Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang...

55
Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip- prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah yang bersifat deduktif maupun yang bersifat induktif. Logika matematika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk menilai, apakah hasil suatu pemikiran benar/absah. Hukum-hukum itu akan digunakan pada proses pemikiran itu sendiri. Kita dapat memperbaiki cara berpikir dengan jalan mempelajari logika dalam rangka menertibkan cara berpikir. Dalam modul ini Anda akan mempelajari logika matematika yang mencakup materi bahasan sebagai berikut. 1. Pernyataan (kalimat deklaratif). 2. Negasi (ingkaran) suatu pernyataan. 3. Konjungsi dan disjungsi. 4. Implikasi dan biimplikasi. 5. Ingkaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. 6. Tautologi. 7. Argumen. Setelah mempelajari mata kuliah ini Anda diharapkan memiliki dasar- dasar dalam penalaran logis. Secara rinci Anda diharapkan memiliki kemampuan-kemampuan sebagai berikut. 1. Membedakan pernyataan dan kalimat yang bukan pernyataan. 2. Membuat contoh pernyataan dan contoh kalimat yang bukan pernyataan. 3. Menentukan negasi suatu pernyataan. 4. Menentukan nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi dua pernyataan. 5. Menentukan negasi dari konjungsi dan negasi dari disjungsi. 6. Menentukan nilai kebenaran implikasi dua pernyataan. L PENDAHULUAN

Transcript of Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang...

Page 1: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

Modul 1

Logika Matematika

Drs. Sukirman, M.Pd.

ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-

prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah yang

bersifat deduktif maupun yang bersifat induktif. Logika matematika

merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk

menilai, apakah hasil suatu pemikiran benar/absah. Hukum-hukum itu akan

digunakan pada proses pemikiran itu sendiri. Kita dapat memperbaiki cara

berpikir dengan jalan mempelajari logika dalam rangka menertibkan cara

berpikir.

Dalam modul ini Anda akan mempelajari logika matematika yang

mencakup materi bahasan sebagai berikut.

1. Pernyataan (kalimat deklaratif).

2. Negasi (ingkaran) suatu pernyataan.

3. Konjungsi dan disjungsi.

4. Implikasi dan biimplikasi.

5. Ingkaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

6. Tautologi.

7. Argumen.

Setelah mempelajari mata kuliah ini Anda diharapkan memiliki dasar-

dasar dalam penalaran logis. Secara rinci Anda diharapkan memiliki

kemampuan-kemampuan sebagai berikut.

1. Membedakan pernyataan dan kalimat yang bukan pernyataan.

2. Membuat contoh pernyataan dan contoh kalimat yang bukan pernyataan.

3. Menentukan negasi suatu pernyataan.

4. Menentukan nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi dua pernyataan.

5. Menentukan negasi dari konjungsi dan negasi dari disjungsi.

6. Menentukan nilai kebenaran implikasi dua pernyataan.

L

PENDAHULUAN

Page 2: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.2 Matematika

7. Menentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu implikasi dan

menentukan nilai-nilai kebenarannya.

8. Menentukan negasi dari suatu implikasi.

9. Menentukan nilai kebenaran dari suatu biimplikasi.

10. Memberikan contoh suatu tautologi dan suatu kontradiksi.

11. Menentukan keabsahan suatu argumen.

12. Menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan.

Penguasaan kemampuan-kemampuan tersebut sangat penting bagi

mereka yang akan mempelajari matematika, karena banyak mata kuliah

matematika yang menggunakan prinsip-prinsip tersebut untuk menurunkan

teorema atau untuk pemecahan masalah. Hampir setiap modul berikutnya.

nanti menggunakan penalaran tersebut, baik untuk membuktikan teorema

maupun untuk memecahkan soal-soalnya.

Untuk membantu Anda dalam menguasai kemampuan tersebut, dalam

modul ini disajikan uraian materi dan contoh-contohnya, latihan

memecahkan soal dan tes pada tiap kegiatan belajar. Modul ini terdiri dari 3

kegiatan belajar, yaitu sebagai berikut.

Kegiatan Belajar 1 : Konjungsi dan Disjungsi

Kegiatan Belajar 2 : Implikasi dan Biimplikasi

Kegiatan Belajar 3 : Argumen

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini, ikutilah

petunjuk belajar berikut ini.

1. Bacalah dengan cermat Pendahuluan ini, sehingga Anda memahami

gambaran secara global isi modul, untuk apa dipelajari, dan bagaimana

mempelajarinya.

2. Bacalah dengan saksama uraian materi dan contoh-contohnya, jika perlu

carilah contoh lain. Berilah tanda-tanda pada bagian-bagian yang Anda

anggap penting.

3. Kunci utama agar berhasil dalam belajar matematika adalah

kesanggupan untuk berlatih memecahkan soal-soal. Oleh karena itu,

kerjakanlah soal-soal latihan baik secara individual, dalam kelompok

kecil atau dalam tutorial, untuk pemantapan.

Page 3: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.3

Kegiatan Belajar 1

Konjungsi dan Disjungsi

A. PERNYATAAN

Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata

bahasa disebut kalimat. Kalimat yang dibicarakan dalam logika matematika

adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (indicative sentences/declarative

sentences). Contoh-contoh kalimat yang menerangkan antara lain:

1. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia.

2. 7 adalah bilangan prima.

3. 12 kurang dari 8.

Dalam Logika Matematika tidak akan membicarakan kalimat-kalimat

seperti contoh-contoh berikut ini, misalnya:

1. Apakah Siti berada di rumahmu? (Kalimat tanya).

2. Alangkah indahnya lukisan ini! (Kalimat yang mengungkapkan suatu

perasaan).

3. Tutuplah pintu itu! (Kalimat perintah).

4. Mudah-mudahan tak ada aral melintang. (Kalimat yang berisi harapan).

Perhatikan contoh-contoh kalimat yang menerangkan di atas. Kalimat-

kalimat 1 dan 2 bernilai benar, sedangkan kalimat 3 bernilai salah. Kalimat-

kalimat 4, 5, 6 dan 7 tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Nilai benar

di sini diartikan adanya kesesuaian antara apa yang dikatakan atau dituliskan

dalam kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya, atau benar dalam arti

matematika.

Sekarang akan dibicarakan perbedaan antara pernyataan (statement) dan

proposisi (proposition). Beberapa penulis, kedua istilah itu dianggap sama,

bahkan dipakai secara bergantian. Beberapa penulis lain hanya menyebutkan

pernyataan, dan tidak menyebut-nyebut proposisi. Beberapa penulis lainnya

Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai

salah, tetapi tidak kedua-duanya disebut pernyataan.

Page 4: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.4 Matematika

lagi membedakan antara kedua istilah tersebut. Bagi kelompok pertama, yaitu

penulis-penulis yang menganggap sama antara proposisi dan pernyataan

(kalimat deklaratif) menyimpulkan bahwa istilah-istilah itu didefinisikan

sebagai kalimat yang mempunyai nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak

kedua-duanya. Sedangkan kelompok terakhir, yang membedakan antara

proposisi dan pernyataan dijelaskan dengan contoh-contoh sebagai berikut:

1. 17 adalah bilangan prima.

2. 15 adalah bilangan prima.

3. Napoleon adalah bilangan prima.

4. 5 memukul 2.

Menurut kelompok ini, keempat contoh ini memenuhi definisi kalimat.

Mereka mendefinisikan kalimat sebagai kumpulan kata-kata yang disusun

menurut aturan tata bahasa. Kalimat-kalimat itu masing-masing

mengungkapkan suatu pernyataan. Kalimat-kalimat 8 dan 9 masing-masing

mempunyai makna, walaupun kalimat 9 mengungkapkan hal yang bernilai

salah, sebab tidak benar bahwa 15 adalah bilangan prima.

Sedang kalimat-kalimat 10 dan 11 tidak mempunyai makna, kalimat-

kalimat ini tidak bernilai benar maupun bernilai salah. Sebab nilai benar atau

nilai salah hanya diperuntukkan bagi kalimat-kalimat yang bermakna saja.

Pernyataan yang diungkap oleh suatu kalimat bermakna disebut proposisi.

Sehingga proposisi adalah suatu pernyataan, tetapi sebaliknya suatu

pernyataan belum tentu merupakan suatu proposisi. Menurut kelompok ini,

nilai benar atau nilai salah hanya dikenakan pada proposisi-proposisi saja.

Sebagai tambahan penjelasan dikatakan bahwa “Buku ini tebal” dan “This

book is thick” adalah kalimat-kalimat yang berbeda, tetapi mengungkapkan

suatu makna yang sama. Sehingga kalimat-kalimat itu menyatakan proposisi

yang sama. Dalam buku ini tidak membedakan istilah-istilah pernyataan dan

proposisi. Dua istilah ini digunakan secara bergantian.

Selanjutnya untuk menyingkat suatu penulisan maupun penyelesaian

yang berhubungan dengan proposisi, maka proposisi-proposisi tersebut diberi

simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b, c, .… Sedang untuk nilai Benar dan

nilai Salah berturut-turut disingkat dengan B dan S. Perhatikan contoh

berikut ini.

1. “a” menyatakan “15 terbagi habis oleh 3”.

2. “p” menyatakan “5 kurang dari 3”

Page 5: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.5

Pada contoh ini, a bernilai B (benar) dan p bernilai S (salah).

Ikhtisar:

Benar

Pernyataan

(Proposisi) Salah

Kalimat

Bukan Pernyataan

Contoh 1.1:

Apakah kalimat-kalimat berikut ini suatu pernyataan? Jika pernyataan,

tentukan nilai kebenarannya?

1. 8 adalah bilangan asli.

2. 14 adalah bilangan prima.

3. Napoleon habis dibagi 13.

4. Yono sakit keras.

5. Berapakah hasil 9 ditambah 7?

6. Siti tertabrak mobil.

7. Semoga Anda selamat dalam perjalanan.

8. Pergilah dari tempat ini!

Jawab:

1. Pernyataan, bernilai benar.

2. Pernyataan, bernilai salah.

3. Bukan kalimat, karena tidak memenuhi definisi.

4. Pernyataan faktual, artinya untuk nilai kebenarannya perlu diadakan

penyelidikan.

5. Bukan pernyataan.

6. Pernyataan faktual.

7. Bukan pernyataan.

8. Bukan pernyataan.

Page 6: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.6 Matematika

Apakah kalimat-kalimat berikut suatu pernyataan? Jika ya, tentukan nilai

kebenarannya?

1) 8 + 3 = 12

2) 9 + 13 < 10

3) Apakah 5 bilangan prima?

4) Jakarta terletak di pulau Jawa.

5) Astaga!

6) 3 membenci 7.

7) Siti adalah anak pak Karto.

8) Siapakah nama bapakmu?

9) Dilarang parkir kendaraan bermotor di sini.

10) Bajunya berwarna biru.

B. PERNYATAN MAJEMUK

Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan

pernyataan-pernyataan saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan

menjadi pernyataan majemuk (tersusun) dengan menggunakan kata-kata

perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu dapat dilihat pada Tabel

1.1.

Tabel 1.1

Lambang (Simbol) Kata Pengubung

Kata Penghubung Lambang

dan atau

jika - maka jika dan hanya jika

Agar dalam membahas pernyataan majemuk menjadi lebih lengkap,

sebelumnya dibahas lebih dulu tentang negasi (ingkaran/sangkalan) suatu

pernyataan.

LATIHAN 1.1

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

Page 7: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.7

1. Negasi (Sangkalan/Ingkaran)

Contoh 1.2:

Jika “a” menyatakan “Ida suka mangga”, maka “negasi a” disimbolkan

dengan “~a” menyatakan “Tidak benar bahwa Ida suka mangga”. Dengan

bahasa sehari-hari dapat dikatakan “Ida tidak suka mangga”.

Definisi 1.1:

Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah

apabila pernyataan semula bernilai benar, atau bernilai benar apabila

pernyataan semula bernilai salah.

Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel

kebenaran untuk negasi suatu pernyataan sebagai berikut:

Tabel 1.2

Tabel Nilai Kebenaran Negasi Suatu Pernyataan a

a ~a ~(~a)

B

S

S

B

B

S

Contoh 1.3:

1. Misalkan “a” menyatakan “Tembok itu berwarna hitam”, maka negasi

a, yaitu “~a” menyatakan “Tidak benar bahwa tembok itu berwarna

hitam”. Lebih ringkas dikatakan “Tembok itu tidak berwarna hitam”.

Apabila “b” menyatakan “Tembok itu berwarna putih”, maka b bukan

negasi dari a. Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau,

maka baik a maupun b kedua pernyataan bernilai salah. Hal ini

bertentangan dengan Definisi 1.1.

2. Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari “p q” adalah

“tidak benar bahwa p q”. Tidak benar bahwa p q tidak berarti bahwa

p q, sebab jika kenyataannya p = q, maka baik p q maupun p q

keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari “p q” adalah “p q”.

Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang

selalu berlainan, artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka

negasinya bernilai S dan sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui

bernilai S, maka negasinya bernilai B.

Page 8: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.8 Matematika

2. Konjungsi Dua Pernyataan

Contoh 1.4:

“Jono kaya dan bahagia” merupakan singkatan dari “Jono kaya dan Jono

bahagia”. Apabila “a” menyatakan “Jono kaya” dan “b” menyatakan “Jono

bahagia”, maka “a ∧ b” menyatakan “Jono kaya dan bahagia”. Pernyataan-

pernyataan “a” maupun “b” masing-masing disebut pernyataan tunggal

(pernyataan prima /pernyataan atom). Sedangkan “a ∧ b” dibaca “a dan b”

disebut konjungsi a dan b.

Definisi 1.2:

Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a ∧ b” (dibaca “a dan b”)

bernilai B (benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya bernilai

B, dan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka “a ∧ b” bernilai

S (salah).

Definisi 1.2 dapat dikatakan bahwa konjungsi dua pernyataan bernilai

salah, apabila salah satu pernyataannya bernilai salah. Definisi tersebut dapat

dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran (Tabel 1.3) konjungsi dua

pernyataan a dan b.

Tabel 1.3

Nilai Kebenaran Konjungsi Dua Pernyataan a dan b

Baris ke a b a ∧ b

1 2 3 4

B B S S

B S B S

B S S S

Catatan:

Nilai kebenaran konjungsi dua pernyataan ditentukan oleh nilai-nilai

kebenaran pernyataan-pernyataan tunggalnya, dan tidak perlu memperhatikan

ada tidaknya hubungan pernyataan-pernyataan tunggalnya.

Page 9: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.9

Contoh 1.5:

1) a = Jakarta ialah ibukota negara Republik Indonesia. (B).

b = Semarang terletak di pulau Jawa. (B).

a ∧ b = Jakarta ialah ibukota negara Republik Indonesia dan Semarang

terletak di pulau Jawa. (B). Sesuai baris ke-1 Tabel 1.3.

2) p = 5 adalah bilangan prima. (B)

q = 5 adalah bilangan genap. (S)

p ∧ q = 5 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan genap (S) Sesuai

baris ke-2 Tabel 1.3.

1) m = 8 lebih besar dari 10. (S).

n = Matahari terbit dari timur. (B)

m ∧ n = 8 lebih besar dari 10 dan matahari terbit dari timur. (S). Sesuai

baris ke-3 Tabel 1.3.

4) c = Seekor lembu berkaki seribu. (S).

d = 4 membagi habis 7. (S)

c ∧ d = Seekor lembu berkaki seribu dan 4 membagi habis 7. (S). Sesuai

baris ke-4 Tabel 1.3.

3. Disjungsi Dua Pernyataan

Definisi 1.3:

Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a b” (dibaca: “a atau b”)

bernilai S hanya apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S,

sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka

“a b” bernilai B.

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran disjungsi

dua pernyataan a dan b (Tabel 1.4) sebagai berikut:

Tabel 1.4

Nilai Kebenaran Disjungsi Dua Pernyataan a dan b

a b a b

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

Page 10: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.10 Matematika

Definisi 1.3 dapat pula dikatakan bahwa disjungsi dua pernyataan

bernilai B, apabila sekurang-kurangnya satu dari pernyataan-pernyataan

tunggalnya bernilai B.

Contoh 1.6:

1) a = 7 adalah bilangan prima. (B).

b = 5 membagi habis 20. (B).

a ∨ b = 7 adalah bilangan prima atau 5 membagi habis 20.(B). Sesuai

baris ke-1 Tabel 1.4.

2) p = 5 adalah bilangan prima. (B)

q = 7 lebih besar dari 8. (S)

p ∨ q = 5 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan genap (B) Sesuai

baris ke-2 Tabel 1.4.

3) m = 8 lebih besar dari 10. (S).

n = Matahari terbit dari timur. (B)

m ∨ n = 8 lebih besar dari 10 atau matahari terbit dari timur. (B). Sesuai

baris ke-3 Tabel 1.4.

4) c = 6 adalah faktor dari 9. (S).

d = 4 membagi habis 7. (S)

c ∨ d = Seekor lembu berkaki seribu atau 4 membagi habis 7. (S). Sesuai

baris ke-4 Tabel 1.4.

Disjungsi dua pernyataan yang didefinisikan sesuai dengan Tabel 1.4

disebut disjungsi inklusif. Disjungsi jenis lain disebut disjungsi eksklusif.

Disjungsi eksklusif dua pernyataan a dan b disimbolkan sebagai “a b”

(dibaca “atau a atau b”) dan didefinisikan sesuai dengan Tabel 1.5. Dalam

modul ini, apabila ditentukan suatu disjungsi tanpa keterangan apa-apa, maka

yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.

Contoh 1.7: Pada jam 06.30, Badu sedang mandi atau sedang makan pagi. Dua

perbuatan ini tidak dapat diselesaikan oleh Badu dalam saat yang bersamaan.

Menurut ketentuan di atas dikatakan: “Atau Badu sedang mandi atau Badu

sedang makan pagi”.

Page 11: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.11

Tabel 1.5 Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi Eksklusif dari a dan b.

a b a b

B B S S

B S B S

S B B S

3. Negasi dari Konjungsi dan Disjungsi

Sesuai dengan Definisi 1.1, yaitu negasi suatu pernyataan ialah suatu

pernyataan yang bernilai salah, apabila pernyataan semula bernilai benar,

atau bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah. Oleh karena itu,

untuk menentukan negasi dari konjungsi, kita perlu melihat kembali nilai

kebenaran dari konjungsi dua pernyataan yang dinyatakan pada Tabel 1.3 dan

dibandingkan dengan negasi-negasi dari pernyataan tunggalnya, seperti

tampak pada Tabel 1.6.

Tabel 1.6

Nilai Kebenaran dari Negasi Konjungsi Dua Pernyataan

Baris ke a b ~a ~b a ∧ b ~(a ∧ b) ~a ∨~b

1

2

3

4

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

S

B

B

B

Kolom ke 1 2 3 4 5

Tabel nilai kebenaran pada Tabel 1.6 disusun dengan cara sebagai

berikut. Pertama menentukan nilai kebenaran dari ~a dalam kolom 1, yaitu

jika a bernilai B, maka ~a bernilai S dan sebaliknya. Demikian pula untuk

nilai kebenaran ~b dalam kolom 2. Nilai kebenaran dalam kolom 3, yaitu

nilai kebenaran dari a ∧ b, seperti pada Tabel 1.3. Nilai kebenaran dalam

kolom 4 merupakan negasi dari nilai kebenaran dalam kolom 3. Sedangkan

nilai kebenaran dalam kolom 5 diturunkan dari nilai kebenaran dalam kolom

1 dan kolom 2 dengan aturan disjungsi.

sama

Page 12: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.12 Matematika

Tampak dalam Tabel 1.6 bahwa urutan nilai kebenaran dalam kolom 4

sama dengan urutan nilai kebenaran dalam kolom 6, maka kita dapat

menyimpulkan bahwa ~(a ∧ b) ekuivalen dengan ~a ∨ ~b dan dinotasikan

dengan

~(a ∧ b) ≡ ~a ∨ ~b

Negasi dari konjungsi dua pernyataan ekuivalen dengan disjungsi dari

negasi masing-masing pernyataannya.

Contoh 1.8:

Tentukanlah negasi dari konjungsi pernyataan-pernyataan majemuk

berikut ini! Tentukan pula nilai kebenarannya!

(1) Amin pergi ke toko dan Amin membeli buku.

(2) 4 + 5 = 9 dan 9 suatu bilangan prima.

(3) 7 lebih besar dari 5 dan 6 adalah bilangan komposit.

Jawab:

(1) Amin tidak pergi ke toko atau Amin tidak membeli buku. (Faktual)

(2) 4 + 5 ≠ 9 atau 9 suatu bukan bilangan prima. (B)

(3) 7 tidak lebih besar dari 5 atau 6 adalah bukan bilangan komposit.(S)

Selanjutnya, kita akan membahas negasi dari disjungsi dua pernyataan.

Perhatikan contoh berikut ini.

Misalnya, a = 8 adalah suatu bilangan prima (S)

~a = 8 bukan suatu bilangan prima (B)

b = 20 terbagi habis oleh 4 (B)

~b = 20 tidak terbagi habis oleh 4 (S).

Maka,

a ∨ b bernilai B, sehingga ~( a ∨ b) bernilai S.

~a ∨ ~b bernilai B.

Jadi ~( a ∨ b) ≢ ~a ∨ ~b

Karena ~a ∧ ~b bernilai S. maka ~( a ∨ b) ≡ ~a ∧ ~b . Hal ini secara

umum dapat dilihat pada Tabel 1.7 berikut ini.

Page 13: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.13

Tabel 1.7 Nilai Kebenaran dari Negasi Disjungsi Dua Pernyataan

Baris ke a b ~a ~b a ∨ b ~(a ∨ b) ~a ∧~b

1

2

3

4

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

B

S

S

S

B

Kolom ke 1 2 3 4 5

Nilai-nilai kebenaran dalam Tabel 1.7 disusun mirip seperti penyusunan

Tabel 1.6, di mulai dari kolom 1 terus ke kanan hingga kolom 5.

Tampak pada Tabel 1.7 bahwa urutan nilai-nilai kebenaran dalam kolom

4 sama dengan urutan nilai-nilai kebenaran pada kolom 5. Maka kita dapat

menyimpulkan bahwa

~( a ∨ b) ≡ ~a ∧ ~b

Negasi dari disjungsi dua pernyataan ekuivalen dengan konjungsi dari

negasi masing-masing pernyataannya.

Contoh 1.9:

Tentukanlah negasi dari disjungsi pernyataan-pernyataan majemuk

berikut ini! Tentukan pula nilai kebenarannya!

(1) Bendera RI berwarna merah putih atau Bandung adalah ibu kota RI.

(2) 47 adalah suatu bilangan prima atau 7 – 3 = 4.

(3) 8 membagi habis 36 atau 8 lebih besar dari 13.

(4) Yogyakarta terletak di pulau Jawa atau 4 + 7 = 11.

Jawab:

(1) Bendera RI tidak berwarna merah putih dan Bandung bukan ibu kota

RI.(S)

(2) 47 bukan suatu bilangan prima dan 7 – 3 ≠ 4.(S)

(3) 8 tidak membagi habis 36 dan 8 tidak lebih besar dari 13.(B)

(4) Yogyakarta tidak terletak di pulau Jawa dan 4 + 7 ≠ 11.(S)

sama

Page 14: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.14 Matematika

1) Lengkapilah tabel nilai kebenaran berikut ini!

p q ~p ~q p ∧~q ~p ∨ q ~p ∧ p q ∨~q ~p ∨(p∧~q)

B B

B S

S B

S S

2) Misalkan a = 15 terbagi habis oleh 5

b = 27 adalah suatu bilangan prima.

Tulislah pernyataan-pernyataan berikut ini dalam kalimat sehari-hari dan

tentukanlah nilai kebenarannya!

(a) a ∧ ~b

(b) ~a ∨ b

(c) a ∨ ~b

(d) ~a ∧ ~b

(e) ~a ∨ ~b

3) Misalkan a = Ida adalah gadis cantik.

b = Ida berambut keriting.

Tulislah pernyataan-pernyataan berikut ini dengan menggunakan

lambang-lambang a, b, ~, ∧, atau ∨.

(a) Tidak benar bahwa Ida bukan gadis cantik.

(b) Ida adalah gadis cantik yang berambut keriting.

(c) Ida bukan gadis cantik, tetapi berambut keriting.

(d) Ida adalah gadis cantik yang tidak berambut keriting.

(e) Ida berambut keriting, tetapi bukan gadis cantik.

4) Misalkan p, q dan ~r berturut-turut adalah pernyataan-pernyataan yang

bernilai B, S dan B. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan

berikut ini!

LATIHAN 1.2

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

Page 15: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.15

(a) p ∨ q

(b) p ∧ q

(c) ~p

(d) ~q

(e) ~(~p)

5) Misalkan a dan b berturut-turut adalah pernyataan-pernyataan yang

bernilai B dan S. Pernyataan c adalah sembarang pernyataan yang tidak

diketahui nilai kebenarannya. Tentukan nilai kebenaran dari setiap

pernyataan berikut ini!

(a) a ∧ ~b (b) ~a ∧ (b ∨ ~c) (c) (a ∨ b) ∧ c

(d) (a ∨ c) ∧ b (e) (~a ∧ c) ∨ c (f) (~c ∧ a) ∧ b

6) Tunjukkanlah dengan menyusun tabel kebenarannya bahwa

(a) ~(m ∨ ~n) ≡ ~m ∧ n

(b) m ∨ ~n ≡ ~(~m ∧ n)

Petunjuk Jawaban Latihan 1.1

1) Pernyataan, bernilai Salah.

2) Pernyataan, bernilai Salah.

3) Bukan pernyataan.

4) Pernyataan, bernilai Benar.

5) Bukan pernyataan.

6) Bukan pernyataan.

7) Pernyataan, faktual.

8) Bukan pernyataan.

9) Bukan pernyataan.

10) Pernyataan faktual.

Petunjuk Jawaban Latihan 1.2

1)

p q ~p ~q p ∧~q ~p ∨ q ~p ∧ p q ∨~q ~p ∨(p∧~q)

B B S S S B S B S

B S S B B S S B B

S B B S S B S B B

S S B B S B S B B

(f) ~ p ∨ q

(g) p ∧ ~q

(h) ~(p ∨ ~q)

(i) ~p ∧ ~q

(j) ~(~p ∧ q) ∨~r

(k) ~ p ∨ r

(l) r ∧ ~q

(m) ~(p ∨ ~r)

(n) (~p ∧ ~q) ∨ r

(o) ~(~p ∧ q) ∨ r

Page 16: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.16 Matematika

2) (a) 15 terbagi habis oleh 5 dan 27 bukan suatu bilangan prima.

(b) 15 tidak terbagi habis oleh 5 atau 27 adalah suatu bilangan prima.

(c) 15 terbagi habis oleh 5 atau 27 bukan suatu bilangan prima.

(d) 15 tidak terbagi habis oleh 5 dan 27 bukan suatu bilangan prima.

(e) 15 tidak terbagi habis oleh 5 atau 27 bukan suatu bilangan prima

3) (a) ~(~a)

(b) a ∧ b

(c) ~a ∧ b

(d) a ∧ ~b

(e) b ∧ ~a

4) (a) B

(b) S

(c) S

(d) B

(e) B

5) (a) B (b) S (c) S

(d) S (e) S (f) S

6)

m n ~m ~n m∨~n ~(m∨ ~n) ~m ∧ n ~m ∨ n ~(~m∨ n) m∧ ~n

B B S S B S S B S S

B S S B B S S S B B

S B B S S B B B S S

S S B B B S S B S S

Tampak pada tabel bahwa

(a) ~(m ∨ ~n) ≡ ~m ∧ n

(b) m ∧ ~n ≡ ~(~m ∨ n)

1. Dalam matematika, kalimat deklaratif dibedakan menjadi dua jenis,

yaitu pernyataan dan bukan pernyataan. Kalimat yang mempunyai

nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak kedua-

duanya disebut pernyataan.

RANGKUMAN

(f) S

(g) B

(h) S

(i) S

(j) B

(k) B

(l) S

(m) S

(n) S

(o) B

sama sama

Page 17: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.17

2. Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah

apabila pernyataan semula bernilai benar, atau bernilai benar apabila

pernyataan semula bernilai salah.

3. Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a ∧ b” (dibaca “a dan b”)

bernilai B (benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya

bernilai B, dan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka “a

∧ b” bernilai S (salah).

Atau konjungsi dua pernyataan bernilai salah, jika sekurang-

kurangnya satu pernyataannya bernilai salah.

4. Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a b” (dibaca: “a atau

b”) bernilai S hanya apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S,

sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka “a

b” bernilai B.

Atau, Disjungsi dua pernyataan bernilai benar, jika sekurang-

kurangnya satu pernyataannya bernilai benar.

5. Dua pernyataan a dan b dikatakan ekuivalen, (ditulis a ≡ b), jika

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

6. Negasi dari konjungsi dua pernyataan ekuivalen dengan disjungsi

dari negasi masing-masing pernyataannya.

Atau ~ (a ∧ b) ≡ ~a ∨ ~b.

7. Negasi dari disjungsi dua pernyataan ekuivalen dengan konjungsi

dari negasi masing-masing pernyataannya.

Atau ~ ( a ∨ b) ≡ ~a ∧ ~b

8. AWAS PERHATIKAN: ~ ( a ∨ b) ≢ ~a ∨ ~b

~ ( a ∨ b) ≢ ~a ∧ ~b

Pilihlah:

A, jika (1) dan (2) benar.

B, jika (1) dan (3) benar.

C, jika (2) dan (3) benar.

D, jika (1), (2), dan (3) benar.

1) Kalimat berikut ini, manakah yang merupakan pernyataan?

(1) Siti anak pak Harno.

(2) 7 adalah faktor dari 23

(3) Ana sedang di sekolah.

TES FORMATIF 1

Page 18: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.18 Matematika

2) Kalimat berikut ini, manakah yang bukan pernyataan?

(1) Dilarang berjualan di sini!

(2) Apakah Ani sedang sakit?

(3) Mudah-mudahan Anda lulus ujian.

3) Pernyataan berikut ini, manakah yang bernilai benar?

(1) 7 adalah faktor prima dari 56.

(2) 57 adalah suatu bilangan prima.

(3) 97 mempunyai dua faktor prima.

4) Konjungsi berikut ini, manakah yang bernilai benar?

(1) 2 adalah suatu bilangan prima yang genap.

(2) 3 adalah faktor prima dari 21 dan 52.

(3) 8 membagi habis 56 dan 128.

5) Disjungsi berikut ini, manakah yang benar?

(1) 38 terbagi habis oleh 3 atau 8.

(2) 7 adalah faktor prima dari 28 atau 39.

(3) 31 adalah bilang prima atau bilangan ganjil.

6) Misalkan a = Seekor kucing mempunyai dua mata.

b = Ida membeli lima buka tulis.

Pernyataan berikut ini, manakah yang pasti benar?

(1) a ∨ b

(2) a ∨ ~b

(3) ~a ∨ b

7) Misalkan p = Ani adalah anak pertama dari pak Hadi.

q = Yogyakarta adalah ibukota Jawa Tengah.

Pernyataan berikut ini, manakah yang pasti salah?

(1) ~p ∧ q

(2) ~p ∧ ~q

(3) p ∧ q

8) Misalkan a adalah suatu pernyataan yang bernilai Salah, dan b

pernyataan sembarang yang tidak diketahui nilai kebenarannya.

Pernyataan majemuk berikut ini, manakah yang bernilai pasti benar?

(1) ~a ∨ ~b

(2) ~a ∨ b

(3) a ∨ b

Page 19: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.19

9) Pernyataan majemuk yang ekuivalen dengan a ∧ ~ b adalah ….

(1) ~(~a ∨ b)

(2) ~a ∧ b

(3) a ∧ ~ b

10) Misalkan p dan q berturut-turut adalah pernyataan-pernyataan bernilai

benar dan salah, maka pernyataan berikut ini yang bernilai benar

adalah ….

(1) p ∨ q

(2) p ∨ ~q

(3) ~p ∨ ~q

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

Page 20: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.20 Matematika

Kegiatan Belajar 2

Implikasi dan Biimplikasi

A. IMPLIKASI (KONDISIONAL) DUA PERNYATAAN

Perhatikan contoh kalimat berikut ini!

“Jika Ani lulus ujian, maka Ani dibelikan sepeda motor”

Kalimat ini merupakan kalimat majemuk. Pernyataan-pernyataan

tunggalnya adalah “Ani lulus ujian” dan “Ani dibelikan sepeda motor”. Kata

penghubungannya adalah “ jika … maka …”. Pernyataan majemuk seperti ini

disebut implikasi.

Jika pernyataan “Ani lulus ujian” dilambangkan dengan “a” dan

pernyataan “Ani dibelikan sepeda motor” dilambangkan dengan “b”, serta

lambang untuk kata penghubung “jika … maka … adalah “”, maka

pernyataan majemuk “Jika Ani lulus ujian, maka Ani dibelikan sepeda

motor” dilambangkan dengan “a b” (dibaca “ jika a maka b”).

Pada implikasi a b, pernyataan a disebut pendahulu (antecedent) dan

b disebut pengikut (consequent). Nilai kebenaran suatu implikasi tergantung

dari nilai kebenaran dari pendahulu dan pengikutnya, yaitu mengikuti definisi

berikut ini.

Definisi 1.4:

Implikasi “a b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B dan

pengikut b bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka

implikasi “a b” bernilai B.

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran implikasi

a b (Tabel 1.8) berikut.

Page 21: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.21

Tabel 1.8

Nilai Kebenaran Implikasi a b

a b a b

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan majemuk “apabila … maka

…” biasanya ada suatu hubungan antara pendahulu dan pengikut.

Contoh 1.10:

1) Apabila kamu lulus ujian, maka saya membelikan sepeda motor

untukmu (suatu janji).

2) Apabila bel berdering tiga kali, maka pertanda kuliah diakhiri (suatu

pertanda).

3) Apabila Anda biasa terlambat makan, maka Anda akan menderita sakit

perut (sebab akibat).

4) Apabila dua segitiga siku-siku samakaki, maka dua segitiga itu sebangun

(pengikut diturunkan dari pendahulu).

Pada Contoh 1.10, pendahulu dan pengikut suatu implikasi itu

mempunyai hubungan yang ditunjukkan dengan kata-kata dalam kurung di

belakang tiap-tiap kalimat.

Dalam matematika hubungan antara pendahulu dan pengikut tidak

disyaratkan, walaupun adanya hubungan diperbolehkan pula. Berarti atau

tidaknya suatu implikasi hanya bergantung pada berarti atau tidaknya

pendahulu dan pengikut dari implikasi itu. Begitu pula nilai kebenaran suatu

implikasi hanya didasarkan atas nilai-nilai kebenaran dari pendahulu dan

pengikutnya.

Contoh 1.11:

Apabila matahari terbit dari barat, maka Siti lulus ujian.

Kalimat ini sering kita dengar, dan dimaksudkan bahwa mustahil Siti

akan lulus dalam menempuh ujiannya. Meskipun dalam implikasi itu tidak

ada hubungan antara pendahulu (matahari terbit dari barat) dan pengikut (Siti

lulus ujian). Implikasi itu bernilai benar, sebab pendahulunya bernilai salah.

Page 22: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.22 Matematika

Perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi (Tabel 1.8), maka kita dapat

menyimpulkan:

1) Apabila pendahulu suatu implikasi bernilai salah,maka implikasi itu

bernilai benar, tanpa memperhatikan nilai kebenaran pengikutnya

(sesuai baris ke-3 dan 4 dalam Tabel 1.8). Nilai kebenaran pengikutnya,

baik Benar ataupun Salah, jika pendahulunya bernilai Salah, maka

implikasi tersebut bernilai Benar.

2) Apabila pengikut suatu implikasi bernilai benar, maka implikasi itu

bernilai benar, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari

pendahulunya (sesuai baris ke-1 dan 3 Tabel 1.8). Nilai kebenaran

pendahulu, baik Benar ataupun Salah, jika diketahui pengikutnya

bernilai Benar, maka implikasi tersebut bernilai Benar.

Contoh 1.12:

1) Jika matahari terbenam di sebelah timur, maka Andi naik kelas.

Implikasi ini bernilai B, sebab pendahulunya, yaitu: Matahari terbenam

di sebelah timur, bernilai S. Meskipun, kita tidak mengetahui nilai

kebenaran dari pengikutnya, yaitu nilai kebenaran dari pernyataan: Andi

naik kelas.

2) Jika Ardi sembuh dari sakitnya, maka seekor gajah mempunyai empat

kaki. Implikasi ini bernilai B, karena pengikutnya, yaitu: Seekor gajah

mempunyai empat kaki, bernilai B. Meskipun pendahulunya, yaitu: Ardi

sembuh dari sakitnya, tidak diketahui nilai kebenarannya.

B. NEGASI SUATU IMPLIKASI

Perhatikan implikasi: “ Jika 7 adalah suatu bilangan prima, maka 8 lebih

besar dari 5”

Misalkan

a = 7 adalah suatu bilangan prima. (B)

b = 8 lebih besar dari 5. (B)

Maka implikasi a b bernilai B.

~a = 7 bukan suatu bilangan prima. (S)

~b = 8 tidak lebih besar dari 5. (S)

Maka implikasi ~a ~b bernilai B.

Page 23: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.23

Karena a b dan ~a ~b mempunyai nilai kebenaran yang sama,

yaitu kedua-duanya bernilai B, maka ~a ~b bukan merupakan negasi dari

a b.

Untuk menentukan negasi dari suatu implikasi, perhatikan tabel nilai

kebenaran (Tabel 1.9) berikut ini.

Tabel 1.9

Negasi Suatu Implikasi

a b ~a ~b a b ~(a b) a ∧ ~b

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

S

B

S

S

S

B

S

S

1 2 3 4 5 6 7

Tampak pada Tabel 1.9, bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom 6,

yaitu ~(a b) sama dengan urutan nilai kebenaran pada kolom 7, yaitu

a∧~b. Jadi dapat dikatakan bahwa ~(a b) ekuivalen dengan a ∧ ~b, atau

ditulis

~(a b) ≡ a ∧ ~b

Negasi suatu implikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi dari

pengikutnya.

Contoh 1.13:

Tentukanlah negasi dari implikasi berikut ini!

1) Jika Siti tidak pergi ke Jakarta, maka Siti ikut kena musibah.

2) Jika Amin belajar giat, maka Amin lulus ujian.

3) Jika guru rajin mengajar, maka para siswa akan pandai.

Jawab:

1) Siti tidak pergi ke Jakarta dan Siti tidak ikut kena musibah.

2) Amin belajar giat dan Amin tidak lulus ujian.

3) Guru rajin mengajar dan para siswa tidak akan pandai.

sama

Page 24: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.24 Matematika

C. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI DARI SUATU

IMPLIKASI

Perhatikan implikasi: “Apabila Andi lulus ujian, maka Andi membeli

baju baru”. Kita dapat membentuk implikasi baru dari implikasi tersebut,

yaitu dengan menukar pendahulu dengan pengikut dan sebaliknya, sehingga

diperoleh

“Apabila Andi membeli baju baru, maka Andi lulus ujian”

Implikasi baru ini disebut konvers dari implikasi semula. Jadi, jika

diketahui implikasi a b, maka konversnya adalah b a.

Konvers dari a b adalah b a

Contoh 1.14:

Tentukan konvers dari implikasi berikut ini dan tentukan nilai kebenaran

dari implikasi dan konversnya itu!

1) Jika 7 membagi habis 15, maka 11 adalah suatu bilangan prima.

2) Jika 5 + 7 = 13, maka 13 : 6 = 2.

Jawab:

1) Jika 7 membagi habis 15, maka 11 adalah suatu bilangan prima (bernilai

B). Konversnya: Jika 11 adalah suatu bilangan prima, maka 7 membagi

habis 15. (Bernilai S)

2) Jika 5 + 7 = 13, maka 13 : 6 = 2 (bernilai B) Konversnya: Jika 13 : 6 = 2,

maka 5 + 7 = 13 (bernilai B).

Dari implikasi a b, kita dapat membentuk implikasi baru yang lain,

yaitu pendahulu dan pengikutnya, masing-masing diingkar, sehingga

diperoleh ~a ~b. Selanjutnya dikatakan bahwa ~a ~b adalah invers

dari a b.

Invers dari a b adalah ~a ~b

Contoh 1.15:

Tentukanlah invers dari implikasi-implikasi berikut ini dan tentukan pula

nilai kebenaran dari implikasi dan inversnya tersebut!

1) Jika 5 adalah faktor prima dari 30, maka 30 adalah kelipatan dari 8.

2) Jika Denpasar terletak di pulau Jawa, maka Surabaya adalah ibu kota

Provinsi Jawa Timur.

Page 25: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.25

Jawab:

1) Jika 5 adalah faktor prima dari 30, maka 30 adalah kelipatan dari 8

(bernilai S).

Inversnya: Jika 5 bukan faktor prima dari 30, maka 30 bukan kelipatan

dari 8 (bernilai B).

2) Jika Denpasar terletak di pulau Jawa, maka Surabaya bukan ibukota

propinsi Jawa Timur (bernilai B).

Inversnya: Jika Denpasar tidak terletak di pulau Jawa, maka Surabaya

adalah ibukota propinsi Jawa Timur (B).

Dari implikasi a b, kita dapat membentuk implikasi baru yang lain

lagi, yaitu pendahulu dan pengikutnya, masing-masing diingkar, selanjutnya

ditukar tempatnya, sehingga diperoleh ~b ~a. Selanjutnya dikatakan

bahwa ~b ~a adalah kontraposisi (kontrapositif) dari a b.

Kontraposisi dari a b adalah ~b ~a

Contoh 1.16:

Tentukanlah kontraposisi dari implikasi-implikasi berikut ini, dan

tentukan pula nilai kebenaran dari implikasi dan kontraposisinya itu!

1) Jika 6 adalah suatu bilangan prima, maka 15 terbagi habis oleh 6.

2) Jika Jakarta adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat, maka Medan terletak di

Pulau Jawa.

Jawab:

1) Jika 6 adalah suatu bilangan prima, maka 15 terbagi habis oleh 6

(Bernilai B).

Kontraposisinya : Jika 15 tidak terbagi habis oleh 6, maka 6 bukan suatu

bilangan prima (Berniali B)

2) Jika Jakarta adalah ibukota RI, maka Medan terletak di pulau Jawa.

(Bernilai S).

Kontraposisinya: Jika Medan tidak terletak di pulau Jawa, maka Jakarta

bukan ibukota RI. (Bernilai S)

Sekarang perhatikan kembali contoh-contoh di atas, yaitu tentang nilai

kebenaran dari suatu implikasi dengan konvers, invers dan kontraposisinya.

Adakah hubungan nilai kebenaran suatu implikasi dengan nilai kebenaran

dari konvers, invers dan kontraposisinya?

Untuk menjawab masalah tersebut, perhatikan tabel nilai kebenaran

implikasi dan konvers, invers serta kontraposisinya (Tabel 1.10) berikut ini.

Page 26: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.26 Matematika

Tabel 1.10 Nilai Kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

a b ~a ~b a b b a ~a ~b ~b ~a

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Memperhatikan Tabel 1.10 dapat disimpulkan bahwa urutan nilai

kebenaran dari a b tidak sama dengan urutan nilai kebenaran dari b a

maupun dengan urutan nilai kebenaran dari ~a ~b. Tetapi urutan nilai

kebenaran dari a b sama dengan urutan nilai kebenaran dari ~b ~a..

a b ≡ ~b ~a

Suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya

AWAS INGAT:

a b ≢ b a

a b ≢ ~a ~b

Secara formal, konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi

dituliskan sebagai definisi berikut ini.

Definisi 1.5:

Apabila diketahui a b maka

(1) b a disebut konvers dari a b

(2) ~a ~b disebut invers dari a b

(3) ~b ~a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a b.

Konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi dapat disusun

dalam suatu skema/bagan sebagai berikut.

sama

sama

Page 27: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.27

D. BIIMPLIKASI

Perhatikan implikasi a b dan konversnya, yaitu b a. Kita dapat

membentuk konjungsi dari implikasi dan konversnya tersebut, yaitu:

(a b) ∧ (b a)

Kita akan menentukan nilai kebenaran dari konjungsi ini dengan menyusun

tabel kebenarannya (Tabel 1,11).

Tabel 1.11

Nilai Kebenran dari (a b) ∧ (b a)

a b a b b a (a b) ∧ (b a)

B B B B B

B S S B S

S B B S S

S S B B S

Memperhatikan nilai-nilai kebenaran dari (a b) ∧ (b a) dan nilai-

nilai kebenaran dari a dan b pada Tabel 1.11, kita dapat menyimpulkan

bahwa nilai kebenaran dari (a b) ∧ (b a) adalah B, apabila nilai

kebenaran dari a sama dengan nilai kebenaran b. Dan nilai kebenaran (a

b) ∧ (b a) adalah S, apabila nilai-nilai kebenaran dari a dan b berbeda.

Selanjutnya, konjungsi (a b) ∧ (b a) ditulis secara singkat menjadi

a ⟺ b (dibaca a jika dan hanya jika b) dan disebut biimplikasi dari a dan b.

Jadi a ⟺ b ekuivalen dengan (a b) ∧ (b a)

a ⟺ b ≡ (a b) ∧ (b a)

Invers Invers

Konvers

Konvers

Kontra posisi

Kontra posisi

b a

~b ~a ~a ~b

a b

Page 28: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.28 Matematika

Secara formal nilai kebenaran dari biimplikasi dinyatakan sebagai definisi

berikut ini.

Definisi 1.6:

Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan a b dan dibaca a jika dan

hanya jika b) bernilai benar apabila kedua pernyataan tunggalnya

mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai bernilai salah

apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang

berbeda.

Nilai kebenaran dari a b dapat disusun dalam suatu tabel nilai

kebenaran (Tabel 1.12) sebagai berikut.

Tabel 1.12

Nilai Kebenaran Biimplikasi

a b a b

B B B

B S S

S B S

S S B

Contoh 1.17:

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi berikut ini!

1) Segiempat ABCD suatu jajargenjang jika dan hanya jika diagonal-

diagonalnya saling berpotongan di tengah-tengah.

2) Segitiga ABC sama sisi jika dan hanya jika sudut-sudutnya sama besar.

3) Segiempat ABCD suatu persegi jika dan hanya jika diagonal-diagonalnya

sama panjang.

4) x = 3 x2 = 9.

Jawab:

1) B, sebab implikasi:

Jika segiempat ABCD suatu jajargenjang, maka diagonal-

diagonalnya saling berpotongan di tengah-tengah, bernilai B.

Dan implikasi:

Jika diagonal-diagonal segiempat ABCD berpotongan di tengah-

tengahnya, maka segiempat ABCD suatu jajargenjang, juga bernilai

Benar.

Page 29: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.29

2) B, sebab implikasi:

Jika segitiga ABC sama sisi, maka sudut-sudutnya sama besar,

bernilai Benar.

Dan implikasi:

Jika sudut-sudut segitiga ABC sama besar, maka segitiga ABC

samasisi, bernilai Benar.

3) S, sebab implikasi:

Jika segiempat ABCD suatu persegi, maka diagonal-diagonalnya

sama panjang, bernilai Benar.

Dan implikasi:

Jika doagonal-diagonal segiempat ABCD sama panjang, maka

segiempat ABCD suatu persegi, bernilai Salah.

4) S, sebab implikasi:

Jika x = 3, maka x2 = 9, bernilai Benar.

Dan implikasi:

Jika x2 = 9, maka x = 3, bernilai Salah. (Mengapa?)

A. Negasi Suatu Biimplikasi

Perhatikan biimplikasi: a b , dengan

a = 7 adalah suatu bilangan prima. (B)

b = 7 membagi habis 42”. (B)

Selanjutnya, perhatikan biimplikasi : ~a ~b

~a = 7 bukan suatu bilangan prima. (S)

~b = 7 tidak membagi habis 42”.(S)

Perhatikan bahwa nilai kebenaran dari a b adalah B dan nilai kebenaran

dari ~a ~b adalah B pula. Hal ini berarti bahwa

~a ~b bukan negasi dari a b. Mengapa?

Apakah negasi dari a b?

Ingat kembali bahwa a ⟺ b ≡ (a b) ∧ (b a), sehingga

~(a ⟺ b) ≡ ~[(a b) ∧ (b a)]

≡ ~ (a b) ∨ ~(b a) negasi konjungsi

≡ (a ∧ ~b) ∨ (b ∧ ~a) negasi implikasi

~ (a ⟺ b) ≡ (a ∧ ~b) ∨ (b ∧ ~a)

Page 30: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.30 Matematika

Contoh 1.18:

Tuliskan negasi dari biimplikasi berikut ini!

1) 5 adalah suatu bilangan prima jika dan hanya jika 5 membagi habis 25.

2) Amin dibelikan sepeda jika dan hanya jika Amin tidak nakal.

Jawab:

1) 5 adalah suatu bilangan prima dan 5 tidak membagi habis 25, atau 5

membagi habis 25 dan 5 bukan suatu bilangan prima.

2) Amin dibelikan sepeda dan Amin nakal, atau Amin tidak nakal dan

Amin tidak dibelikan sepeda..

1) Diketahui a = Segiempat ABCD persegi panjang, dan b = Diagonal-

diagonal segiempat ABCD sama panjang. Tuliskan pernyataan-

pernyataan berikut ini dengan notasi a, b, ~ dan notasi kata penghubung.

Tentukan pula nilai kebenarannya!

(a) Jika segiempat ABCD persegi panjang, maka diagonal-diagonal

segiempat ABCD sama panjang.

(b) Diagonal-diagonal segiempat ABCD sama panjang jika dan hanya

jika segi empat ABCD persegi panjang

(c) Jika diagonal-diagonal segi empat ABCD sama panjang, maka

segiempat ABCD persegi panjang

(d) Jika segi empat ABCD persegi panjang, maka diagonal-diagonal

segi empat ABCD tidak sama panjang.

2) Jika nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan a, b dan c berturut-turut

B, S dan B, tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan

berikut ini!

(a) a b

(b) ~a (b ∧ c)

(c) (a ∨ c) b

(d) a ⟺ ~b

(e) ~a ⟺ (b ∧ c )

(f) a ⟺ (b ∨ ~ c)

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

Page 31: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.31

3) Diketahui bahwa implikasi p ⇒ q bernilai S, tentukan nilai kebenaran

dari pernyataan-pernyataan berikut ini!

(a) ~p ⇒ q

(b) (~p ⇒ q) ⇒ q

(c) p ⇒ (q ⇒ ~p)

(d) p ⇔ ~q

(e) p ⇔ (~q ⇒ p)

(f) (p ⇒ ~p) ⇔ ~q

4) Lengkapilah tabel berikut ini!

Implikasi Konversnya Inversnya Kontraposisinya

a ⇒ ~b

~a ⇒ b

~a ⇒ ~b

~(a ∧ b) ⇒ c

a ⇒ (b ∨~c)

5) Tentukanlah negasi dari p (~q r).

6) Susunlah tabel nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini!

(a) a & b (a b).

(b) ~ (p (~ q r))

(c) p ∧ ~ (~q r)

7) Apabila nilai-nilai kebenaran dari proposisi-proposisi a, b, c dan d

berturut-turut adalah B, S, S, dan B, tentukanlah nilai kebenaran dari

pernyataan majemuk (a b) (c ~d).

Petunjuk Jawaban Latihan

1) (a) a ⇒ b (B)

(b) b ⟺ a (S)

(c) b ⇒ a (S)

(d) a ⇒ ~b (S)

2) (a) a b (S)

(b) ~a (b ∧ c) (S)

(c) (a ∨ c) b (S)

(d) a ⟺ ~b (B)

(e) ~a ⟺ (b ∧ c ) (B)

(f) a ⟺ (b ∨ ~ c) (S)

Page 32: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.32 Matematika

3) Karena p ⇒ q bernilai S, maka p bernilai B dan q bernilai S.

(a) ~p ⇒ q (B)

(b) (~p ⇒ q) ⇒ q (S)

(c) p ⇒ (q ⇒ ~p) (B)

(d) p ⇔ ~q (B)

(e) p ⇔ (~q ⇒ p) (B)

(f) (p ⇒ ~p) ⇔ ~q (S)

4)

Implikasi Konversnya Inversnya Kontraposisinya

a ⇒ ~b ~b ⇒ a ~a ⇒ ~b b ⇒ ~a

~a ⇒ b b ⇒ ~a a ⇒ ~b ~b ⇒ a

~a ⇒ ~b ~b ⇒ ~a a ⇒ b b ⇒ a

~(a ∧ b) ⇒ c c ⇒ ~(a ∧ b) (a ∧ b) ⇒ ~c ~c ⇒(a ∧ b)

a ⇒ (b ∨~c) (b ∨ ~c) ⇒ a ~a ⇒ ~(b∨~c) ~(b ∨ ~c) ⇒~a

5) ~ (p (~ q r)) ≡ p ∧ ~ (~q r)

≡ p ∧ (q ∧ ~r)

Jadi negasi dari p (~q r) adalah p ∧ (q ∧ ~r).

6) Cara pertama

a b a & b a b a & b (a b)

B B S S

B S B S

B S S S

B S S B

B B B B

Cara kedua

a b a & b (a b)

B B S S

B S B S

B B S S

B S S S

B S B S

B B B B

B B S S

B S S B

B S B S

Langkah ke 1 2 1 3 1 2 1

7) Nilai kebenaran dari a b adalah B, nilai kebenaran dari ~d adalah S

dan nilai kebenaran dari c ~d adalah B. Jadi nilai kebenaran dari (a

b) (c ~d) adalah B.

Page 33: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.33

Skema berikut akan memperjelas cara penyelesaian tersebut.

Langkah ke (a b) (c ~ d)

1 B S S B

2 B S

3 B

4 B

1. Implikasi “a b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B

dan pengikut b bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b

lainnya, maka implikasi “a b” bernilai B.

2. Apabila pendahulu suatu implikasi bernilai salah, maka implikasi itu

bernilai benar, tanpa memperhatikan nilai kebenaran pengikutnya.

3. Apabila pengikut suatu implikasi bernilai benar, maka implikasi itu

bernilai benar, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari

pendahulunya.

4. Negasi suatu implikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan

negasi dari pengikutnya, yaitu: ~(a b) ≡ a ∧ ~b

5. Apabila diketahui a b maka

(a) b a disebut konvers dari a b

(b) ~a ~b disebut invers dari a b

(v) ~b ~a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a b.

6. Nilai kebenaran suatu implikasi tidak selalu sama dengan nilai

kebenaran dari konversnya.

7. Nilai kebenaran suatu implikasi tidak selalu sama dengan nilai

kebenaran dari inversnya.

8. Nilai kebenaran suatu implikasi selalu sama dengan nilai kebenaran

dari kontraposisinya, yaitu a b.≡ ~b ~a

9. Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan a b dan dibaca a jika

dan hanya jika b) bernilai benar apabila kedua pernyataan

tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai

bernilai salah apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai

kebenaran yang berbeda.

10. a ⟺ b ≡ (a b) ∧ (b a)

~ (a ⟺ b) ≡ (a ∧ ~b) ∨ (b ∧ ~a)

RANGKUMAN

Page 34: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.34 Matematika

1) Implikasi berikut ini, manakah yang benar?

A Jika Siti belajar giat, maka Siti lulus ujian.

B Jika Bandung adalah ibukota Jawa Barat, maka Denpasar terletak di

pulau Jawa.

C Jika matahari terbit dari barat, maka Andi sembuh dari sakitnya.

D Jika seekor lembu berkaki empat, maka tikus mempunyai empat

mata.

2) Jika a adalah suatu pernyataan yang bernilai S dan b sembarang

pernyataan yang tidak diketahui nilai kebenarannya, maka pernyataan

berikut ini yang bernilai B adalah ....

A ~a ⇒ b

B (b ∨ ~ b) ⇒ a

C ~a ⇒ (~b ∧ b)

D a ⇒ (b ∧ ~b)

3) Jika implikasi p ⇒ ~q bernilai S, maka implikasi berikut ini yang

bernilai B adalah ....

A ~p ⇒ q

B q ⇒ ~p

C p ⇒ ~p

D q ⇒ ~q

4) Konvers dari implikasi: “Jika Tuti naik kelas, maka Jono pergi ke

Jakarta” adalah ....

A Jika Tuti tidak naik kelas, maka Jono tidak pergi ke Jakarta

B Jika Jono pergi ke Jakarta, maka Tuti naik kelas

C Jika Jono tidak pergi ke Jakarta, maka Tuti tidak naik kelas

D Tuti naik kelas dan Jono tidak pergi ke Jakarta

5) Negasi dari implikasi:”Jika Arman pandai, maka Arman seorang

cendekiawan” adalah ....

A Jika Arman tidak pandai, maka Arman bukan seorang cendekiwan

B Jika Arman seorang cendekiawan, maka Arman pandai

C Arman pandai dan Arman bukan seorang cendekiawan

D Arman seorang cendekiawan dan Arman tidak pandai

TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

Page 35: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.35

6) Kontraposisi dari implikasi:”Jika kuadrat suatu bilangan asli adalah

genap, maka bilangan asli itu adalah genap”, adalah ....

A. Jika bilangan asli itu tidak genap, maka kuadrat bilangan asli itu

tidak genap

B. Jika bilangan asli itu genap, maka kuadrat bilangan asli itu genap

C. Jika kuadrat bilangan asli tidak genap, maka bilangan asli itu tidak

genap

D. Jika kuadrat bilangan asli itu ganjil, maka bilangan asli itu ganjil

7) Jika a ⇒ b bernilai S, dan c pernyataan sembarang, pernyataan majemuk

berikut ini yang bernilai B adalah ....

A. c ⇒ (a ∧ b)

B. (a ∧ b) ⇒ c

C. (a ∨ b) ⇒ c

D. c ⇒ (a ⇒ b)

8) Jika a ⟺ b bernilai S dan c sembarang pernyataan, maka pernyataan

majemuk berikut ini yang bernilai B, adalah ….

A (a ∨ b) ⇒ c

B c ⇒ (a ∧ b)

C c ⇒ (a ⇒ b)

D (a ∧ b) ⇒ c

9) Pernyataan yang ekuivalen dengan ~p ⇒(q ∧ ~r) adalah ....

A. p ⇒ (q ∧ ~r)

B. (~q ∨ r) ⇒ p

C. (~q ∧ ~r) ⇒ ~p

D. p ⇒ (~q ∨ r)

10) Negasi dari biimplikasi ~a ⟺ b adalah ....

A. (~a ∧ ~b) ∨ (b ∧ a).

B. (~a ∧ b) ∧ (~b ∧ a).

C. (a ∧ ~b) ∨ (b ∧ ~a).

D. (a ∧ b) ∧ (b ∨ a).

Page 36: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.36 Matematika

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

Page 37: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.37

Kegiatan Belajar 3

Argumen

TAUTOLOGI

Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini.

a = Adi mempunyai sepeda.

~a = Adi tidak mempunyai sepeda.

Jika a bernilai B, maka ~a bernilai S, sehingga pernyataan majemuk a ∨ ~a

bernilai B. Demikian pula, jika a bernilai S, maka ~a bernilai B, sehingga a ∨

~a bernilai B pula. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai B untuk setiap

nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya seperti ini disebut tautologi.

Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu benar untuk

setiap nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.

Contoh 1.19:

Siti naik kelas dan Siti tidak naik kelas, maka Siti dibelikan sepeda.

Misalkan p = Siti naik kelas.

~p = Siti tidak naik kelas.

q = Siti dibelikan sepeda.

Pernyataan majemuk tersebut dapat dinyatakan dengan lambang sebagai

berikut.

(p ∧ ~p) ⇒ q

Implikasi ini selalu bernilai B, pernyataan majemuk ini suatu tautology,

sebab pendahulunya (p ∧ ~p) bernilai S. Untuk meyakinkannya dapat disusun

tabel nilai kebenarannya sebagai Tabel 1.13. Dan tampak pada kolom

terakhir dari tabel tersebut, nilai kebenarannya selalu B.

Ini berarti (p ∧ ~p) ⇒ q adalah suatu tautologi.

Page 38: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.38 Matematika

Tabel 1.13 Nilai Kebenaran (p ∧ ~p) ⇒ q

p q ~p p ∧~p (p ∧ ~p) ⇒ q

B B S S B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Contoh 1.20:

Periksalah bahwa pernyataan majemuk (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) adalah suatu

totologi!

Jawab:

Cara I,

Dengan menyusun tabel nilai kebenarannya. Lihat Tabel 1.14.

Tabel 1.14

Nilai Kebenaran (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b)

a b (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b)

B B B B B B B B B

B S B S S B B B S

S B S S B B S B B

S S S S S B S S S

Langkah ke 1 2 1 4 1 3 1

Tampak pada Tabel 1.14, kolom pada langkah ke-4 menyatakan bahwa

pernyataan majemuk (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) selalu bernilai B, sehingga pernyataan

majemuk itu adalah suatu tautologi.

Cara II.

Pernyataan majemuk (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) adalah suatu implikasi.

Jika pernyataan a bernilai B, maka tanpa memperhatikan nilai kebenaran

pernyataan b, dapat disimpulkan bahwa nilai kebenaran dari (a ∨ b) adalah B.

Sehingga implikasi tersebut bernilai B, karena pengikutnya bernilai B.

Page 39: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.39

Jika pernyataan a bernilai S, maka tanpa memperhatikan nilai kebenaran

pernyataan b, dapat disimpulkan bahwa nilai kebenaran dari (a ∧ b) adalah S.

Sehingga implikasi tersebut bernilai B, karena pendahulunya bernilai S.

Jadi, untuk setiap nilai kebenaran dari a dan b, pernyataan majemuk

(a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) selalu bernilai B, sehingga pernyataan majemuk itu suatu

tautology.

Berikut ini, kita akan mempelajari tautologi-tautologi yang banyak

digunakan sebagai dasar penyusunan argumen yang absah.

Perhatikan pernyataan majemuk [(a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b. Kita akan memeriksa

apakah pernyataan majemuk ini suatu tautologi. Untuk ini, disusun tabel nilai

kebenarannya seperti tampak pada Tabel 1,15.

Tabel 1.15

Nilai Kebenaran [(a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b.

a b [(a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b

B B B B B B B B B

B S B S S S B B S

S B S B B S S B B

S S S B S S S B S

Langkah ke 1 2 1 3 1 4 1

Tampak pada Tabel 1.15, kolom pada langkah ke-4 menyatakan bahwa

pernyataan majemuk [(a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b selalu bernilai B, sehingga

pernyataan majemuk itu adalah suatu tautologi. Tautologi ini disebut

detasemen atau modus ponens.

Tautologi [(a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b disebut modus ponens

Perhatikan bentuk modus ponens tersebut dengan teliti. Pernyataan-

pernyataan majemuk berikut ini mempunyai bentuk yang sama, sehingga

tetap merupakan modus ponens, misalnya:

[(a ⇒ ~b) ∧ a] ⇒ ~b atau [(~a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ b

[a ∧ (a ⇒ b)] ⇒ b atau [~a ∧ (~a ⇒ b)] ⇒ b atau lainnya.

Page 40: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.40 Matematika

Bandingkanlah modus ponens tersebut dengan pernyataan majemuk

[(a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a ! Jelas berbeda. Pernyataan majemuk ini pun juga suatu

tautologi. Untuk meyakinkannya, perhatikan Tabel 1.16 berikut.

Tabel 1.16

Nilai Kebenaran [(a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a

a b [(a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a

B B B B B S S B S

B S B S S S B B S

S B S B B S S B B

S S S B S B B B B

Langkah ke 1 3 1 4 2 5 2

Tampak pada Tabel 1.16, kolom pada langkah ke-5 menyatakan bahwa

pernyataan majemuk [(a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a selalu bernilai B, sehingga

pernyataan majemuk itu adalah suatu tautologi. Tautologi ini disebut modus

tollens.

Tautologi [(a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a disebut modus tollens.

Perhatikan bentuk modus tollens tersebut dengan teliti. Pernyataan-

pernyataan majemuk berikut ini mempunyai bentuk yang sama, sehingga

tetap merupakan modus tollens, misalnya:

[(a ⇒ ~b) ∧ b] ⇒ ~a atau [(~a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ a

[~b ∧ (a ⇒ b)] ⇒ ~a atau [b ∧ (~a ⇒ ~b)] ⇒ a atau lainnya.

Bandingkanlah lagi dua tautologi tersebut dengan pernyataan majemuk

[(a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ b. Pernyataan majemuk ini pun juga suatu tautologi yang

ditunjukkan oleh Tabel 1.17.

Tampak pada Tabel 1.17, kolom pada langkah ke 5 menyatakan bahwa

pernyataan majemuk [(a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ b selalu bernilai B, sehingga

pernyataan majemuk itu adalah suatu tautologi. Tautologi ini disebut modus

tollendo ponens.

Page 41: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.41

Tabel 1.17 Nilai Kebenaran [(a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ b

a b [(a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ b

B B B B B S S B B

B S B B S S S B S

S B S B B B B B B

S S S S S S B B S

Langkah ke 1 3 1 4 2 5 2

Tautologi [(a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ b disebut modus tollendo ponens.

Perhatikan bentuk modus tollendo ponens tersebut dengan teliti.

Pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini mempunyai bentuk yang sama,

sehingga tetap merupakan modus tollendo ponens, misalnya:

[(a ∨ ~b) ∧ b] ⇒ a atau [(~a ∨ b) ∧ ~b] ⇒ ~a

[~b ∧ (a ∨ b)] ⇒ a atau [b ∧ (~a ∨ ~b)] ⇒ ~a atau lainnya.

Tautologi lain yang juga berguna dalam penyusunan argumen yang

absah adalah [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c). Kebenaran bahwa pernyataan

majemuk ini adalah suatu tautologi ditunjukkan oleh Tabel 1,18 berikut.

Tabel 1.18

Nilai Kebenaran [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c)

a b c [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c) ⇒ (a ⇒ c)

B B B B B B B B B B B B B B

B B S B B B S B S S B B S S

B S B B S S S S B B B B B B

B S S B S S S S B S B B S S

S B B S B B B B B B B S B B

S B S S B B S B S S B S B S

S S B S B S B S B B B S B B

S S S S B S B S B S B S B S

Langkah ke 1 2 1 4 1 3 1 6 1 5 1

Page 42: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.42 Matematika

Tampak pada Tabel 1.18, kolom pada langkah ke 6 menyatakan bahwa

pernyataan majemuk [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c) selalu bernilai B,

sehingga pernyataan majemuk itu adalah suatu tautologi. Tautologi ini

disebut silogisme.

Tautologi [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c) disebut silogisme.

Empat tautologi yang telah kita pelajari ini, yaitu modus ponens, modus

tollens, modus tollendo ponens dan silogisme, masing sangat berguna dalam

penyusunan argumen yang absah. Empat tautologi itu, masing-masing

merupakan implikasi, sehing masing-masing tautologi tersebut dinamakan

tautologi implikatif.

Perhatikan bahwa pendahulu dari tiap-tiap tautologi implikatif itu berupa

suatu konjungsi. Pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal yang

membentuk konjungsi ini, masing-masing disebut premis, dan pengikut dari

tautologi implikatif itu dinamakan kesimpulan. Selanjutnya, kumpulan

premis-premis dan kesimpulan ini disebut argumen. Argumen yang absah

dibentuk dari tautologi implikatif dan disusun sebagai berikut.

1. Susunan argumen berdasarkan modus ponens.

a ⇒ b premis

a premis

∴ b kesimpulan

Contoh 1.21:

Jika Siti naik kelas, maka Siti dibelikan sepeda. (premis)

Siti naik kelas (premis)

∴ Siti dibelikan sepeda (kesimpulan)

2. Susunan argumen berdasarkan modus tollens.

a ⇒ b premis

~b premis

∴~a kesimpulan

Page 43: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.43

Contoh 1.22:

Jika Andi lulus ujian, maka Andi memperoleh hadiah. (premis)

Andi tidak memperoleh hadiah. (premis)

∴ Andi tidak lulus ujian. (kesimpulan)

3. Susunan argumen berdasarkan modus tollendo ponens.

a ∨ b premis

~a premis

∴ b kesimpulan

Contoh 1.23:

Pagi ini, Joni sedang mandi atau Joni sedang makan pagi. (premis)

Pagi ini, Joni tidak sedang mandi. (premis)

∴ Pagi ini, Joni sedang makan pagi. (kesimpulan)

4. Susunan argumen berdasarkan silogisme.

a ⇒ b premis

b ⇒ c premis

∴ a ⇒ c kesimpulan

Contoh 1.24:

Jika Toni rajin belajar, maka Toni naik kelas. (premis)

Jika Toni naik kelas, Toni mendapat hadiah (premis)

∴ Jika Toni rajin belajar, maka Toni mendapat hadiah. kesimpulan)

Perhatikan bahwa suatu argumen terdiri atas premis-premis dan

kesimpulan. Premis-premis terdiri atas pernyataan majemuk atau pernyataan

tunggal yang selalu diasumsikan bernilai benar. Dalam matematika, premis-

premis itu biasa dikenal dengan “ ketentuan” atau “ yang diketahui”. Dari

premis-premis diturunkan dengan tautologi yang berupa modus ponens,

modus tollens, modus tollendo ponens atau dengan silogisme, untuk

memperoleh suatu kesimpulan. Kumpulan sejumlah premis beserta

kesimpulannya disebut argumen. Penurunan premis-premis dengan

menggunakan tautologi sehingga diperoleh kesimpulan, maka terdapat suatu

argumen yang absah. (BUKAN argumen yang benar).

Page 44: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.44 Matematika

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1.25:

Periksa, apakah argumen berikut ini absah?

Jika Andi lulus ujian, maka Andi memperoleh hadiah. (premis)

Andi memperoleh hadiah. (premis)

∴ Andi lulus ujian. (kesimpulan)

Untuk memeriksa, apakah argumen tersebut absah atau tidak absah,

argumen tersebut dinyatakan sebagai suatu implikasi. Selanjutnya, kita

periksa apakah implikasi itu merupakan suatu tautologi. Jika implikasi

tersebut merupakan suatu tautologi, maka argumen tersebut absah. Tetapi,

jika implikasi tersebut bukan suatu tautologi, maka argumen tersebut tidak

absah.

Misalkan: Andi lulus ujian = a

Andi memperoleh hadiah = b

Maka susunan argumen tersebut menjadi

a ⇒ b (premis)

b (premis)

∴ a (kesimpulan)

Argumen ini diubah dalam bentuk implikasi menjadi [(a ⇒ b) ∧ b] ⇒ a.

Untuk memeriksa, apakah implikasi ini suatu tautologi, disusun tabel

nilai kebenarannya, yaitu Tabel 1.19.

Tabel 1.19

Nilai Kebenaran [(a ⇒ b) ∧ b] ⇒ a

a b [(a ⇒ b) ∧ b] ⇒ a

B B B B B B B B B

B S B S S S S B B

S B S B B B B S S

S S S B S S S B S

Langkah ke 1 3 1 4 2 5 2

Page 45: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.45

Tampak pada Tabel 1,19, kolom pada langkah ke-5 tidak semuanya

bernilai B (ada nilai S), maka implikasi tersebut bukan suatu tautologi.

Sehingga argumen tersebut tidak absah.

Contoh 1.26:

Periksa, apakah argumen berikut ini absah?

Jika Siti minum es, maka Siti sakit perut. (premis)

Siti tidak minum es. (premis)

∴ Siti tidak sakit perut. (kesimpulan)

Untuk memeriksa, apakah argumen ini absah atau tidak, argumen ini

dinyatakan dalam bentuk implikasi.

Misalkan, a = Siti minum es

b = Siti sakit perut.

Bentuk implikasi dari argumen tersebut adalah [{a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ ~b. Seperti

cara pada Contoh 1.25, kita memeriksa apakah implikasi merupakan suatu

tautologi dengan menyusun tabel kebenarannya.

Tabel 1.20

Nilai Kebenaran [{a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ ~b

a b [(a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ ~b

B B B B B S S B S

B S B S S S S B B

S B S B B B B S S

S S S B S B B B B

Langkah ke 1 3 1 4 2 5 2

Tampak pada Tabel 1,20, kolom pada langkah ke-5 tidak semuanya

bernilai B (ada nilai S), maka implikasi tersebut bukan suatu tautologi.

Sehingga argumen tersebut tidak absah.

Contoh 1.27:

Buatlah suatu kesimpulan dari premis-premis berikut ini, sehingga

diperoleh suatu argumen yang absah. Sebutkan nama argumen yang Anda

gunakan!

Page 46: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.46 Matematika

Jika Adi tidak merokok, maka Adi sehat. Jika Adi tidak minum alkohol,

maka Adi tidak merokok. Ternyata, Adi tidak sehat.

Jawab:

Jika Adi tidak minum alkohol, maka Adi tidak merokok

Jika Adi tidak merokok, maka Adi sehat

Jika Adi tidak minum alkohol, maka Adi sehat

Ternyata, Adi tidak sehat

Jadi, Adi minum alkohol.

Argumen yang digunakan adalah silogisme dan modus tollens

1) Pernyataan-pernyataan berikut ini, manakah yang merupakan tautologi?

Periksalah jawaban Anda dengan menyusun tabel nilai kebenarannya.

a) (a ∧ b) ⇒ a

b) (a ∨ b) ⇒ b

c) [(~a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ a

d) [(~a ⇒ ~b) ∧ ~b] ⇒ ~a

e) [(a ⇒ ~b) ∧ b] ⇒ ~a

2) Pernyataan-pernyataan berikut ini, manakah yang merupakan tautologi?

Apabila pernyataan itu suatu tautologi, sebutkan nama tautologi itu!

a) [{a ∨ ~b) ∧ b] ⇒ a

b) [(a ⇒ ~b) ∧ (~b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c)

c) [{a ⇒ ~b) ∧ b] ⇒ ~a

d) [{~a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ b

e) [{~a ⇒ ~b) ∧ b] ⇒ ~a

f) [(a ⇒ ~b) ∧ (b ⇒ ~c)] ⇒ (a ⇒ ~c)

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

Page 47: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.47

3) Apakah argumen-argumen berikut ini absah? Jika absah, sebutkan

jenisnya! Jika tidak absah, tunjukkanlah!

a) Jika sepedaku rusak, maka saya diantar ke sekolah oleh ibu.

Ternyata sepeda saya tidak rusak.

Jadi, saya tidak diantar ke sekolah oleh ibu.

b) Jika saya tidak pergi ke sekolah, maka saya membantu orang tua.

Saya tidak membantu orang tua.

Jadi, saya pergi ke sekolah.

c) Jika hari ini turun hujan, maka petani tidak panen tembakau.

Ternyata hari ini turun hujan.

Jadi, petani tidak panen tembakau.

d) Dina pergi ke sekolah atau Dina pergi ke pasar. Ternyata Dina tidak

pergi ke pasar,

Jadi, Dina pergi ke sekolah.

e) Jika Edi sakit, maka Edi tidak bekerja. Jika Edi tidak bekerja, maka

Edi tidak mempunyai penghasilan.

Jadi, jika Edi sakit, maka Edi tidak mempunyai penghasilan.

4) Buatlah suatu kesimpulan dari premis-premis yang ditentukan, sehingga

diperoleh suatu argumen yang absah. Sebutkan nama argumen yang

Anda gunakan!

a) Jika Ida sakit, maka Ida pergi ke rumah sakit. Ternyata, Ida tidak

pergi ke rumah sakit.

b) Jika Rina sakit, maka Rina menangis. Jika Rina tidak sakit, maka

Rina pergi ke sekolah. Ternyata, Rina tidak menangis.

5) Buatlah suatu kesimpulan dari premis-premis yang ditentukan, sehingga

diperoleh suatu argumen yang absah. Sebutkan nama argumen yang

Anda gunakan!

a) Jika Tutik kuliah, maka Tutik tidak bekerja. Hari ini hujan atau

Tutik bekerja. Ternyata hari ini tidak hujan.

b) Mardi pergi ke Jakarta atau Mardi pergi ke Denpasar. Jika Mardi

pergi ke Denpasar, maka Mardi membeli cendera mata. Ternyata,

Adi tidak membeli cendera mata.

Page 48: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.48 Matematika

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Buatlah tabel nilai kebenaran dari setiap pernyataan majemuk itu,

sehingga Anda dapat menentukan pernyataan majemuk itu tautologi atau

bukan. Cocokkanlah dengan kunci berikut ini!

a) Tautologi

b) Bukan tautologi.

c) Tautologi.

d) Bukan tautologi

e) Tautologi.

2) Perhatikan dengan teliti bentuk-bentuk dari modus ponens, modus

tollens, modus tollendo ponens dan silogisme. Camkan ciri-ciri dan

perbedaannya, sehingga Anda dapat menjawabnya dan mencocokkannya

dengan kunci berikut ini!

a) Tautologi, modua tollendo ponens.

b) Tautologi, silogisme.

c) Tautologi, modus tollens.

d) Tautologi, modus ponens.

e) Tautologi, modus tollens.

f) Bukan tautologi.

3) Bedakan secara tajam dan buat ciri-ciri khusus antara modus ponen,

modus tollens dan modus tollendo ponens, dan cocokkan jawaban Anda

dengan kunci berikut ini!

a) Tidak absah, buatlah tabel nilai kebenaran dari [{a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ ~b

b) Absah, modus tollens.

c) Absah, modus ponens.

d) Absah, modus tollendo ponens.

e) Absah, silogisme.

4) Pilih dan gunakan bentuk-bentuk dari modus ponens, modus tollens,

modus tollendo ponens dan silogisme.

a) Jika Ida sakit, maka Ida pergi ke rumah sakit.

Ternyata, Ida tidak pergi ke rumah sakit.

Jadi, Ida tidak sakit. (Modus tollens)

Page 49: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.49

b) Jika Rina sakit, maka Rina menangis.

Ternyata, Rina tidak menangis.

Rina tidak sakit. (Modus tollens)

Jika Rina tidak sakit, maka Rina pergi ke sekolah.

Jadi, Rina pergi ke sekolah. (Modus ponens)

5) Pilih dan gunakan bentuk-bentuk dari modus ponens, modus tollens,

modus tollendo ponens dan silogisme.

a) Hari ini hujan atau Tutik bekerja.

Ternyata hari ini tidak hujan.

Tutik bekerja (Modus tollendo ponens)

Jika Tutik kuliah, maka Tutik tidak bekerja.

Jadi Tutik tidak kuliah. (Modus tollens)

b) Jika Mardi pergi ke Denpasar, maka Mardi membeli cendera mata.

Ternyata, Adi tidak membeli cendera mata.

Mardi tidak pergi ke Denpasar (Modus tollens)

Mardi pergi ke Jakarta atau Mardi pergi ke Denpasar

Jadi, Mardi pergi ke Jakarta. (Modus tollendo ponens)

1. Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu benar untuk

setiap nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.

2. Tautologi [(a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b disebut modus ponens

3. Tautologi [(a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a disebut modus tollens.

4. Tautologi [(a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ b disebut modus tollendo ponens.

5. Tautologi [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c) disebut silogisme.

6. Pendahulu dari tiap-tiap tautologi implikatif itu berupa suatu

konjungsi. Pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal yang

membentuk konjungsi ini, masing-masing disebut premis, dan

pengikut dari tautologi implikatif itu dinamakan kesimpulan.

Selanjutnya, kumpulan premis-premis dan kesimpulan ini disebut

argumen.

7. Premis-premis terdiri atas pernyataan majemuk atau pernyataan

tunggal yang selalu diasumsikan bernilai benar. Dalam matematika,

premis-premis itu biasa dikenal dengan “ ketentuan” atau “ yang

diketahui”.

RANGKUMAN

Page 50: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.50 Matematika

1) Berikut ini manakah yang merupakan tautologi?

A. p ⇒ ~p.

B. a ∧ ~a.

C. b ⟺ ~b. D. c ∨ ~c .

2) Pernyataan berikut ini yang merupakan modus ponens adalah ....

A. [(~a ⇒ b) ∧ a] ⇒ b

B. [(a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ b

C. [(~a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ b

D. [(a ⇒ b) ∧ ~a] ⇒ ~b

3) Pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini yang merupakan modus

tollens adalah ....

A. [(~a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ ~a

B. [(~a ⇒ b) ∧ ~b] ⇒ a

C. [(a ⇒ ~b) ∧ ~b] ⇒ ~a

D. [(~a ⇒ ~b) ∧ ~b] ⇒ a

4) Pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini yang merupakan modus

tollendo ponens adalah ....

A. [(a ∨ ~b) ∧ ~a] ⇒ ~b

B. [(a ∨ ~b) ∧ ~a] ⇒ b

C. [(~a ∨ b) ∧ ~a] ⇒ ~b

D. [(a ∨ ~b) ∧ ~a] ⇒ b

5) Berikut ini manakah yang merupakan tautologi?

A. (a ∧ b) ⇒ b.

B. (a ∨ b) ⇒ b.

C. (a ⟺ b) ⇒ b.

D. (a ⇒ b) ⇒ b.

6) Diketahui premis-premis: Jika Dita tidak makan sayur, maka Dita

menderita sakit. Ternyata, Dita menderita sakit.

Kesimpulan yang dapat ditarik dari premis-premis tersebut adalah ....

A. Dita tidak makan sayur

B. Dita makan sayur

TES FORMATIF 3

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

Page 51: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.51

C. Dita tidak menderita sakit

D. Tidak dapat disimpulkan

7) Jika diketahui premis-premis: a ⇒ b, ~a ⇒ d dan ~b, maka

kesimpulannya adalah ....

A. a.

B. b.

C. d.

D. ~a.

8) Jika dari premis-premis ~a ⇒ ~b dan b disimpulkan a, maka

penyimpulan ini menggunakan ....

A. modus ponens

B. modus tollens

C. modus tollendo ponens

D. Silogisme

9) Diketahui premis-premis: Jika Gita tidak rajin, maka Gita tidak kaya.

Gita anak tidak pandai atau Gita tidak rajin. Ternyata Gita adalah anak

pandai. Kesimpulannya adalah Gita ....

A. tidak kaya

B. tidak rajin

C. kaya

D. rajin

10) Dari premis-premis: p ⇒ q, ~p ⇒ r dan ~q, disimpulkan r. Penyimpulan

ini menggunakan ....

A. modus tollens dan modus ponens

B. modus tollendo ponens dan modus ponens

C. modus tollens dan modus tollendo ponens

D. silogisme dan modus tollendo ponens

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

Page 52: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.52 Matematika

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Page 53: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.53

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) D. Semua kalimat itu mempunyai nilai kebenaran.

2) D. Bukan kalimat deklaratif.

3) A. 97 bukan bilangan prima.

4) B. 3 bukan faktor prima dari 52.

5) C. 38 tak terbagi habis oleh 3 dan 8.

6) A. Disjungsi bernilai benar, jika sekurang-kurangnya satu pernyataan

tunggalnya bernilai benar.

7) B. Konjungsi bernilai salah, jika sekurang-kurangnya satu dari

pernyataan tunggal bernilai salah.

8) A. Seperti nomor 6.

9) B. Ingat negasi suatu konjungsi.

10) D. Ingat nilai kebenaran dari suatu disjungsi.

Tes Formatif 2

1) C. Ingat nilai kebenaran dari suatu implikasi yang hanya diketahui nilai

kebenaran salah satu pernyataan tunggalnya.

2) D. Sama dengan nomor 1.

3) A. p ⇒ ~q bernilai S, hanya jika p dan q masing-masing bernilai B.

4) B. Ingat konvers suatu implikasi.

5) C. Ingat negasi dari suatu implikasi.

6) A. Ingat kontraposisi dari suatu implikasi.

7) B. Implikasi yang pendahulunya bernilai S, maka implikasi itu bernilai

B.

8) D. Biimplikasi bernilai S, jika nilai dari pernyataan-pernyataan

tunggalnya berbeda.

9) B. Kontraposisi suatu implikasi ekuivalen dengan implikasi tersebut.

10) A. Biimplikasi adalah suatu konjungsi dari implikasi dan konversnya.

Page 54: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

1.54 Matematika

Tes Formatif 3

1) D. Suatu disjungsi bernilai B, jika sekurang-kurangnya satu pernyataan

tunggalnya bernilai B.

2) C. Ingat bentuk dari modus ponens.

3) B. Ingat bentuk dari modus tollens.

4) A. Ingat bentuk dari modus tollendo ponens.

5) A. Ingat nilai kebenaran suatu implikasi yang hanya diketahui nilai

kebenaran salah satu pendahulu atau pengikutnya.

6) D. Tidak alasan untuk menyimpulkannya.

7) C. (a ⇒ b) ∧ ~b disimpulkan ~a dan dengan ~a ⇒ d disimpulkan d.

8) B. Ingat modus tollens.

9) A. Gunakan modus tollendo ponens dan modus ponens.

10) A. p ⇒ q dan ~q disimpulkan ~p dan dengan ~p ⇒ r disimpulkan r.

Page 55: Logika Matematika...Modul 1 Logika Matematika Drs. Sukirman, M.Pd. ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan

PDGK4108/MODUL 1 1.55

Daftar Pustaka

Billstein, Rick. Libeskind, Shlomo and Lott, Johnny W. 1990. A Problem

Solving Approach to Mathematics for Elementary School Teachers.

Fourth Edition. Redwood City California: The Benjamin/Cummings

Publishing Company, Inc.

Musser, Gary L. Burger, William F. and Peterson, Blake E. 2008.

Mathematics For Elementary Teachers A Contemporary Approach.

Eight Edition. New York: John Wiley & Sons.

Rosen, Kenneth H. 1993. Elementary Number Theory and Its Applications

Third Edition. New York: Addision-Wesley Publishing Company, 1993.

Sukirman. 2006. Logika dan Himpunan. Yogyakarta: Hanggar Kreator

Yogyakarta.

Sukirman, dkk. 2009. Matematika. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka.