Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor

Teknik Informatika-UnitomoAnik Vega Vitianingsih

TEORI KESALAHAN (GALAT)

-Penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis

-Penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan (galat) terhadap nilai eksak

-Keandalan suatu nilai numerik dapat ditandai memakai konsep Angka Bena yaitu angka yang dapat dipergunakan dengan pasti.

Angka ini diperoleh dari sejumlah angka tertentu ditambah dengan satu taksiran.

Konsep angka bena mempunyai dua terapan yaitu :1. Kriteria untuk memerinci seberapa jauh

hampiran (aproksimasi) tersebut dapat dipercaya.

2. Tidak menyatakan bilangan tertentu seperti p, e, atau Å7 secara eksak memakai sejumlah berhingga bilangan.

Contoh : Å7 = 2,645751311…..

Macam – macam kesalahan

Kesalahan Bawaan◦Merupakan kesalahan dari nilai data◦Kesalahan terjadi karena kekeliruan dalam

menyalin data◦Kesalahan dalam membaca skala◦kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai

hukum - hukum fisik dari data yang diukur

Kesalahan Pemotongan◦Kesalahan terjadi karena tidak dilakukannya

perhitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar

Kesalahan Pembulatan ◦kesalahan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan Bilangan perkiraan digunakan sebagai

pengganti bilangan eksak Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n

dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi tersebut nol, sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih besar dari setengah dari angka posisi ke n

Pengabaian diluar angka bena yang terjadi karena kesalahan – kesalahan tersebut dikenal dengan galat.

Galat terbagi menjadi :

1. Galat pembulatan (untuk menyatakan bilangan eksak)

2. Galat pemotongan (untuk menyatakan prosedure matematis).

Galat yang berhubungan dengan perhitungan / pengukuran dicirikan:- ketelitian (merupakan nilai sejati yang dihitung)

- ketepatan (merupakan banyaknya angka bena yang menyatakan suatu nilai atau sebaran dalam perhitungan berulang atau pengukuran nilai yang teliti)sehingga :

Nilai sejati = aproksimasi + galat (Et)

Dimana :

Et = galat sejati = Nilai sejati – aproksimasi

%100)(% xnilaigalat

ifGalat relat =e

Dimana:

-t : nilai sejati

-a : aproksimasi

- Ea : galat aproksimasi

aproksimasi sekarang – aproksimasi sebelumnya

Deret Taylor

• Mrk penyelesaian persamaan Diferensial

• Jika suatu fungsi ƒ(X) diketahui dititik Xi dan semua turunan dari ƒ terhadap X diketahui pada titik tersebut deret Taylor dinyatakan nilai ƒ pada titik Xi+1 yang terletak pada jarak ∆X dari titik Xi .

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1)

!1)(')()( 1

xxfxfxf iii

3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2)

!2)(''

!1)(')()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order 0)

)()( 1 ii xfxf

4. Iterasi akan berhenti jika Rn = 0

y

xi i+1

)(xf

order 2

order 1

order 0

Persamaan deret Taylor:

)!1(

).( )1()1(

n

hfR

nn

n

Ket: ƒ(Xi) : fungsi dititik 1

ƒ(Xi+1) : fungsi dititik i+1

ƒ’, ƒ’’ … ƒn : turunan pertama, kedua,…,ke n ∆X : jarak antara ƒ(Xi) dan ƒ(Xi+1)

Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial

c/:Diketahui seuatu fungsi :dengan menggunakan Deret Taylor pada order berapa, hasil penyelesaian numerik sama dengan penyelesaian eksak? dimana order 0,1,2 dan 3 perkiraan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 1 & titik xi+1 =1 berada pada jarak=1 dari titik x = 0.

Jawab :f(0) = 0.5f(1) = 1.5

 

Untuk order 0 :f(xi+1) = f(xi) f(0 +1) = f(0) f(1) = 0.5Kesalahan pemotongan :Rn = 1.5 – 0.5 = 1

Untuk order 1 :f(xi+1)= f(xi) + f’(xi) ∆X /1!f(0+1) = 0.5 +( ) 1 = 0.5 (0.75 (0) + 0 +0.25 = 0.75Kesalahan pemotonganRn = 1.5 – 0.75 = 0.75

25.075.0 2 xx

Untuk Order 2 : f(xi+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2) = 1.25Kesalahan pemotongan:Rn = 1.5 – 1.25 = 0.25 Untuk Order 3 :f(xi+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1.5Kesalahan pemotongan :Rn = 1.5 – 1.5 = 0 (terbukti)

Algoritma:1. Tentukan order dari deret Taylor2. Masukkan nilai x0 kedalam rumus deret Taylor3. Gabungkan semua perhitungan deret Taylor - looping sebanyak i=0; i= ƒ(Xi+1) - if (i==0) Rn=ƒ(x) else if ((i+1)%2==0) Rn=0 else if ((i+1)%2!=0 && (i+1)!=1) Rn=i