan keadaan sesungguhnya dari percobaan.

Lampiran-LampiranLampiran 1

Lampiran 2

Lampiran 3

Lampiran 4

Lampiran 5

Lampiran 6Pertanyaan dan jawaban dari sesi tanya jawab:1. Rizki Nur Rahman Pertanyaan : apakah transformasi digunakan saat tolak H0? Kenapa harus ditransformasi? Dan berikan contoh transformasi!Jawaban : Ditransformasikan, karena agar data yang digunakan tidak asal dan bersifat valid, agar analisis ragam dapat dipercaya. Contohnya: transformasi logaritma, misalnya X1=5,3>Log x+1=6,3

2. R Tri KurniawatiPertanyaan : mana yang benar H0: alfa=0 dan H1: alfa0 atau berdasarkan presentasi?. Log x+1, log x dulu baru ditambah 1 atau langsung logx+1Jawaban : untuk hipotesis awal keduanya sama benarnya. Untuk logaritmanya langsung logx+1

3. M Yuyud AnizarPertanyaan : uji normalitas dibagi menjadi 7 kolom, kenapa?Jawaban : itu kesalahan dari kelompok kita, seharusnya dibagi 5 kolom,

DAFTAR PUSTAKA

Yitnosumarto, Suntoyo. 1993. Percobaan perancangan, analisis, dan interpretasinya. Gramedia Pustaka Utama: Jakarta.http://abdulsyahid-forum.blogspot.com/2009/04/asumsi-asumsi-dasar-analisis-ragam.htmlhttp://abdulsyahid-forum.blogspot.com/2009/04/transformasi-data.htmlhttp://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-normalitas-dan-homogenitas-ri.pdfhttp://mayanneliese.files.wordpress.com/2012/10/uji-homogenitas.pdfhttp://digensia.wordpress.com/2012/08/31/uji-levene/http://www.slideshare.net/DianCArisona/kebebasan-galathttp://eprints.uny.ac.id/1867/1/INA_ANTASARI_06305141007.pdf