BAB I

BAB I

METODE NUMERIK

1.1 Mengapa Menggunakan Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Contohnya dalam persoalan yang melibatkan model matematika yang sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusinya. Sebagai contoh, perhatikan sekumpulan persoalan matematik berikut dan bagaimana cara menyelesaikannya?

a. Tentukan akar akar persamaan polinom

b. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan

c. Hitung integral

Contoh contoh diatas memperlihatkan bahwa kebanyakan persoalanmatematik tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat ( error ) sama dengan nol. Metode analitik seringkali hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana, padahal persoalan yang mincul dalam dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatik biasa ( tambah, kurang, kali dan bagi ). Secara harafiah metode numerik memiliki arti sebagai cara berhitung dengan menggunakan angka angka. Metode numerik yang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaikan persoalan persoalan perhitungan yang rumit, saat inipun telah banyak yang menawarkan program program numerik sebagai alat bantu perhitungan.

Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan persoalan perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan dan metode yang baik :

Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terdapat theorem analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis ( metode analitik ) yang digunakan adalah ppenyelesaian excat yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.

Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis ( analitik ) karena tidak ada theorema analisa matematika yang dapat digunakan , maka dapat digunakan metode numerik.

Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunkana metode-metode simulasi.

1.2 Prinsip prinsip Metode numerik

Metode numerik berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan menggunakan pendekatan pendekatan yang dapat dipertanggungjawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma - algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numrik merupakan pendekatan analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat algoritma yang dikembangkan dalam metode numrik merupakan algoritma pendekatan, maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain, perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan berulang-ulang untuk terus menerus memperoleh hasil yang mendekati nilai penyelesaian exact.

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini , tentukan bahwa setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error ( nilai kesalahan ). Dalam analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahn dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar , dimana tentunya kesalahan ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

Perbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik

Metode NumerikMetode Analitik

1. Solusi selalu berbentuk angka1. Solusi biasanya dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka

2. Diperoleh solusi yang menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran/ solusi pendekatan2. Diperoleh solusi sejati

Persoalan persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah:

Menyelesaiakan persamaan non linier

Menyelesaiakan persamaan simultan dan multi variabel

Menyelesaiakan diferensial dan integral

Interpolasi dan regresi

Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal yang tidak bersyarat1.3 Tahap tahap memecahkan persoalan secara Numerik

Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik

1. Pemodelan

4. Pemrograman2. Penyederhanaan model5. Operasional3. Formulasi numerik

6. EvaluasiBAB IIMODEL MATEMATIKA

Model matematika secara luas dapat didefinisikan sebagai perumusan atau persamaan yang mengekspresikan feature pokok dari sistem atau proses fisis dalam istilah matematis. Dalam penalaran yang sangat umum , model matematis dapat dinyatakan sebagai suatu hubungan fungsional yang berbentuk

Peubah tak bebas = f ( peubah bebas, parameter, fungsi pemaksa ) ..................................( 2. 1 )

peubah tak bebas : suatu karakteristik yang biasanya mencerminkan keadaan atau perilaku sistem

peubah bebas : dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem sedang ditentukan

parameter : pencerminan sifat sifat atau komposisi sistem

fungsi pemaksa : pengaruh eksternal yang bekerja padanya

Ekspresi matematis yang sebenarnya dari persamaan 2. 1 dapat berkisar dari suatu hubungan aljabar sederhana sampai himpunan persamaan diferensial besar yang rumit. Sebagai contohnya perhatikan model matematis dari hukum kedua Newton dalam persamaan

F = m.a ..................................................................................................................................( 2. 2 )

Persamaan 2.2 mempunyai sejumlah ciri yang khas dari model matematis di dunia fisik

1. persamaan tersebut menggambarkan suatu proses atau sistem biasa dalam istilah istilah matematis.

2. Persamaan tersebut menyatakan suatu idealisasi dan penyedderhanaan dari keadaan yang sebenarnya. Yakni rincian yang sederhana dari proses almiah diabaikan dan perhatian dipusatkan pada manifestasi yang penting.

3. Persamaan tersebut memberikan hasil yang dapat direproduksi, sehingga dapat dipakai untuk tujuan peramalan.

Contoh 2.1

Pernyataan masalah : seorang penerjun payung dengan massa 68.100 gram melompat keluar dari pesawat. Gunakan persamaan untuk menghitung kecepatan ( velocity ) sebelum parasutnya terbuka. Koefisien hambat c kira kira sama dengan 12.500 gram/det

0

2

4

6

10

0,00

1640,00

2777,00

3564,00

4487,00

5339,00

Penyelesaian : Pemasukan parameter parameter ke dalam persamaan

Menghasilkan :

=

Menurut model tersebut, penerjun itu melaju dengan cepat. Kecepatan sebesar 4487,00 cm / det dicapai setelah 10 detik. Setelah waktu yang cukup lama, dicapai kecepatan konstanta ( dinamakan kecepatan akhir )sebesar 5339,00 cm / det. Persamaan disebut penyelesaian analitis atau eksak. Sayang sekali terdapat banyak model matematika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak. Dalam kebanyakan kasus kasus seperti itulah alternatifnya adalah mengembangkan suatu penyelesaian numerik yang menghampiri ( mengakprosimasi ) penyelesaian yang eksak.

Penyelesaian Numerik

Pernyataan masalah : lakukan komputasi yang sama seperti contoh di atas namun gunakan persamaan untuk menghitung kecepatan dengan pertambahan waktu sama dengan 2 detik.

Penyelesaian : pada saat memulai perhitungan (), kecepatan penerjun payung sama dengan nol. Dengan memakai informasi ini dan nilai nilai parameter dari contoh maka persamaan dapat digunakan untuk menaksir kecepatan pada

Untuk selang (interval) berikutnya dari (t=2 sampai 4 detik ), komputasi diulang dengan hasil

Komputasi dilanjutkan dengan cara sama untuk memperoleh nilai nilai tambahan

0

2

4

6

10

0,00

19,60

32,00

39,85

47,97

53,39

Hasil- hasilnya dilukiskan dalam Gambar 2.1 bersamaan dengan penyelesaian eksak. Dapat dilihat bahwa secara cermat metode numerik mencakup segi segi utama dari penyelesaian eksak. Tetapi karena digunakan ruas ruas garis lururs untuk mengaproksimasi suatu fungsi melengkung yang kontinu maka terdapat ketidakcocokan antara kedua hasil tersebut. Satu cara untuk meminimumkan ketidakcocokan yang demikian adalah dengan menggunakan selang komputasi yang lebih kecil. Misalnya dengan menerapkan pada masalah penerjun payung diatas dengan selang 1 detik akan menghasilkan galat yang lebih kecil, karena lintasan ruas-ruas garis lurus lebih dekat ke penyelesaian sebenarnya.BAB III

APROKSIMASI DAN GALAT

3.1 Kekeliruan , Kesalahan perumusan dan Ketidakpastian Data

Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung tak dihubungkan dalam metode numerik, dampak dari kesalahan ini cukup besar.

Kekeliruan.Kesalahan bruto/kekeliruan.Tahun awal penggunaan komputer, komputer sering kali gagal pakai (malfunction).

Sekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan ketidaksempurnaan manusianya.

Kekeliruan dapat terjadi pada sembarang langkah proses pemodelan matematika dan dapat mengambil bagian terhadap semua komponen kesalahan lainnya. Ia hanya dapat dicegah oleh pengetahuan yang baik tentang prinsip dasar dan berhati-hatilah dalam melakukan pendekatan dan mendesain solusi untuk masalah anda.

Biasanya tak dianggap dalam pembahasan metode numerik. Ini terjadi, karena kesalahan bruto sampai taraf tertentu tak dapat dihindari. Tapi tentu saja pasti ada cara untuk memperbaiki keadaan ini.

Misalnya: kebiasaan pemrograman yang baik, seperti yang dibahas dalam bab 2, sangat berguna untuk mengurangi kekeliruan pemrograman. Sebagai tambahan, terdapat juga cara-

cara sederhana untuk memeriksa apakah suatu metode numerik tertentu bekerja secara sempurna.

Kesalahan Perumusan.Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan penyimpangan yang dapat dianggap berasal dari model matematika yang tak sempurna.

Contoh: fakta bahwa hukum Newton kedua tak menghitung efek relativistik. Ini tak mengurangikelayakan solusi pada contoh sebelumnya, karena kesalahan-kesalahan ini adalah minimal pada skala waktu dan ruang dari seorang penerjun payung. Anggap bahwa tahanan udara bukan proporsi linier terhadap kecepatan jatuh seperti dalam persamaan tetapi merupakan sebuah fungsi kuadrat kecepatan. Kalau hal ini benar, baikkedua solusi analitis maupun numerik yang diperoleh dalam bab 1 hasilnya menjadi salahkarena kesalahan perumusan.

Ketidakpastian Data.Kesalahan-kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu analisis karena ketidakpastian data fisika yang mendasari suatu model.

Misalnya kita ingin menguji model penerjun payung dengan loncatan-loncatan berulang yang dibuatnya, mengukur kecepatan orang tersebut setelah interval waktu tertentu.

Ketidakpastian yang menyertai pengukuran-pengukuran ini tak diragukan, karena penerjun akan jatuh lebih cepat selama beberapa loncatan daripada loncatan lainnya. Kesalahan-

kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan ketidak presisian.

Jika instrumen kita menaksir terlalu rendah atau terlalu tinggi terhadap kecepatan, kita menghadapi suatu alat yang tak akurat atau menyimpang.

Pada keadaan lainnya, jika pengukuran tinggi dan rendah secara acak, kita akan berhadapan dengan sebuah pertanyaan mengenai kepresisian.

Kesalahan-kesalahan pengukuran dapat dikuantifikasikan dengan meringkaskan data dengan

satu atau lebih statistik yang dipilih yang membawa sebanyak mungkin informasi mengenai sifat-sifat data tertentu.

Statistik yang deskriptif ini kebanyakan sering dipilih untuk menyatakan (1) letak pusat distribusi data, dan (2) tingkat penyebaran data. Hal demikian memberikan suatu ukuran penyimpangan dan ketidakpresisian.

3.2 Analisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Nilai sejati ( true value ) = Hampiran (aproksimasi) + Galat

Misalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a , maka selisih

disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan , maka Galat mutlak

Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif. Galat Relatif didefinisikan sebagai

Atau dalam persentase

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga relatif sejati. Dalam praktek ketika kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat sering dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat tanpa mengetahui nilai sejatinya. Misalnya, metode numerik tertentu memakai pendekatan secara iterasi untuk menhitung jawaban. Dalam pendekatan yang demikian, suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Proses ini dilakukan secara berulang , atau secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat relatif :

Komputasi diulang sampai

Nilai menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilaisemakin teliti solusinya.

Soal 1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. hitunglah galat, galat mutlak, dan galat relatif hampiran.

2. Prosedur iterasi sebagai berikut r = 0, 1, 2, 3, ...

dan = 0.00001

Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik

1. Galat pembulatan ( round-off error )

2. Galat Pemotongan ( truncation error )

Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain :

1. Galat eksperimental , galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.

2. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging.

3.3 Algoritma

Algoritma merupakan rentetan langkag langkah logika yang diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahan masalah.

Ciri ciri suatu algoritma yang baik

1. Aksi yang dilaksanakan harus dirinci secara jelas untuk tiap kasus. Hasil akhir tidak boleh tergantung kepada yang mengalami algoritma

2. Proses algoritma harus selalu berakhir setelah sejumlah berhingga langkah tidak boleh berakhir terbuka ( oppen ended )

3. Algoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan yang lebih banyak.

Cara pembuatan algoritma

1. Flow chart ( diagram alir )

2. Kode psudo ( menggunakan kalimat kalimat yang kata-katanya sudah punya aturan aturan tertentu )

3.4 Hitungan Langsung dan Tak Langsung

a. Hitungan langsung

Hitungan melalui serangkaian operasi hitung untuk memperoleh hasil

b. Hitungan Tak langsung ( hitungan iterasi )

Solusi diperoleh dengan melakukan pengulangan pada suatu perhitungan langsung dimulai dengan suatu tebakan awal untuk memperoleh suatu nilai hampiran sebagai perbaikan atas nilai tebakan awal sampai diperoleh nilai hampiran yang diinginkan.

Soal 3.2 : Gunakan tebakan awal untuk menghitung untuk

BAB 4METODE PENGURUNG (BRACKETING METHOD)

Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk f(x) = 0 .(1)

Fungsi f di sini adalah fungsi atau persamaan tak linear. Nilai x = x0 yang memenuhi (1) disebut akar persamaan fungsi tersebut. Sehingga x0 di sini menggambarkan fungsi tersebut memotong sumbu-x di x = x0.

Persamaan atau fungsi f dapat berbentuk sebagai berikut:

Persamaan aljabar atau polinomial

f(x) = pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 .(2)

Persamaan transenden

Yaitu persamaan yang mengandung fungsi antara lain trigonometri, logaritma, atau eksponen

Contoh: (i) ex + cos(x) = 0 (ii) ln(x) + log(x2) = 0

Persamaan campuran

Contoh: (i) x3 sin(x) + x = 0 (ii) x2 + log(x) = 0

Untuk polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus akar persamaan kuadrat. Misalkan bentuk persamaan kuadrat adalah: ax2 + bx + c = 0

dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut.

Untuk polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks dan jarang digunakan. Sedangkan untuk menyelesaikan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi atau persamaan tak linear selain polinomial, tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Metode Numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk tersebut, yaitu metode hampiran. Penyelesaian numerik dilakukan dengan hampiran yang berurutan (metode iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan. Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya error pembulatan.

4.1 LOKALISASI AKAR

Lokasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh tebakan awal, yaitu:

Metode Grafik.Untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 ialah dengan membuat grafik fungsi itu dan mengamati dimana ia memotong sumbu x. Titik ini, yang menyatakan harga x untuk f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan kasar dari akar tersebut.

Contoh 4.1. Pendekatan Grafik.

Gunakan pendekatan grafik untuk memperoleh suatu akar persamaan dari f(x) = e-x x.Solusinya adalah sebagai berikut:

Xf(x)

0,00,20,40,60,81,01,0000,6190,270-0,051-0,351-0,632

Gambar 4.1

Gambar 4.1. Ilustrasi pendekatan grafik untuk memecahkan persamaan aljabar dan transendental. Grafik f(x) = e-x x terhadap x. Akar sesuai dengan harga x dimana

f(x) = 0, yaitu titik dimana fungsi memotong sumbu x. Pemeriksaan secara visual mengenai plot memberikan taksiran kasar 0,57. Harga sebenarnya adalah 0,56714329

Teknik grafik praktis digunakan, dan dapat memberikan taksiran akar secara kasar, tapi tidak presisi.

Ia dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam metode numerik.

Interpretasi grafik penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan dapat memperkirakan jebakan pada metode numerik, seperti terlihat pada gambar 4.2 di bawah ini.

Gambar 4.2 memperlihatkan sejumlah cara dimana akar bisa berada dalam interval yang dijelaskan oleh suatu batas bawah a dan batas atas b.

Gambar 4.2b memperlihatkan kasus dmana sebuah akar tunggal dikurung oleh harga-harga positif dan negatif dari f(x).

Gambar 4.2

Gambar 4.2. Ilustrasi sejumlah cara yang umum bahwa sebuah akar bisa terjadi dalam sebuah interval yang dijelaskan oleh batas bawah a dan batas atas b. Bagian (a) dan (c) menunjukkan bahwa bila f(a) dan f(b) mempunyai tanda yang sama, tidak akan ada akar-akar atau akar dalam jumlah genap pada interval. Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa bila fungsi mempunyai tanda yang berbeda pada kedua titik ujung, akan terdapat akar dalam jumlah ganjil pada interval. Tetapi gambar 4.2d, dimana f(a) dan f(b) berlawanan tanda terhadap sumbu x, memperlihatkan 3 akar yang berada di dalam interval. Umumnya jika f(a) dan f(b) mempunyai tanda yang berbeda akan terdapat akar yang jumlahnya ganjil dalam interval.

Seperti ditunjukkan oleh gambar 4.2 a dan c, jika f(a) dan f(b) mempunyai tanda yang sama, tidak terdapat akar-akar atau akar yang jumlahnya genap berada diantara harga-harga itu.

Meskipun generalisasi ini biasanya benar, namun terdapat kasus-kasus dimana hal itu tak dapat dipegang.

Misalnya akar ganda. Yakni fungsi yang menyinggung sumbu x (gambar 4.3a) dan fungsi- fungsi diskontinu (gambar 4.3b) bisa menyalahi prinsip ini.

Gambar 4.3. Ilustrasi beberapa perkecualian terhadap kasus-kasus umum yang ditunjukkan dalam gambar 4.2. (a) Akar ganda yang terjadi sewaktu fungsi menyinggung sumbu x. Dalam hal ini, walaupun titik-titik ujungnya berlawanan tanda, terdapat akar-akar dalam jumlah genap untuk interval tersebut. (b) Fungsi diskontinu dimana titik-titik ujung tanda yang berlawanan juga mengurung akar-akar dalam jumlah genap.

Strategi khusus dibutuhkan untuk penentuan akar-akar dalam kasus ini. Sebagai contoh fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan kubik

f(x) = (x 2) (x 2) (x 4). Perhatikan bahwa x = 2 membuat kedua suku polinomial itu sama dengan 0. Jadi x = 2 disebut sebuah akar ganda.Cara Tabulasi

Nilai-nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi interval tersebut menjadi sub interval sub interval, dan nilai-nilai tersebut ditulis dalam bentuk tabulasi. Jika pada suatu interval nilai fungsi berubah tanda, maka pada interval tersebut ada akar.Lokasi Akar Untuk Persamaan PolinomialPersamaan polinomial mempunyai bentuk umum sbb.

f(x) = pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 .(3)

Jika pn(x) = 0, maka persamaan tersebut mempunyai tepat n akar, antara lain akar bilangan real dan juga termasuk akar bilangan kompleks. Akar bilangan kompleks selalu muncul berpasangan. Yang disebut bilangan kompleks adalah:

a + b i . dimana a, b bilangan real, i =

Untuk melokasikan akar-akar real, digunakan beberapa aturan:

(a) aturan tanda koefisien

(i) akar real positif

u = banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai dari pn(x)

np = banyaknya akar real positif

maka berlaku: np < u (4)

u np = 0, 2, 4, 6, (ii) akar real negatif

v = banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai dari pn(-x)

ng = banyaknya akar real negative, maka berlaku:

ng < v..........................................................................(5)

v ng = 0, 2, 4, 6, (b) batas interval akar

maka semua akar real pn(x) terletak pada interval [-r, r].

Sebuah fungsi berdasarkan jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu harga akar.

Teknik ini dinamakan metode akoladi (bracketing method), karena dibutuhkan 2 tebakan awal untuk akar.

Sesuai namanya, tebakan tersebut harus dalam kurung atau berada pada kedua sisi nilai akar.4.2.Metode Bagidua (Biseksi).Pada teknik grafik sebelumnya, terlihat bahwa f(x) berganti tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Pada umumnya, kalau f(x) nyata (real) dan kontinu dalam interval dari xl hingga xu, serta f(xl) dan f(xu) berlainan tanda, yakni:

f(xl) f(xu) < 0

Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara xl dan xu.

dengan penempatan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda.

Lalu penempatan perubahan tanda (tentunya harga akar) ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah subinterval. Setiap subinterval itu dicari untuk menempatkan perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dan perkiraan akar diperhalus dengan membagi subinterval menjadi lebih halus lagi.

Metode Bagidua (biseksi), disebut juga pemotongan biner (binary chopping), pembagian 2 (interval halving) atau metode Bolzano.

Letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval dimana perubahan tanda terjadi. Proses ini diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus.

Step 1: Pilih taksiran terendah xl dan tertinggi xu untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan: f(xl) f(xu) < 0.

Step 2 : Taksiran pertama akar xr ditentukan oleh:

Step 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam mana akar terletak:

a.Jika f(xl) f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xu = xr, dan lanjutkan ke step 2.

b.Jika f(xl) f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xl = xr, dan lanjutkan ke step 2.

c.f(xl) f(xr) = 0, akar = xr, komputasi selesai.

Contoh Metode Bagidua.

Gunakan Bagidua untuk menentukan akar dari f(x) = e-x - x.

Dari grafik fungsi tersebut (gambar 4.1) terlihat bahwa harga akar terletak diantara 0 dan 1.

Karenanya interval awal dapat dipilih dari xl = 0 hingga xu = 1. Dengan sendirinya,

taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut:

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah 0,56714329):

Et = 0,5 = 0,06714329atau dalam bentuk relatif:

dimana indeks t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarnya. Lalu:

f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653

yang lebih besar dari nol, dengan sendirinya tak ada perubahan tanda terjadi antara xl dan xr.

Karena itu, akar terletak pada interval antara x = 0,5 dan 1,0. Batas bawah didefinisikan lagi

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah 0,56714329):

Et = 0,5 = 0,06714329atau dalam bentuk relatif:

f(0,5) f(0,75) = -0,030 < 0

Karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,75:

xu = 0,75Dan iterasi seterusnya4.3.Metode Regula Falsi (False Position).Disebut juga metode interpolasi linier.Penjelasan grafiknya adalah sebagai berikut:

Penjelasan grafik dari metode Regula Falsi. Segitiga serupa yang digunakan untuk menurunkan rumus buat metode tersebut adalah yang diarsir.

Contoh Metode Regula Falsi.Gunakan Regula Falsi untuk menentukan akar dari f(x) = e-x - x. Akar sesungguhnya 0,56714329.xl = 0 dan xu = 1.Iterasi pertama:

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 1 f(xu) = -0,63212

Iiterasi ke-2f(xl) f(xr) = -0,0708

akar pada subinterval I. xr di batas atas berikutnya

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 0,6127 f(xu) = -0,0708

Kesalahan untuk Regula Falsi berkurang lebih cepat daripada Bagidua disebabkan rancangan yang lebih efisien untuk penempatan akar dalam Regula Falsi.

Perbandingan t pada metode Bagidua dan Regula Falsi untuk

f(x) = e-x x

Pada Bagidua, interval antara xl dan xu muncul semakin kecil selama komputasi. Interval, x/2 = |xu xl| / 2, merupakan ukuran error untuk pendekatan ini.

Pada Bagidua, hal di atas tak terjadi, karena salah satu tebakan awal kondisinya tetap selama komputasi, sedangkan tebakan lainnya konvergen terhadap akar.

Pada contoh metode regulasi falsi di atas, xl tetap pada 0, sedangkan xu konvergen terhadap akar. Didapat, interval tak mengkerut, tapi agak mendekati suatu harga konstan.

4.3.1.Jebakan pada Metode Regula Falsi.Contoh 4.5. Bagidua lebih baik dari Regula Falsi.

Gunakan Bagidua dan Regula Falsi untuk menempatkan akar di antara x = 0 dan 1,3 untuk:f(x) = x10 1.Dengan Bagidua, didapat:IterasixlXuXr| t|%| a|%

101,30,6535

20,651,30,9752,533,3

30,9751,31,137513,814,3

40,9751,13751,056255,67,7

50,9751,056251,0156251,64,0

Setelah 5 iterasi, t < 2%.Kemudian dengan Regula Falsi, didapat:IterasixlXuXr| t|%| a|%

101,30,0943090,6

20,094301,30,1817681,848,1

30,181761,30,2628773,730,9

40,262871,30,3381166,222,3

50,338111,30,4078859,217,1

Setelah 5 iterasi, t < 60%.Juga | a| < | t|Ternyata dengan Regula Falsi, a ternyata meleset. Lebih jelas terlihat dalam grafik:

Grafik dari f(x) = x10 1, menunjukkan konvergensi metode Regula Falsi yang lambat

Terlihat, kurva menyalahi perjanjian yang mendasar Regula Falsi, yakni jika f(xl) lebih mendekati 0 dibanding f(xu), sehingga akan lebih dekat ke xl daripada ke xu

Karena bentuk fungsi yang sekarang, kebalikannya tentu juga benar. Yang harus dilakukan adalah memasukkan taksiran akar ke dalam persamaan semula dan ditentukan apakah hasil itu mendekati nol. Pengecekan semacam ini juga harus dilakukan pada program komputer untuk penempatan akar.4.4.Metode Newton-Raphson.

Gmbar 5.2

Metode Newton Rapson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal, dan mendekatinya dengan memperhatikan kemiringan pada titik tersebut. Secara geometri metode ini menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang, dengan menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu, metode ini paling banyak digunakan untuk menarik akar-akar dari persamaan f(x) = 0 dengan asumsi f(x), f(x), f(x) kontinu dekat satu akar p. akar dari persamaan adalah titik potong garis singgung pada titik (xi, f(xi))

Dimana i = 0,1,2,3,

Syarat f(xi) 0

f(xi) = 0 maka garis singgung sejajar sumbu xAlgoritma Metode Newton Rapson

Masukan: f(x), f(x), x0 (tebakan awal), ( (criteria penghentian), M (maksimum iterasi

Keluaran: akar

Langkah-langkah

Iterasi

Jika f(x0) = 0, proses gagal, stop

1. x0 = xbaru2. Iterasi: I = i + 1

3. Jika iterasi I M kembali ke langkah 2

4. Prosesnya konvegen atau divergen

4.4.1 Iterasi N-R untuk menentukan

Ambil N = 2

andaikan bahwa A>0 suatu bil real dan misal x0 > 0

adalah tebakan awal untuk

barisan

didefenisikan dengan rumus rekursif sebagai berikut:

akar barisan konvergen ke

yaitu:

=

Bukti: A>0

Missal x

=

X2

= A

X2 A = 0, f(x) = 0 maka f(x) = x2 - A

F(x)

= x2-A

F(x)

= 2xDefenisi fungsi iterasi Newton Rapson

Atau4.5.Metode Secant.Masalah yang didapat dalam metode Newton-Raphson adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f(x). Sehingga dengan jalan pendekatan

Menjadi

Persamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran awal x, tetapi karena f(x) tidak membutuhkan perubahan tanda diantara taksiran maka Secant bukan metode Alokade.

Gambar 5.3

Teknik ini serupa dengan teknik Newton-Raphson dalam arti bahwa suatu taksiran akar diramalkan oleh ekstrapolasi sebuah garis singgung dari fungsi terhadap sumbu x. Tetapi metode Secant lebih menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope

4.5.1Perbedaan Metode Secant dan Regula Falsi.Persamaan di metode Secant maupun Regula Falsi identik suku demi suku.

Keduanya menggunakan 2 taksiran awal untuk menghitung aproksimasi slope fungsi yang digunakan untuk berproyek terhadap sumbu x untuk taksiran baru akar.

Perbedaannya pada harga awal yang digantikan oleh taksiran baru.

Dalam Regula Falsi, taksiran terakhir akar menggantikan harga asli mana saja yang mengandung suatu harga fungsi dengan tanda yang sama seperti f(xr). Sehingga 2 taksiran senantiasa mengurung akar.

Secant mengganti harga-harga dalam deretan yang ketat, dengan harga baru xi+1 menggantikan xi, dan xi menggantikan xi-1. Sehingga 2 harga terkadang dapat terletak pada ruas akar yang sama. Pada kasus tertentu ini bisa divergen.

Pada gambar grafik di bawah ini disajikan penggunaan metode Regula Falsi dan Secant untuk

menaksir akar f(x) = ln x, dimulai dari harga x1 = xi-1 = 0,5 dan xu = xi = 5,0:

Gambar 5.3.1

Perbandingan metode Regula Falsi dan Secant. Iterasi pertama (a) dan (b) untuk iterasi kedua metode adalah identik. Tetapi pada iterasi kedua (c) dan (d), titik yang dipakai berbeda.

Gambar 5.3.2

4.6.Akar Ganda.Satu akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi menyinggung sumbu x.

Misal akar dobel dihasilkan dari:

f(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 1)atau dengan pengalian suku-suku:f(x) = x3 - 5x2 + 7x - 3Persamaan diatas memiliki akar dobel, karena 1 akar x membuat kedua suku dalam persamaan itu sama dengan nol. Secara grafik, ini sesuai dengan kurva yang menyentuh sumbu x secara tangensial pada akar dobel. Ini dapat dilihat pada gambar 5.4a di bawah ini pada

x = 1.

Gambar 5.4

Gambar 5.4 Contoh akar ganda yang menyinggung sumbu x. Perhatikan bahwa fungsi tak memotong sumbu pada kedua sisi akar ganda genap (a) dan (c), sedangkan ia memotong sumbu untuk kasus ganjil (b) ([CHA1998] hal. 159).

Akar tripel untuk kasus dimana satu harga x membuat 3 suku dalam suatu persamaan menjadi nol, misal:

f(x) = (x 3)(x 1)(x 1)(x 1)atau dengan pengalian suku-suku:f(x) = x4 6x3 + 12x2 10x + 3Kesulitan yang ditimbulkan oleh akar ganda:Hasil dari metode Akolade berkurang kepercayaannya dengan adanya kenyataan bahwa fungsi tak berubah tanda pada akar ganda genap. Pada metode Terbuka, ini bisa menyebabkan divergensi.

Tak hanya f(x) tapi juga f(x) menuju nol pada akar.Pada metode Newton-Raphson dan Secant, dimana keduanya mengandung turunan (atau taksiran) di bagian penyebut pada rumusnya, terjadi pembagian dengan nol jika solusi konvergen sangat mendekati akar.

Menurut Ralston dan Rabinowitz [RAL1978], f(x) selalu mencapai nol sebelum f(x). Sehingga kalau pemeriksaan nol untuk f(x) disertakan dalam program, maka komputasi berhenti sebelum f(x) mencapai nol.

Metode Newton-Raphson dan Secant konvergen secara linier (bukan kuadratik), konvergen untuk akar-akar ganda (Ralston dan Rabinowitz [RAL1978]).

Soal A.1. Tentukan batas selang akar dari :

2. Tentukan lokasi akar

3. Tentukan akar di dalam selang (0,1) dan dengan

metode Bagi Dua dan Regula Falsi4. Tahun 1225 Leonardo da Pissa mencari akar persamaa dan menemukan x = 1.368808107 tidak seorangpun tahu cara Leonardo menemukan niai ini. Gunakan metode Bagidua dan metode Regula Falsi untuk menemukan akar persamaa Leonardo dalam selang ( 1, 1.5 ) dan juga metode Newton Raphson, dan metode Secant ,. Untuk semua metode

5. Dapatkah metode Newton-Raphson digunakan memecahkan jika

jika dan tebakan awal . Mengapa?6. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menghitung sampai enam angka bena.

7. Misalkan .

Tentukan prosedur iterasi Newton Raphsonnya. Jika kita ingin menghitung akar , dapatkah kita gunakan tebakan awal . Mengapa ?8. Masalah : gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c yang diperlukan oeh penerjun payung dengan massa m = 68.1 kg agar mempunyai kecepatan 40 m / det setelah jatuh bebas untuk waktu t = 10 detik. Catatan : percepatan yang disebabkan gravitasi : 9,8 m / det2.Masalah ini dapat dipecahkan dengan cara menentukan akar persamaan dengan memakai parameter t=10, g=9.8, v=40, dan m=68.1

9. Gunakan metode bagi dua untuk memecahkan masalah pada no. 810. Tentukan akar akar real dari

Secara grafis

Dengan memakai metode bagi dua untuk menemukan akar-akar persamaan. Gunakan terkaan awal 0.4 dan 0.6, serta iterasikan sampai taksiran galat berada dibawah

11. Tentukan akar akar riil dari secara grafis dan dengan metode bagidua samapai dengan tebakan awal 4.5 dan 512. Tentukan akar akar riil dari secara grafis dan memakai metode regula falsi dengan nilai yang berpadanan samapi dengan dua angka bena.

13. Tentukan akar akar riil dari secara analitis, grafis dan memakai tiga iterasi dari metode Regua Falsi, dengan tebakan awal 1.5 dan 2.

14. Tentukan akar akar persamaan dengan metode Newton Raphson () dan metode Secant (dan )15. Tentukan akar akar riil berikut dengan metode Newton raphson

( tebakan awal 3.1 )

( tebakan awal 2.0 )16. Tentukan akar riil dari dengan menggunakan tiga iterasi metode Secant dan tebakan awal dan hitung hampiran galat setelah iterasi yang kedua dan ketiga17. Tentukan akar riil dari

Secara grafis

Metode Bagi Dua ( tebakan awal 2.5 dan 3.5 )

Metode Posisi Palsu ( tebakan awal 2.5 dan 3.5 )

Metode Newton Raphson ( tebakan awal 3.5 )

Metode Secant ( tebakan awal dan )

18. Tentukan akar riil dari dengan metode Secant sampai

19. Gunakan baik metode Newton Rapson yang baku maupun yang dimodifikasi untuk menghitung akar ganda dari dengan tebakan awal 020. Tentukan akar dari

Secara grafis

Dengan menggunakan metode paling efisien sampai

Soal.B

1. Dari metode metode yang telah ada , temukanlah metode mana yang lebih cepat atau efisien dalam mendapatkan akar akar persamaan .

2. Temukanlah persamaan dan perbedaan perbedan dari metode metode yang telah dipelajari.

3. Temukan kasus / masalah dalam bidang ilmu tertentu yang dapat diselesaikan dengan metode metode dalam menentukan akar akar persamaan diatas.BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Bentuk Umum :

Bentuk Matriks

EMBED Equation.3 =

Metode metode untuk mendapatkan Solusi SPL :

1. Eliminasi Gauss

2. Eliminasi Gauss Jordan

3. Dekomposisi LU

4. Jacobi

5. Gauss Seidel

A. Dekomposis LU

Jika terdapat matriks A non singular maka dapat difaktorkan / diuraikan / dikomposisikan menjadi matriks Segitiga Bawah L ( Lower ) dan matriks Segitiga atas U ( Upper ).

A = LU

=

EMBED Equation.3 Penyelesaian SPL Ax = b dengan metode LU

Untuk mendapatkan nilai ( penyulihan maju )

EMBED Equation.3 =

Untuk mendapatkan nilai ( penyulihan mundur )

EMBED Equation.3 =

Dua Metode untuk menyatakan A dalam L dan U :

1. Metode LU Gauss

Langkah langkah Pembentukan L dan U dari Matriks Aa. Nyatakan A = IA

=

EMBED Equation.3 b. Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U

c. Setelah proses Eliminasi gauss selesai pada matriks A ( elemen-elemen dibawah diagonal utama adalah nol ). Matriks I menjadi matriks l dan matriks A menjadi matriks U

Soal .

Tentukan solusi dari :

2. Metode Reduksi Crout

Karena LU = A maka hasil perkalian LU dapat ditulis

Tinjau untuk Matriks 3x3Dari kesamaan diatas diperoleh

Dst.......

B. Iterasi Jacobi dan Seidel

Iterasi Jacobi

Iterasi Seidel

Dengan k = 0, 1, 2, ....

Untuk menghitung kekonvergenan atau berhentinya iterasi digunakan galat relative

i= 1, 2, 3, ....nSyarat cukup iterasi konvergen : Dominan secara diagonal.

i= 1, 2, 3, ... n

Agar iterasi konvergen , cukup dipenuhi syarat ini. Jika dipenuhi pasti konvergen. Kekonvergenan juga ditentukan oleh pemilihan tebakan awal.

Contoh :

Kekonvergenan iterasi Seidel lebih cepat karena langsung menggunakan nilai baru.Soal A.1. Selesaikan SPL berikut dengan iterai Jacobi dan Seidel

a.

b.

2. Faktorkan matriks A dan B dengan metode LU lalu pecahkan sistem Bx = c

3. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode LU

4. Diberi sistem persamaan linier Ax=b dengan A dan b sebagai berikut

a. Tentukan solusi dengan metode iterasi Jacobi

b. Tentukan solusi dengan metode iterasi Seidel

c. Tentukan solusi dengan metode LU5. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Reduksi Crout

Soal B

Dapatkah sistem persamaan inier berikut

a.

b.

c.

Diselesaikan dengan metode iterasi Jacobi dan iterasi seidel? Mengapa ?BAB V

INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI

5.1 Interpolasi

Interpolasi dapat digunakan untuk menghitung prakiraan nilai yang terletak dalam rentangan titik-titik data, (Chapra, 1990). Bentuk interpolasi yang paling banyak digunakan adalah interpolasi polinom orde n.

Bentuk umum persamaan polinom orde n adalah sebagai berikut:

..................................(11)

Untuk n+1 titik data hanya terdapat satu polinom orde n atau kurang yang melalui sebuah titik. Misal polinom orde (1) terdapat 2 titik data dengan grafik garis lurus, dan polinom orde 2 terdapat 3 titik data dengan grafik berbentuk parabol. Di dalam operasi interpolasi ditentukan suatu persamaan polinom orde n yang melalui n+1 titik data yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai di antara titik-titik data tersebut.

a. Interpolasi Linier

Interpolasi linier merupakan bentuk interpolasi yang paling sederhana, yang hanya membutuhkan dua titik data.

X0 X X1

Karena segitiga ABC sebangun dengan segitiga ADE maka

sehingga

rumus umum interpolasi linier polinom orde I

yaitu gradien garis melalui 2 titik.

Semakin kecil interval atau titik data maka hasil perkiraan semakin baik.

b. Interpolasi kuadrat

Interpolasi kuadrat membutuhkan 3 titik data, dan persamaan polinomnya ditulis sebagai berikut:

.........................................(13)

merupakan polinom orde dua sehingga fungsinya merupakan fungsi kuadrat.

dari titik data yang diketahui digunakan untuk mencari dan . dengan cara perhitungan sebagai berikut:

Hitung

Dari persamaan (13) dengan mensubtitusi maka

..................................................................................... (14)

Hitung

Dengan mensubtitusi persamaan (14) ke persamaan (13) dan subtitusi ke persamaan (13) diperoleh

EMBED Equation.3 Hitung

Substitusi persamaan 14 ke persamaan 15 dan juga subtitusi x=x2 ke persamaan

c. Interpolasi Polinomial

Untuk polinomial orde n digunakan titik data. Bentuk umum Polinom orde n adalah

Koefisien di evaluasi dengan menggunakan:

...................................................................................18

............................................................................19

........................................................................20

.............................................................21

Dengan adalah pembagian beda hingga

maka

Dengan

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 =

Misal pembagian beda hingga pertama

EMBED Equation.3 ..............................................................................23

Pembagian beda hingga kedua

EMBED Equation.3 ..............................................................24

Pembagian beda hingga ketiga

EMBED Equation.3 ...............................................25

Pembagian beda hingga ke-n

EMBED Equation.3 ...26

Bentuk pembagian beda hingga digunakan untuk menghitung koefisien b0, b1,...,bn kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (17). untuk mendapatkan interpolasi polinomial ordo n.

=

EMBED Equation.3 persamaan 23-25Konstanta

artinya PBH yang lebih tinggi terdiri dari PBH yang lebih rendah

PBH

PertamaKedua Ketiga

f

c. Interpolasi Polinomial Lagrange (IPL)

Hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk PBH.

IPL dapat diturunkan dari persamaan Newton

IPL orde 1

...........................................................27

Atau ................................................................28

Substitusi 27 ke 28

= .......................................................29

Dengan prosedur yang sama diperoleh IPL orde-orde sebagai berikut

.....................................................................30

Bentuk umum IPL orde n

.........................................................................31

2.5.1. Ekstrapolasi

Ekstrapolasi adalah penaksiran nilai f(x) untuk x yang terletak di luar selang titik data, dan analisis kecendrungan dari masalah ekstrapolasi diarahkan dengan menggunakan polinomial interpolasi.

4.3. Interpolasi Polinomial Newton

4.2.1.1 Manual Interpolasi dan ekstrapolasi polinomial orde I

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan Teknik Ekstrapolasi yang diarahkan dengan polinom interpolasi

Model pertumbuhan penduduk NTT didapatkan dengan mensubtitusikan nilai b1 ke bentuk umum polinom Newton

Yaitu sebagai berikut:

f1(x) = 2737166 +53147,8(x-x0),

sehingga model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan teknik interpolasi polinom Newton orde I, dengan menggunakan tahun 1980 sebagai x0 adalah sebagai berikut:

f1(x) = 2737166 +53147,8(x-x0),

maka jumlah penduduk NTT pada tahun 2000

Selisih = - 8355

Gallat =0,2%

Interpolasi dan ekstrapolasi polinomial orde 2

Ekstrapolasi kuadrat diarahkan dengan menggunakan polinomial interpolasi orde 2

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan teknik interpolasi polinomial Newton orde ke II, didapatkan dengan mensubtitusikan nilai b0, b1, b2 ke rumus umum polinomial Newton maka sebagai berikut:

F2(x) = 2295279 + 49098,5 (x-x0) + 213,12 (x-x0)(x-x1)

F2(x)= 2295279 + (x-x0) (49098,5 + 213,12 (x-x1))

Dengan menggunakan model di atas, maka jumlah penduduk NTT pada Tahun 2000 adalah sebagai berikut:

Maka f2(x) = 2295279 + 49098,5 (29) + 213,12 (29) (20)

= 3842745.745,1

Selisih= 34268,1

RE= 0,8% Interpolasi Polinomial Orde 3

Prediksi jumlah penduduk pada tahun 2004

PertamaKedua Ketiga

1971229527949098,5213,12-5.908

1980273716653147,841,775f

1990326864453983,3

20003808477

Sehingga model pertumbuhan penduduk NTT dengan menggunakan tehnik interpolasi polinom Newtonl orde 3

F3(x) = 2295279 + 49098,5 (x-x0) + 213,12 (x-x0)(x-x1)+(-5,908)(x-x0)

(x-x1)(x-x2)

F3(x) = 2295279 + (x-x0) (49098,5 + 213,12 (x-x1)+(-5,908)(x-x1)(x-x2))

Berdasarkan model di atas, maka jumlah penduduk NTT pada tahun 2004

F3(x)= 2295279 + 49098,5 (33) + 213,12 (33)(24)+(-5,908)(33)(24)(14)

= 4018717,596

Maka prediksi terhadap jumlah penduduk NTT tahun 2004 dengan menggunakan teknik polinomial Newton orde ke- 3 adalah 4018718

4.2.2 Interpolasi Polinomial Langrange

4.2.2.1 Manual

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan interpolasi polinom langrange

Sehingga model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan polinom Langrange orde ke II

.....................................................................30

Sedangkan model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan polinom Langrange orde ke III

Sehingga jumlah penduduk tahun 2004 berdasarkan model ini adalah

Soal A.1. Taksirlah logaritma asli dari 2 ( ln 2) dengan memakai interpolasi linier. Pertama , lakukan komputasi dengan menginterpolasi antara ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.7917595. kemudian ulangi prosedurnya tetapi dengan menggunakan selang yang lebih kecil mulai ln 1 sampai ln 4 ( 1.3862944 ). Perhatikan bahwa nilai sejati ( true value ) dari ln 2 adalah 0.69314718

2. Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang dipakai dalam nomor 1.

3. Dengan menambahkan titik keempat ln 5 = 1.6094379. taksirlah ln 2 dengan polinom interpolasi beda terbagi newton orde ketiga.

4. Gunakan polinom interpolasi langrange orde pertama dan kedua untuk menghitung ln 2 berdasar data pada no 1.

5. Taksirlah logaritma bilangan pokok 10 dari 4 ( log 4 ) dengan memakai interpolasi linear

a. Interpolasikan antara log 3 dan log 5

b. Interpolasikan antara log 3 dan log 4.5 untuk setiap interpolasi hitung persen galat relatif berdasar nilai sejati log 4.

6. Cocokkan polinom interpolasi newton orde kedua untuk menaksir log 4 dengan memakai data no. 5. Hitung persen galat relatif7. Cocokkan polinom interpolasi newton orde ke tiga untuk menaksir log 4 dengan data pada no 5 dengan titik tambahan log 3.5 . Hitung persen galat relatif

8. Ulangi soal 5 - 7 dengan memakai polinom Langrange

9. Diberi data

x12356

f(x)4.7545.2519.7536

Hitung f(3.5) dengan memakai polinom polinom interpolasi newton orde 1 sampai 4. Pilih urutan titik titik untuk taksiran anda untuk mencapai ketelitian yang bagus. 10. Ulangi soal nomor 9 dengan memakai polinom langrange.

Soal B.

1. Prediksikan jumlah penduduk NTT pada tahun 2012 berdasarkan data jumlah penduduk pada tahun 1971, 1980, 1990, dan 20002. Buatlah program dalam bahasa pemrograman Pascal untuk interpolasi Langrange EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

f(x1)

E

f(x)

C

f(x0)

A

D

B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

GAMBAR 2.1

EMBED Equation.3

PAGE

_1300264089.unknown

_1390208146.unknown

_1391151847.unknown

_1391153785.unknown

_1391155523.unknown

_1391163681.unknown

_1391164390.unknown

_1391316883.unknown

_1391566135.unknown

_1391566584.unknown

_1391317051.unknown

_1391317263.unknown

_1391167557.unknown

_1391164154.unknown

_1391164225.unknown

_1391164267.unknown

_1391163941.unknown

_1391163291.unknown

_1391163552.unknown

_1391163614.unknown

_1391163352.unknown

_1391156447.unknown

_1391163235.unknown

_1391155596.unknown

_1391154799.unknown

_1391155183.unknown

_1391155338.unknown

_1391155443.unknown

_1391155269.unknown

_1391154975.unknown

_1391155175.unknown

_1391154836.unknown

_1391154255.unknown

_1391154621.unknown

_1391154746.unknown

_1391154473.unknown

_1391154123.unknown

_1391154184.unknown

_1391154240.unknown

_1391153848.unknown

_1391152238.unknown

_1391153381.unknown

_1391153592.unknown

_1391153682.unknown

_1391153527.unknown

_1391153097.unknown

_1391153318.unknown

_1391152725.unknown

_1391151954.unknown

_1391152070.unknown

_1391152172.unknown

_1391152008.unknown

_1391151903.unknown

_1391151911.unknown

_1391151870.unknown

_1391150278.unknown

_1391151669.unknown

_1391151702.unknown

_1391151753.unknown

_1391151689.unknown

_1391150860.unknown

_1391151282.unknown

_1391150765.unknown

_1390288420.unknown

_1390890144.unknown

_1391150220.unknown

_1391150236.unknown

_1390890807.unknown

_1390891715.unknown

_1390891996.unknown

_1391148877.unknown

_1390891995.unknown

_1390891994.unknown

_1390891193.unknown

_1390891572.unknown

_1390890966.unknown

_1390890532.unknown

_1390890599.unknown

_1390890405.unknown

_1390890521.unknown

_1390553558.unknown

_1390889688.unknown

_1390889949.unknown

_1390889985.unknown

_1390889924.unknown

_1390554283.unknown

_1390554727.unknown

_1390553576.unknown

_1390553365.unknown

_1390553414.unknown

_1390553521.unknown

_1390553468.unknown

_1390552309.unknown

_1390552624.unknown

_1390552946.unknown

_1390553013.unknown

_1390552579.unknown

_1390403907.unknown

_1390403950.unknown

_1390404090.unknown

_1390552208.unknown

_1390403983.unknown

_1390403919.unknown

_1390403716.unknown

_1390288334.unknown

_1390288349.unknown

_1390208255.unknown

_1389981649.unknown

_1390107915.unknown

_1390207482.unknown

_1390207768.unknown

_1390207816.unknown

_1390207591.unknown

_1390108183.unknown

_1390108526.unknown

_1390108100.unknown

_1390107575.unknown

_1390107824.unknown

_1390107696.unknown

_1390107758.unknown

_1389981882.unknown

_1389981952.unknown

_1389981869.unknown

_1302601258.unknown

_1389954709.unknown

_1389981532.unknown

_1389980687.unknown

_1389980879.unknown

_1389980433.unknown

_1389980652.unknown

_1389980420.unknown

_1389954762.unknown

_1389960392.unknown

_1389954559.unknown

_1311004053.unknown

_1300476130.unknown

_1300480347.unknown

_1302599811.unknown

_1300480942.unknown

_1300479644.unknown

_1300264733.unknown

_1300264761.unknown

_1300265885.unknown

_1300264124.unknown

_1300264538.unknown

_1244676992.unknown

_1248594795.unknown

_1261069433.unknown

_1300224028.unknown

_1300256775.unknown

_1300257405.unknown

_1300263002.unknown

_1300263586.unknown

_1300263965.unknown

_1300263175.unknown

_1300260370.unknown

_1300257177.unknown

_1300225017.unknown

_1300256509.unknown

_1300224497.unknown

_1263223399.unknown

_1263223601.unknown

_1263223626.unknown

_1263223730.unknown

_1263223437.unknown

_1261069855.unknown

_1263220849.unknown

_1263223088.unknown

_1263220454.unknown

_1261069482.unknown

_1261069699.unknown

_1253944734.unknown

_1253951193.unknown

_1259030053.unknown

_1259037172.unknown

_1259037004.unknown

_1259020278.unknown

_1259020357.unknown

_1253947898.unknown

_1253948142.unknown

_1253947798.unknown

_1248595996.unknown

_1248596100.unknown

_1248596480.unknown

_1248596427.unknown

_1248596030.unknown

_1248594840.unknown

_1244789898.unknown

_1244892041.unknown

_1248594344.unknown

_1248594389.unknown

_1248336774.unknown

_1248594309.unknown

_1248337887.unknown

_1244895783.unknown

_1244790582.unknown

_1244790751.unknown

_1244790875.unknown

_1244791016.unknown

_1244790857.unknown

_1244790620.unknown

_1244790495.unknown

_1244677413.unknown

_1244677813.unknown

_1244789787.unknown

_1244677815.unknown

_1244677816.unknown

_1244677814.unknown

_1244677591.unknown

_1244677655.unknown

_1244677694.unknown

_1244677480.unknown

_1244677529.unknown

_1244677110.unknown

_1244677131.unknown

_1244677134.unknown

_1244677191.unknown

_1244677129.unknown

_1244677130.unknown

_1244677035.unknown

_1244677070.unknown

_1244675925.unknown

_1244676279.unknown

_1244676741.unknown

_1244676932.unknown

_1244676961.unknown

_1244676811.unknown

_1244676383.unknown

_1244676679.unknown

_1244676338.unknown

_1244676017.unknown

_1244676234.unknown

_1244675976.unknown

_1244666868.unknown

_1244675309.unknown

_1244675676.unknown

_1244675800.unknown

_1244675530.unknown

_1244670779.unknown

_1244672398.unknown

_1244674696.unknown

_1244672990.unknown

_1244672138.unknown

_1244667995.unknown

_1244669264.unknown

_1244667353.unknown

_1244667896.unknown

_1072297240.unknown

_1244631698.unknown

_1244666864.unknown

_1244630541.unknown

_1072298983.unknown

_1071502704.unknown

_1072297099.unknown

_1039814561.unknown