persamaan a sin x+ b cos x.pdf

22
1 r FUNGSI F(X)= A COS X + B SIN X MENJADI F(X)= K COS (X-A) DAN PENGGUNAANNYA 1. Fungsi f(x)= a cos x + b sin x dan Penggunaannya Dalam ilmu fisika ataupun ilmu terapan lainnya. Kita sering menjumpai perumusan masalah dapat disajikan dengan menggunakan fungsi trigonometri yang berbentuk : f(x) = a cos + b sin ,dengan a dan b merupakan bilangan real yang tidak nol. Pada gambar diperlihatkan dengan sebuah motor bakar. Rongga silinder dan piston motor bakar mampu menggerakkan roda melalui engkol penghubung. . Kita ingin mengamati gerak titik P yang terletak pada pinggir roda (perhatikan gambar di atas) misalkan: roda itu berputar melalui sumbu M dengan kecepatan sudut konstan sebesar radian/detik. Pada waktu t=0. Titik P berada di dengan besar < = . setelah t detik kemudian,titik P menemu sudut = . Dengan demikian besar < =( + ). Jika P adalah proyeksi titik P pada garis tengah AB<maka MP = r cos ( + )dengan menyatakan panjang jari-jari roda. Dengan menggukan rumus trigonometri jumlah dua sudut. MP = r cos ( + ) dapat dijabarkan sebagai berikut : MP = r cos ( + ) MP = r cos cos sin sin Oleh kerena r dan konstan,maka r cos dan r sin juga konstan. Kita misalkan : r cos = dan r sin = ,maka diperoleh : MP = a cos + sin Selanjutnya,dengan mengganti sudut dengan sudut . MP menjadi : MP = a cos + sin p p o B A piston Rongga silinder M Engkol penghubung roda busi r

Transcript of persamaan a sin x+ b cos x.pdf

Page 1: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

1

r

FUNGSI F(X)= A COS X + B SIN X MENJADI F(X)= K COS (X-A) DAN

PENGGUNAANNYA

1. Fungsi f(x)= a cos x + b sin x dan Penggunaannya

Dalam ilmu fisika ataupun ilmu terapan lainnya. Kita sering menjumpai perumusan masalah

dapat disajikan dengan menggunakan fungsi trigonometri yang berbentuk : f(x) = a cos + b sin

,dengan a dan b merupakan bilangan real yang tidak nol. Pada gambar diperlihatkan dengan sebuah

motor bakar. Rongga silinder dan piston motor bakar mampu menggerakkan roda melalui engkol

penghubung.

.

Kita ingin mengamati gerak titik P yang terletak pada pinggir roda (perhatikan gambar di

atas) misalkan: roda itu berputar melalui sumbu M dengan kecepatan sudut konstan sebesar

radian/detik. Pada waktu t=0. Titik P berada di dengan besar < = . setelah t detik

kemudian,titik P menemu sudut = . Dengan demikian besar < = ( + ).Jika P adalah proyeksi titik P pada garis tengah AB<maka MP = r cos ( + )dengan

menyatakan panjang jari-jari roda. Dengan menggukan rumus trigonometri jumlah dua sudut. MP = r

cos ( + ) dapat dijabarkan sebagai berikut :

MP = r cos ( + )MP = r cos cos − sin sin

Oleh kerena r dan konstan,maka r cos dan r sin juga konstan. Kita misalkan : r cos = dan –

r sin = ,maka diperoleh :

MP = a cos + sinSelanjutnya,dengan mengganti sudut dengan sudut . MP menjadi :

MP = a cos + sin

ppo

BA

piston

Rongga silinder

M

Engkolpenghubung

roda

busi r

Page 2: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

2

Jadi,gerak titik P pada pinggir roda yang diproyeksikan ada garis tengah AB dapat dis ajikan

dengan menggunakan fungsi trigonometri yang berbentuk :f(x) = a cos + . Suatu benda

yang dapat disajikan dengan fungsi seperti itu disebut sebagai gerak selaras,gerak periodik.

Dari uraian diatas memberikan petunjuk kepada kita bahwa fungsi f(x) =a cos + sinperlu untuk dipelajari. Sebagai langkah awal kita akan mempelajari cara mengubah fungsi f(x) = a cos+ sin kedalam bentuk f(x) = k cos (x- ) .

2. Menyatakan bentuk a cos + b sin ke dalam bentuk k cos (x-a)F(x) = a cos + b sin dapat diubah ke dalam bentuk k cos (x-a) , dengan k suatu tetapan

dan 0≤ ≤ 360. Nilai-nilai k dan ditentukan oleh nilai-nilai a dan b dengan proses sebagai

berikut :

a cos + b sin = (cos cos + sin sin )↔ a cos + b sin = cos cos + sinDari persamaan diatas, koefisien cos di ruas kiri harus sama dengan koefisien cos di

ruas kanan begitu pula untuk koefisien sin . Dengan demikian, kita mendapatkan hubungan :

Cos = ..........(1)

Sin = ..........(2)

Tentukan nilai k :

Pengerjaan jumlah kuadrat pada persaman (1) dan (2), di peroleh:+ = +( + ) = += + , sebab ( + = 1k =√ + ,diambil k > 0

Page 3: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

3

Tentukan besar

Membagi persamaan (2) dengan persamaan (1).

=

tan =

Tentukan uraian diatas, kita dapat menyimpulkan :cos + sin = cos ( − ) ,berlaku hubungan

k = √ + dan tan =Dari berbagai kemungkinan tanda a dan b,kuadran dari dapat di tetapkan tabel sebagai

berikut :

Tanda a,b tan Kuadran> 0, > 0 > 0 > 0 I< 0, > 0 < 0 < 0 II< 0, < 0 > 0 > 0 III> 0, < 0 < 0 < 0 IV

Dari tabel diatas jelas bahwa kuadran dari sudut sama dengan kuadran dari koordinat titik

(a,b).

Contoh soal :

Ubahlah bentuk cos + √3 sin ke dalam bentuk k cos (x- )Jawab :

cos + √3 sin = k cos (x- )↔ cos + √3 sin = cos . cos + sin . sinDiperoleh : k cos = 1 → = 1k sin = √3 → = √3

Page 4: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

4

Nilai k :

k = √ + = (1) + (3) = 2Besarnya sudut :

tan = = √ = √3, dan terletak di kuadran I

↔ = 60∴ cos + √3 sin = 2 cos (x-60)3. Persamaan a cos + = C

Satu kegunaan dari pengubahan bentuk a cos + ke dalam bentuk k cos (x- )setalah untuk menentukan penyelesaian persamaan trigonometri yang berbentuk cos +

= C, dengan a,b, dan c bilangan-bilangan real yang tidak nol.

Mula-mula, bagian ruas kiripada persamaan itu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk k cos

(x- ) , dengan k = √ + dan tan = . kemudian dengan mengganti a cos +dengan k cos (x- ) , persamaan itu menjadi :

k cos (x- ) = C↔ cos (x- ) =

Oleh karena cos (x- ) nilainya antara -1 dan 1, maka agar persamaan cos (x- ) =

mempunyai penyelesaian, syaratnya adalah -1 ≤ ≤ 1.

-1 ≤ ≤ 1↔ − ≤ ≤ , ≥ 0↔ − + ≤ ≤ +Jadi, syarat persamaan a cos + = C mempunyai penyelesaian adalah :

Page 5: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

5

− + ≤ ≤ +ǀcǀ ≤ √ +

Setelah bentuk a cos + = C diubah menjadi cos (x- ) = , maka penyelesaiannya

bsa dikerjakan sebagai berikut :

cos (x- ) = = cos , dengan cos =

↔ − = + . 360 atau − = − + . 360↔ = ( + ) + .360 atau = ( − ) + .360Contoh soal :

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ 360 yang memenuhi persamaan

cos – √3 = -1/

Jawab :

cos – √3 = k cos (x- )↔ cos – √3 = cos 0. cos 0 + sin 0. sin 0Diperoleh : k cos = 1k sin = −√3Nilai k :

k = (1) + (−√3) = 2Besarnya sudut :

tan = √ = −√3, dan terletak di kuadran IV

↔ = 300Persamaan cos – √3 = -1 dituliskan menjadi :

Page 6: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

6

cos – √3 = 2 cos (x-300) = -1

↔ cos (x-300) = −↔ cos (x-300) = cos 120↔ − 300 = 120 + .360 atau − 300 = −120 + .360↔ = 420 + . 360 atau = 180 + . 360

k = -1 → = 60 k = 0 → = 180jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan cos – √3 = −1 adalah

Contoh soal:

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ ≤ 360 yang memenuhi persamaan3 cos + 4 = 23 cos + 4 = cos ( − )⟺ 3 cos + 4 = cos + sinDiperoleh : cos = 3cos = 4Nilai , = (3) + (4) = 5Besarnya sudut :

tan = dan terletak di kuadran I

⟺ = 53, 1Persamaan 3 cos + 4 sin. = 2 dapat ditulis menjadi;3 cos + 4 = 5 cos ( − 53,1) = 2

⟺ cos( − 53,1) = 23

Page 7: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

7

⟺ cos( − 53,1) = cos 66, 4⟺ − 53,1 = 66,4 + . 360 atau − 53,1 = −66,4 + . 360⟺ = 119,5 + . 360 atau = −13,3 + . 360= 0 ⟶ = 119,5 = 1 ⟶ = 346,7Jadi, nilai nilai x yang memenuhi persamaan 3 cos + 4 = 2 dalam interval0 ≤ ≤ 360 adalah = 119,5 dan = 346,7

4. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi ( ) = +Dengan mengingat bahwa bentuk cos + dapat diubah bentuk cos( −) . Maka fungsi trigonometri = ( ) = cos + dapat diubah ke dalam

bentuk = ( ) = cos( − ) dengan sebagai konstanta positif dan 0 ≤ ≤ 360 .Misalkan cos + = cos( − ) , maka dengan menguraikan ruas

kanan diperoleh:⟺ cos + = cos( − )⟺ cos + = {cos cos + sin }⟺ cos + = cos cos + sinDengan menyamakn koefisien cos sin diperoleh :cos = asin = b ..............(1)

Bila masing masing ruas dikuadratkan,maka:cos = a2

k sin = b2 +( + ) = a2 + b2

k = a2 + b2 atau = √ +

Page 8: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

8

Dari persamaan (1) diperoleh tan = , sedangkan kwadran dari ditentukan dari

diagram dengan menentukan tanda dari cos sin atau tanda dari a dan b karena> 0.

Dengan demikian;

Nilai ditentukan oleh tanda aljabar pada a ( koefisien cos) dan b (koefisien sin),lihat tabel

berikut:

Tanda aljabarTan kuadran

A B

+ + + I

- + - II

- - + III

+ - - IV

Berdasarkan bentuk fungsi diatas, kita dapat menentukan nilai-nilai stationer (nilai

maksimum dan nilai minimum) dari fungsi trigonometri tersebut. Nilai-nilai stasioner yang

dimaksud itu adalah;

(1) Nilai maksimum= = √ 2 + Dicapai untuk cos( − )0 = 1cos( − )0 = 1 = cos 00 ⟺ − = . 360 ⟺ = + . 360

(2) Nilai minimum= − = −√ 2 + Dicapai untuk cos( − )0 = −1cos( − ) = −1 = cos 1800 ⟺ − = 180 + . 360 ⟺ = ( + 180) + . 360

cos + = cos( − ) dengan= √ + dan tan =( disebut kwadrannya dengan tanda a dan b)

Page 9: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

9

Berdasarkan uraian diatas ,kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut.

Contoh soal:

1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari tiap fungsi trigonometri berikut ini.1) = 2 + 32) = 4 − 33) = √3 cos. 2 + 2Jawab ;1) = 2 + 3 ; = 2; = 3= √ +

= (2) + (3)= √13= −√ +

= − (2) + (3)= −√13

2) = 4 − 3 ; = 4; = −3

cos( − ) = 1cos( − ) = −1

Fungsi trigonometri = ( ) = cos + = cos( − ) . Mempunyai nilai maksimum = √ + untuk

Mempunyai nilai minimum = −√ + untuk

Page 10: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

10

= √ += (4) + (−3)= 5= −√ += − (4) + (−3)= −5

3) = √3 cos. 2 + 2 ; = √3; = 1= √ +

= (4) + (−3)= 5= −√ += − (4) + (−3)= −5

2. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum serta nilai-nilai x yang bersesuaian pada

fungsi trigonometri = ( ) = √3 cos − sin , 0 ≤ ≤ 360.Jawab ;

Page 11: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

11

Bentuk √3 cos − sin ,dapat diubah menjadi 2 cos( − 330) . Sehingga fungsi =( ) = √3 cos − sin , dapat diubah menjadi = ( ) = 2 cos( − 330)Nilai maksimumnya = 2 dicapai untuk 2 cos( − 330) = 1cos( − 330) = 1 = 0⟺ − 330 = . 360⟺ = 330 + . 360= 0 ⟶ = 330Nilai minimumnya = −2 dicapai untuk cos( − 330) = −1cos( − 330) = −1 = cos. 180⟺ − 330 = 180 + . 360⟺ = 150 + . 360= −1 ⟶ = 150Jadi, fungsi trigonometri = ( ) = √3 cos − sin , 0 ≤ ≤ 360.mempunyai nilai maksimum 2 untuk x = 330 dan nilai minimum -2 untuk x = 150.

3. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi trigonometri= ( ) = √3 cos 2 + sin 2 untuk 0 ≤ ≤ 2πJawab;

Bentuk ( ) = √3 cos 2 + sin 2 dapat diubah menjadi 2 cos(2 − ), sehingga fungsi= ( ) = √3 cos 2 + sin 2 dapat diubah menjadi = ( ) = 2 cos 2 − .(a) Titik maksimum= 2 dicapai untuk cos 2 − = 1cos 2 − 6 = 1 = cos 0⟺ 2 − 6 = 2⟺ = 12 += 0 → = diperoleh titik maksimum ( , 2)= 1 → = diperoleh titik maksimum ( , 2)

Page 12: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

12

Fungsi trigonometri = ( ) = cos + + . Mempunyai nilai maksimum = √ + + untuk

Mempunyai nilai minimum = −√ + + untuk

cos( − ) = 1cos( − ) = −1

(b) Titik minimum= −2 dicapai untuk cos 2 − = −1cos 2 − 6 = −1 = cos⟺ 2 − 6 = 2⟺ = 712 += 0 → = diperoleh titik minimum ( , 2)= 1 → = diperoleh titik minimum ( , 2)

Jadi, titik titik stasioner trigonometri = ( ) = √3 cos 2 + sin 2 untuk 0 ≤ ≤2π adalah; titik maksimum ( , 2) dan ( , 2) serta titik minimum ( , 2) dan( , 2)4. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi = ( ) = + +

Untuk fungsi trigonometri yang berbentun = ( ) = cos + + (a,b

dan c bilangan-bilangan real yang tidak nol), nilai nilai stasionernya dapat ditentukan dengan

cara mengubah fungsi ke dalam bentuk ;= ( ) = cos( − ) +c

Berdasarkan bentuk fungsi di atas, dapatlah ditetapkan bahwa

Page 13: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

13

Contoh soal;

1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumu dari tiap fungsi trigonometri berikut

ini,1) = ( ) = 2 cos + 3 − 1.2) = ( ) = √7 cos − 5 − √3.3) = ( ) = −9 cos + 6 + √2.Jawab;1) = ( ) = 2 cos + 3 − 1; = 2; = 3; = −1

= + += (2) + (3) − 1= √13 − 1= − + += − (2) + (3) − 1= −√13 − 1

2) = ( ) = √7 cos − 5 − √3. ; = √7; = −5 ; = −√3= + +

= (√7) + (−5) − √3= √74 − √3

= − + += − (√7) + (−5) − √3

Page 14: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

14

= −√74 − √33) = ( ) = −9 cos + 6 + √2. ; = −9; = 6; = √2= + +

= (−9) + (6) + √2= √117 + √2

= − + += − (−9) + (6) + √2= −√117 + √2

5. Menggambar Grafik Fungsi y= f(x) – a cos x° + b sin x°

Kita telah mengetahui bahwa fungsi trigonometri y= f(x) = a cos x° + b sin x° dapat

dinyatakan dalam bentuk y = f(x) = k cos (x – )0, dengan k = √ 2+ 2 dan tan ° = untuk

menggambar sketsa grafik fungsi y = f (x) = k cos (x - )° , diperlukan langkah – langkah

sebagai berikut.

a) Titik maksimum

Ymaksimum = √ + , dicapai untuk cos (x – )0 = 1b) Titik minimum

c) Yminimum= √ + , dicapai untuk cos (x – )0 = -1Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat .

1) Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0( – )0 = 0 ↔ ( – )0 = 02) Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0= cos(0 – ) 0 ⟺ = cos 0

Page 15: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

15

Titik – titik (x,y) yang diperoleh pada langkah (1) dan (2) di atas dilukiskan pada pada

sebuah bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang

mulus sehingga didapat sketsa grafik fungsi = f (x) = k cos (x - )°.Untuk mengetahui bagaimana cara menggambar sketsa grafik fungsi y= f(x) – a cos x° + b

sin x° yang diubah terlebi dahulu menjadi = ( ) = ( − )°.Contoh :

Gambarlah sketsa grafik trigonometri y= cos x° + √3 sin x°dalam interval 0 ≤ ≤ 360.

Jawab :

Bentuk y= cos x° + √3 sin x° dapat diubah menjadi 2 cos (x - 60 )°. Dengan demikian y=

cos x° + √3 sin x° dapat ditulis menjadi 2 cos (x - 60 )°.

1. Menentukan titik-titik stasioner

a) Titik maksimum

Ymaksimum = 2 dicapai untuk cos (x – 60 )0 = 1 x = 60

Titik maksimumnya adalah A (60,2)

b) Titik minimum

Yminimum= -2 dicapai untuk cos (x – 60 )0 = -1 x = 240

Titik minimumnya adalah B(240,-2)

2. Menentukan titik-tik potong dengan sumbu koordinat

a. Titik potong dengan sumbu koordinat X, diperoleh jika y = 0.

2 cos (x - 60 )° = 0 cos (x - 60 )° = 0 = cos 90°

X – 60 =90 + k . 360 atau X – 60 =90 + k . 360

X = 150 + k. 360 atau x = -30 +k. 360

K = C → x = 150 k = 1 x = 330

Titik=titik potongnya dengan sumbu X, diperoleh C(150,0) dan D(330,0).

b. Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika y = 0.

Y = 2 cos (x - 60 )° = 2 cos 60° = 21

2= 1`

Titik potong dengan sumbu Y adalah E(0,1).

Page 16: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

16

3. Ttik-titik A (60,2), B(240,-2), C(150,0), D(330,0) dan E(0,1). Dilukiskan pada bidang

cartesius. Titik-titik tadi dihubungkan dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh

sketsa grafik fungsi

Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° perhatikan gambar berikut.

Grafik fungsi trigonometri y = Y = 2 cos (x - 60 )° dapat pula digambar dengan

menggunakan cara lain. Dengan cara ini grafik fungsi y= f(x) = 2 cos (x - 60 )° dapat

diperoleh melalui langkah-langkah berikut.

Mula-mula dilukis grafik fungsi Y = cos x ° perhatikan gambar (i)

Grafik fungsi y= Y = cos x° ditranslasi horisontal sejauh 60 satuan kekanan, sehingga kita

peroleh grafik funggsi Y = cos (x - 60 )°. Perhatikan gambar (ii)

Ordinat tiap titik pada grafik fungsi Y = cos (x - 60 )° dikalikan dua, diperoleh grafik fungsi

Y = 2 cos (x - 60 )°. Perhatikan gambar (iii).

x

y

330 360240 270150 1809060

A(60,2)

E(120,1)

D(330,0)C(150,0)

B(240,-2)

0

-2

-1

2

1

Page 17: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

17

Untuk melukiskan grafik fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° dapat dilakukan dengan cara :

Ubah fungsi yang bersangkutan kedalam salah satu bentuk berikut := ( – )°= cos( + ) °= ( – )°,= ( + )°fungsi (i) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α ke

kanan. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi k cos( − )°fungsi (ii) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α ke

kiri. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi( + )°fungsi (iii) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α

ke kanan. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi k( − )°

x

y

-2

(iii) Y = 2 cos (x - 60)°

(ii) Y = cos (x - 60 )°

(i) Y = cos x°

12330 360240 270150 18090600

-1

2

1

Page 18: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

18

fungsi (iv) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α ke

kanan. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi k sin( + )°perhatikan bahwa grafik-grafik yang diperoleh dari bentuk (i),(ii),(iii),atau (iv) haruslah

memberikan hasil yang sama. Sebab grafik-grafik itu merupakan grafik dari fungsi a cos( + )° + ( + )°. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut.

Contoh :

Fungsi trigonometri y = cos x° + sin x° dapat diubah ke dalam salah satu bentuk berikut:

a) Y = √2 cos (x – 45)° c) Y = √2 sin (x – 315)°

b) Y = √2 cos (x + 315)° d) Y = √2 cos (x + 45)°

Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri y = cos x° + sin x° dalam interval 0 ≤ ≤360 dengan mengunakan bentuk fungsi a), b), c), dan d) di atas.

Jawab :

(a) Grafik fungsi Y = √2 cos (x – 45)°, diperoleh dari grafik = ° yang

digeser 45 satuan ke kanan. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik = ( – 45)° ini

akan dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 cos (x – 45)°.

(b) Grafik fungsi Y = √2 cos (x +315)°, diperoleh dari grafik = ° yang

digeser 315 satuan ke kiri. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik Y = cos (x + 315)° ini

akan dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 cos (x + 315)°.

(c) Grafik fungsi Y = √2 sin (x – 315)°, diperoleh dari grafik Y = sin x° yang digeser

315 satuan ke kanan. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik Y = sin (x – 315)° ini akan

dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 sin (x – 315)°.

(d) Grafik fungsi Y = √2 sin (x + 45)°, diperoleh dari grafik Y = sin x° yang digeser

45 satuan ke kiri. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik Y = sin (x + 45)° ini akan

dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 sin (x + 45)°.

Page 19: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

19

grafik (i)

Grafik (ii)

√2

- √2

315 360225 270135 1809045

(ii) Y = cos (x - 45 )°

xType equation here.x

y

(ii) Y = √2 cos (x - 45 )°

0

-1

1

(i) Y = cos x°

√2

- √2315 360225 270135 1809045

(ii) Y = √2 cos (x + 315 )°

(ii) Y = cos (x + 315 )°

xType equation here.(i) Y = cos x°

x

y

0

-1

1

√2

- √2

90 315 360225 270135 18045

(ii) Y = sin (x + 45 )°

xType equation here.(ii) Y = √2 sin (x + 45 )°

x

y

0

-1

1

(i) Y = sin x°

Page 20: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

20

Grafik (iii)

Grafik (iv)

Perhatikan bahwa sketsa grafik pada gambar ( i ),( ii ), (iii ) dan ( iv )mempunyai

bentuk yang sama yaitu menyatan grafik fungsi y = cos x° + sin x° .

Grafik fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° + c

Sketsa grafik trigonometri yang berbentuk

y = f(x) = a cos x° + b sin x° + c dengan a, b dan c adalah bilangan real yang tidak nol dapat

diperoleh dari sketsa grafik fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° yang ditraslasi vertikal

sejauh

(i) C satuan ke atas, jika c positif ; atau

(ii) C satuan ke bawah, jika c negatif.

Contoh :

Gambarkan sketsa grafik tiap fungsi trigonometri berikut dalam interval 0 ≤ ≤ 360

I. Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° +2

√2

- √2

315 360225 270135 1809045

(ii) Y = √2 sin (x - 315 )°

(ii) Y = sin (x - 315 )°

xType equation here.(i) Y = sin x°

x

y

0

-1

1

Page 21: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

21

II. Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° - 1

Jawab :

Pada contoh sebelumnya kita sudah menggambar sketsa grafik fungsi Y = f(x) = cos x° + √3

sin x° .

I. Sketsa grafik fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° +2 diperoleh dari sketsa grafik

fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° yang ditranslasi vertikal sejauh 2 satuan ke

atas.

II. Sketsa grafik fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° - 1 diperoleh dari sketsa grafik

fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° yang ditranslasi vertikal sejauh 1 satuan ke

bawah.

Page 22: persamaan a sin x+ b cos x.pdf

22

Daftar Pustaka

Bird john.2004.Matematika Dasar Teori dan Aplikasinya. Jakarta : erlangga

Kesumawati nila.2005. Trigonometri.-

Tampaomas husein.2006.Seribu Pena Matematika.Jakarta: Erlangga

Sukina.2006. Matematika. Jakarta: Erlangga