Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa

oleh:DR. FAHINU, M.Pd

Mohon dikerjakan

Kura-kura menempuh jarak 1 km dalam 2 jam, Berapakah jarak yang ditempuh bila 8 jam?Manakah hubungan proporsional untuk mengerjakan situasi ini? Mengapa? Jelaskan!

1

2 8

x

8

1 2

x

1 2

8x

2 8

1 x

2 1

8 x

8 2

1x

NumerasiNumerasi

KuantitasKuantitas

Dasar 10Dasar 10

KesamaanKesamaanBentuk Bentuk BilanganBilangan

Proportional Proportional

ReasoningReasoning

Berpikir Aljabar &

Geometrik

Komponen Number Sense

Bahasa

Proportional Reasoning

Penalaran proporsional adalah meliputi hubungan matematis antara dua kuantitas.

Penalaran proporsional merupakan aktivitas mental dalam mengkordinasikan dua kuantitas yang berkaitan dengan relasi perubahannya.

.

Idea Kunci pada Penalaran Proporsional

• Rasio merupakan perbandingan dari dua kuantitas/ukuran(pecahan, persentase, peluang, kecepatan, , dll).

• Proporsi merupakan pernyataan kesetaraan antara dua rasio.

Masalah rasio dan proporsi

Gunakan pemahaman bahwa hubungan perkalian adalah sama untuk setiap rasio dalam proporsi dalam mencari nilai yang tidak diketahui berikut.

x2 :10 4 : x 5 = 102 so 4 x 5 = 20

Masalah rasio dan proporsi

Hubungan perkalian antara dua rasio dalam proporsi.

2:10 = 4 : xJika kita mengalikan kedua bilangan dalam rasio 2:10 oleh 2, kita menemukan nilai dalam rasio kedua.

2 4 x =

2 202

10

Mengapa kita mempelajari penalaran proporsional?

Penalaran proporsional: • Dasar matematika tingkat tinggi• Tidak selalu dikerjakan dengan

representasi simbolik• Menyelesaikan masalah rasio dan

proporsi dalam kehidupan sehari-hari.• Mempunyai empat level strategi peny:

• 0 (gunakan strategi penjumlahan, solution diperoleh karena keberuntungan)

• 1 (gunakan gambar, model, manipulasi)• 2 (gunakan strategi level 1 and strategi

perkalian/pembagian )• 3 (gunakan perkalian silang atau kesamaan

rasio)

Karakteristik Pemikir Proporsional (Lamon,1999)• Memiliki pemahaman ttg kovariasi: memahami

hubungan dua kuantitas yang mempunyai variasi bersama dan dapat melihat kesesuaian antara dua variasi berbeda.

• Mengenali hubungan proporsional dan non-proporsional dalam dunia nyata.

• Mengembangkan banyak strategi untuk menyelesaikan masalah proporsi.

• Memahami rasio sebagai entitas tersendiri yang menyatakan hubungan antar kuantitas.

Bagaimana penalaran proporsional siswa dan

Level Strateginya?

Malasah (Perbandingan senilai):

• Siswa kelas IV membutuhkan 5 helai daun setiap hari untuk memberi makan 2 ekor ulat. Berapa helai daun untuk memberi makan 12 ulat?

Solusi (Level 0)

Solusi (Level 1)

x 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30? 36

7

Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 lembar daun

Solusi (Level 2):

5/x = 2/125/x = 1/6 =5/30X = 30

Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.

Biasanya kesulitan karena tidak mendapat kan pecahan senilai sehingga menggunakan diagram

Solusi (Level 3):

5/x = 2/125.12 = 2.x60 = 2xX = 60/2 = 30

Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.

Masalah (Kesebangunan):

Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide berturut-turut adalah 36 mm dan 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, tentukan tinggi pada layar.

Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan

Solusi (Level 1), kesulitan membuat gambar/tabel karena harus membuat 36 kali kolom

…

96

72

48

24/36 72 106 142 …

Solusi (Level 2):

24/36 72 108 144 … 2160

36/24=2160/xx =24 . 60 =1440 mm = 1,44 m

60 x0

Solusi (Level 3):

36/2160=24/x1/60 =24/x

x =1440 mm = 1,44 m

Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan

Solusi (Level 1):

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10 10 10 10

10 10 10 10

Masalah (Reduksi):

Sebuah lantai ruangan berukuran 8 m x 10 m ingin digambar pada kertas gambar dengan skala 1 m : 10 cm. Tentukanlah ukuran lantai ruangan pada kertas gambar tersebut.

Solusi level 0, tidak dapat mengerjakan

Solusi level 1:80 cm x 100 cm

10

10

10

10

10

10

10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Solusi (Level 2/3)

(8 m /10 cm) x (10 m / 10 cm)(800 cm/10 cm) x (1000 cm/10 cm)80 cm x 100 cm.Jadi ukuran lantai ruangan pada kertas gambar adalah 800 cm x 100 cm.

Masalah (Penguk. tak langsung):

Sebuah pohon mempunyai tinggi 180 cm dengan bayangannya 240 cm. Berapakah tinggi bangunan yang mempunyai bayangan 1200 cm?

Level 0 & 1, Salah/sulitSolusi (Level 2/3):

180/x = 240/1200180/x =1/5180(5)/x = 1(5)/5x = 900 cm

Peluang yang dibutuhkan siswa untuk memahami masalah (Level 0, 1, dan 2):

• Alasan tentang situasi proporsional • Mencari nilai satuan unit• Mengkonstruksi rasio equivalen• Menghubungkan rasio, persen, and

pecahan

Menghubungkan Level 3

Memerlukan pemahaman yang kuat dari komponen penalaran proporsional:• Perubahan antara rasio equivalen (bukan

penjumlahan)• Perubahan perkalian adalah konstan• Hubungan antara rasio adalah faktor skala

(Jika mengalikan suatu rasio dengan faktor skala, hasilnya adalah rasio yang baru)

Masalah

Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga permukaan air dalam tabung naik. Jari-jari alas tabung 10 cm, Berapa cm kenaikan air dalam tabung tersebut?

Solusi (hanya Level 3):

Volume air yang naik = volume bola.r2

2.t =4/3..r13

3,14(10)2.t =4/3(3,14)(3)3

t = 36/100 = 0,36

Jadi kenaikan air dalam tabung adalah 0,36 cm.

Mengembangkan Penalaran proporsional

Kegiatan informal untuk mengembangkan penalaran proporsional (Van De Walle:2008):

• Mengidentifikasi hubungan perkalian• Pemilihan rasio equivalen• Perbandingan rasio• Pembuatan skala berdasarkan tabel rasio• Konstruksi dan pengukuran.

Selanjutnya banyak latihan Problem solving

Cognitive Processes in Problem SolvingRichard E. Mayer

• Translating

• Integrating

• Planning

• Executing

Masalah

Seorang petani mempunyai 200 m kawat untuk memagari suatu kebun berbentuk persegi panjang. Petani tersebut menginginkan luas kebunnya mempunyai luas yang maksimum. Berapakah panjang dan lebar kebun petani tersebut?

Translating

Prototype Mengkonstruksi Pengetahuan

Luas (Squared Measure)

vs. Keliling

(Linear Measure)

1 2

SymbolsRecord Keeping!

Math Structure:Discussion of the Concrete

Kuantitas:Konsep konkrit

L= p x l=10

P= 2p + 2l=14

CharacteristicsDefinition (in own words)

Non-ExamplesExamples

Frayer Model for Linguistics

Keliling

Jarak keliling suatu objek (linear measure)

10 cm

2cm

Keliling = 24 cm

The picture shows an Luas = 20 cm².

•Pengukuran satu dimensi

•Melibatkan penjumlahan

•Melibatkan problem solving

CharacteristicsDefinition (in own words)

Non-ExamplesExamples

Frayer Model for Linguistics

Luas

Ukuran interior of a figuresuatu gambar

(squared measure)

10 cm

2cm

Luas = 20 cm² Keliling = 24 cm.

•Melibatkan pengukuran dua dimensi

•Imelibatkan perkalian

•Melibatkan problem solving

Problem Solving-Translating

Mengkonversi masalah ke dalam gambaran mental.• Saya mempunyai 200 m kawat, dibuat persegi

panjang.• Saya tahu bahwa persegi panjang mempunyai 2

pasang sisi yang sejajar.• Saya tahu bahwa untuk menghitung keliling

menggunakan penjumlahan dan menghitung luas menggukan perkalian.

• Saya tahu bahwa banyak ukuran pasang sisi yang berbeda yang dapat dibuat.

Problem Solving-Translating

• Saya tahu bahwa luas adalah ukuran persegi pada interior gambar persegi panjang.

• Saya tahu bahwa luas yang diinginkan adalah maksimal.

Integrating

Problem Solving-Integrating

Membangun model mental problem.

Jika Keliling adalah 200 m, persegi panjang mempunyai luas maksimum?

Planning

Problem Solving-Planning

• Konkrit (Kuantitas)

• Representasi (Verbal Discussion)

• Abstrak (Symbolic)

Konkrit

Semua persegi panjang yang terjadi disusun dari persegi satuan sisi10 m

Representasi

• Bagaimana kita mengorganisasi data?• Persegi panjang manakah yang mempunyai

luas terbesar bila kelilingnya tertentu?

Executing

Organisasi Data

p l K= 2p + 2l L =p x l

1 9 20 units 9 sq. units

2 8 20 units 16 sq. units

3 7 20 units 21 sq. units

4 6 20 units 24 sq. units

5 5 20 units 25 sq. units

6 4 20units 24 sq. units

7 3 20units 21 sq. units

8 2 20units 16 sq. units

9 1 20 units 9 sq. units

Symbolic

• 1 x 9 = 9 square units• 2 x 8 = 16 square units• 3 x 7 = 21 square units• 4 x 6 = 24 square units• 5 x 5 = 25 square units (largest area!!!)

Jadi panjang kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, lebar kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, serta luas kebun maksimal adalah 2500 m2

Penutup

• Penalaran proporsional merupakan dasar matematika tingkat tinggi sehingga penalaran proporsional siswa perlu dikembangkan secara kontinu.

• Mengembangkan penalaran proporsional siswa perlu memperhatikan level penalaran proporsional.

• Melatih siswa mengembangkan strategi melalui problem solving