001

y Dx f

0 a x b x

Daerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) ≥ 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x.

D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} Luas daerah D adalah

1|| || 0lim ( ) ( )

bni aP

L f x x f x dx=Æ

= D =Â Ú .

y Dx f g 0 a x b x

Daerah D dibatasi kurva y = f (x), kurva y = g(x), dengan f (x) ≥ g(x), garis x = a, dan garis x = b.

D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)}. Luas daerah D adalah

( ) ( )1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )

bni aP

L f x g x x f x g x dx=Æ

= - D = -Â Ú .

Contoh Hitunglah luas daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 12p , 0 £ y £ sin 2x}.

y Dx

1 y = sin 2x 0 1

4p x 12p x

Luas daerah D adalah

( )( )

/ 2

1 0|| || 0

/ 2 / 21 102 20

12

lim sin 2 sin 2

sin 2 (2 ) cos2

1 1 1.

niP

L x x x dx

x d x x

p

p p

=Æ= D =

= = -

= - - - =

 Ú

Ú

D

D

D

APL INT

002

Contoh Hitunglah luas daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, 0 £ y £ 4x - x2}. y Dx

4

3 y = 4x - x2 2 1 D

0 1 2 x 4 x

Daerah D dibatasi parabol y = 4x - x2, garis x = 1, dan sumbu x.

Luas daerah D adalah

( )

42 21 1|| || 0

41 64 12 33 3 31

lim (4 ) (4 )

2 32 2 9.

niP

L x x x x x dx

x x

=Æ= - D = -

= - = - - + =

 Ú

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = cos x dan y = sin x dengan x terletak di antara dua titik potong yang berturutan. y Dx

1 y = sin x y = cos x p 2p 0 1

4p 12p 5

4p 32p x

-1 Dx

Fungsi y = cos x dan y = sin x mempu-nyai periode 2p. Pada selang [0,2p] kedua kurva ini berpotongan di titik

( )1 14 2

, 2p dan ( )1 14 2

1 , 2p - .

Pada selang 1 54 4

,[ ]p p kurva y = sin x terletak di atas kurva y = cos x.

Luas daerah D adalah

( ) ( )

( )

5 / 4

1 / 4|| || 0

5 / 4 1 1 1 1/ 4 2 2 2 2

lim sin cos sin cos

cos sin 2 2 2 2 2 2.

niP

L x x x x x dx

x x

p

p

pp

=Æ= - D = -

= - - = + + + =

 Ú

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = ,x sumbu x, dan garis y = x - 2.

y

2 y x= (4,2)

y Dy D y = x + 2

0 1 2 3 4 x

Integralkan dalam peubah y: y = ,x x ≥ 0 ¤ x = y2 dan y = x - 2 ¤ x = y + 2. Luas daerah D adalah

( )

22 21 0|| || 0

21 1 2 12 32 3 3 30

lim ( 2 ) ( 2 )

2 2 4 2 3 .

niP

L y y y y y dy

y y y

=Æ= + - D = + -

= + - = + - =

 Ú

D

D

x

D

APL INT

003

y Dx Dx | f | 0 a x c x b x f Dx

Daerah D dibatasi kurva y = f (x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. Luas daerah D adalah

1|| || 0lim | ( )| | ( )|

bni aP

L f x x f x dx=Æ

= D =Â Ú

Pada gambar di samping,

( )( ) ( )c b

a cL f x dx f x dx= - +Ú Ú

y Dx Dx g f f g 0 a x c x b x

Daerah D dibatasi kurva y = f (x), kurva y = g(x), garis x = a, dan garis x = b. Luas daerah D adalah

1|| || 0lim | ( ) ( )| | ( ) ( )|

bni aP

L f x g x x f x g x dx=Æ

= - D = -Â Ú .

Pada gambar di samping,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )c b

a cL f x g x dx g x f x dx= - + -Ú Ú .

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = cos 2x, 0 £ x £ 34p

dan sumbu x.

y Dx 1 y = -cos 2x 0 x

14p 3

4p x

y = cos 2x -1 Dx

Kurva y = cos 2x memotong sumbu x di titik 0, 1

4,p dan

34

.p

Pada selang 14

[0, ]p kurva terletak di atas

sumbu x dan pada selang 1 34 4

,[ ]p p kurva ter-letak di bawah sumbu x. Luas daerah D adalah

( ) ( ) ( )

3 /4

1 0|| || 0

/4 3 /4

0 /4

/4 3 /41 1 1 1 1 12 2 2 2 2 20 /4

lim |cos2 | |cos2 |

cos2 ( cos2 )

sin 2 sin 2 1 .

niP

L x x x dx

x dx x dx

x x

p

p p

pp p

p

=Æ= D =

= + -

= - = - - - =

 Ú

Ú Ú

D

D

D

x 12p

D

D

D

f

APL INT

004

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi parabol y = x2, -2 £ x £ 2, garis y = x + 2, -2 £ x £ 2, dan sumbu x. y

Dx Dx 4 (2,4) y = x2

y = x + 2 y = x2 1 -2 x -1 0 x 2 x

Parabol y = x2 dan garis y = x + 2 pada selang [-2,2] berpotongan di titik (-1,1) dan (2,4).

Pada selang [-2,-1] parabol terletak di atas garis dan pada selang [-1,2] parabol terletak di bawah garis. Luas daerah D adalah

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

22 21 2|| || 0

1 22 22 1

1 21 1 1 13 2 2 33 2 2 32 1

1 1 8 8 1 13 2 3 3 2 3

5 1 16 2 3

lim | ( 2)| | ( 2)|

( 2) ( 2)

2 2

2 4 2 4 2

1 4 6 .

niP

L x x x x x dx

x x dx x x dx

x x x x x x

= -Æ

-

- --

- -

= - + D = - +

= - + + + -

= - - + + -

= - - + + - + + - - + -

= + =

 Ú

Ú Ú

y 9

(-1,8) y = 9 - x2 (-2,5) (2,5) -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Ilustrasi Perhatikan daerah D1, D2, D3, dan D4 beserta parabol dan garis pembatasnya. Jika luas daerah Di adalah Li, i = 1, 2, 3, 4, maka

L1 = ( )2 21

(9 ) (7 )x x dx-

- - -Ú

L2 = ( ) ( )1 222 1

(9 ) 5 (7 ) 5x dx x dx- -

- - + - -Ú Ú

L3 = ( ) ( )2 223 2

(9 ) (4 ) 5 (4 )x x dx x dx-

- -- - + + - +Ú Ú

L4 = ( )2 3 23 2

4 9( )x dx x dx-

+ + -Ú Ú

D1

D2

D4

y = 7 - x

D3

y = 5

7

5

3

y = x + 3

D D (-1,1)

APL INT

005

y Dx f 0 a x b x D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.

y cakram lingkaran f tinggi Dx, jari-jari f (x) Dx Dx 0 x sb putar Dx volum cakram 2( )iV f x xpD = D

Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} dipu-tar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah

2 21|| || 0

lim ( ) ( )bn

i aPV f x x f x dxp p

=Æ= D =Â Ú .

Contoh Jika daerah { }( , ) : 0 ,0 sinD x y x y xp= £ £ £ £ diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y Dx 1 y = sin x

0 x p x y y = sin x 0 x p x

Volum benda putar yang terjadi bilamana da-erah D diputar terhadap sumbu x adalah

( )( )

21|| || 0

20

1 12 20

1 12 4 01 1 22 2

lim sin

sin

cos2

sin 2

.

niP

V x x

x dx

x dx

x x

p

p

p

p

p

p

p

p p p

=Æ= D

=

= -

= -

= ◊ =

Â

ÚÚ

D f (x) f (x)

a x b

D

APL INT

006

Contoh Buktikan volum bola berjari-jari a > 0 adalah 4 33

.V rp=

y Dx

2 2y a x= -

-a 0 x a x y a 2 2y a x= - -a 0 x a x -a

Suatu cara untuk memperoleh bola berjari-jari a adalah daerah

2 2{( , )| ,0 }D x y a x a y a x= - £ £ £ £ - diputar terhadap sumbu x. Volum benda putarnya adalah volum bola yang dicari, yaitu

( )( ) ( )

( )

22 2

1|| || 0

22 2 2 2

0

1 2 42 3 3 33 3 30

lim

2

2 2 .

niP

a a

a

a

V a x x

a x dx a x dx

a x x a a

p

p p

p p p

=Æ

-

= - D

= - = -

= - = ◊ =

Â

Ú Ú

Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} diputar terhadap sum-

bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4 (2,4) y Dy y = x2 0 2 x y (-2,4) (2,4)

y = x2 -2 0 2 x

Notasi D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} berarti bah-

wa proyeksi D pada sumbu x adalah selang [0,2], batas bawahnya y = x2 dan batas atasnya y = 4. Ubahlah daerah D dengan membuat proyeksinya terhadap sumbu y, diperoleh

D = {(x,y) | 0 £ y £ 4, 0 £ x £ y }. Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,2], ba-tas kirinya x = 0 dan batas kanannya x = y .

Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D diputar terhadap sumbu y adalah

( )( )

2 4

1 0|| || 0

41 22 0

lim

(8 0) 8 .

niP

V y y y dy

y

p p

p p p

=Æ= D =

= = - =

 Ú

0

D

a

4

D

y = 4

APL INT

007

y Dx f

g 0 a x b x D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.

y cincin lingkaran, tinggi Dx, f jari-jari f (x) dan g(x). Dx Dx g 0 x x sb putar Dx volum cakram 2 2( ) ( )( )iV f x g x xpD = - D

Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah

2 2 2 21|| || 0

lim ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )bn

i aPV f x g x x f x g x dxp p

=Æ= - D = -Â Ú .

Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, x £ y £2 x } diputar terhadap sum-bu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4 (4,4) 2y x= y = x 0 1 x 4 x y 4 (4,4) 0 1 x (-4,4)

Daerah D dibatasi oleh kurva y = 2 x , garis x = 1, dan garis y = x. Kurva y = 2 x dan garis y = x berpotongan di titik (0,0) dan (4,4). Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D di-putar terhadap sumbu y adalah

( ) ( )

2 21|| || 0

4 42 2 21 1

41 64 12 33 3 31

lim

4

2 32 2 9 .

(2 )

(2 ) ( )

( )

( )

niP

V x x x

x x dx x x dx

x x

p

p p

p p p

=Æ= - D

= - = -

= - = - - + =

Â

Ú Ú

D

( ) ( )f x g x-

a b ( )g x

( )f x

D

Dx

4

APL INT

008

Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 1 y Dy 0 1 3 x

22 1x y= - - 22 1x y= + -

y -3 3 x Bentuk Donat

Cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, dan batasnya adalah lingkaran

2 2( 2) 1x y- + = . Batas sebelah kirinya ada-

lah fungsi 22 1x y= - - dan sebelah kanannya adalah

22 1x y= + - . Volum benda putar yang terjadi adalah

( ) ( )( ) ( )

2 22 2

1|| || 0

1 2 2 12 2 21

11 12 2

40

lim 2 1 2 1

2 1 2 1 8 1

16 1 16 4 .

niP

V y y y

y y dy y dy

y dy

p

p p

p p p p

=Æ

--

Ê ˆ= + - - - - DÁ ˜Ë ¯

Ê ˆ= + - - - - = -Á ˜Ë ¯

= - = ◊ =

Â

Ú Ú

Ú

Untuk menghitung 1 20

1 y dy-Ú , buatlah penggantian 12

sin ,0y t t p= £ £ .

Akibatnya cosdy t dt= dan 2 2 21 1 sin cos cosy t t t- = - = = . Batas in-

tegralnya berubah, 12

1y t p= ¤ = dan 0 0y t= ¤ = . Dari sini diperoleh

( )( )

1 / 2 / 2 1 122 20 0 0

/ 21 1 1 1 1 12 4 2 2 4 40

1 cos cos cos2

sin 2 0 .

y dy t t dt t dt

t t

p p

pp p

- = ◊ = -

= - = ◊ - ◊ =

Ú Ú Ú

-1 0 1 2 D

APL INT

009

y f Dx 0 a x b x sumbu putar

y

-b b x

sumbu putar

y kulit tabung -x x x

Metode kulit tabung: DV = 2p x f (x) Dx

Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} dipu-tar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah

1|| || 0lim 2 ( ) 2 ( )

bni aP

V x f x x x f x dxp p=Æ

= D =Â Ú .

Catatan Metode kulit tabung dapat digunakan untuk daerah D yang diba-tasi kurva f dan g yang kontinu pada [a,b]. Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah

( ) ( )1|| || 0lim 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

bni aP

V x f x g x x x f x g x dxp p=Æ

= - D = -Â Ú

Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, x £ y £2 x } diputar terhadap sum-bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4 (4,4) 2y x= y = x 0 1 x 4 x

Volum benda putar yang terjadi adalah

( ) ( )( ) ( )

4 21 1|| || 0

44 1 3 1 4 1 32 35 3 5 3 5 3 51

lim 2 2 2 2

2 2 25 21 7 .

niP

V x x x x x x x dx

x x x

p p

p p p

=Æ= - D = -

= - = - - + =

 Ú

D

Dx

APL INT

010

Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} diputar terhadap sumbu

y, hitunglah volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung. y 4 (2,4)

y = x2 0 x 2 x

y (-2,4) (2,4)

y = x2 -2 0 2 x

Volum benda putar yang terjadi ada-lah

( )

21|| || 0

22 13 2 440 0

lim 2 4

2 4 2 2

2 (8 4) 8 .

( )

( )

niP

V x x x

x x dx x x

p

p p

p p

=Æ= - D

= - = -

= - =

Â

Ú

Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y Dx 1

21 ( 2)y x= - -

0 1 3 x 21 ( 2)y x=- - -

y -3 3 x

Cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, dan batasnya adalah lingkaran

2 2( 2) 1x y- + = . Batas sebelah atasnya ada-

lah fungsi 21 ( 2)y x= - - dan sebelah bawahnya adalah 21 ( 2) .y x= - - -

Volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung adalah

( )( )

32 2 21 1|| || 0

1 21

1 1 1 12 2 2 241 1 0

lim 2 1 ( 2) 1 ( 2) 4 1 ( 2)

4 2 1 ; 2, , 2, 1 3 1 1

4 1 8 1 0 16 1 16 4 .

niP

V x x x x x x dx

u u du u x du dx x u x u

u u du u du u du

p p

p

p p p p p p

=Æ

-

- -

= - - + - - D = - -

= + - = - = = + £ £ ¤- £ £

= - + - = + - = ◊ =

 Ú

ÚÚ Ú Ú

berdasarkan sifat integral tentu fungsi ganjil dan hasil sebelumnya.

4

D

y = 4

-1 0 1 2

D

x

APL INT

011

Metode Cakram y irisan sejajar ^ sb-x f -f bidang yang ^ sb-x

Metode Cincin y f irisan sejajar ^ sb-x g -g

-f bidang yang ^ sb-x

Pada metode cakram, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang te-gak lurus sumbu x selalu berbentuk cakram lingkaran. Untuk x Π[a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu 2( ) ( )L L x f xpD = = . Pada metode cincin, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang tegak lurus sumbu x selalu berbentuk cincin lingkaran. Untuk x Π[a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu 2 2( ) ( ) ( )( )L L x f x g xpD = = - . Volum benda putar untuk kedua metode ini adalah

1|| || 0lim ( ) ( )

bni aP

V L x x L x dx=Æ

= D =Â Ú ,

dengan penampangnya 2( ) ( )L x f xp= atau 2 2( ) ( ) ( )( )L x f x g xp= - . Gagasan metode irisan sejajar adalah perumuman kedua metode ini un-tuk benda padat di antara dua bidang yang tegak lurus sumbu x.

Luas irisan sejajar adalah L(x) bidang ^ sb-x sb-x a

x = a x = b

Metode irisan sejajar Suatu benda padat terle-tak antara dua bidang yang tegak lurus sumbu-x dari a ke b. Jika luas irisan sejajar benda dengan bidang tegak lurus sumbu x adalah L(x) dan L kontinu pada [a,b], maka volume benda padat tersebut adalah

1|| || 0lim ( ) ( )

bni aP

V L x x L x dx=Æ

= D =Â Ú .

0 a x b x 0 a x b x

b x

L(x)

APL INT

012

Contoh Alas suatu benda padat adalah cakram lingkaran berjari-jari a > 0. Jika irisan sejajar antara bidang yang tegak lurus garis tengah tetap selalu berbentuk persegi, hitunglah volum benda padat tersebut. benda padat C y x = -a x = 0 x = a x y a B(x,y) 2 2y a x= -

-a a x A(x,-y) -a

Persamaan lingkarannya adalah 2 2 2.x y a+ = Irisan benda padat dengan bidang yang tegak lurus sumbu x pada selang [-a,a] berbentuk persegi ABCD. Jika A(x,-y) dan B(x,y), maka

sisi persegi adalah 2 22 2 ,AB y a x= = - se-hingga luas ABCD adalah L(x) =

2 24( )a x- . Karena L kontinu pada [-a,a], maka volum benda padatnya adalah

( )( )

2 2 2 21|| || 0

12 2 2 330

1 13 3 33 3

lim 4( ) 4( )

8 ( ) 8

8 5 .

ani aP

aa

a

V a x x a x dx

a x dx a x x

a a a

= -Æ

-

= - D = -

= - = -

= - =

 Ú

Ú

Contoh Alas suatu benda padat adalah {( , ) |0 1,0 2 1 }D x y y x y= £ £ £ £ - . Jika irisan sejajar dengan bidang yang tegak lurus sumbu y selalu berbentuk cakram setengah lingkaran, tentukan volum benda padat tersebut.

y

1 2 1x y= - y diameter lingkaran 0 2 x y benda padat

1 0 cakram 2 x setengah lingkaran

Irisan sejajar yang berbentuk cakram setengah lingkaran untuk y di antara 0 dan 1 berdiameter 2 1 y- , sehingga jari-jarinya 1 y- . Luas ca-

kramnya adalah ( )21 12 2

( ) 1 (1 )L y y yp p= - = - . Karena L kontinu pada [0,1], maka volum ben-da padatnya adalah

( ) ( )

11 11 2 2 0|| || 0

11 1 1 1 122 2 2 2 40

lim (1 ) (1 )

1 .

niP

V y y y dy

y y

p p

p p p

=Æ= - D = -

= - = - =

 Ú

A(x,-y)

B(x,y)

D

0 x

APL INT

013

Pusat Massa Batang

Dxi m2 m3 O m1 mi mn O L x2 x3 x1 xi xn x0 xi-1 ci xi xn x

Sistem partikel pada suatu garis terdiri dari n partikel dengan massa m1, m2, º, mn yang terletak di titik x1, x2, º , xn. Massa, momen terhadap ti-tik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

Massa adalah M = m1 + m2 + º + mn Momen terhadap O adalah M0 = m1x1 + m2x2 + º + mnxn

Titik pusat massa adalah 0MMx = .

Sebuah batang horisontal tak homogen panjangnya L terletak di antara x = 0 dan x = L. Jika rapat massa di setiap titik pada batang adalah r (x), dengan r kontinu pada [0,L], akan ditentukan pusat massa batang.

Buatlah partisi untuk [0,L] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i dan pan-jangnya Dxi. Jika ci adalah titik tengah [xi-1,xi] dan rapat massanya pada selang bagian ini konstan sebesar r (ci), maka massanya Dmi = r (ci) Dxi dan pusat massanya di ci. Batang ini dipandang sebagai sistem n partikel dengan massa Dm1, Dm2, º , Dmn di c1, c2, º , cn yang massa, momen ter-hadap titik O, dan pusat massanya ditentukan seperti di atas. Untuk batang tak homogen yang panjangnya L dengan rapat massa r (x), r kontinu pada [0,L], pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

Massa batang adalah 1 0|| || 0

lim ( ) ( )Ln

i iiPM c x x dxr r

=Æ= D =Â Ú .

Momen terhadap O adalah 0 1 0|| || 0lim ( ) ( )

Lni i iiP

M c c x x x dxr r=Æ

= D =Â Ú .

Titik pusat massa batang adalah 0MMx = .

APL INT

014

Contoh Tentukan pusat massa batang tak homogen yang panjangnya 4 sa- tuan dan rapat massa di setiap titik x yang jaraknya x satuan dari ujung kiri batang adalah r (x) = 6x + 4.

Massa batang adalah

( ) ( ) ( )44 21 0 0|| || 0

lim 6 4 6 4 3 4 48 16 64ni iiP

M c x x dx x x=Æ

= + D = + = + = + =Â Ú .

Momen terhadap O adalah

( ) ( ) ( )( )

4 4 20 1 0 0|| || 0

43 20

lim 6 4 6 4 6 4

2 2 128 32 160.

ni i iiP

M c c x x x dx x x dx

x x

=Æ= + D = + = +

= + = + =

Â Ú Ú

Titik pusat massa batang adalah 0 12

16064 2M

Mx = = = .

Jadi titik pusat massa batang terletak 12

2 satuan dari ujung kiri batang.

Pusat Massa Keping Datar

y m2 (x2,y2) y1 m1 m3 (x1,y1) (x3,y3) 0 x1 x m4 mn (x4,y4) mi (xn,yn) (xi,yi)

Sistem partikel pada suatu bidang terdiri dari n partikel dengan massa m1, m2, º , mn yang terletak di titik (x1,y1), (x2,y2) , º , (xn,yn). Massa, momen terhadap titik asal O, dan pu-sat massanya ditentukan sebagai berikut.

Massa adalah M = m1 + m2 + º + mn Momen terhadap sumbu x adalah

Mx = m1 y1 + m2 y2 + º + mn yn

Momen terhadap sumbu y adalah My = m1 x1 + m2 x2 + º + mn xn.

Pusat massa sistem adalah ( ),x y , dengan yMMx = dan xM

My = .

Gagasan ini akan digunakan untuk menentukan pusat massa suatu keping datar homogen dengan rapat massa konstan r (x) = k yang berbentuk da-erah

D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x), f dan g kontinu pada [a,b]}.

APL INT

015

y f g 0 a b x y f g

0 a xi-1 xi b x ci

Keping datar homogen D berbentuk daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)}

dengan f, g kontinu pada [a,b], dan rapat massa di setiap (x,y) Œ D adalah r (x) = k. Akan ditentukan pusat massa keping D. Buatlah partisi untuk [a,b] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i, yang menghasilkan n persegi panjang dengan alas Dxi = xi - xi-1 dan tinggi f (ci) - g(ci), ci titik tengah selang [xi-1,xi]. Hampiran massa keping adalah massa persegi pan-jang ke-i, yaitu Dmi = k ( f (ci) - g(ci)), i = 1, 2, º, n.

Karena rapat massanya konstan dan ci titik tengah [xi-1,xi], maka pusat massa persegi panjang ke-i terletak di titik ( )( )1

2, ( ) ( )i i i iP c f c g c= + , i =

1, 2, º, n. Jadi diperoleh sistem partikel pada bidang dengan n partikel yang massanya Dm1, Dm2, º , Dmn dan terletak di titik P1, P2, º , Pn. Untuk keping datar homogen D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} dengan rapat massa r (x) = k pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

Massa keping: ( ) ( )1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )

bni i ii aP

M k f c g c x k f x g x dx=Æ

= - D = -Â Ú Momen terhadap sumbu x:

( )( ) ( )( )( ) ( )

11 2|| || 0

1 12 2 2 212 2|| || 0

lim ( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( ) ( ) ( ) .

nx i i i i iiP

bni i ii aP

M k f c g c x f c g c

k f c g c x k f x g x dx

=Æ

=Æ

= - D -

= - D = -

Â

 Ú

Momen terhadap sumbu y:

( )( )( ) ( )1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )

bny i i i ii aP

M k f c g c x c k x f x g x dx=Æ

= - D = -Â Ú .

Pusat massa keping D adalah ( ),x y , dengan yMMx = dan xM

My = .

Untuk k = 1, pusat massa ∫ pusat daerah (centroid) D, dengan M = luas D.

D

iP

APL INT

016

Contoh Tentukan pusat daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4}.

y 4 y = x2 3 2 1 0 1 ci 2 x

Luas daerah D adalah

( ) ( )22 1 2 12 33 3 30 0

4 4 8 2 5M x dx x x= - = - = - =Ú .

Momen daerah D terhadap sumbu x adalah

( ) ( )221 1 1 1 44 52 2 5 5 50 0

16 16 16 3 12xM x dx x x= - = - = - =Ú .

Momen daerah D terhadap sumbu x adalah

( ) ( ) ( )22 2 12 3 2 440 0 0

4 4 2 8 4 4yM x x dx x x dx x x= - = - = - = - =Ú Ú .

Pusat daerah D adalah ( ),x y , 13

34

45

yMMx = = = dan

45

13

25

125

2xMMy = = = .

Jadi pusat daerah D adalah ( )3 24 5

,2 .

Teorema Pappus (Kaitan volum benda putar dan pusat daerah)

sumbu putar garis g

Jika daerah D yang terletak pada salah satu sisi dari garis g diputar terhadap garis g, maka volum benda putarnya adalah luas D dikalikan jarak tempuh pu-sat daerahnya.

2V dp= , d = jarak (pm,g) dan = luas D. y 4 y = x2 3 2 1 0 1 ci 2 x

Ilustrasi (Solusi soal sebelumnya dengan teorema Pappus) Daerah D di atas luasnya 1

35M = dan pusatnya ( )3 2

4 5,2 .

Jika D diputar terhadap sumbu y, maka jarak tempuh pu-satnya adalah p =

3 34 4

2 .p p◊ = Jadi volum benda putarnya

adalah V = Mp = 1 33 2

5 8p p◊ = . y

Daerah D = {(x,y) | 2 2( 2) 1x y- + £ } diputar terhadap sumbu y, luasnya M = p, dan pusatnya (2,0). Jarak tempuh pusatnya adalah p = 2p ◊ 2 = 4p. Jadi volum benda putarnya adalah V = Mp = p ◊ 4p = 4p

2.

D

y = 4

p.m

( )1 22 4 ic+

d D

pm

g

D

y = 4

p.m

( )1 22 4 ic+

D -2 -1 0 1 2 pm 3 x

APL INT

017

Suatu objek bergerak sejauh D sepanjang sebuah garis dipengaruhi gaya tetap F yang searah geraknya. Kerja dari F untuk memindahkan objek itu sejauh D adalah gaya dikalikan perpindahannya, yaitu W = F ◊ D. Suatu objek bergerak sepanjang sumbu x dari a ke b dipengaruhi gaya ti-dak tetap sebesar F(x) di titik x, F kontinu pada [a,b]. Akan ditentukan kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b. Buatlah partisi untuk [a,b], maka dengan asumsi sepanjang [xi-1,xi] be-kerja gaya tetap sebesar F(ci), besarnya kerja untuk memindahkan objek dari x ke x + Dxi adalah DWi = F(ci) Dxi. Dengan menggunakan hampiran dan limit jumlah, besarnya kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b adalah

1|| || 0lim ( ) ( )

bni ii aP

W F c x F x dx=Æ

= D =Â Ú .

Contoh Panjang asal sebuah pegas adalah 40 cm dan untuk meregangnya sehingga menjadi 50 cm diperlukan gaya sebesar 2 kg. Tentukan kerja un-tuk meregang pegas itu dari 40 cm menjadi 60 cm. panjang pegas asal panjang setelah diregang x 0 1 2 3 4 x (dm) 0 1 x 2 3 4 x (dm)

Tempatkan pegas secara horisontal dengan titik ujung pegas di 0. Berda- sarkan hukum Hooke, besarnya gaya untuk meregang pegas sebanding dengan regangannya. Jika gaya untuk meregang pegas sejauh x m adalah F(x) kg, maka F(x) =

kx. Karena untuk meregang pegas 0,1 m diperlukan gaya sebesar 2 kg, maka F(0,1) = 0,1k = 2, sehingga k = 20. Akibatnya F(x) = 20x kg. Kerja untuk meregang pegas sejauh 0,2 m (dari 40 cm menjadi 60 cm) adalah

( )0,20,2 21 0 0|| || 0

lim 20 20 10 0,4ni iiP

W c x xdx x=Æ

= D = = =Â Ú kgm.

APL INT

018

y

h b h-dj yj yj-1 a 0 x

Sebuah tangki tingginya h meter berisi zat cair yang berat jenisnya tetap sebesar w kg/m3 sampai pada ketinggian b m dari alasnya. Akan ditentukan kerja untuk memompa zat cair dari y = a sampai y = b. Untuk mengangkat suatu benda harus melawan ga-ya gravitasi, sehingga kerja yang diperlukan adalah hasilkali berat benda dengan jarak terangkatnya.

Buatlah partisi untuk [a,b] dan asumsikan pada ketinggian dj Π[yj-1,yj] berat zat cairnya wA(dj) Dyj dengan A(dj) luas bidang irisan sejajarnya, A kontinu pada [a,b]. Kerja untuk memompa zat cair pada selang [yj-1,yj] sejauh h - dj adalah DWj = (h - dj) wA(dj) Dyj = w (h - dj) A(dj) Dyj. Kerja untuk memompa zat cair keluar tangki dari a sampai b adalah

1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )

bnj j ji aP

W w h d A d y w h y A y dy=Æ

= - D = -Â Ú

Contoh Sebuah tangki setengah bola berjari-jari 10 m berisi zat cair yang beratnya w kg/m3 sampai pada ketinggian 8 m. Tentukan kerja untuk me-mompa zat cair keluar tangki sehingga ketinggiannya menjadi 6 meter.

y

10 10 8 0 x y 10 8 10-dj 0 x

Pada ketinggian dj luas bidang irisan sejajar-nya adalah cakram lingkaran berjari-jari r > 0,

dengan 2 2100 (10 ) 20j j jr d d d= - - = - .

Berat zat cair pada [yj-1,yj] adalah B = wp r2Dyj =

2(20 )j jw d dp - Dyj, dengan jarak terangkat (10 - dj). Kerja untuk mengangkatnya adalah

DWj = ( )2(20 ) (10 )j j j jw d d y dp - D -

Jadi kerja untuk memompa zat cair keluar dari tangki sehingga ketinggiannya 6 meter adalah

( )8 82 2 36 6

812 3 44 6

(20 )(10 ) (200 30 )

100 10 (2304 1764) 540 kgm.

W w y y y dy w y y y dy

w y y y w w

p p

p p p

= - - = - +

= - + = - =

Ú Ú

dj

6

6 10 dj r