MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVESTOR … · (Medan ) Medan – adalah suatu himpunan ....
Transcript of MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVESTOR … · (Medan ) Medan – adalah suatu himpunan ....
MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN
INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM
DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG
NUR AZIEZAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRAK
NUR AZIEZAH. Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan Strategi Investasi
Saham Dua Perusahaan yang Bergabung. Dibimbing oleh SISWANDI dan ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI.
Saham merupakan sarana investasi yang paling populer. Harga saham berubah secara
dinamis dan acak. Diasumsikan perubahan harga saham mengikuti gerak Brown. Ada
kemungkinan investor dapat memperoleh keuntungan yang lebih besar jika perusahaannya
bergabung dengan perusahaan lain. Jika terjadi penggabungan dua perusahaan maka terjadi
kombinasi linear dua harga saham yang mengikuti gerak Brown. Tujuan dari karya ilmiah
ini adalah menentukan nilai harapan yang maksimum dari kekayaan investor dengan strategi
investasi saham dua perusahaan yang bergabung. Hasil kajian dalam suatu teorema yang
menyatakan bahwa strategi yang digunakan adalah dengan melihat tingkat return saham
perusahaan pada saat tertentu. Dengan teorema tersebut dibuktikan bahwa ada dua kemungkinan
bagi investor, yaitu berinvestasi di kedua perusahaan atau berinvestasi di salah satu perusahaan
saja. Nilai harapan dari kekayaan investor akan maksimum jika alokasi investasi di dua perusahaan
adalah maksimum.
Kata kunci: gerak Brown, nilai harapan, saham, strategi
ABSTRACT
NUR AZIEZAH. Maximizing Expected Value of Wealth with Investment Strategy on Stocks of
Two Merging Companies. Supervised by SISWANDI and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
Stock is the most popular form of investment. Its price changes dynamically and randomly.
It is assumed that the price moves according to Brownian motion. Investors can earn more profit
when a company merges with another one. In case of a merger of two companies, there is a linear
combination of two stock prices that change according to Brownian motion. The objective of this
research is to determine the expected value of investor’s wealth with a certain strategy. The result
is presented in a theorem, which describes the investment strategy according to the company’s
stock return at certain time. It has been proved that the investor can have two possibilities, i.e. the
investor does not invest in either companies, or the investor invest only in one company. The
expected value of wealth will be maximum if the allocation of investment in both companies are
maximum.
Keywords: Brownian motion, expected value, stock, strategy
MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN
INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM
DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG
NUR AZIEZAH
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi : Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan
Strategi Investasi Saham Dua Perusahaan yang Bergabung
Nama : Nur Aziezah
NRP : G54062457
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Siswandi, M.Si Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS
NIP. 19640629 199103 1 001 NIP. 19631228 198903 2 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari
bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada:
1. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
2. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas
semua ilmu, saran, dan motivasinya).
3. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah
diberikan).
5. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Deni, Mas Yono, Mas Heri.
6. Keluargaku tercinta: Bapak (terima kasih atas semua nasihat dan motivasinya. Keinginan
Bapak udah Cici laksanakan), Ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, kasih
sayang, dan kesabarannya), Teteh (terima kasih sudah membantu memeriksa tugas akhir
dan slide presentasi), Mang Tata, Mang Wanda, Mang Kanda, Mang Yadi, Mang Asep,
Mas Anggi, Ene, Mang Iam, Pak Asep, dan lain-lain (terima kasih atas doanya).
7. Teman-teman Math 43: Dandi, Gandi, Subro, Desi, Rizky NS, Rizky SN, Apri, Slamet,
Irsyad, Narsih, Fardan, David, Kuntoaji, Sendy, Rian, Ace, Zulkarnaen, Mubarok, Faizal,
Dwi, Nanu, Syahrul, Kiki, Peli, dan lain-lain (terima kasih doanya, senang bisa belajar
bersama).
8. BBB : Ka Amin, Slamet, Eck, Syahrul, Desi, SN (terima kasih doanya, senang bisa
mengukir kenangan bersama).
9. Keluarga Bahagia : Mba Lia Y (terima kasih atas bantuannya. Ilmunya sangat
bermanfaat), Mba Ana (terima kasih sudah memberi semangat dan motivasi, share
pengalamannya sangat berharga), Ka Iput (terima kasih sudah sabar membantu), slamet
(terima kasih sudah membantu mencari buku, terima kasih tidak bosan memberi
semangat dan motivasinya dengan berbagai cara), Mas Ian, Eck, Ayu, Mega (terima kasih
atas doanya).
10. Adik-adik Math 44 dan Math 45: terima kasih atas doa, semangat dan dukungannya.
11. Keluarga Yapsir : Pak Andri, Bu dodo, Kevin, Kristie terima kasih atas bantuannya.
12. Teman-teman KSR PMI kota Bogor (terima kasih atas semangat dan doanya).
13. Semua pihak yang telah ikut membantu baik secara moril maupun secara materiil. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, September 2012
Nur Aziezah
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 28 Juni 1988 sebagai anak bungsu dari dua
bersaudara, anak dari pasangan Sudardjat (alm) dan Nurulhuda.
Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Sindangbarang 6 Bogor. Tahun 2003 penulis lulus dari
SMPN 4 Bogor. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Bogor dan pada tahun yang sama lulus
seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Penulis memilih
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus
Mahasiswa Matematika) sebagai staf Biro Kaderisasi Departemen Pengembangan Sumber Daya
Manusia (PSDM) periode 2008 – 2009. Penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan Masa Perkenalan
Departemen (MPD) sebagai Koordinator divisi Medis.
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI .................................................................................................................................ii
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................ii
I PENDAHULUAN ...................................................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1
1.2 Tujuan .............................................................................................................................. 1
II LANDASAN TEORI ................................................................................................................ 2
2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas ....................................................................................... 2
2.2 Proses Stokastik ................................................................................................................ 2
2.3 Gerak Brown .................................................................................................................... 2
2.4 Pergerakan Harga Saham .................................................................................................. 3
2.5 Proses Wiener Umum ....................................................................................................... 3
2.6 Proses Ito .......................................................................................................................... 4
2.7 Lema Ito ........................................................................................................................... 4
2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham ................................................................................ 4
III HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................ 5
3.1 Teorema 1 ......................................................................................................................... 5
3.2 Proposisi 1 ........................................................................................................................ 6
3.3 Proposisi 2 ........................................................................................................................ 7
3.4 Akibat ............................................................................................................................... 9
3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor ...................................................................................... 9
IV SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................................... 10
4.1 Simpulan ........................................................................................................................ 10
4.2 Saran .............................................................................................................................. 10
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 10
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Pembuktian Persamaan (25) dan (26) ....................................................................... 12
Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (34) dan (35) ....................................................................... 14
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Tujuan suatu investasi adalah untuk
memperoleh keuntungan yang besar
dengan tingkat resiko yang rendah. Saat ini
keberadaan pasar modal telah menjadi
salah satu bentuk investasi yang dapat
memberikan keuntungan yang cukup besar.
Salah satu instrumen utama yang
diperdagangkan di pasar modal adalah
saham. Saham merupakan instrumen pasar
keuangan yang paling populer. Perusahaan
menerbitkan saham untuk menambah dana
perusahaan.
Faktor yang mempengaruhi besarnya
permintaan saham dan penawaran saham
adalah tingkat harga saham tersebut.
Apabila harga saham dinilai terlalu tinggi
oleh pasar, maka jumlah permintaan akan
berkurang. Sebaliknya, bila pasar menilai
terlalu rendah, jumlah permintaan akan
meningkat.
Ada kemungkinan investor dapat
memperoleh keuntungan yang lebih besar
jika perusahaannya bergabung dengan
perusahaan lain. Ketika penggabungan
berlangsung pada waktu T, kita
mengasumsikan bahwa rasio dari dua harga
saham akan sama dengan , 1
2
T
T
SC
S .
Konstanta ini merupakan rasio harga
saham dari dua perusahaan yang mengganti
saham lama mereka dengan yang baru dari
perusahaan yang bersatu. Diasumsikan
bahwa informasi ini tersedia untuk orang
dalam, artinya hanya yang melakukan
merger saja yang mengetahui, selain itu
tidak. Ada banyak contoh dari pasar
konvergen ketika ada dua atau lebih proses
dari harga saham, tingkat bursa, atau
tingkat suku bunga yang salah satu dapat
memiliki banyak informasi tentang
perubahan perkembangan yang akan
datang.
Jika tidak dibatasi, maka orang dalam
dapat mencapai kekayaan tak terhingga
dalam waktu yang terbatas karena orang
tersebut mempunyai cukup informasi
tambahan dibanding orang lain yang
berada di pasar. Hal ini jelas sesuatu yang
kita ingin kesampingkan. Diasumsikan
informasi tambahan hanya tersedia untuk
orang dalam yaitu penggabungan akan
terjadi pada waktu . Ada model strategi
yang diharapkan memaksimalkan kekayaan
akhir mengikuti gerak Brown. Strategi
dibatasi oleh kendala pada waktu yang
singkat yang berkaitan dengan kekayaan
sekarang.
Pada saat penggabungan dua
perusahaan, kondisi ini sama artinya
dengan kombinasi linear dari dua harga
saham yang mengikuti gerak Brown. Hal
ini serupa dengan proses jembatan Brown,
tetapi proses dua dimensi. Kita mengacu
pada proses jembatan Brown planar dan
menyatakan sebagai solusi bagi suatu
sistem persamaan diferensial yang
mengikuti dua gerak Brown. Posisi ini
merupakan sistem persamaan diferensial
untuk dua harga saham, begitu juga untuk
dinamika kekayaan dari strategi optimal
yang ditemukan.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi
dari tulisan Jonsson & Vecer (2005) yang
berjudul “Insider Trading in Convergent
Markets.”
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
menentukan nilai harapan yang maksimum
dari kekayaan investor dengan strategi
investasi saham pada dua perusahaan yang
bergabung.
2
II LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah-masalah yang
terjadi pada karya tulis ini diperlukan
pengertian beberapa konsep berikut ini.
2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas
Definisi 2.1 (Investasi)
Investasi adalah komitmen atau sumber daya
saat ini dengan harapan yang lebih besar di
masa depan.
(Bodie et al. 2009)
Definisi 2.2 (Saham)
Saham adalah sarana investasi dengan
pendapatan tetap dan bersifat jangka panjang. (Bodie et al. 2009)
Definisi 2.3 (Volatilitas)
Volatilitas adalah ukuran ketidakpastian
pendapatan saham.
(Hull 2009)
Harga saham sangat dipengaruhi oleh
informasi yang bersifat acak, dan karenanya
harga saham juga bernilai acak. Volatilitas
saham, yang biasanya dilambangkan σ,
menyatakan tingkat keacakan harga saham.
Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak
terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya,
semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah
untuk menduga harga saham tersebut.
2.2 Proses Stokastik
Definisi 2.4 (Medan )
Medan – adalah suatu himpunan yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat
berikut.
1. .
2. Jika Α , maka cA .
3. Jika 1 2, ,A A , maka1
ii
A
Ç .
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 2.5 (Ukuran Peluang)
Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu
percobaan dan adalah medan pada Ω.
Suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur
ke himpunan bilangan nyata , atau
: P disebut ukuran peluang jika :
1. tak negatif, yaitu untuk setiap A ,
( ) 0P A ,
2. bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
1 2, ,A A dengan , i jA A i j ,
maka 1 1
( )n nn n
P A P A
Ç .
3. bernorma satu, yaitu Ω 1P .
Pasangan (Ω, , )P disebut ruang ukuran
peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg & Craig 1995)
Definisi 2.6 (Proses Stokastik)
Proses stokastik adalah sekumpulan peubah
acak , , ΓtX t T yang tergantung
pada parameter dan terdefinisikan pada
ruang probabilitas ( , , )P .
(Sobczyk 1991)
Definisi 2.7 (Turunan Stokastik)
Misalkan , ,tX t adalah proses
stokastik. Jika terdapat fungsi ( )a t dan ( )b t
sehingga untuk sembarang 1t ,
2t , dengan
1 2t t memenuhi
2 2
1 1
2 1 ( ) ( ) ( )
t t
t t
X t X t a t dt b t dW t
maka dikatakan bahwa ( )X t memiliki turunan
stokastik ( )dX t yaitu
( ) ( ) ( ) ( ).dX t a t dt b t dW t
(Sobczyk 1991)
2.3 Gerak Brown
Definisi 2.8 (Gerak Brown Standar)
Sebuah gerak Brown standar : 0W t t
adalah sebuah proses stokastik yang memiliki
1. continuous Path,
2. stasioner, independent increments, dan
3. 0( ))~ ( ,NW tt untuk semua 0t .
(Chang 2007)
Definisi 2.9 (Gerak Brown)
Sebuah proses X dikatakan gerak Brown
2, jika dapat dituliskan sebagai
0 ( )X t X t W t ,
dengan W adalah sebuah gerak Brown
standar.
(Chang 2007)
3
Definisi 2.10 (Proses Gaussian)
Suatu proses stokastik , 0X t t
dikatakan proses Gaussian jika
1 , , ( )nX t X t memiliki sebaran normal
bersama untuk semua 1, , nt t .
(Ross 1996)
Definisi 2.11 (Jembatan Brown Standar)
Sebuah jembatan Brown standar adalah
sebuah proses Gaussian X dengan path yang
kontinu, rataan 0, dan fungsi kovarian
, (1 )Cov X s X t s t untuk 0 1.s t
(Chang 2007)
2.4 Pergerakan Harga Saham
Secara umum, pergerakan harga saham
dapat dipecah menjadi dua faktor, yaitu faktor
yang dapat diperhitungkan (misalnya suku
bunga) dan faktor yang tidak dapat
diperhitungkan (misalnya berita naik-turunnya
harga saham perusahaan lain). Faktor kedua
ini menyebabkan pergerakan harga saham
tidak dapat dimodelkan secara deterministik.
Model yang biasa digunakan untuk kasus
seperti ini adalah model/proses stokastik.
Menurut Willmot et al. (1996), model
stokastik bagi pergerakan harga saham
memiliki bentuk sebagai berikut :
dS
dt dWS
. (1)
Dalam hal ini, dS
Sadalah perubahan harga
saham selama interval dt dibagi harga saham
sebelum interval dt. μ adalah rata-rata
pertumbuhan harga saham, σ adalah
volatilitas, dan dW adalah bagian yang
mengandung keacakan/ketidakpastian dari
harga saham. Diasumsikan bahwa dWmengikuti proses Wiener serta memiliki sifat:
• dW adalah variabel acak yang menyebar
normal,
• rataan dari dW adalah nol,
• ragam dari dW adalah dt .
2.5 Proses Wiener Umum
Proses Wiener merupakan salah satu
proses stokastik markov dengan perubahan
rataan nol dan laju varian 1 per tahun.
Variabel W dikatakan mengikuti proses
Wiener jika mempunyai sifat:
1. Perubahan W selama periode waktu
yang kecil adalah
W t
dimana adalah peubah acak dengan
sebaran normal baku 0,1 .
2. Nilai dari W untuk dua interval waktu
yang singkat t adalah bebas.
(Hull 2009)
Proses stokastik memiliki turunan yang
bersifat stokastik. Perubahan rataan persatuan
waktu untuk proses stokastik diketahui
sebagai laju drift dan varian per satuan waktu
diketahui sebagai laju varian. Proses Wiener
dasar, mempunyai laju drift nol dan laju
varian satu. Laju drift dari rataan nol adalah
nilai harapan dari W pada waktu yang akan
datang adalah sama dengan nilai yang
sebenarnya. Laju varian 1 maksudnya bahwa
perubahan varian di pada interval waktu
dengan panjang sama dengan . Proses
Wiener umum untuk variabel dapat
didefinisikan dalam bentuk sebagai
dx adt bdW (2) dimana dan konstan.
Bentuk mengakibatkan mempunyai
harapan laju drift per satuan waktu. Jika
bagian dikeluarkan maka persamaan
menjadi :
dx adt
dx adt
x at c
00 t x c
sehingga
0x x at (3)
dengan adalah nilai dari saat , pada
periode waktu dengan panjang T, dan variabel
naik sebanyak .
Proses Wiener mempunyai standar deviasi
1. Pada saat proses Wiener mempunyai
simpangan baku sebesar
~ ( , )dx adt bdz N adt b dt
2 2
dx b dt (4)
dalam selang interval waktu yang kecil , perubahan menjadi:
x a t b t . (5)
Sebelumnya mempunyai sebaran
normal baku, sehingga mempunyai
sebaran normal dengan
rataan :
simpangan baku : √ varian : .
4
2.6 Proses Ito
Jenis proses stokastik lainnya adalah
proses Ito. Proses Ito merupakan proses
Wiener umum dengan parameter dan
adalah fungsi dari nilai underlying variabel x
dan waktu t. Proses Ito dapat ditulis secara
aljabar sebagai :
, ( , ) dx a x t dt b x t dW . (6)
Pada interval waktu yang kecil antara dan , variabel berubah dari ke , dimana
, ( , )x a x t t b x t t . (7)
Diasumsikan bahwa laju drift dan varian
tetap konstan yaitu ( ) dan ( ) selama interval waktu antara dan
~ ( ( , ) , ( , ) )dx N a x t dt b x t dt . (8)
2.7 Lema Ito
Misalkan X(t) memiliki turunan stokastik
( ) ( ) ( ) ( )dX t a t dt b t dW t
dan misalkan g(t,x) adalah fungsi kontinu
dalam t dan x bersama turunannya
,
,
maka fungsi ( ( )) memiliki turunan
stokastik (dengan Proses Wiener ( )) sebagai berikut :
22
2
1( ) ( ) ( ) ( )
2
G G G GdG a t b t dt b t dW t
t x xx
(Sobczyk 1991)
Harga opsi saham adalah fungsi yang
mendasari harga saham dan waktu. Secara
umum dikatakan bahwa harga dari suatu
derivatif adalah fungsi yang mendasari
peubah acak stokastik, sebuah derivatif dan
waktu.
Misalkan nilai dari peubah acak x
mengikuti proses Ito:
, ( , ) dx a x t dt b x t dW (9)
dimana adalah proses Wiener, dan
adalah fungsi dari dan . Peubah acak
mempunyai laju drift dan laju varian .
Lema Ito menunjukkan bahwa fungsi dari
dan memenuhi 2
2
2
1
2
G G GdG a b dt
x t x
G
bdWx
(10)
dimana adalah proses Wiener yang sama
pada persamaan (9) sehingga juga
mengikuti proses Ito dengan laju drift
22
2
1
2
G G Ga b
x t x
dan laju varian 2
2Gb
x
.
Sehingga dengan mudah dapat ditunjukkan
bahwa
dS Sdt SdW (11)
dengan µ dan σ konstan, adalah model
perubahan harga saham berdasarkan lema Ito.
Proses tersebut diikuti oleh fungsi terhadap
dan sebagai berikut 2
2 2
2
1
2
G G GdG S S dt
S t S
G
S dWS
(12)
dan dipengaruhi oleh sumber yang
mendasari ketidakpastian yang sama.
2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham
Pada bagian ini akan dibahas proses
stokastik yang biasanya diasumsikan untuk
harga saham tanpa pembayaran dividen.
Harga saham mengikuti proses Wiener umum
yang mempunyai harapan laju drift konstan
dan laju varian konstan. Misalkan S adalah
harga saham, maka
, ,dS a S t dt b S t dW . (13)
Jika adalah harga saham pada waktu , maka harapan laju drift pada diasumsikan
S untuk parameter konstan. Pada interval
waktu yang kecil , akan naik sebesar
S t . Parameter merupakan laju harapan
imbal hasil pada saham. Jika volatilitas dari
harga saham selalu nol, maka modelnya
menjadi:
S µS t (14)
saat →0.
Dengan demikian
dS µSdt
.dS
dtS
(15)
Integralkan kedua ruas pada (15) menjadi
dSd
St
lnS t k , (16)
dengan k = konstanta sembarang.
Persamaan (16) dapat ditulis menjadi t kS e
.t kS e e . (17)
5
Dengan memisalkan , maka
persamaan (17) menjadi
1
tS t c e (18)
Misalkan dan merupakan harga
saham pada waktu dan , maka persamaan
(18) menjadi
(19)
Persamaan (19) menunjukkan bahwa laju
varian nol, harga saham tumbuh dengan laju
continous compounding per satuan waktu.
Pada kenyataannya harga saham menunjukkan
volatilitas karena asumsinya variasi dari
persentasi imbal hasil pada periode waktu
yang singkat sama tanpa memperhatikan
harga saham.
Simpangan baku dari perubahan dalam
periode waktu yang singkat akan proporsional
ke harga saham dan berperan penting untuk
model:
dS Sdt SdW
μdtdS
dWS
(20)
Persamaan (20) sebagian digunakan untuk
memodelkan tingkah laku harga saham.
Variabel adalah volatilitas dari harga
saham. Variabel adalah harapan laju imbal
hasil. Persamaan (20) disebut juga sebagai
gerak Brown geometrik.
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan ada dua perusahaan yang akan
bergabung. Misalkan pula harga saham
masing-masing perusahaan mengikuti gerak
Brown geometrik 1
1
1 11
tt
t
dSdt dW
S
2
2
2 22
tt
t
dSdt dW
S (21)
i
tS adalah harga saham perusahaan pada
saat ,i adalah rata-rata pertumbuhan harga
saham perusahaan , i adalah volatilitas
perusahaan , 1
tW dan 2
tW adalah gerak
Brown dengan 1 2
t tdW dW dt , 1 1 , adalah korelasi antara gerak Brown
perusahaan pertama dengan gerak Brown
perusahaan kedua, dan pada saat
penggabungan (yaitu saat T) berlaku
1 2.T TS C S (22)
Diasumsikan tingkat suku bunga adalah
nol, misalkan kekayaan awal adalah yang
merupakan kekayaan tetap investor dan
kekayaan investor saat dengan strategi
1 2,t t t adalah tY , dan berlaku
1 2
1 2
1 2
t t tt t
t t t
dY dS dS
Y S S
(23)
dengan i
t adalah bagian dari kekayaan yang
diinvestasikan pada saham , oleh karenanya 1 21 t t adalah bagian dari kekayaan yang
didepositokan.
Untuk memaksimumkan harapan dari
kegunaan suatu kekayaan dengan beberapa
kendala perdagangan, diasumsikan tidak ada
peminjaman dan short selling. Dengan kata
lain 1 2, 0t t dan 21 1t t . Total
kekayaan tY bernilai tak negatif.
Diasumsikan juga fungsi harapan dari
kekayaan yang ingin dimaksimumkan oleh
investor adalah fungsi linear.
Ada dua kemungkinan strategi t yang
memaksimumkan nilai harapan kekayaan
investor yaitu:
1. 0,0 , 1,0 , 0,1 ,t
2. ,0 0, , ,1, ,t
, 1 , 0 ,,1 0 ,1,
Strategi yang dibahas pada karya ilmiah ini
adalah strategi yang pertama.
3.1 Teorema
Strategi t yang memaksimumkan TE Y
selalu memenuhi 0,0 , 1,0 , 0,1t dan
hanya tergantung pada 1
2
1log t
t
t
SX
T t CS
.
Lebih tepatnya, menetapkan proses planar tZ
dengan melihat tingkat return saham
perusahaan i saat t ( )i
tZ sebagai
1 2
1 1 2 2, ,t t t t tZ Z Z A X B A X B , dimana
6
1 1 2
1 2 2
1 1 2 22A
dan
2 2 1
2 2 2
1 1 2 22A
,
2 2
1 1 2 2 1 2 1
1
2B A A
dan
2 2
2 2 1 1 2 1 2
1
2B A A
, maka
1 2
1 2 1
2 1 2
0,0 0 0
1,0 0
0,1 0
t t
t t t t
t t t
jika Z dan Z
jika Z dan Z Z
jika Z dan Z Z
.
Artinya jika dan
, maka
investor tidak berinvestasi di kedua
perusahaan. Jika dan
, maka
investor berinvestasi di perusahaan pertama.
Jika dan
, maka investor
berinvestasi di perusahaan kedua. Untuk
membuktikan Teorema tersebut, diperlukan
Proposisi 1 dan Proposisi 2.
3.2 Proposisi 1
Misalkan 1
tW dan 2
tW adalah dua gerak
Brown dimulai dari 1 2
0 0 0W W dengan
1 2
t tdW dW dt , saat
1 2
1 2T TaW a W b (24)
dimana dan b adalah konstan. Dinamika
dari dan
dapat ditulis sebagai
1 21 11 2 1 2
1 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t tt t
b aW a W a adW a a dt d
T t a a a a a a a a
222
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
(25)
1 22 11 2 2 1
2 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t tt t
b aW a W a adW a a dt d
T t a a a a a a a a
221
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
(26)
dengan 1
td dan 2
td adalah dua gerak
Brown standar yang bebas.
Bukti:
Untuk membuktikan proposisi 1 diketahui
bahwa kondisi sebuah gerak Brown 0t t T
X
pada nilai ujung tX mengarah pada sebuah
jembatan Brown. Jika nilai awal 0X a dan
nilai akhir TX b , maka
0, tt t
b XdX dt dW X a
T t
. (27)
Persamaan (27) merupakan jembatan Brown
satu dimensi. Sedangkan, jembatan Brown
planar merupakan versi dua dimensi dari
persamaan (27).
Kita definisikan dua proses baru:
1 1 2
1 2t t tU aW a W (28)
2 1 2
2 1 1 2t t tU a a W a a W (29)
dengan 1
tU dan 2
tU bebas. 1
2 2
1 1 2 22
tU
a a a a
adalah kondisi sebuah gerak Brown pada nilai
ujung dan
2
2 2 2
1 1 2 21 2
tU
a a a a
adalah sebuah gerak Brown. Sehingga
berdasarkan persamaan (27), kita dapat
menuliskan 1
tU dan 2
tU dalam bentuk
11 2 2 1
1 1 2 22 tt t
b UdU dt a a a a d
T t
(30)
2 2 2 2 2
1 1 2 21 2 t tdU a a a a d (31)
dimana 1
td dan 2
td adalah gerak Brown
standar yang bebas.
Substitusi persamaan (28) ke persamaan
(30), akan diperoleh
1 2
1 21 2
1 2
t t
t t
b aW a Wd aW a W dt
T t
2 2 1
1 1 2 22 ta a a a d
7
Persamaan tersebut akan menghasilkan (lihat Lampiran 1a)
21 21 1 221 2 1 2
1 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22
.1
2 2
t tt t t
ab aW a W a adW a a dt d d
T t a a a a a a a a a a a a
Substitusi persamaan (29) ke persamaan (31)
1 2 2 2 2 2
2 1 1 2 1 1 2 21 2t t td a a W a a W a a a a d .
Persamaan tersebut akan menghasilkan (lihat Lampiran 1b)
21 22 1 211 2 2 1
2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22
.1
2 2
t tt t t
ab aW a W a adW a a dt d d
T t a a a a a a a a a a a a
Dengan menggunakan jembatan Brown,
diperoleh dinamika dari dua saham yang
bergabung.
3.3 Proposisi 2
Misalkan dinamika dari dua harga saham
diberikan sebagai berikut 1
1
1 11
tt
t
dSdt dW
S
2
2
2 22
tt
t
dSdt dW
S (32)
dimana 1
tW dan 2
tW adalah dua gerak Brown
dengan 1 2
t tdW dW dt pada saat
1 2
t tS C S (33)
maka harga saham dinamik dapat
diekspresikan sebagai
1
1 2
1 1 11
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S . (34)
2
1 2
2 2 22
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S . (35)
Bukti:
Dari pembahasan terdahulu diketahui 1
t
dan 2
t adalah dua gerak Brown bebas dengan
1 2 1 2, , , ,tX A A B B ada pada teorema dan
1 1 2
12 2
1 1 2 22C
2 2 1
22 2
1 1 2 22C
2
1 2
2 2
1 1 2 2
1
2D
Didefinisikan i
tG lnS .
Jika fungsi diturunkan terhadap , maka
1i i
t t
G
S S
.
Jika fungsi diturunkan dua kali terhadap ,
maka
2
2 2
1
i i
t t
G
S S
.
Jika fungsi diturunkan terhadap , maka
0G
t
. (36)
Berdasarkan persamaan (12) didapat
222
2
1
2
i i
i t i ti it t
G G GdG S S dt
tS S
i i
i t ti
t
GS dW
S
dengan mensubstitusi
2
2, ,
i it t
G G
S S
dan
G
t
,
persamaan (12) menjadi
22
2
1 1 10
2
i i
i t i ti it t
dG S S dtS S
1
i i
i t ti
t
S dWS
sehingga
21
2
i
i i i tdG dt dW
(37)
dan
21
2
i
ti i i
dWdG
dt dt
. (38)
Karena i
tG lnS , maka persamaan (38)
menjadi
2( ) 1
2
i i
t ti i i
d lnS dW
dt dt
(39)
sehingga
21 1
2
i i
t ti i ii
t
dS dW
dt dtS
(40)
8
atau
21
2
iit
i i i ti
t
dSdt dW
S
(41)
Untuk mendapatkan persamaan dalam i
tS ,
dilakukan pengintegralan kedua ruas pada
persamaan (41)
21
2
iit
i i i ti
t
dSdt dW
S
21
2
i i
t i i i tlnS t W C
21
2
i i
t i i i tS exp t W C
21.
2
i i
t i i i tS exp C exp t W
.
Jika [ ], maka
2
0
1
2
i i i
t i i i tS S exp t W
. (42)
sehingga untuk kondisi 1
2
T
T
SC
S diartikan
sebagai 1
2
T
T
SC
S
1 2 1
0 1 1 1
2 2 2
0 2 2 2
1
2
1
2
T
T
S exp T W
C
S exp T W
2 1
1 1 1 2
0
12 2 0
2 2 2
1
2
1
2
T
T
exp T WS
CS
exp T W
2
2 1 2 2 01 1 1 2 2 2 1
0
1 1
2 2T T
Sexp T W T W C
S
2
2 1 2 2 01 1 1 2 2 2 1
0
1 1
2 2T T
ST W T W ln C
S
2
2 1 2 2 01 1 1 2 2 2 1
0
1 1
2 2T T
ST T W T T W ln C
S
2
1 2 2 2 01 2 2 1 2 1 1
0
1
2T T
SW W T T ln C
S
2
1 2 2 2 01 2 2 1 2 1 1
0
1
2T T
SW W T T ln C
S
2
1 2 2 2 01 2 2 1 2 1 1
0
1
2T T
SW W T ln C
S
. (43)
Persamaan (43) sesuai dengan persamaan (24)
dengan
1 1a , 2 2a , dan
2
2 2 02 1 2 1 1
0
1
2
Sb T ln C
S
. (44)
Dinamika jembatan Brown planar diberikan
pada Proposisi 1, persamaan dari dua gerak
Brown standar dan
. Jika persamaan (25)
disubstitusi ke persamaan (32), maka
1 1 211 2 1 2
1 1 1 21 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b aW a W a adt a a dt d
S T t a a a a a a a a
222
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
.
Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi (lihat Lampiran 2)
1
1 2
1 1 11
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S .
9
Jika persamaan (26) disubstitusi ke persamaan (32), maka
2 1 211 2 2 1
2 2 2 12 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b aW a W a adt a a dt d
S T t a a a a a a a a
221
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
.
Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi (lihat Lampiran 2)
2
1 2
2 2 22
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S .
Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.
3.4 Akibat
Diasumsikan bahwa saham tunggal
mengikuti
tt
t
dSdt dW
S . (45)
Saat TS C , maka
21 1
2t T
t
t t
dS Slog dt d
S T t S
(46)
dengan t adalah sebuah gerak Brown
standar.
Bukti:
Persamaan (46) merupakan kasus khusus
dari proposisi 2 dengan 1
t tS S , 1 ,
1 , 2 2 0 , 2 1tS .
1
1 2
1 1 11
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S
1 1 2
12 2
1 1 2 22C
2
2
0σ
0 0
2
1 2
2 2
1 1 2 2
1
2D
2
2
0 10
0 0
1 1 2
1 2 2 2
1 1 2 2
01
2 0 0A
2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 2
0 00
2 0 0A
2 2
1 1 2 2 1 2 1
1
2B A A
2 21 10 0 0 1
2 2
1
2
1 1
1t t
t
tt
S SX log log
T t T t SCS
1 t
t
Slog
T t S
maka
1
1 2
1 1 11
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S
21 11 0
2t
t
t
Slog dt d
T t S
21 1
2T
t
t
Slog dt d
T t S
.
Dengan demikian akibat terbukti.
3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor
Persamaan (23) yang menyatakan
kekayaan investor adalah 1 2
1 2
1 2
t t tt t
t t t
dY dS dS
Y S S
1 21 2
1 2
t tt t t t
t t
dS dSdY Y
S S
1 21 2
1 2
0
T
t tt t t t
t t
dS dSY Y
S S
(47)
Nilai harapan dari kekayaan investor adalah
kekayaan tetap investor ditambah dengan nilai
harapan kekayaan investor yang dimaksimumkan.
1 21 2
0 1 2
0
T
t tT t t T
t t
dS dSE Y Y E Y
S S
. (48)
Jika persamaan (34) dan (35) disubstitusikan
ke persamaan (48), maka nilai harapan dari
kekayaan investor dapat ditulis
10
1 1 2 2 2 2
0 1 1 1 2 2 2
0
T
T t t t t t t t t TE Y Y E A X B dt C d Dd A X B dt C d Dd Y dt
1 2
0 1 1 2 2
0
T
t t t t TY E A X B A X B Y dt
(49)
Berdasarkan teorema
1 2
1 1 2 2, , t t t tZ Z A X B A X B ,
maka persamaan (49) menjadi
1 1 2 2
0
0
T
T t t t t TE Y Y E Z Z Y dt
.
Karena nilai harapan dari proses Wiener
adalah nol, maka nilai harapan dari gerak
Brown ( ) adalah nol, sehingga integral
mempunyai nilai harapan nol. Karena asumsi
tanpa pinjaman, maka . Integral
tersebut akan maksimal jika 1 1 2 2
t t t tZ Z
maksimal untuk setiap t.
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan
Dengan asumsi pergerakan harga saham
mengikuti gerak Brown yang mempunyai
harapan laju drift konstan dan laju varian
konstan. Strategi yang digunakan adalah
dengan melihat tingkat return saham
perusahaan i saat t ( ). Ada dua
kemungkinan strategi 1 2,t t bagi investor
yang dibahas, yaitu: tidak berinvestasi di
kedua perusahaan 0,0 atau berinvestasi di
salah satu perusahaan 0,1 , 1,0 . Dengan
strategi investasi tersebut diperoleh nilai
harapan kekayaan investor dari dua
perusahaan yang bergabung akan maksimum
jika 1 1 2 2
t t t tZ Z maksimum.
4.2 Saran
Analisis lebih lanjut mengenai
memaksimumkan nilai harapan dari kekayaan
investor dapat dikembangkan untuk strategi
,0 0, ,1 1 ,, , , ,t
1 , 0,0 ,1 .
DAFTAR PUSTAKA Bodie, Kane, Markus. 2009 . Investment. 8
th
Ed. The McGraw-Hill Companies Inc.
Chang J. 2007. Stochastic Processes. Yale
University.
Grimmett GR, DR Stirzaker. 1992.
Probability and Random Processes. 2th
Ed. Clarendon Press. Oxford.
Hogg RV, AT Craig. 1995. Introduction to
Mathematical Statistics. 5th Ed.
Prentice Hall, Englewood Cliffs. New
Jersey
Hull JC. 2009. Options, Futures, and Other
Derivatives. 7th Ed. Prentice Hall
International Inc. Toronto.
Jonsson M, Vecer J. 2005. Insider Trading in
Convergent Markets, Applied
Mathematical Finance, Vol. 12: 243-
252
Ross SM. 1996. Stochastic Processes.
University of California.
Sobczyk K. 1991. Stochastic Differential
Equations with Aplications to Physics
and Engineering. Kluwer Academic
Publisher.
Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996. The
Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge University Press. Cambridge.
LAMPIRAN
12
Lampiran 1: Pembuktian Persamaan (25) dan (26)
a. Akan dibuktikan
Persamaan (25), yaitu
1 21 11 2 1 2
1 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t tt t
b aW a W a adW a a dt d
T t a a a a a a a a
222
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
(L-1)
Bukti:
Diberikan persamaan 1 1 2
1 2t t tU aW a W (L-2)
2 1 2
2 1 1 2t t tU a a W a a W (L-3)
dengan dan
bebas. 1
2 2
1 1 2 22
tU
a a a a adalah kondisi sebuah gerak Brown pada nilai
ujung dan
2
2 2 2
1 1 2 21 2
tU
a a a a
adalah sebuah gerak Brown. Sehingga berdasarkan
persamaan (27), kita dapat menuliskan dan
dalam bentuk 1
1 2 2 1
1 1 2 22 tt t
b UdU dt a a a a d
T t
(L-4)
2 2 2 2 2
1 1 2 21 2 t tdU a a a a d (L-5)
Substitusi persamaan (L-2) ke persamaan (L-4), akan diperoleh
1 2
1 21 2 2 2 1
1 2 1 1 2 22 t t
t t t
b aW a Wd aW a W dt a a a a d
T t
.
Misalkan:
1 2
1 2t tb aW a Wm
T t
dan
2 2
1 1 2 2 2n a a a a , maka 1 2 1
1 2t t td aW a W mdt nd .
Berdasarkan sifat turunan,
1 2 1
1 2t t td aW d a W mdt nd
1 2 1
1 2t t ta dW a dW mdt nd . (L-6)
Substitusi persamaan (L-3) ke persamaan (L-5)
1 2 2 2 2 2
2 1 1 2 1 1 2 21 2t t td a a W a a W a a a a d .
Jika2 2
1 1 2 2 2n a a a a , maka
1 2 2 2
2 1 1 2 1t t td a a W a a W nd . (L-7)
Berdasarkan sifat turunan, persamaan (L-7) menjadi
1 2 2 2
2 1 1 2 1t t td a a W d a a W nd
1 2 2 2
2 1 1 2 1t t ta a dW a a dW nd (L-8)
Jika persamaan (L-6) dikali 1 2a a dan persamaan (L-8) dikali 2a kemudian dilakukan
eliminasi, maka akan diperoleh
1 2 1
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 t t ta a a dW a a a dW a a mdt a a nd
1 2 2 2
2 1 2 1 2 2 21t t ta a a dW a a a dW na d -
1 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21t t t ta a a dW a a a dW a a mdt a a nd na d
2 1 1 1 2 1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21t t t t t ta dW a a dW a a dW a dW a a mdt a a nd na d
13
2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 22 1t t ta a a a dW a a mdt a a nd na d
2 1 1 2 2
1 2 1 2 2 1t t tn dW a a mdt a a nd na d
2
1 2 1 21 1 22
2 2 2
1 t t t
a a m a a n nadW dt d d
n n n
2
1 2 1 21 1 22
2
1t t t
a a m a a adW dt d d
n nn
(L-9)
Dengan mengganti kembali m dan n pada persamaan (L-9), diperoleh
21 21 1 221 2 1 2
1 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2 2
t tt t t
ab aW a W a adW a a dt d d
T t a a a a a a a a a a a a
b. Akan dibuktikan
Persamaan (26), yaitu
1 22 11 2 2 1
2 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t tt t
b aW a W a adW a a dt d
T t a a a a a a a a
221
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
(L-10)
Bukti:
Dengan cara yang sama saat pada a, jika persamaan (L-6) dikali 2 1a a dan persamaan
(L-8) dikali 1a kemudian dilakukan eliminasi, maka akan diperoleh
1 2 1
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1t t ta a a dW a a a dW a a mdt a a nd
1 2 2 2
2 1 1 1 2 1 11t t ta a a dW a a a dW na d -
2 2 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11t t t ta a a dW a a a dW a a mdt a a nd na d
2 2 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11t t t ta a a dW a a a dW a a mdt a a nd na d (L-11)
Dengan sifat distributif, persamaan (L-11) menjadi
2 2 2 2 2 2 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11t t t t t ta dW a a dW a a dW a dW a a mdt a a nd na d
2 2 2 2 2 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1t t t t ta dW a a dW a dW a a mdt a a nd na d (L-12)
Faktorkan pada persamaan (L-12), sehingga persamaan menjadi
2 2 2 1 2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 12 1t t ta a a a dW a a mdt a a nd na d (L-13)
Karena2 2
1 1 2 2 2n a a a a , maka persamaan (L-13) menjadi
2 2 1 2 2
2 1 2 1 11 .t t tn dW a a mdt a a nd na d (L-14)
Selanjutnya kedua ruas persamaan (L-14) dibagi dengan n2, sehingga persamaan menjadi
22 1 2 12 1 21
2 2 2
1t t t
a a m a a n nadW dt d d
n n n
. (L-15)
Persamaan (L-15) disederhanakan menjadi
22 1 2 12 1 21
2
1t t t
a a m a a adW dt d d
n nn
. (L-16)
Jika mengganti kembali m dan n pada persamaan (L-16), maka diperoleh
21 22 1 211 2 2 1
2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2 2
t tt t t
ab aW a W a adW a a dt d d
T t a a a a a a a a a a a a
Terbukti
14
Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (34) dan (35)
Akan dibuktikan :
Persamaan (34), yaitu
1
1 2
1 1 11
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S (L-17)
Persamaan (35), yaitu
2
1 2
2 2 22
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S (L-18)
Bukti :
Diketahui persamaan (L-19) dan persamaan (L-20) 1
1
1 11
tt
t
dSdt dW
S (L-19)
1 21 11 2 1 2
1 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t tt t
b aW a W a adW a a dt d
T t a a a a a a a a
222
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
(L-20)
Jika persamaan (L-20) disubstitusi ke persamaan (L-19), maka
1 1 211 2 1 2
1 1 1 21 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b aW a W a adt a a dt d
S T t a a a a a a a a
222
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
1 1 211 2 1 2
1 1 1 2 11 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b aW a W a adt a a dt d
S T t a a a a a a a a
222
12 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
1 1 21 1 2 11 2
1 1 1 21 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
a adS b aW a Wa a dt d
S T t a a a a a a a a
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
1 1 21 1 2 1 1 2 11 2
11 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
a a a adS b aW a Wdt d
T tS a a a a a a a a
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
1 1 21 1 21 1 2 11 2
11 22 221 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( )
2 2
t t tt
t
dS b W Wdt d
T tS
221 2
2 2
1 1 2 2
( ) 1
2 ( ) ( )td
15
21 1 21 1 2 1 1 2 1 21 21 2
11 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2 2
t t tt t
t
dS b W Wdt d d
T tS
22 2 1 20
2 1 2 1 1 21101 1 2
11 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t
t
t
ST ln C W W
SdSdt
T tS
21 1 2 1 21 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2t td d
12 2 1 20
2 1 2 1 1 22101 1 2
11 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t
t
t
ST ln C W W
SdSdt
T tS
21 1 2 1 21 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2t td d
1
02 221 1 22 1 2 101 1 2 1 2
11 2 2
1 1 2 2
1
2
2t t t
t
Sln CT
SdS W Wdt
T t T t T tS
21 1 2 1 21 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2t td d
1
02 221 2 1 2 101 1 2 1 1 2
11 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2
2 2t
t
Sln CT
SdS
T t T tS
21 2
1 1 2 1 1 2 1 21 21 2
2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2 2
t tt t
W Wdt d d
T t
(L-21)
Berdasarkan teorema, 1 1 2
1 2 2
1 1 2 22A
dan
1
0
2
0
1t
SX ln C
T t S
maka, persamaan (L-21)
menjadi
2 2
1 1 22 1 2 11 1 2 11 2
1 1 1 11 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t tt t
t
TdS W W
A A X A dt dT t T tS
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2td
2 2
1 1 22 1 2 11 1 2 11 2
1 1 11 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t tt t
t
TdS W W
A X A dt dT t T tS
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2td
(L-22)
16
Dengan 1 1 2
12 2
1 1 2 22C
dan
2
1 2
2 2
1 1 2 2
1
2D
maka, persamaan (L-22)
menjadi
2 21 1 22 1 2 1
1 21 21 1 1 11
1
2t t tt t t
t
TdS W W
A X A dt C d DdT t T tS
(L-23)
Berdasarkan Mattias Jonsson & Jan Vecer, persamaan (L-23) menjadi
1
1 2
1 1 11
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S
Diketahui persamaan (L-24) dan persamaan (L-25) 2
2
2 22
tt
t
dSdt dW
S (L-24)
1 22 11 2 2 1
2 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t tt t
b aW a W a adW a a dt d
T t a a a a a a a a
221
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
(L-25)
Jika persamaan (L-25) disubstitusi ke persamaan (L-24), maka
2 1 211 2 2 1
2 2 2 12 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b aW a W a adt a a dt d
S T t a a a a a a a a
221
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
2 1 211 2 2 1
2 2 2 1 22 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b aW a W a adt a a dt d
S T t a a a a a a a a
221
22 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
2 1 22 2 1 11 2
2 2 2 12 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
a adS b aW a Wa a dt d
S T t a a a a a a a a
222 1
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
2 1 22 2 1 2 2 1 11 2
22 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
a a a adS b aW a Wdt d
T tS a a a a a a a a
222 1
2 2
1 1 2 2
1
2t
ad
a a a a
2 1 22 2 1 2 2 1 11 2
22 22 221 1 2 2 1 1 2 2
( )
2 2
t t tt
t
dS b W Wdt d
T tS
2
22 1
2 2
1 1 2 2
( ) 1
2 ( ) ( )td
17
2 1 22 2 1 2 2 1 11 2
22 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
2 2
t t tt
t
dS b W Wdt d
T tS
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2td
22 2 1 20
2 1 2 1 1 21202 2 1
22 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t
t
t
ST ln C W W
SdSdt
T tS
22 2 1 1 21 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2t td d
12 2 1 20
2 1 2 1 1 22202 2 1
22 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t
t
t
ST ln C W W
SdSdt
T tS
22 2 1 1 21 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2t td d
1
02 222 1 22 1 2 102 2 1 1 2
22 2 2
1 1 2 2
1
2
2t t t
t
Sln CT
SdS W Wdt
T t T t T tS
22 2 1 1 21 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2t td d
1
02 222 2 1 2 102 2 1 2 2 1
22 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
2
2 2t
t
Sln CT
SdS
T t T tS
21 22 2 1 2 2 1 1 21 21 2
2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1
2 2 2
t tt t
W Wdt d d
T t
(L-26)
Berdasarkan teorema, 2 2 1
2 2 2
1 1 2 22A
dan
1
0
2
0
1t
SX ln C
T t S
maka, persamaan (L-26)
menjadi
2 2
2 1 22 1 2 12 2 1 11 2
2 2 2 22 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t tt t
t
TdS W W
A A X A dt dT t T tS
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2td
18
2 2
2 1 22 1 2 12 2 1 11 2
2 2 22 2 2
1 1 2 2
1
2
2
t t tt t
t
TdS W W
A X A dt dT t T tS
221 2
2 2
1 1 2 2
1
2td
(L-27)
Dengan 2 2 1
22 2
1 1 2 22C
dan
2
1 2
2 2
1 1 2 2
1
2D
maka, persamaan (L-27)
menjadi
2 22 1 22 1 2 1
1 21 22 2 2 22
1
2t t tt t t
t
TdS W W
A X A dt C d DdT t T tS
(L-28)
Berdasarkan Mattias Jonsson & Jan Vecer, persamaan (L-28) menjadi
2
1 2
2 2 22
tt t t
t
dSA X B dt C d Dd
S
Terbukti