MODUL 1

PAGE

MODUL I

KALKULUS II

DERIVATIF FUNGSI IMPLISIT1.1 Derivatif Fungsi-fungsi Implisit

Persamaan f(x,y) = 0 pada suatu daerah tertentu, menentukan y sebagai fungsi implisit dari x, maka turunan y dapat ditentukan sbb :

Jika mungkin ubalah fungsi implisit, menjadi fungsi eksplisit y = g(x), kemudian diferensiasikan.

Pikirkan y sebagai fungsi x, kemudian turunkan persamaan implisit tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh agar dipecahkan untuk y

Contoh-contoh :

Selesaikan diferensiasi fungsi implisit berikut kedalam turunan pertama dan ke dua

1. xy + x 2y 1 = 0

2. xy x + y 2 = 0

3. y2 = 2x34. x2 + 5y2 = 1

5. x3 + x2y 10y4 = 0

Penyelesaian.

1. Ubah fungsi tersebut kedalam fungsi eksplisit lalu turunkan

xy + x 2y 1 = 0

(x 2) y = 1 x

y =

y = =

y = =

2. xy x + y 2 = 0

xy y = 2 + x

( x + 1) y = 2 + x

y =

y =

y =

y =

3. y2 = 2x3 Persamaan tetap dalam fungsi implisit

d /dx (y 2) = d / dx (2x3)

2 y y = 6 x 2y = 6x2/2y y = 3x2/y. 2y ( 0

4. x2 + 5y2 = 1

d /dx ( x 2) + d /dx ( 5y 2) = d /dx (1)

2x + 10yy = 0

y = - 2x/10y atau y = - x/5y. y ( 0

5. x3 + x2y 10y4 = 0

d/dx (x3) + d/dx (x2y) d/dx (10y4) = d/dx (0)

3x2 + 2xy + x2y 40y3y = 0

40y3y x2y = 3x2 + 2xy

(40y3 x2)y = 3x2 + 2xy

y =

1.2 Derivativ Tingkat Tinggi Fungsi ImplisitMisalnya y = f (x), fungsi x yang dapat di diferensiasikan dan turunnnya disebut turunan pertama, jika hasil turunan ini diturunkan lagi sampai ketingkat yang lebih tinggi, maka disebut diferensiasi tingkat tinggi.

Turunan dari suatu orde disuatu titik hanya mungkin ada jika fungsi dari semua turunan lebih rendah dapat didiferensiasikan di titik tersebut.

Misal y = f(x)

Turunan pertamanya : y = dy / dx = f (x)

Turunan keduanya : y = d2y / dx2 = f (x)

Turunan ketiganya : y = d3y / dx3 = f (x)

Turunan ke-n : y n = d n y / dx n = f n (x)..dst.

Contoh-contoh :

1. Carilah turunan ke 4nya fungsi y = 5x4 4x3 + 3x2 2x + 1

Jawab : y = 20x3 12x2 + 6x 2

y = 60x2 24x + 6

y = 120x 24

y4 = 120

2. Carilah Turunan kedua dari fungsi xy + 2x 4y = 10

Jawab : d / dx (xy) + d /dx (2x) d /dx (4y) = d /dx (10 )

y + xy + 2 4y = 0 atau x y 4 y = - 2 y

( x 4 ) y = - ( 2 + y )y =

dari y + xy + 2 4y = 0 kita turunkan lagi

d /dx ( y ) + d /dx ( x y ) + d /dx ( 2 ) d /dx ( 4y) = d /dx ( 0 )

y + y + xy 4y = 0

2 y + ( x 4 ) y = 0

( x 4 ) y = - 2 y

( x 4 ) y = - 2 ( )

( x 4 ) y =

y =

3. Hitung y dan y pada x = 1 dan y = -1 untuk fungsi x 3 y + x y 3 = 2

Jawab :

d/dx ( x3 y) + d /dx ( x y3 ) = d /dx ( 2 )

3x2y + x3y + y3 + 3 x y 2 y = 0

x3y + 3 x y 2 y = - ( 3 x 2 y + y 3 )

( x 3 + 3 x y 2 ) y = - ( 3x 2 y + y 3 )

y =

untuk x = 1 dan y = -1 kita masukan harga tersebut ke y maka diperoleh y = 1

untuk y dari 3x2y + x3y + y3 + 3 x y 2 y = 0 kita turunkan lagi

d/dx (3x2y) + d/dx (x3y) + d/dx (y3) + d/dx (3xy2y) = 0

6xy + 3 x 2 y + 3 x 2 y + x3y + 3 y 2 y + 3 y 2 y + 6 x y yy + 3 x y 2 y = 0

x3y + 3x y 2 y = - 6 x y - 6 x 2 y - 6 y 2 y - 6 x y y 2( x3 + 3 x y 2 ) y = - ( 6 x y + 6 x 2 y + 6 y 2 y + 6 x y y2 )

y =

untuk x = 1, y = -1 dan y = 1, didapat y = 0

1.3 Nilai Extrem.

Suatu nilai ekstrem fungsi akan memuat titik- titik kritis, fungsi naik dan fungsi turun serta nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Menentukan titik kritis ;

Jika f(x) dapat diturunkan dalam selang a ( x ( b dimana f (x) memiliki nilai relatif maka f(x) = 0 adalah kritis

Selesaikan f(x0) = 0 untuk harga-harga kritis. Buat garis bilangan y untuk harga-harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y.

1.4 Fungsi Naik & Fungsi Turun

Suatu fungsi dikatakan naik pada x = x0. bila turunannya positif, f(x0) ( 0.

Suatu fungsi dikatakan turun pada x = x0, bila turunannya negatif, f(x0) ( 0.

Suatu fungsi dikatakan diam (stationer) pada x = x0, bila turunannya nol, f(x0) = 0.

1.5 Harga Maksimum dan Minimum.

Suatu fungsi f(x) bernilai maksimum, jika f(x0) berubah tanda dari tanda positif ke negatif.

Suatu fugnsi f(x) bernilai minimum, jika f(x0) berubah tanda dari tanda negatif ke positif.

Gambar 1.1 : Kedudukan fungsi

Fungsi naik dalam interval a ( x ( r dan t ( x ( u

Fungsi turun dalam interval r ( x ( t

Fungsi diam (statisioner) pada titik x = 0, x = s, dan x = t

Titik-titik R,S, dan T disebut titik kritis

Contoh-contoh

1 Diketahui fungsi y = 1/3 x3 1/2x2 2x

Tentukan : a. Titik kritis

b. Fungsi naik dan turun

c. Nilai maximum-minimum

Jawab : f(x) = 1/3x3 1/2x2 2x

f(x) = x 2 x 2 f (x) = 0

x 2 x 2 = 0 atau ( x 2 )( x + 1 ) = 0

x1 = 2 dan x2 = - 1. harga kritis

Untuk x = 2 didapat y = - 10/3 jadi titik kritisnya ( 2, -10/3 )

Untuk x = -1 didapat y = 7/6 jadi titik kritisnya ( 1, 7/6 )

Y

+ -- +

-1

2

b. Fungsi Naik dan Turun

Fungsi naik pada interval x ( - 1 dan x ( 2 berubah tanda dari - ke +

Fungsi turun pada interval 1 ( x ( 2 berubah tanda dari + ke -

c. Nilai maximum dan minimum fungsi

Pada x = -1, f(x) berubah tanda dari + ke -, maka f(x) mempunyai harga maximum f(x) = 7/6.

Pada x = 2, f(x) berubah tanda dari ke +, makla f(x) mempunyai harga minimum f(x) = -10/3.

+ + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +

Gambar 1.2 : Kedudukan fungsi

1. Diberikan f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 6x + 8

Tentukan a. Titik kritis

a. Interval dimana y naik dan y turun

b. Nilai maximum dan minimum f(x)

Jawab :

a. f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 6x + 8

f(x) = x2 + x 6 f(x) = 0 (x + 3)(x 2) = 0

Harga kritis x = -3 dan x = 2

Titik kritis (-3, 43/2) dan (2, 2/3)

b. + + + - - - - - + + +

Fungsi naik pada interval x ( -3 dan x ( 2.

Untuk fungsi naik, diketahui turunan pertamanya f(x) ( 0, (tanda +)

Fungsi turun pada interval 3 ( x ( 2

Untuk fungsi turun, diketahui turunan pertamanya f(x) ( 0.

c. Pada x = -3,

f(x) berubah tanda dari + ke - , maka f(x) mempunyai harga maximum pada Y = 43/2.

Pada x = 2, f(x) berubah tanda dari ke +, maka f(x) mempunyai harga minimum pada f(x) = 2/3. 1.5 Harga Maksimum dan Minimum.

Suatu fungsi f(x) bernilai maksimum, jika f(x0) berubah tanda dari tanda positif ke negatif.

Suatu fugnsi f(x) bernilai minimum, jika f(x0) berubah tanda dari tanda negatif ke positif.

Gambar 1.1 : Kedudukan fungsi

Fungsi naik dalam interval a ( x ( r dan t ( x ( u

Fungsi turun dalam interval r ( x ( t

Fungsi diam (statisioner) pada titik x = 0, x = s, dan x = t

Titik-titik R,S, dan T disebut titik kritis

Contoh-contoh

1 Diketahui fungsi y = 1/3 x3 1/2x2 2x

Tentukan : a. Titik kritis

b. Fungsi naik dan turun

c. Nilai maximum-minimum

Jawab : f(x) = 1/3x3 1/2x2 2x

f(x) = x 2 x 2 f (x) = 0

x 2 x 2 = 0 atau ( x 2 )( x + 1 ) = 0

x1 = 2 dan x2 = - 1. harga kritis

Untuk x = 2 didapat y = - 10/3 jadi titik kritisnya ( 2, -10/3 )

Untuk x = -1 didapat y = 7/6 jadi titik kritisnya ( 1, 7/6 )

Y

+ -- +

-1

2

b. Fungsi Naik dan Turun

Fungsi naik pada interval x ( - 1 dan x ( 2 berubah tanda dari - ke +

Fungsi turun pada interval 1 ( x ( 2 berubah tanda dari + ke -

d. Nilai maximum dan minimum fungsi

Pada x = -1, f(x) berubah tanda dari + ke -, maka f(x) mempunyai harga maximum f(x) = 7/6.

Pada x = 2, f(x) berubah tanda dari ke +, makla f(x) mempunyai harga minimum f(x) = -10/3.

t

u

a

r

b

s

c

t

u

7/6

-1

2

-10/3

43/2

-3

2

8

-3

2

Y

s

c

r

b

a

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 1

PAGE PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 10

_1109659820.unknown

_1109660308.unknown

_1109662662.unknown

_1109663770.unknown

_1109664472.unknown

_1109667144.unknown

_1109663597.unknown

_1109660700.unknown

_1109660168.unknown

_1109660236.unknown

_1109660115.unknown

_1109659551.unknown

_1109659746.unknown

_1109659476.unknown