72

5. 6 Interpolasi Polinom Lagrange

Seperti diketahui dari rumusan polinom linier :

p1(x) = y0 +

0

01

01 xxxx

yy

(5. 2. 3)

Persamaan ini dapat ditulis kembali sebagai,

p1(x) = y0

10

1

xx

xx

+ y1

01

0

xx

xx

(5. 6. 1)

yang dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

p1(x) = a0 L0(x) + a1 L1(x) (5. 6. 2)

dengan, a0 = y0, L0(x) =

10

1

xx

xx

dan, a1 = y1, L0(x) =

01

0

xx

xx

Bentuk persamaan (5. 6. 2) disebut dengan polinom Lagrange derajat 1.

Secara umum persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut :

n

0i

iin )x(f)x(L)x(p (5. 6. 3)

dengan ‘ n ’ pada )x(f n berarti pendekatan polinomial ke n dengan fungsi )x(fy

diberikan )1n( titik data nn1n1n1100 y,x,y,x,......,y,x,y,x , ini dapat

dibuktikan bahwa, data ini melalui setiap titik data tersebut dan

n

ij0j ji

j

ixx

xx)x(L (5. 6. 4)

)x(Li adalah fungsi pemberat (weighting) yang merupakan perkalian dari bentuk )1n(

di mana tidak terjadi jika ij . Ini dapat dibuktikan bahwa jika kasus ij maka

penyelesaiannya tidak unik. Polinom Lagrange tidak hanya berlaku untuk titik – titik yang

berjarak sama, tetapi dapat juga digunakan untuk titik data yang berbeda.

Interpolasi Linier Lagrange

Berikut contoh penerapan dari polinom derajat satu dari interpolasi linier Lagrange:

Contoh 5. 6. 5

Seperti pada kasus sebelumnya kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai

fungsi waktu pada tabel 1, berikut :

73

Tabel 1. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

0

250

500

750

1000

0 10 20 30 40

t [s]

v (t) [s]

Gambar 5. 6a. Kecepatan terhadap waktu sebuah roket

Tentukan nilai kecepatan pada t = 16 detik, dengan menggunakan polinomial derajat

pertama dari Lagrange.

Penyelesaian

Untuk polinomial derajat pertama (disebut dengan interpolasi linier), ditunjukkan

sebagai,

1

0i

ii )t(v)t(L)t(v

)t(v)t(L)t(v)t(L 1100

kemudian kecepatan pada waktu t = 16, dipilih titik yang mengurung data t = 16.

selanjutnya dua titik itu adalah to = 15 dan t1 = 20.

78.362t,15t 00

35.517t,20t 11

1

0j0j j0

j

0tt

tt)t(L

10

1

tt

tt

74

1

1j0j j1

j

1tt

tt)t(L

01

0

tt

tt

)t(vtt

tt)t(v

tt

tt)t(v 1

01

0

0

10

1

)35.517(1520

15t)78.362(

2015

20t

)35.517(1520

1516)78.362(

2015

2016)16(v

)35.517(2.0)78.362(8.0

7.393 m/detik.

dapat ditunjukkan bahwa 8.0)t(L0 dan 2.0)t(L1 merupakan pemberat pada

kecepatan t = 15 dan t = 20 untuk menghitung pada saat kecepatan t = 16.

Interpolasi Kuadrat Lagrange

Untuk polinom interpolasi derajat dua (disebut juga sebagai interpolasi kuadrat)

kecepatan diberikan sebagai,

2

0i

ii )t(v)t(L)t(v

)t(v)t(L)t(v)t(L)t(v)t(L 221100

Contoh 5. 6. 6

Kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai fungsi waktu pada tabel 2 berikut

Tabel 2. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

Tentukan nilai kecepatan pada saat t = 16 detik, dengan menggunakan polinomial

derajat dua dari Lagrange. Carilah galat mutlak dari persamaan tersebut.

Penyelesaian

Diketahui kecepatan pada saat t = 16 detik, dibutuhkan data yang mengurung data

ini, sehingga dipilih tiga titik, t0 = 10, t1 = 15, t2 = 20.

04.227tv,10t oo

75

78.362tv,15t 11

35.517tv,20t 22

diketahui,

2

0j0j j0

j

0tt

tt)t(L

20

2

10

1

tt

tt

tt

tt

2

1j0j j1

j

1tt

tt)t(L

21

2

01

0

tt

tt

tt

tt

2

2j0j j2

j

2tt

tt)t(L

12

1

02

0

tt

tt

tt

tt

)t(vtt

tt

tt

tt)t(v

tt

tt

tt

tt)t(v

tt

tt

tt

tt)t(v 2

12

1

02

0

1

21

2

01

0

0

20

2

10

1

)35.517()1520)(1020(

)1516)(1016(

)78.362()2015)(1015(

)2016)(1016()04.227(

)2010)(1510(

)2016)(1516()16(v

)35.517)(12.0()78.362)(96.0()04.227)(08.0(

19.392 m/detik.

Galat pendekatan absolutnya a , yang diperbandingkan dengan hasil antara polinomial

derajat satu dan dua adalah :

10019.392

70.39319.392a

%38502.0

Contoh 5. 6. 7

Kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai fungsi waktu pada tabel 3 berikut :

Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

a) Tentukan nilai kecepatan pada saat t = 16 detik, gunakan interpolasi polinomial

Lagrangian derajat 3. Carilah nilai pendekatan galat absolut dari persamaan ini.

76

b) Dengan menggunakan interpolasi polinomial derajat 3 untuk kecepatan, carilah

jarak yang dicapai roket pada saat t = 11 sampai dengan t = 16 detik.

c) Carilah percepatan dari roket pada saat t = 16 detik.

Penyelesaian :

a) Untuk polinomial derajat 3 (disebut juga dengan intepolasi kubik), dipilih

kecepatan sebagai,

3

0i

ii )t(v)t(L)t(v

)t(v)t(L)t(v)t(L)t(v)t(L)t(v)t(L 33221100

kemudian pada saat kecepatan t = 16 detik, dipilih empat data yang mengurung data ini

adalah, t0 = 10, t1=15, t2 = 20 dan t3 = 22.5.

04.227tv,10t oo

78.362tv,15t 11

35.517tv,20t 22

97.602tv,5.22t 33

sehingga,

3

0j0j j0

j

0tt

tt)t(L

30

3

20

2

10

1

tt

tt

tt

tt

tt

tt

3

1j0j j1

j

1tt

tt)t(L

31

3

21

2

01

0

tt

tt

tt

tt

tt

tt

3

2j0j j2

j

2tt

tt)t(L

32

3

12

1

02

0

tt

tt

tt

tt

tt

tt

3

3j0j j3

j

3tt

tt)t(L

23

2

13

1

03

0

tt

tt

tt

tt

tt

tt

)t(vtt

tt

tt

tt

tt

tt)t(v

tt

tt

tt

tt

tt

tt

)t(vtt

tt

tt

tt

tt

tt)t(v

tt

tt

tt

tt

tt

tt)t(v

3

23

2

13

1

03

0

2

32

3

12

1

02

0

1

31

3

21

2

01

0

0

30

3

20

2

10

1

77

)97.602()205.22)(155.22)(105.22(

)2016)(1516)(1016()35.517(

)5.2220)(1520)(1020(

)5.2216)(1516)(1016(

)78.362()5.2215)(2015)(1015(

)5.2216)(2016)(1016()04.227(

)5.2210)(2010)(1510(

)5.2216)(2016)(1516()16(v

)97.602)(1024.0()35.517)(312.0()78.362)(832.0()04.227)(0416.0(

06.392 m/detik

Pendekatan Nilai persentase galat mutlak, a untuk kecepatan v(16) diantara polinomial

ketiga dan kedua adalah,

10006.392

19.39206.392a

%033427.0

b) Jarak yang ditempuh roket antara waktu t = 11 dan t = 16 detik dapat dihitung dengan

interpolasi polinomial :

5.22t10untuk

),97.602()205.22)(155.22)(105.22(

)20t)(15t)(10t()35.517(

)5.2220)(1520)(1020(

)5.22t)(15t)(10t(

)78.362()5.2215)(2015)(1015(

)5.22t)(20t)(10t()04.227(

)5.2210)(2010)(1510(

)5.22t)(20t)(15t()t(v

)97.602()5.2)(5.7)(5.12(

)20t)(150t25t()35.517(

)5.2)(5)(10(

)5.22t)(150t25t(

)78.362()5.7)(5)(5(

)5.22t)(200t30t()04.227(

)5.12)(10)(5(

)5.22t)(300t35t()t(v

22

22

)5727.2)(3000t6502

t453

t()1388.4)(3375t5.7122

t5.473

t(

)9348.1)(4500t8752

t5.523

t()36326.0)(6750t5.10872

t5.573

t()t(v

,t00544.0t13195.0t265.21245.4)t(v32 5.22t10

Diketahui bahwa polinomial antara t = 10 dan t = 22.5, ditunjukkan sebagai pendekatan

dari limit t = 11 dan t = 16.

Jadi,

16

11

dt)t(v)11(s)16(s

16

11

32dt)t00544.0t13195.0t265.21245.4(

78

(x0, y0)

(x1, y1)

f1 (x)

x

y

16

11

432

]4

t00544.0

3

t13195.0

2

t265.21t245.4[

1605 m

c) Percepatan pada saat t = 16 diberikan,

16t

tvdt

d16a

Diketahui,

32t00544.0t13195.0t265.21245.4)t(v 5.22t10

32t00544.0t13195.0t265.21245.4

dt

dtv

dt

dta

2t01632.0t26390.0265.21

2

)16(01632.0)16(26390.0265.21)16(a

5. 7 Interpolasi Polinom Newton Terbagi

Untuk mengillustrasikan metode ini, ditunjukkan pada interpolasi derajat satu dan

dua.

5. 7. 1 Interpolasi Linier :

Diberikan titik ),y,x( 00 ),y,x( 11 dengan menginterpolasi kedua titik data

tersebut. Dengan )x(fy 00 dan )x(fy 11 , diasumsikan linier, sehingga interpolasi

)x(f 1 diberikan sebagai,

)xx(bb)x(f 0101

sehingga pada titik 0xx ,

00010001 b)xx(bb)x(f)x(f ,

dan pada 1xx ,

79

)xx(bb)x(f)x(f 0110111 )xx(b)x(f 0110

sehingga,

01

01

1xx

)x(f)x(fb

jadi,

)x(fb 00

01

01

1xx

)x(f)x(fb

sehingga interpolasi linier,

)xx(bb)x(f 0101

)xx(xx

)x(f)x(f)x(f)x(f 0

01

01

01

Contoh 5. 7. 2 :

Kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai fungsi waktu pada tabel 3 berikut :

Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

a. Tentukan nilai kecepatan pada saat t = 16 detik, gunakan interpolasi polinomial

Newton terbagi derajat 1.

0

250

500

750

1000

0 10 20 30 40

t [s]

v (t) [s]

Gambar 5. 7a. Data Kecepatan Roket terhadap waktu tempuhnya

Penyelesaian :

80

Untuk interplasi linier, diberikan

)tt(bb)t(v 010

pada saat 16t , ditunjukkan data yang mengurung 16t . Sehingga dapat diambil dua

titik 15t dan 20t .

,15t0 78.362)t(v 0

,20t1 35.517)t(v 1

diberikan,

)t(vb 00 78.362

01

01

1tt

)t(v)t(vb

1520

78.36235.517

914.30

sehingga,

)tt(bb)t(v 010

),15t(914.3078.362 20t15

pada saat 16t

)1516(914.3078.362)16(v

69.393 m/detik

Jika diperluas maka,

),15t(914.3078.362)t(v 20t15

sehingga,

,t914.3093.100)t(v 20t15

dan hal ini dapat ditunjukan sama dengan metode lansung sebelumnya.

5. 7. 2 Interpolasi Kuadratik :

Diberikan ),y,x( 00 ),y,x( 11 dan ),y,x( 22 dengan menginterpolasi kuadrat

ketiga data. Dengan ),x(fy ),x(fy 00 ),x(fy 11 dan ),x(fy 22 dengan

asumsi interpolasi kuadratik )x(f 2 diberikan

)xx)(xx(b)xx(bb)x(f 1020102

Untuk 0xx ,

)xx)(xx(b)xx(bb)x(f)x(f 100020010020 0b

sehingga )x(fb 00

81

untuk 1xx

)xx)(xx(b)xx(bb)x(f)x(f 110120110121

)xx(b)x(f)x(f 01101

maka,

01

01

1xx

)x(f)x(fb

Untuk 2xx

)xx)(xx(b)xx(bb)x(f)x(f 120220210222

)xx)(xx(b)xx(xx

)x(f)x(f)x(f)x(f 1202202

01

01

02

1202

02

01

01

02

2xxxx

xxxx

)x(f)x(f)x(f)x(f

b

=

1202

02

01

01

01

01

02

xxxx

xxxx

)x(f)x(fxx

xx

)x(f)x(f

=

02

02

1201

01

01

1201

02

xx

xxxxxx

)x(f)x(fxx

xxxx

)x(f)x(f

=

02

02

1201

1

01

1201

2

xx

xxxxxx

)x(fxx

xxxx

)x(f

02

02

1201

0

01

1201

0

xx

xxxxxx

)x(fxx

xxxx

)x(f

maka

02

01

01

12

12

2xx

xx

)x(f)x(f

xx

)x(f)x(f

b

sehingga interpolasi kuadratnya adalah

)xx)(xx(b)xx(bb)x(f 1020102

)0xx(

0x1x

)0x(f)1x(f)0x(f)x(2f

82

(x0, y0)

(x1, y1) (x2, y2)

f2 (x)

x

y

)1xx)(0xx(

0x2x

0x1x

)0x(f)1x(f

1x2x

)1x(f)2x(f

Gambar 5.7a. Interpolasi Kuadratik

Tentukan kecepatan pada waktu t = 16 detik, gunakan interpolasi Newton terbagi

derajat dua (kuadratik). Carilah pendekatan galat mutlak relatif.

Penyelesaian

Rumus kecepatan dapat diadaptasi kebentuk,

)tt)(tt(b)tt(bb)t(v 102010

selanjutnya akan diccari kecapatan pada saat ,16t dibutuhkan tiga data yang mengurung

16t , sehingga ,10t0 ,15t1 and 20t2 .

,10t0 04.227)t(v 0

,15t1 78.362)t(v 1

,20t 2 35.517)t(v 2

maka,

)t(vb 00 04.227

01

01

1tt

)t(v)t(vb

1015

04.22778.362

148.27

02

01

01

12

12

2tt

tt

)t(v)t(v

tt

)t(v)t(v

b

83

1020

1015

04.22778.362

1520

78.36235.517

10

148.27914.30

37660.0

sehingga,

)tt)(tt(b)tt(bb)t(v 102010

),15t)(10t(37660.0)10t(148.2704.227 20t10

untuk ,16t

)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16(v

19.392 m/detik

Jika diperluas maka,

),15t)(10t(37660.0)10t(148.2704.227)t(v 20t10

sehingga

2

t37660.0t733.1705.12)t(v , 20t10

Hal ini, dapat ditunjukkan bahwa metode ini sama dengan metode langsung.

5. 7. 3 Bentuk Umum Interpolasi Polinomial Newton Terbagi

Dari dua kasus diatas, dapat diturunkan rumus umum polinomial metode Newton

terbagi. Misalkan untuk rumus umum polinomial kuadratik,

)xx)(xx(b)xx(bb)x(f 1020102

dengan,

)x(fb 00

01

01

1xx

)x(f)x(fb

02

01

01

12

12

2xx

xx

)x(f)x(f

xx

)x(f)x(f

b

dengan pengertian, ,b0 ,b1 dan 2b merupakan terbagi berhingga. Dengan ,b0 ,b1 and 2b

adalah selisih terbagi pertama, kedua dan ketiga. Notasi selisih terbagi pertama adalah :

)x(f]x[f 00

kedua,

01

01

01xx

)x(f)x(f]x,x[f

84

dan ketiga

02

0112

012xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

02

01

01

12

12

xx

xx

)x(f)x(f

xx

)x(f)x(f

dimana ],x[f 0 ],x,x[f 01 dan ]x,x,x[f 012 sebagai fungsi variabel pengurung.

Dapat ditulis ulang sebagai,

)xx)(xx](x,x,x[f)xx](x,x[f]x[f)x(f 1001200102

Secara umum dapat ditulis ulang interpolasi polinomial Newton selisih terbagi untuk

)1n( titik data, nn1n1n1100 y,x,y,x,......,y,x,y,x sebagai

)xx)...(xx)(xx(b....)xx(bb)x(f 1n10n010n

dimana

]x[fb 00

]x,x[fb 011

]x,x,x[fb 0122

]x,....,x,x[fb 02n1n1n

]x,....,x,x[fb 01nnn

berdasarkan hal tersebut diatas definisi untuk thm selisih terbagi adalah

]x,........,x[fb 0mm

0m

01m1m

xx

]x,........,x[f]x,........,x[f

berdasarkan definsi ini, dapat ditunjukkan perhitungan rekursif.

Contoh polinomial derajat 3 untuk data ),y,x( 00 ),y,x( 11 ),y,x( 22 dan ),y,x( 33

dapat diturunkan sebagai :

)xx)(xx)(xx](x,x,x,x[f

)xx)(xx](x,x,x[f)xx](x,x[f]x[f)x(f

2100123

1001200103

85

Contoh 5. 7. 3. 1

Diketahui kecepatan sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu, seperti pada

Tabel 3 berikut :

Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

a) Tentukan nilai kecepatan pada waktu t = 16 detik gunakan interpolasi polinomial

Newton selisih terbagai derajat tiga. Carilah nilai pendekatan galat mutlak polinomial

derajat interpolasi tersebut.

b) Gunakan interpolasi polinomial derajat tiga dari kecepatan roket pada bagian (a).

Carilah jarak yang ditempuh roket pada waktu t = 11 sampai t = 16 detik.

c) Gunakan interpolasi polinomial derajat tiga dari kecepatan roket pada bagian (a), untuk

mencari percepatan roket pada t = 16 detik.

Penyelesaian :

a) Kecepatan roket dapat dirumuskan sebagai berikut :

)tt)(tt)(tt(b)tt)(tt(b)tt(bb)t(v 2103102010

selanjutnya kecepatan pada waktu ,16t dibutuhkan 4 buah data yang mengurung titik

data 16t . Kemepat data itu adalah ,10t0 ,15t1 ,20t 2 dan 5.22t 3

,10t0 04.227)t(v 0

,15t1 78.362)t(v 1

f [x1,x0]

f [x2,x1]

f [x3,x2]

f [x2,x1,x0]

f [x3,x2,x1]

f [x3,x2,x1,x0]

x0 f (x0)

x1 f (x1)

x2 f (x2)

x3 f (x3)

b0

b1

b3

b2

86

,20t 2 35.517)t(v 2

,5.22t 3 97.602)t(v 3

dimana,

]t[vb 00 )t(v 0 04.227

]t,t[vb 011 01

01

tt

)t(v)t(v

1015

04.22778.362

148.27

]t,t,t[vb 0122 02

0112

tt

]t,t[v]t,t[v

dengan, 12

12

12tt

)t(v)t(v]t,t[v

1520

78.36235.517

914.30

148.27]t,t[v 01

02

0112

2tt

]t,t[v]t,t[vb

1020

148.27914.30

37660.0

03

012123

3tt

]t,t,t[v]t,t,t[vb

dimana,

13

1223

123tt

]t,t[v]t,t[v]t,t,t[v

23

23

23tt

)t(v)t(v]t,t[v

205.22

35.51797.602

248.34

12

12

12tt

)t(v)t(v]t,t[v

1520

78.36235.517

914.30

sehingga,

13

1223

123tt

]t,t[v]t,t[v]t,t,t[v

155.22

914.30248.34

44453.0

37660.0]t,t,t[v 012

dan,

]t,t,t,t[vb 01233 03

012123

tt

]t,t,t[v]t,t,t[v

105.22

37660.044453.0

310x4347.5

dimana,

87

)tt)(tt)(tt(b)tt)(tt(b)tt(bb)t(v 2103102010

)20t)(15t)(10t(10*4347.5

)15t)(10t(37660.0)10t(148.2704.227

3

pada ,16t

)2016)(1516)(1016(10*4347.5

)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16(v

3

06.392 m/detik

b) Jarak yang ditempuh roket tersebut pada waktu t = 11 dan t = 16 detik dapat dihitung

dengan interpolasi polinomial berikut :

)20t)(15t)(10t(10*4347.5

)15t)(10t(37660.0)10t(148.2704.227)t(v

3

5.22t10

32t0054347.0t13204.0t265.212541.4 5.2210 t

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai ini, cukup dekat dengan perhitungan nilai

antara t = 10 dan t = 22.5 yang dicakup nilai pada t = 11 dan t = 16.

Jadi

16

11

dttv11s16s

dt)t0054347.0t13204.0t265.212541.4(32

16

11

16

11

432

4

t0054347.0

3

t13204.0

2

t265.21t2541.4

m 1605

c) Percepatan pada saat t = 16 diberikan sebagai,

16t)t(vdt

d)16(a

32t0054347.0t13204.0t265.212541.4)t(v

32t0054347.0t13204.0t265.212541.4

dt

d)t(v

dt

d)t(a

2t016304.0t26408.0265.21

2

)16(016304.0)16(26408.0265.21)16(a 2ikdet/m 664.29