Deret Taylor 2

Deret Taylor dan Analisis Galat

• Ahmad Ashril Rizal

Metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi

ke dalam bentuk polinom

Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri

dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling

mudah dipahami kelakuannya

Kalau perhitungan dengan fungsi yang sesungguhnya menghasilkan solusi

sejati, maka perhitungan dengan fungsi hampiran menghasilkan solusi

hampiran

Pada pertemuan lalu sudah dikatakan bahwa solusi numerik merupakan

pendekatan (hampiran) terhadap solusi sejati, sehingga terdapat galat sebesar

selisih antara solusi sejati dengan solusi hampiran

Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom

menghampiri fungsi sebenarnya. Kakas yang digunakan untuk membuat

polinom hampiran adalah deret Taylor.

INGAT!!!!!Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan daripenyelesaian analitis atau eksak

METODE NUMERIK

Terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak

Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak)

Dalam proses perhitungannya (algoritma)dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang

Click to edit the outline text format

Second Outline Level

Third Outline Level

Fourth Outline Level

Fifth Outline Level

Sixth Outline Level

Seventh Outline Level

Eighth Outline Level

Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles

Second level

Third level

Fourth level

Fifth level

DERET TAYLOR

• Definisi :

Andaikan f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,…menerus di dalam selang [a,b].

Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

...)(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( )(''

2

0

'

o

mm

oo

ooo xf

m

xxxf

xxxf

xxxfxf

DERET TAYLOR(Persamaan Deret Taylor)

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metodenumerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.

Bentuk umum deret Taylor:

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahuipada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1

yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .

n

n

in

iiiii Rn

xxf

xxf

xxf

xxfxfxf

!)(.....

!3)('''

!2)(''

!1)(')()(

32

1

f(x)

Order 2

Order 1

xi xi+1

f(xi ) : fungsi di titik xi

f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1

f ’, f ’’,..., f n : turunan pertama, kedua,...., ke n dari fungsi

∆x : jarak antara xi dan xi+1

Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut danbiasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar

jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus

diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

)()( 1 ii xfxf Perkiraan order nol

!1)(')()( 1

xxfxfxf iii

Perkiraan order satu

!2)(''

!1)(')()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

Perkiraan order dua


Contoh

Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deretTaylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik x = 0,5berdasar nilai fungsi pada titik x0 = 0.

Solusi:

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxfi

5,1

105,8

)5,0)(20)0(24)0(6(5,8

!1

05,0)0(')0(

!1)(')()5,0()(

2

1

ff

xxfxffxf iii


2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

KESALAHAN (ERROR)

Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak(yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilaieksak.

Terdapat tiga macam kesalahan:1. Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data.

Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahankarena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2. Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angkaterakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untukmenggantikan bilangan eksak.contoh, nilai:8632574 dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

GALAT PEMBULATAN

• Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.

• Contoh :

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =

-0,00000033.

Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :

(a). Bilangan titik tetap (fixed point)

Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point)

Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03

0,1714 x 10-13 atau

0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

ANGKA BENA

• Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.

• Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)

0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)

0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)

0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)



Third Outline Level


Fifth Outline Level

Sixth Outline Level




Second level

Third level

Fourth level

Fifth level

GALAT TOTAL

• Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

• Contoh :

9800667,024

)2,0(

2

)2,0(1)2,0(

42

Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

KESALAHAN (ERROR)

3. Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai denganprosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhinggadiganti dengan proses berhingga.Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentukderet tak terhingga yaitu:

..........!4!3!2

1432

xxx

xex

Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari deret tersebutdiperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk menghitung semua sukusampai tak terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertamasaja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanyamemperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan kesalahanpemotongan.

xe



Third Outline Level


Fifth Outline Level

Sixth Outline Level




Second level

Third level

Fourth level

Fifth level



Third Outline Level


Fifth Outline Level

Sixth Outline Level




Second level

Third level

Fourth level

Fifth level

• Maka :

• Galat pemotongan :

......!10!8!6!4!2

1)cos()(108642

xxxxx

xxf

Nilai hampiran Galat pemotongan

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

n

on

)cos(!7

)()!16(

)0()(

7)16(

)16(

6 cx

cfx

xR

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat dirumuskan sebagaiberikut:

p = p* + Eedengan:p : nilai eksakp* : nilai perkiraanEe : kesalahan terhadap nilai eksak

Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan antara nilaieksak dan nilai perkiraan, yaitu:

Ee = p – p*

Kesalahan Absolut

Pada kesalahan absolut,tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan


Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan dengan caramembandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

p

Eee

Kesalahan Relatif terhadap nilai eksak

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.

%100p

Eee


%100

p

Eaa

Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraanterbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai bentuk sebagai berikut:

dengan:Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaikp* : nilai perkiraan terbaikIndeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan(approximate value).


Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana padapendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya.Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya danperkiraan sekarang.

%1001

*

*1

*

n

nn

ap

pp

dengan:: nilai perkiraan pada iterasi ke n: nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1

np*

1*np

Deret Taylor 2

Documents

Transcript of Deret Taylor 2