Page 1 of 22 - · PDF fileContoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o,...

of 22

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Kegiatan Belajar 3

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat

a. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri

b. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri

B. Uraian Materi 3

Persamaan Trigonometri

a. Sin x = sin p, cos x = Cos p, tan x = tan p

Pada dasarnya fungsi trigonometri adalah merupakan fungsi priodik, yaitu fungsi yang setiap

satu priode, nilai-nilainya berulang, maka untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

dengan sudut derajat dapat digunakan sifat-sifat:

� Sin ax = sin po maka x = p

o + k. 360

o atau

x = (180o – p

o) + k. 360

o

� Cos x = cos po maka x = p

o + k. 360

o atau

x = – po + k. 360

o ⇒ x = (360 – p

o) + k. 360

o

� Tan x = Tan po maka x = p

o + k. 180

o

Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat:


o + k.2π atau

x = (π – po) + k. 2π

� Cos ax = Cos po maka x = p

o + k. 2π atau

x = - po + k.2π ⇒ x = (2π – p

o) + k.2π

� Tan x = tan po maka x = p

o + k. π

Contoh

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o, untuk 0 ≤ x ≤ 360

o

Penyelesaian

Sin x = sin 45o atau Sin x = sin (180 – 45)

o

x = 450 + k. 360

o atau x = (180

o – 45

o) + k.360

o

of 22



� Untuk k = 0 maka

x = 45o + 0.(360

o) atau x = 135

o + 0.(360

o)

x = 45o atau x = 135

o

� Untuk k = 1, maka

x = 45o + 1(360

o) atau x = 135

o + 1 (360

o)

x = 405o atau x = 495

o

untuk k = 1 tidak memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o adalah {45

o, 135

o}

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 32

1cos =x , untuk 0

o ≤ x ≤ 720

o

Penyelesaian

32

1cos =x

cos x = cos 30o

x = 30o + k. 360

o atau x = - 30

o + k. 360

o


x = 30o + 0 (360

o) atau x = - 30 + 0 (360

o)

x = 30o atau x = - 30 → (tidak memenuhi)


x = 30o + 1 (360

o) atau x = - 30

o + 360

o

x = 390o atau x = 330

o


x = 30o + 2 (360

o) atau x = - 30

o + 2 (360

o)

x = 30o + 720

o atau x = - 30

o + 720

o

x = 750o (tidak memenuhi) atau x = 690

o


x = 300 + 3 (360

o) atau x = - 30

o + 3 (360

o)


o (tidak memenuhi)

Jadi nilai x yang memenuhi adalah {30o, 330

o, 390

o, 690

o}

of 22



3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360

o

Penyelesaian

2 sin x = 1

sin x = ½

sin x = sin 30o

x = 30o + k. 360

o atau x = (180

o – 30

o) + k. 360

o


x = 30o atau x = 150

o


x = 30o + 360

o atau x = 150

o + 360

o


o (tidak memenuhi)

Jadi nilai x yang mmenuhi adalah {30o, 150

o}

4. Nilai dari sin 1.140o adalah…

Penyelesaian

sin 1.140o = sin (60

o + 3 x 360

o)

= sin 60o

= 32

1

5. Nilai dari

− π

3

7sin adalah…

Penyelesaian

32

1

3sin

2.23

sin

3

7sin

3

7sin

−=

−=

+−=

−=

−

π

ππ

ππ

of 22



6. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( ) ππ

π 20,3

cottan ≤≤=− xuntukx

Penyelesaian

( )

( )

( )

( )

ππ

πππ

ππ

π

ππ

πππ

πππ

ππ

.6

7

.6

.6

6

32

32tantan

3cottan

kx

kx

kx

x

x

x

x

+=⇒

++=⇒

+=−⇒

=−⇒

−=−⇒

−=−⇒

=−

� Untuk k =0, maka 6

7π=x

� Untuk k =1, maka ( )memenuhitidakxx6

13

6

7 ππ

π=⇒+=

Jadi nilai x yang memenuhi adalah

6

7π

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari ππ 22;cos3

1sin ≤<−= xuntukxx

Penyelesaian

ππ

ππ

ππ

π

π

πππ

28

3

4

3.

223

4

23

1

23

1

2sin

3

1sin

20

0222

×+=⇒

=⇒=⇒

=+⇒−=⇒

−=⇒

≤<

<<−≤<−

kx

xx

xxxx

xx

x

xx

of 22



� Untuk k = - 2, maka

( )( )

( )memenuhitidakx

x

8

29

228

3

π

ππ

−=

−+=

atau

( )( )

( )memenuhitidakx

x

8

19

228

3

π

πππ

−=

−+

−=

� Untuk k = - 1, maka

8

11

8

13

)1(28

52

8

3

ππ

ππ

ππ

−=−

=

−+=−=

xataux

xataux


8

5

8

3 ππ== xataux


( ) ( )memenuhitidakxataumemenuhitidakx

xataux

8

21

8

19

28

52

8

3

ππ

ππ

ππ

==

+=+=

Jadi nilai x yang memenuhi adalah

−−

8

5,

8

3,

8

113,

8

13 ππππ

c. Persamaan Trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c adalah dengan

cara menggubah bentuk a sin x + b cos x = c menjadi k cos (x – ά) = c.

Untuk menggubah bentuk tersebut tersebut menggunakan aturan berikut :

Cos (x – ά) = cosx. Cos ά + sin x. sin ά

Sehingga:

a sin x + b cos x = k cos (x – ά)

= k (cos x. cos ά + sin x . sin ά)

= (k. cos ά) cos x + (k. sin ά) sin x

Maka

a = k sin ά dan b = k. cos ά

kita telah mempelajari identitas trigonometri bahwa cos2 ά + sin

2 ά = 1, maka

of 22



a2 + b

2 = (k sin ά)

2 + (k. cos ά)

2

a2 + b

2 = k

2 (sin

2 ά + cos

2 ά)

a2 + b

2 = k

2

karena a = k. sin ά dan b = k. cos ά maka

b

a

berlakumakak

bdan

k

a

==

==

α

αα

αα

cos

sintan

,cossin

Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa

1. untuk menentukan nilai k adalah

22bak +=

2. untuk menentukan ά adalah

=

−

b

a1tanα

Jadi untuk menyelesaikan persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan

persamaan ( )

=⇒=

+=−

−

b

a

b

a

bakxk

1

22

tantancos.

ααα dengan syarat

≤

≤≤−≤

22kc

kckkc

Contoh

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 cos x + 2 sin x = 2; untuk 0o

≤ x ≤ 360o.

Penyelesaian

Persamaan cos x + sin x = 1 diubah ke bentuk k.cos (x – ά) = c

a = 1; b = 1; c = 1

2

11 22

22

=

+=

+=

k

k

bak

( )oo 22545

1tan

1

1tan

1

1

=∨=

=

=

−

−

αα

α

α

of 22



( )

( )

( ) ( )

oo

oo

o

oo

oooo

oooo

o

o

xatauTMxk

xatauxk

kxataukx

xataux

xataux

xataux

x

xxx

360)(4501

0900

360.)360360(360.90

360cos90

315cos454545

315cos45cos45cos45cos

22

145cos

145cos.21sincos

==⇒=

==⇒=

+−=+=⇒

==⇒

=−=−⇒

=−=−⇒

=−⇒

=−⇒=+

Jadi himpunan penyelesaian adalah {0o, 90

o, 360

o}

2. Tentukan batas-batas p agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan

Penyelesaian

Agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan syaratnya adalah

≤

≤≤−≤

22kc

kckkc

( ) ( )

( )( )

11

011

01

012

12

12

2

22

22

222

≤≤−

≤−+

≤−

≤−−

+≤

−+≤

p

pp

p

pp

pp

pp

Jadi agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya 11 ≤≤− p

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x - sin x = 2 untuk 0 < x ≤ 360

Penyelesaian

( )

( ) ( )2

31

cos2sincos3

22

=

+−=

=−⇒=−

k

k

cxkxx α

of 22



( )

( )

( ) ( )

)(645)(3751

285150

360.285360.15

28564515375

31533045330


2

2330cos

2330cos2

330150

33

1tan

TMxTMxk

xxk

kxkx

xxatauxx

xataux

xataux

x

x

o

o

ooo

oo

oooo

oo

=∨=⇒=

=∨=⇒=

+=∨+=

=⇒==⇒=

=−=−

=−=−

=−

=−

=∨=

−=

αα

α

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {15o, 285

o}

c. Persamaan Trigonometri yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep

Persamaan Kuadrat

Persamaan trigonometri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan

kuadrat adalah persamaan trigonometri yang menggandung sudut rangkap.

Untuk sudut rangkap yaitu:

x

xx

x

x

xx

x

xxx

2

2

2

22

tan1

tan22tan

1cos2

sin21

sincos

2cos

cossin22sin

−=•

−

−

−

=•

=•

o

o

o

Contoh

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 sin2x + sin x – 1 = 0; untuk 0

o ≤ x ≤ 2π

Penyelesaian

2 sin2x + sin x – 1 = 0

Kita mislakan sin x = p, maka

2p2 + p – 1 = 0

(2p -1)(p + 1) = 0

2p – 1 = 0 atau p + 1 = 0

of 22



p = ½ atau p = - 1

sehingga

� Untuk p = ½

sin x = ½

)(6

17)(

6

131

6

5

60

2.6

32.

6

6

3sinsin

6sinsin

TMxatauTMxk

xatauxk

kxataukx

xataux

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

==⇒=

==⇒=

+=+=⇒

==⇒

� Untuk p = - 1

2

3

2.2

3

2

3sinsin

1sin

π

ππ

π

=⇒

+=⇒

=⇒

−=⇒

x

kx

x

x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

2

3,

6

5,

6

πππ

2. Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x − 5 cos x = 2 dengan 0 < x < 360 adalah…

Penyelesaian

cos 2x − 5 cos x = 2

Bentuk cos 2x = 2 cos2 x – 1

⇒ (2 cos2 x – 1) – 5 cos x = 2

⇒ 2 cos2 x – 5 cos x -1 -2 = 0

⇒ 2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0

Missal cos x = m

⇒ 2 m2 – 5 m – 3 = 0

⇒ (2m + 1)(m – 3) = 0

⇒ 2m + 1 = 0 atau m – 3 = 0

⇒ m = - ½ atau m = 3

of 22



� Untuk m = - ½

cos x = m

cos x = - ½

cos x = cos 60o

x= 60o

x = (180o - 60

o) + k. 360

o atau x = (180

o + 60

o) + k. 360

o

k= 0 ⇒ x = 120o atau x = 240

o

k = 0 ⇒ x = 480o atau x = 600

o

� Untuk m = 3

cos x = 3 (tidak ada x yang mmenuhi)

Jadi himpunan penyelesaian adalah {120o, 240

o}

3. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah

Penyelesaian

cos 2x + sin x = 1

Bentuk cos 2x = 1 – 2 sin2 x

⇒ 1 – 2 sin2 x + sin x – 1 = 0

⇒ - 2 sin2 x + sin x = 0 ⇒ 2 sin

2 x – sin x = 0

Missal sin2 x = y

⇒ 2y2 – y = 0

⇒ y(2y – 1) = 0

⇒ y = 0 atau (2y – 1) = 0

⇒ y = 0 atau y = ½

� Untuk y = 0

Sin x = 0

Sin x = sin 0o atau sin x = sin 180

o

x = 0o + k. 360

o atau x = 180 + k. 360

o

x = 0o atau x = 180

o

� Untuk y = ½

Sin x = sin 30o atau sin x = sin 150

o

x = 30 + k. 360 atau x = 150o + k. 360

o

x = 30o atau x = 150

o

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0o,30

o, 150

o, 180

o}

of 22



Pertidaksamaan Trigonometri

Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri adalah sama seperti penyelesaian pada

pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan kuadrat, yang sudah kita pelajari. Jadi untuk

menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri terlebih dahulu kita

menentukan titik pembuat nol atau yang sering di sebut juga dengan titik kritis.

Untuk menentukan titik kritis maka pertidaksamaan trigonometri kita ubah dahulu bentuknya

menjadi persamaan trigonometri, setelah mendapatkan titik kritis maka langkah selanjutnya

adalah mengmbil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Contoh

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x < 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360

o

Penyelesaian

sin x = sin 90o

x = 90

oo

ooooo

xdanxk

kxkx

90900

360.)90180(360.90

==⇒=

+−=∨+=

titik uji/sampel

negatifanmenghasilk

x

negatifanmenghasilk

x

oo

oo

⇒=−⇒

=−⇒=•

⇒=−⇒

=−⇒=•

0132

1

01120sin120

012

1

0130sin30

jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }ooooxxx 36090900| <<∨<<

2. Tentukan penyelesaian dari cos (x – 45o) < ½ , 0

o ≤ x ≤ 360

o

Penyelesaian

kita tentukan titik pembuat nol/ titik kritis, sehingga kita ubah dahulu menjadi persamaan

⇒ cos (x – 45o) = ½ ⇒ cos (x – 45

o) – ½ = 0

⇒ cos (x – 45o) = cos 60

o atau cos (x – 45

o) = cos 300

⇒ x – 45o = 60

o atau x – 45 = 300

⇒ x = 600 + 45

o atau x = 300

o + 45

o

⇒ x = 105o atau x = 345

o

+

90o

+

30o

+

120o

Daerah Negatif ( - ) Daerah Negatif ( - )

of 22



jadi titik kritisnya adalah x = 105o dan x = 345

o

langkah selanjutnya adalah kita ambil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Sebagai titik uji ambil x = 90o, x = 165

o dan x = 360

o

� Untuk x = 90o kita subtitusikan ke dalam

cos (x – 45o) – ½ =0

cos (90o – 45o) – ½ = 0

02

12

2

1=− (menghasilkan positif)

� Untuk x = 165o kita subtitusikan ke

cos (x – 45o) 0– ½ =

cos (165o – 45o) – ½ = 0

02

1

2

1=−− (menghasilkan negatif)

� Untuk x = 360o kita subtitusikan ke

cos (x – 45o) – ½ = 0

cos (360o – 45

0) – ½ = 0

2

12

2

1− (menghasilkan positif)

Karena tandanya kurang dari maka yang diambil adalah daerah yang bernilai negatif.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }ooxx 345105| <<

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1cos3sin <+ xx , untuk 0o ≤ x ≤ 360

o

Penyelesaian

1cos3sin <+ xx ⇒ 1cos3sin =+ xx

o

k

k

xk

30

33

1tan

2

31

1)cos(.

=⇒

=⇒

=⇒

+=⇒

=−⇒

α

α

α

+

105O

+

345O

+ + + + _ __

+

165O

+

360O

+

90O

of 22



( ) ( )

oo

ooo

oooo

o

o

xataux

xataux

xataux

x

x

33090

300306030


2

1)30cos(

1)30cos(.2

==⇒

=−=−⇒

=−=−⇒

=−⇒

=−⇒

Jadi titik kritisnya adalah x = 90o dan x = 300

o

misalkan titik uji yang kita ambil adalah x = 600, x = 150o dan x = 360o

� Untuk x = 60o disubtitusikan ke

cos (x – 30o) – ½ =0

cos 30o – ½ = 0 (menghasilkan positif)


cos (x – 30o) – ½ = 0

cos 120o – ½ = 0 (menghasilkan negative)


cos (x – 30o) – ½ = 0

cos 330o – ½ = 0 (menghasilkan positif)

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah { }033090| << xxo

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x – 4 sin x – 3 < 0, untuk 0 < x < 2π

Penyelesaian

cos 2x – 4 sin x – 3 < 0 ⇒ cos 2x – 4 sin x – 3 = 0

⇒ (1 – 2 sin2 x) – 4 sin x – 3 = 0

⇒ - 2 sin2 x – 4 sin x – 2 = 0

⇒ 2 sin2 x + 4 sin x + 2 = 0

misalkan sin x = m, maka

⇒ 2m2 + 4m + 2 = 0

⇒ (2m + 2) (m + 1) = 0

⇒ m = - 1 atau m = - 1

Sin x = - 1

Sin x = sin 2

3π ⇒ x =

2

3π

+

90O

+

330O

+ + + + _ __

+

150O

+

360O

+

60O

of 22



Jadi titik kritisnya adalah x = 2

3π

misalkan kita ambil titik ujinya adalah x = 6

π dan x = 3

5π

� Untuk x = 6

π disubtitusikan ke

2sin2 x + 4sin x + 2 = 0

2.sin2 6

π + 4. sin

6

π + 2 = 0

2 (½)2 + 4 (½) + 2 = 0 → (menghasilkan positif)

� Untuk x = 3

5π disubtitusikan ke

2sin2 x + 4sin x + 2 = 0

2 sin2 3

5π + 4 sin

3

5π + 2 = 0

( )positifanmenghasilk→=+

−+

− 023

2

143

2

12

2

Sehingga jika kita gambarkan pada garis bilangan adalah

Maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki himpunan penyelesaian

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ∅

+

6

π +

3

5π

+ + + + +

2

3π

of 22



C. Rangkuman 3

1. Persamaan trigonometri, untuk sudut bersatuan derajat berlaku :


o + k. 360

o atau

x = (180o – p

o) + k. 360

o

� Cos x = cos po maka x = p

o + k. 360

o atau

x = – po + k. 360

o

� Tan x = Tan po maka x = p

o + k. 180

o

2. Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat:


o + k.2π atau

x = (π – po) + k. 2π

� Cos ax = Cos po maka x = p

o + k. 2π atau

x = - po + 2π

� Tan x = tan po maka x = p

o + k. π

3. Persamaan trigonometri a sin x + b cos x = c dapat diubah menjadi k cos (x – ά)

� 22bak +=

�

=

−

b

a1tanα

3. Persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan persamaan k.cos (x – ά)

dengan syarat kc ≤

D. Lembar Kerja 3

1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut :

a. cos x = 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360

o d. cos x = 0,5; untuk 0 ≤ x ≤ 2π

b. cos x = 0,5; untuk 0o ≤ x ≤ 720

o e. tan x = 3 ; untuk 0 ≤ x ≤ 2π

c. 2 sin x = 1; untuk 180o ≤ x ≤ 360

o

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

of 22



…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 360360;65sin2

1sin ≤≤−=

− xuntukx

oo

b. tan (x + 15o) = tan 200

o; untuk - 270

o ≤ x ≤ 270

o

c. ππππ

≤≤−=

− xuntukx ;

5cos

32sin

d. ππ

20;4

cos2

3cos ≤≤=

− xuntukx

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

of 22



3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, jika 0o ≤ x ≤ 360

o :

a. cos x + 3 sin x = 1 d. 4 cos x – 3 sin x = 2

b. 5 cos x + 4 sin x = 6 e. sin x – 2cos x = 1

c. – cos x – sin x = 1

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

4. Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan-persamaan berikut dapat diselesaikan

a. m cos x + (m – 1) sin x = m c. m sin x + m cos x = 2

b. cos x – (1 – m) sin x = m + 1 d. 1

2sin

1cos

+

+=

++

m

mx

m

mx

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

of 22



…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

5. Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360

o

a. 2 cos2 x = 1 c. cos 2x + cos x + 1 = 0

b. tan2 x – tan x – 2 = 0 d. cos 2x = - sin x

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360

o

a. 2 sin x < 1 d. 3 tan 2x – 1 ≥ 0

b. cos (x – 30o)

2

1≥ e. cos 2x > 0

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

of 22



…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

7. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, 0o ≤ x ≤ 360

o

a. 3 cos x + sin x > 1

b. sin x – cos x ≤ 1

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

8. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360

o

a. 6 sin2 x − sin x − 1 = 0

b. cos 2x + sin x = 1

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

of 22



E. Tes Formatif 3

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x − 3 = 0, 0 ≤ x ≤ π adalah

a.

3

2,

3

ππ d.

6

5,

3

ππ

b.

6,

3

ππ e.

6

5,

3

2 ππ

c.

2,

3

ππ

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah

a. 15 ≤ x ≤ 105 d. 15 ≤ x ≤ 165

b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165

c. 75 ≤ x ≤ 105

3. Himpunan penyelesaian sin ( 2x − 30 ) = ½ untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah

a. { 0 , 60 , 180 , 240 } d. { 30 , 90 , 270 }

b. { 0 , 30 , 150 , 180 } e. { 60 , 90 , 120 , 240 }

c. { 0 , 60 , 180 }

4. Penyelesaian dari 32

13cos −=x , untuk 0

o ≤ x ≤ 360

o adalah..

a. 50o dan 70

o d. 40

o dan 50

o

b. 40o dan 70

o e. 70

o dan 80

o

c. 50o dan 80

o

5. Nilai dari cos 1110o adalah…

a. 3 d. 32

1−

b. 32

1 e.

2

1

c. - 3

6. Penyelesaian persamaan ( ) 32

145sin =− o

x , untuk 0o ≤ x ≤ 360

o adalah..

a. 75o, 150

o d. 0

o, 75

o, 165

o, 360

o

b. 75o, 165

o e. 0

o, 105

o, 165

o, 360

o

c. 105o, 165

o

7. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x + sin x = 2 untuk 0 < x ≤ 360

adalah

a. { 75 , 285 } d. { 15 , 345 }

b. { 15 , 285 } e. { 25 , 75 }

c. { 75 , 345 }

8. Batas-batas nilai p , agar persamaan ( p − 2 ) cos x + ( p − 1 ) sin x = p untuk x ∈ R,

dapat diselesaikan adalah

of 22



a. − 2 ≤ p ≤ 3 d. p ≤ 1 atau p ≥ 5

b. 1 ≤ p ≤ 5 e. p ≤ − 5 atau p ≥ 1

c. p ≤ 2 atau p ≥ 3

9. Agar persamaan 3 cos x − m sin x = 3 5 dapat diselesaikan maka nilai m adalah….

a. −3 6 ≤ m ≤ 3 6 d. m ≤ −3 6 atau m ≥ 3 6

b. −6 ≤ m ≤ 6 e. m ≤ −6 atau m ≥ 6

c. 0 ≤ m ≤ 36

10. Selisih dari anggota himpunan penyelesaian persamaan 3 cos x + sin x = 1, untuk

3600 ≤≤ x , adalah:

a. 90 d. 220

b. 135 e. 240

c. 160

11. Nilai tan x yang memenuhi persamaan cos 2x + 7 cos x − 3 = 0 adalah….

a. 3 d. ½

b. ½ 3 e. 1/5 5

c. 1/3 3

12. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2x sinx – cos 2x = 0 dalam interval

π≤≤ x0 , adalah....

a..

ππππ

6,

5,

4,

3 d.

ππ

6

5,

4

b.

ππππ

6

5,

4

3,

6,

2 e.

ππ

4

3,

6

c.

ππππ

6

5,

4

3,

4,

6

13. Nilai tan x° yang memenuhi persamaan cos 2x°– 5 cos x° - 2 = 0, untuk π < x < 23 π

adalah …

a. 3 d. 331

b. 21 e.

21

c. 321

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah

a. 15 ≤ x ≤ 105 d. 15 ≤ x ≤ 165

b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165

c. 75 ≤ x ≤ 105

15. Himpunan penyelesaian dari 2

1sin >x untuk 0

o ≤ x ≤ 360

o adalah…

a. 0o < x < 30

o d. 180

o < x < 210

o

b. 30o < x < 150

o e. 270

o < x < 330

o

of 22



c. 150o < x < 180

o

16. Himpunan penyelesaian dari 12sin.2 ≥x , 0o < x < 30

o adalah…

a. { }ooxx 15030| ≤≤ d. { }oo

xx 7515| ≤≤

b. { }oooxxx 1507545| ≤≤∪≤ e. { }oo

xx 225195| ≤≤

c. { }ooooxxx 2251957515| ≤≤∪≤≤

17. Himpunan penyelesaian dari π≤≤<− xuntukxx 0;22cos32sin.3 adalah…

a. πππ

≤<<≤ xataux12

5

40 d. π

ππ≤<<≤ xataux

12

5

60

b. πππ

≤<<≤ xataux12

7

30 e. π

ππ≤<<≤ xataux

12

7

40

c. πππ

≤<<≤ xataux34

0

18. Penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri 2 sin2 x + 3 sin x ≥ 2; 0 ≤ x ≤ 2 π

a. 0 ≤ x ≤ π d. 6

5

6

ππ≤≤ x

b. 4

3

4

ππ≤≤ x e.

3

2

3

ππ≤≤ x

c. 4

5

6

ππ≤≤ x

19. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3 tan 2x – 1 ≥ 0, 90o≤ x ≤ 270

o adalah ….

a. {x | 90o ≤ x ≤ 135

o atau 195

o ≤ x ≤ 270

o}

b. {x | 90o ≤ x ≤ 105

o atau 135

o ≤ x ≤ 270

o}

c. {x | 105o ≤ x ≤ 135

o atau 195

o≤ x ≤ 225

o}

d. {x | 90o ≤ x < 135

o atau 195

o < x ≤ 270

o}

e. {x | 105o ≤ x < 135

o atau 195

o≤ x < 225

o}

20. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan 2x ≤ 331 dengan π≤≤π

23x

adalah ….

a. {x|π ≤ x ≤ 67 π atau

45 π ≤ x ≤

23 } d. {x|

67 π ≤ x <

45 π}

b. {x|π ≤ x ≤ 67 π atau

45 π < x ≤

23 } e. {x|

67 π ≤ x ≤

45 π}

c. {x|π ≤ x < 45 π atau

45 π < x ≤

23

Page 1 of 22 - · PDF fileContoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o,...

Documents

Transcript of Page 1 of 22 - · PDF fileContoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o,...