Kalkulus Peubah Banyak 01

Kurva Bidang: Representasi Parametrik

Geometri pada Bidang, Vektor

[email protected]

Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah

July 28, 2013

[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor


PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan

Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan olehpasangan persamaan parametrik

x = f(t), y = g(t), t dalam I

dengan f dan g kontinu pada selang I.

I biasanya selang tertutup [a, b] dan t disebut parameter.

Ketika t berjalan dari a ke b, titik (x, y) akan bergerakmenelusuri seluruh kurva pada bidang xy.

Jika I = [a, b] maka titik P = (x(a), y(a)) disebut titikujung awal (initial end point) dan titik Q = ((x(b), y(b))disebut titik ujung akhir (final end point).




Jika suatu kurva mempunyai titik-titik ujung yang salingberhimpit maka disebut kurva tertutup (closed).

Jika untuk nilai t yang berbeda menghasilkan titik yangberbeda pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dant = b) maka kurva tersebut disebut kurva sederhana(simple).

Pasangan x = f(t), y = g(t) bersama dengan selang Idisebut parametrisasi (parametrization) dari suatu kurva.




Gambar: Jenis-jenis kurva




Tidak sederhana, tertutup

Sederhana, tertutup

Gambar: Jenis-jenis kurva




Untuk mengenali sebuah kurva yang dinyatakan dalamparametrik dapat dilakukan dengan menghilangkanparameternya, yaitu menyelesaikan satu persamaan untuk t dankemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lainnya.

Contoh 1

Tentukan kurva yang bersesuaian dan buatlah grafiknya daripersamaan-persamaan berikut ini

x = t2 + 2t, y = t− 3, −2 ≤ t ≤ 3.




Penyelesaian

Dari persamaan y = t− 3 kita peroleh t = y + 3. Selanjutnya tini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama,

x = (y + 3)2 + 2(y + 3) = y2 + 8y + 15

ataux+ 1 = (y + 4)2.

Persamaan di atas adalah sebuah parabola yang tebuka kekanan. Lihat gambar berikut ini.




Gambar: Grafik dari x = t2 + 2t, y = t− 3, −2 ≤ t ≤ 3.




Contoh 2

Tunjukkan bahwa

x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π

merepresentasikan elips seperti pada gambar berikut.




Penyelesaian

Pertama sekali selesaikan persamaan-persamaan untuk cos t dansin t. Selanjutnya kuadratkan dan jumlahkan sehingga diperoleh(x

a

)2+(yb

)2= cos2 t+ sin2 t = 1

atau (xa

)2+(yb

)2= 1.

Persamaan di atas adalah sebuah elips.




Sebuah sikloid (cycloid) adalah suatu kurva yang dibentukoleh sebuah titik P pada bagian terluar dari sebuah roda ketikaroda tersebut berputar di sepanjang garis lurus tanpatergelincir. Perhatikan gambar berikut.




Untuk menentukan persamaan parametrik sikloid, misalkanroda berputar di sepanjang sumbu x dengan P merupakan titikasal. Misalkan dinotasikan pusat roda adalah C denganjari-jarinya adalah a. Pilih parameter t dalam radian dengansudut searah jarum jam dimana ruas CP akan berada padaposisi vertikal ketika P berada pada titik asal.Karena |ON | = busur PN = at,

x = |OM | = |ON | − |MN | = at− a sin t = a(t− sin t)

dan

y = |MP | = |NR| = |NC|+ |CR| = a− a cos t = a(t− cos t)

maka persamaan-persamaan parametrik untuk sikloid adalah

x = a(t− sin t), y = a(t− cos t)




Teorema

Misalkan f dan g secara kontinu dapat didiferensialkan denganf ′(t) 6= 0 pada α ≤ t < β, maka persamaan-persamaanparametrik

x = f(t), y = g(t)

mendefinisikan y sebagai fungsi x yang dapat didiferensialkandan

dy

dx=dy/dt

dx/dt




Contoh 3

Tentukan dy/dx dan d2y/dx2 untuk fungsi berikut ini

x = 5 cos t, y = 4 sin t, 0 < t < 3.

Penyelesaian

Misalkan y′ menotasikan dy/dx, maka

dy

dx=dy/dt

dx/dt=

4 cos t

−5 sin t= −4

5cot t

d2y

dx2=dy′

dx=dy′/dt

dx/dt=

45 csc2 t

−5 sin t= − 4

25csc2 t




1. Tentukan persamaan Cartesius dari kurvax = 4− t, y =

√2t; 0 ≤ t ≤ 4.

2. Tentukan dy/dx dengan menghilangkanparameternya jikax = 1− cos t, y = 1 + sin t; t 6= nπ

3. Tentukan persamaan garis singgung terhadapkurva pada titik yang telah diberikan tanpamenghilangkan parameternya jika diberikanx = t2, y = t3; t = 2.


Kalkulus Peubah Banyak 01

Documents

Transcript of Kalkulus Peubah Banyak 01