Bab II PembahasanGalat dan Polinom Taylor2.1 Definisi Galat Galat atau biasa disebut error dalam metode numerik adalah selisih yang ditimbulkan antara nilai sebenarnya (nilai eksak) dengan nilai yang dihasilkan dengan metode numerik yang disebut dengan nilai hampiran (nilai aproksimasi). Dalam metode numerik, hasil yang diperoleh bukanlah hasil yang sama persis dengan nilai sejatinya. Akan selalu ada selisih, karena hasil yang didapat dengan metode numerik merupakan hasil yang diperoleh dengan proses iterasi (looping) untuk menghampiri nilai sebenarnya. Walaupun demikian bukan berarti hasil yang didapat dengan metode numerik salah, karena galat tersebut dapat ditekan sekecil mungkin sehingga hasil yang didapat sangat mendekati nilai sebenarnya atau bisa dikatakan galatnya mendekati nol.

Misalkan adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak a yang tidak diketahui. Nilai = a .........................................................................(1.1) Disebut galat, sedangkan | | disebut galat mutlak, dan nilai| |

........................................................................(1.2)

Asalkan a 0 disebut galat relatif. Oleh karena nilai a biasanya tidak diketahui, dalam perhitungan penyebut dalam galat relatif sering digunakan nilai hampiran, sehingga persamaan (1.2) menjadi| |

......................................................................(1.3)

Persamaan (1.3) disebut galat relative hampiran. Dengan kata lain, Nilai eksak = nilai relatif + galat Galat relatif = | | | | berturut-turut disebut batas galat mutlak dan batas galat hampiran.3

Contoh 2.1 1. Misalnya seseorang mengukur panjang sebuah bidang adalah 49 cm, dengan panjang sebenarnya adalah 50 cm, kemudian temannya mengukur sebuah bidang yang lain panjangnya adalah 97 cm, padahal panjang sebenarnya adalah 98 cm.

Penyelesaian: Galat1 = 50 49 = 1cm Galat2 = 98 97 = 1cm Pada kedua pengukuran tersebut masingmasing punya galat 1 cm, tapi pada pengukuran pertama galatnya lebih signifikan dibanding dengan pengukuran yang kedua, karena galat relatif pengukuran pertama adalah 1/50 = 0,02, sedangkan galat relatif pengukuran kedua adalah 1/98 = 0,0102041.

2.2 Penyebab Terjadinya Galat Secara umum sumber utama galat ada dua yaitu: 2.2.1 Galat pembulatan Galat pembulatan adalah galat yang ditimbulkan oleh keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real. Hampir semua proses penghitungan dalam metode numerik menggunakan bilangan real. Penyajian bilangan real yang panjangnya tak terhingga tidak bisa disajikan secara tepat.

Contoh 2.2.1 1. Misalnya 1/6 akan menghasilkan nilai real 0,66666666.. Digit 6 pada bilangan tersebut panjangnya tidak terbatas. Sehingga untuk melanjutkan proses penghitungan bilangan tersebut dibulatkan menjadi 0,6667, tergantung berapa digit angka yang dibutuhkan. Dalam hal ini selisih antara 0,666666 dan 0,6667 disebut galat pembulatan.

4

2.2.2 Galat pemotongan Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n. Hasil penghitungan sampai langkah ke n akan menjadi hasil hampiran dan nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. dalam hal ini galat pemotongan akan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar. Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak.

Contoh 2.2.2 1. Kita tahu bahwa deret secara analisis nilainya adalah konvergen ke nilai

satu. Jika hanya diambil 10 suku pertama, maka diperoleh hampiran Dalam hal ini terdapat galat pemotongan sebesar

Dalam implementasinya, kedua galat tersebut kerap muncul bersamaan, Sehingga galat total yang dihasilkan oleh sebuah proses metode numerik adalah galat pemotongan dan galat pembulatan. Jumlah kedua galat tersebut disebut galat total.

Soal latihan:1. Nilai-nilai 3,14159 ; -0,0025 dan 84,009974 jika dibulatkan berturut-turut sampai dua,

tiga dan empat angka desimal (di belakang koma) adalah: 2. Tentukanlah galat dan galat relatif pada nilai-nilai hampiran di bawah ini, jika nilai eksaknya diketahui: a. Hampiran x= 3,14 untuk nilai eksak x = 3, 141592 b. Hampiran y = 999 . 996 untuk nilai eksak y = 1.000 .000 c. Hampiran z= 0,00009 untuk nilai eksak z= 0,000012

5

Penyelesaian: 1. hasilnya berturut-turut adalah 3,14 ; -0,003 dan 84,0100. a. b. c. = 3,141592 3,14 = 0,001592 = 1.000.000 999.996 = 4 = 0,000012 0,00009 = 0,000003 dan dan dan = = = = 0,000004 = 0,25

2.3 Polinom Taylor Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi polinomial yang lebih sederhana. Fungsi polinomial lebih mudah dipahami kelakuannya. Apabila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya, maka akan kita dapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati). Tetapi bila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsi hampiran, maka akan kita dapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan). Perbedaan antara solusi eksak dan solusi hampiran terletak pada adanya galat pada solusi hampiran. Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinomial dalam menghampiri fungsi yang sesungguhnya. Biasanya dalam menghampiri fungsi yang sesungguhnya, orang menggunakan apa yang disebut dengan Polinom Taylor.

6

2.3.1 Definisi Polinom Taylor Aproksimasi linier pemikiran dibalik aproksimasi diferensial yang diperkenalkan adalah mengaproksimasi suatu kurva didekat sebuah titik tersebut. Persamaan garis singgung pada kurva y = f(X) di (x, x0) adalah y=f(x)

(x,x0)

y f(x0) = m(x x0) y f(x0) = f(x0)(x x0) y = f(x) + f(x0)(x x0) sehingga : Polinom linier P1 (X) = f(x0) + f(x0)(x- x0) disebut polinom Taylor Orde 1 pada a untuk f(x), menurut matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731). Contoh : Carilah P1(x) pada x0 = 1 untuk f(x) 1n x dan gunakan untuk mengaproksimasi (0,9).

7

Penyelesaian: Karena f(x) = 1n x, f(x) = 1/x, maka: f(x0) =ln 1 = 0 , dan f(1)=1/1 = 1 karenanya P1(x)= f(x0) + f(x0)(x- x0) = 0 + 1(x-1) = x 1 jadi nilai ln(0,9) untuk pendekatan orde ke-1 adalah ln(0,9) = 0,9 1 = - 0,1 y = f(x) akan dihampiri menjadi suatu polinom, yaitu: f(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)2 + c3(x-x0)3 + + cn(x-x0)n f(x) = c1 + 2c2(x-x0) +3c3(x-x0)2 + + ncn(x-x0)n-1 f(x) = 2c2 + 2.3c3(x-x0) + + (n-1.)ncn(x-x0)n-2 f(x) = 2.3c3 + 3.4c4(x-x0)2 + + (n-2)(n-1.)ncn(x-x0)n-3 dan seterusnya Dari uraian diatas maka didapat polinom Taylor sebagai berikut:

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

Persamaan 2.3.1a

a

b

Gambar 3.1 Apabila h = x x0 atau x = h + x0 , persamaan(2.3.1a) dapat dinyatakan sebagai,

(

)

( )

( )

( )

( )

( )(

)

Persamaan (2.3.1b)

8

Persamaan (2.3.1a) dan (2.3.1b) merupakan penjumlahan dari suku-suku (term) yang disebut deret. Jumlah suku-suku dalam Polinom Taylor adalah tak berhingga.

Contoh 2.3.1 1. Hampirilah fungsi f (x) = x Sin x dengan polinom Taylor dengan pendekatan orde ke-1 dan orde ke-5 di sekitar x0 = 0,1 dimana x dalam radian. Hitunglah nilai hampiran untuk x = 1 atau f (1) . Penyelesaian: f (x) = x Sin x f (0,1) = 0,1 Sin(0,1) = 0,009983 f '(x) = Sin x + xCos x f '(0,1) = Sin(0,1) + 0,1Cos(0,1) = 0,199334 f ''(x) = 2Cos x x Sin x f ''(0,1) = 2Cos(0,1) 0,1 Sin(0,1) = 1,980025 f '''(x) = 3Sin x xCos x f '''(0,1) = 3 Sin(0,1) 0,1Cos(0,1) = 0,399001 f (4) (x) = x Sin x 4Cos x f (4) (0,1) = 0,1 Sin(0,1) 4Cos(0,1) = 3,970033 f (5) (x) = 5 Sin x + xCos x f (5) (0,1) = 5 Sin(0,1) + 0,1Cos(0,1) = 0,598667 Hampiran dari fungsi f (x) = x Sin x dengan pendekatan orde ke-1 ( ) ( )( )

(

)

...(a)

Untuk h = x 0,1, maka persamaan (a) dapat dinyatakan sebagai, ( ) ( ) ( ) ..(b)

Untuk x =1, maka h = 1 - 0,1 = 0,9 dan persamaan (b) dinyatakan sebagai, ( ) ( ) 0,1893836 ( )

Hampiran dari fungsi f (x) = x Sin x dengan pendekatan orde ke-5 ( ) ((

))

(( )(

) )

((

))

(( )(

) )

(

)

(

)

(

)

..(c)

Untuk h = x 0,1, maka persamaan (c) dapat dinyatakan sebagai, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

(

)

( )

(

) (d)9

Untuk x=1, maka h= 1-0,1= 0,9 dan persamaan (d) dinyatakan sebagai, ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

Soal latihan 1. Hampiri fungsi f(x) = sin (x) ke dalam Taylor di sekitar x0 = 1 dengan pendekatan orde ke-4 ( )= sin (x) ( ) = cos (x) ( ) = - sin (x) ( ) = -cos (x)( )

( ) = sin (x) ( ) ) ( ) ( )( ) ( )

( ) Untuk h = (

( )

(

)

(

( ))

(

)

(

( ))

(

)

( )

(

( ))

( )

(

( ))

( )

( )

= 0,01745 + 0,99985h 0,00873h2 0,16664h3 + 0,00727h4

2.4 Polinom Maclaurin Untuk x0 = 0, maka persamaan (2.3.1a) dan (2.3.1b) dapat dinyatakan sebagai : ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ( )(

) ...(2.4a) ) ...(2.4b)

Persamaan (2.4a) dan (2.4b) disebut Polinom MacLaurin.

CONTOH 3.2. 1. Hampirilah fungsi f (x) = x Sin x dengan deret MacLaurin dengan pendekatan orde ke-1 dan orde ke-5 dan hitunglah nilai hampiran untuk x = 1 atau f (1) .

10

Penyelesaian: f (x) = x Sin x f (0) = 0 Sin(0) = 0 f '(x) = Sin x + xCos x f '(0) = Sin(0) + 0Cos(0) = 0 + 01 = 0 f ''(x) = 2Cos x x Sin x f ''(0) = 2Cos(0) 0 Sin(0) = 21 0 = 2 f '''(x) = 3Sin x xCos x f '''(0) = 3 Sin(0) 0Cos(0) = 3 0 01 = 0 f (4) (x) = x Sin x 4Cos x f (4) (0) = 0 Sin(0) 4Cos(0) = 0 41 = 4 f (5) (x) = 5Sin x + xCos x f (5) (0) = 5 Sin(0) + 0Cos(0) = 5 0 + 01 = 0 Hampiran dari fungsi f (x) = x Sin x dengan pendekatan orde ke-1 ( ) ( ) ( ) =0

Hampiran dari fungsi f (x) = x Sin x dengan pendekatan orde ke-5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )(

)

( )(

)

Fungsi f (x) = x Sin x dapat didekati oleh polinom MacLaurin dengan hasil yang berbeda, sedikit lebih kecil dibandingkan dengan yang didekati oleh polinom Taylor.

Soal latihan 1. Hampiri fungsi f(x) = sin (x) ke dalam polinom maclaurin di sekitar x0 = 0 dengan pendekatan orde ke-4 ( )= sin (x) ( ) = cos (x) ( ) = - sin (x) ( ) = cos (x)( )

( ) = cos (x) ( )( )

( )

( )

( )

(

( ))

( )

(

( ))

( )

( )

Untuk h = ( ) ( ) = h 0,167h311

( )

( )

(

( ))

( )

(

( ))

( )

( )