METODE ELIMINASI GAUSS UNTUK PENYELESAIAN

PERSAMAAN LINEAR

29 Mei 2014

Oleh :

Triapani Mukti Gilang Anugrah

1127030069

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2014

ABSTRAK

Nama : Triapani Mukti G.A

Teman Sekelompok : Iklimah

: M.Arlan Sukma G

: Ricky Taufik R

: Wini Sri Wahyuni

: Yuli Yulaeha

Nama Asisten Dosen : Hadian

Dalam penyelesaian persoalan matematika , seringkali dijumpai beberapa jenis

persamaan , namun yang sering kita jumapai ialah persamaan linear . Persamaan

linear terdiri dari beberapa orde ,untuk menyelesaikan persamaan linear maka di-

butuhkan metode yang tepat . Metode eliminasi gauss maerupakan metode yang

lazim dijumpai , dengan tujuan untuk mencari akar-akar dari persamaan linear ter-

sebut.Dengan mengasumsikan persamaan linear yang dimaksud dengan matriks ,

maka nilai dari akar-akar akan diperoleh , dengan caara metode eliminasi gauss.

Kata Kunci : persoalan matematika , persamaan linear , akar persamaan , matriks

, eliminasi gauss

i

DAFTAR ISI

ABSTRAK i

DAFTAR ISI ii

DAFTAR GAMBAR iii

1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Tujuan Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 LANDASAN TEORI 3

3 METODE PERCOBAAN 5

3.1 Waktu dan Tempat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Alat dan Bahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Diagram Alir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Prosedur Percobaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 HASIL DAN PEMBAHASAN 7

5 PENUTUP 9

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

DAFTAR PUSTAKA 9

ii

DAFTAR GAMBAR

4.1 Fungsi Pemanggil Untuk Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Persamaan yang telah menjadi matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Output Akar Metode Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

iii

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam menyelesaikan suatu persamaan , maka tujuannya ialah untuk menentukan

nilai akar dari persamaan tersebut . Begitu pula pada persamaan linear , biasanya

kita menyelesaikannya dengan metode eliminasi sederhana , namun untuk menye-

lesaikannya denan mudah untuk metode numerik , maka persamaan akan dibuat

kedalam matriks yang kemudian akan diperoleh berupa kolom dan baris yang beri-

sikan niali konstanta yang diketahui serta variabel yang ingin dicari . Dengan metode

eliminasi gauss ini , akar-akar persamaan linear dapat diketahui , walaupun terdiri

dari beberapa persamaan linear.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam percobaan kali ini, yaitu :

Apa yang dimaksud dengan eliminasi gauss?

Apa kelebihan dan kekurangan dari metode gauss?

Bagaimana metode eliminasi gauss dapat menemukan nilai dari akar persama-an non linear

1.3 Batasan Masalah

Ruang lingkup dari percobaan kali ini ialah , penyelesaian persamaan linear orde

satu.

1.4 Tujuan Praktikum

Adapun tujuan dari percobaan kali ini ialah :

1

1.5. Sistematika Penulisan 2

Mampu memahami metode eliminasi gauss untuk mencari solusi sistem per-samaan linear

Mampu mengaplikasikan metode eliminasi gauss dalam persoalan sederhana

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika yang terdapat pada laporan kali ini ialah , Bab I Pendahuluan terdiri

dari latar belakang , rumusan masalah , batasan masalah , tujuan praktikum ,

sistematika penulisan .Bab II merupakan landasan teori . Bab III Metode Percobaan

terdiri dari waktu dan tempat , alat dan bahan , diagram alir , serta prosedur

percobaan . BAB IV merupakan Hasil dan Pembahasan seta BAB V Penutup

terdiri dari kesimpulan dan saran .

Triapani Mukti Gilang A

Bab 2

LANDASAN TEORI

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks se-

hingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah

satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persa-

maan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian

dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut

menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu meto-

de penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan

mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengo-

perasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk

mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

a21x1+a21x2+...+a2nxn=b2

... +... +... +... =...

... +... +... +... =...

... +... +... +... =...

an1x1+an2x2+...+annxn=bn

Ciri-ciri Eliminasi Gauss :

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah1 (1 utama)

Baris nol terletak paling bawah

1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya

Dibawah 1 utama harus nol

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama

eliminasi, dengan beberapa tahap

Keuntungan :

3

4 menentukan apakah sistem konsisten

menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka

lebih mudah untuk memecahkan persoalan

Kelemahan :

memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Triapani Mukti Gilang A

Bab 3

METODE PERCOBAAN

3.1 Waktu dan Tempat

Percobaan ini dilakukan pada Hari Rabu tanggal 28 Mei 2014 Bertempat di labora-

torium Fisika UIN Sunan Gunung Djati Bandung pukul 09.00-12.00 WIB

3.2 Alat dan Bahan

Alat dan bahan yang digunakan ialah :

Laptop

Modul

3.3 Diagram Alir

5

3.4. Prosedur Percobaan 6

3.4 Prosedur Percobaan

Membuka software MATLAB , membuat fungsi pada program m-file . Menguji

fungsi yang telah dibuat dan menganalisis fungsi yang telah dibuat.

Triapani Mukti Gilang A

Bab 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Metode eliminasi gauss digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linear de-

ngan mengubah sistem persamaan linear tersebut kedalam bentuk sistem persamaan

linear segitiga atas, yaitu dengan mengubah semua koefisien segitiga dibawahdiago-

nal utamanya menjadi bernilai nol. Bentuk segitida atas ini dapat diselesaikan

dengan mengunakan substitusi penyulihan balik.Untuk mendapatkan SPL bentuk

segitiga dari SPL yang diketahui metode eliminasi gauss menggunakan sejumlah

operasi bari elementer , yakni :

Menukar posisi dua buah persamaan

Menambah sebuah persamaan dengan suatu kelipatan persamaan lain

Mengalikan sebuah persamaan dengan suatu konstanta yang tak bernilai nol

Maka hal ini juga berlaku dalam sebuah pemograman matlab , dengan mengikuti

aturan diatas , maka program dibuat sehingga matriks dari suatu persoalan yang

telah ada menjadi matriks segitiga . Karena dengan menggunakan fungsi for , ma-

ka perintah akan diuang hingga diagonal dari matriks dibawah akan bernilai nol .

Setelah hasil disimpan , maka program akan mengulangi perintah sehingga matriks

yang berisi penuh kini menjadi matriks segitiga .Setelah menjadi matriks segitiga ,

program akan menjalankan perintah substitusi hasil dari matriks, sehinga akar dari

persamaan linear akan diketahui nilainya . Berikut adalah script m-file dari elimi-

nasi gauss :

Dan berikut adalah script m-file dari persamaan yang telah dibuat mejadi matriks

:

Berikut adalah output dari akar-akar persamaan linear :

7

8Gambar 4.1: Fungsi Pemanggil Untuk Eliminasi Gauss

Gambar 4.2: Persamaan yang telah menjadi matriks

Gambar 4.3: Output Akar Metode Eliminasi Gauss

Triapani Mukti Gilang A

Bab 5

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Pada percobaan kali ini , dapat disimpulkan bahwa metode eliminasi gauss dapat

menemukan solusi sistem persamaan linear , dengan mengubah SPL menjadi berben-

tuk matriks dan kemudian mengubahnya kembali menjadi matriks segitika dengan

prinsip penyulihan balik. Pada percobaan ini kami mampu mengaplikasikan meto-

de eliminasi gauss pada sebuah persoalan fisika sederhan, dengan metode dan cara

seperti diatas.

5.2 Saran

Adapun saran dalam percobaan kali ini ialah , diharapkan mahasiswa sering berlatih

ehingga terbiasa untuk menyelesaikan persamaan linear dengan metode eliminasi

gauss.

9

DAFTAR PUSTAKA

[1] Sanjaya,M., 2014, Komputasi Numerik Berbasis Matlab, Universitas Islam Ne-

geri Sunan Gunung Djati, Bandung.

[2] , Komputasi Numerik Sistem Persamaan Linear, Universitas Negeri Yogya,

Yogya.

10

ABSTRAKDAFTAR ISIDAFTAR GAMBAR1 PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang1.2 Rumusan Masalah1.3 Batasan Masalah1.4 Tujuan Praktikum1.5 Sistematika Penulisan

2 LANDASAN TEORI3 METODE PERCOBAAN3.1 Waktu dan Tempat3.2 Alat dan Bahan3.3 Diagram Alir3.4 Prosedur Percobaan

4 HASIL DAN PEMBAHASAN5 PENUTUP5.1 Kesimpulan5.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA