MATLAN_06_DERET PANGKAT & TAYLOR + FOURIER

1

MATEMATIKA LANJUT D E R E T

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

4.2. DERET PANGKATDeret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak hingga yang bentuk umumnya adalah :

( 4-1 )

C1, C2,... = konstanta disebut koefisien deretm = konstanta disebut titik pusat

(center) deretz = Variabeli = Bilangan integer positip

Bila m = 0, terbentuk deret pangkat khusus (particular) dari z

( 4-2 )

i 2i 0 1 2

i 0C (z m) C C (z m) C (z m) .....

∞

=

− = + − + − +∑

i 2 2i 0 1 2 3

i 0C z C C z C z C z .......

∞

=

= + + + +∑

2



4.2.1. Konvergensi DeretTeorema 1Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik z = a, maka deret itu akan konvergen untuk setiap z bila :

Ini menunujukkan bahwa setiap z berada di dalam lingkaran yang melewati zo di sekitar a.

Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk zo, berlaku :

Bila diimplemantasikan untuk z =zo, maka deret jadi dibatasi, misal :

Sehingga dapat dibentukn n

n nn n 0

0 0

z-a z-aC (z-a) = C (z -a) < Mz -a z -a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Cn(zo – a)n → 0 untuk n → ∞

|Cn(zo – a)n |< M untuk setiap n = 0,1, 2.....

|z-a| < |zo–a|

3



Karena itu :

( 4-3 )

Jika diasumsikan |z-a| < |zo – a|, maka dapat dibentuk pertidaksamaan (inequality) :

Dengan pertidaksamaan di atas terbukti bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen jika :

Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geometris yang konvergen.Ruas kiri pers. (4-3) juga merupakan deret yang konvergen.

n nn

nn = 0 n = 0 n = 00 0

z - a z - aC ( z - a ) = M = Mz - a z - a

∞ ∞ ∞

∑ ∑ ∑

0

z - a < 1z - a

|z-a| < |zo–a|

4



Dari teorema 1: Untuk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku :

Deret akan konvergen bila( 4-4 )

Deret akan divergen bila

Disebut Lingkaran Konvergensi bila

R disebut Radius Konvergensi

A. B.Gbr. 4.1. Lingkaran dan interval konvergensi

| z-a | < R

aR

x

y

| z-a | > R

| z-a | = R

a-R a+R x

5



Teorema 2 (Radius Konvergensi)Bila terdapat urutan (squence)

, n= 1, 2, .......

Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, jika :

( 4-5a )

Termasuk di dalamnya L = 0 ketika R = ∞

Bila sequencenya tidak konvergen tapi nilainya terbatas, berlaku rumus Cauchy - Hadamard

( 4-5b )

adalah titik limit terbesar dari sequence.

Bila sequence tak terbatas, maka R = 0 dan deret hanya akan konvergen pada z = a.

nnc

1RL

=

1R =

6



Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat)Produk Cauchy (Cauchy Product) dari 2 buah deret pangkat merupakan konvergensi mutlak setiap z di dalam lingkaran konvergen dari masing-masing deret konvergen. Bila jumlah masing-masing deret tersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berjumlah :

( 4-6 )

Contoh Soal :1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret

geometri

Konvergen mutlak ketika |z| < 1 dan divergen ketika |z| > 1.

2. Konvergensi pada seluruh bidang terbatas.Deret Pangkat

m 2 3

mz 1 z z z ...........

∞

= + + +∑

s(z) = g(z)h(z)

n 2 3

n

z z z1 z ...........n! 2! 3!

∞

= + + +∑

7



Persamaan tersebut akan konvergen mutlak untuk setiap bidang (terbatas) z ,

3. Konvergen hanya pada titik pusat

konvergen hanya pada titik z = 0, tetapi divergen untuk setiap z ≠ 0, karena :

z ≠ 0 (fixed)

4. Produk CauchyDeret geometris 1 + z + z2 + z3 + ..... berjumlah 1/(1-z) ketika |z| < 1

= 1 + 2z + 3z2 + ...=

( )n 1

nn

zzn 1 !

= 0 ; nn+1z

n !

+

∞ +→ → ∞∑

( )( )2

k m 2 2

k 0 m 0

1 z z 1 z z .... 1 z z ....1 z

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ = = + + + +⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

n 1

nm

(n 1)! . z (n 1) z ; nn ! . z

+∞ += + → ∞ → ∞∑

n 2 3

n

n !.z 1 z 2z 6z ...........∞

= + + + +∑

( ) n

n 0

n 1 .z ; ( z 1)∞

=

+ <∑

8



4.2.2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT

Misalkan adalah deret pangkat tak tentu dengan radius R ≠ 0, konvergen.Jumlah fungsi ini merupakan fungsi z ; f(z)

( 4-7 )

Teorema 1 (Kontinyuitas)Fungsi f(z) dengan R > 0 akan kontinyu pada z = 0

( 4-8 )

Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat)Misalkan terdapat 2 buah deret :

dan

nn

n 0

c z∞

=∑

nn

n 0a . z

∞

→∑

n 2 3n 0 1 2 3

n 0f(z) c .z c c c z c z ...... ( z R)

∞

=

= = + + + + <∑

0z 0lim f(z) = f(0) = c

→

nn

n 0

b . z∞

→∑

9



Bila kedua deret identik, maka :

an = bn ( 4-9 )

untuk seluruh n = 0,1,2...........

a0 + a1z + a2z2 + ...= b0 + b1z + b2z2 + ... ( 4-10 )

Untuk |z| < R

( 4-11 )

Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat tersedia.

Teorema 3 (Differensiasi)Deret pengembangan dari deret pangkat memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret asli (original) nya.

n 1 2n 1 2 3

nn.c . z c + 2 c z + 3 c z +......

∞− =∑

10



Teorema 4 (Integrasi)Misalkan sebuah deret pangkat

Deret pangkat tersebut dibentuk oleh penginte-grasian deret c + c1z + c2z2 + .... tahap demi tahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya.

Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan)Deret pangkat dengan radius konvergensi R ≠ 0 merepresentasikan fungsi analitis pada setiap titik di dalamnya hingga membentuk lingkaran konvergensi. Penurunan fungsi ini akan diben-tuk oleh diferensiasi deret original tahap demi tahap ; Seluruh deret yang dibentuk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya.

( 4-12a )n n

n 1n

b a na (b a)Ab a

−−− = −

−

n 1 2 3n 1 20

n 0

c c c.z c z z z

n 1 2 3

∞+

=

= + + ++∑

11



dan

( 4-12b )

( 4-13 )

n-1 = koefisien terbesar 1, 2, 3 ..., n-1.n = jumlah tahapan (term).Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat dengan penurunan kedua deret yang memper-hitungkan titik pada R0.

Penurunan ke m fungsi f(m)(z) direpresentasi-kan oleh :

( 4-14 )

n - 2 n - 3 n - 4 n - 2n 2A = b + 2 ab + 3 a b +.....+ (n-1) a

(m) n mn

n mf (z) n( n-1 ) .....( n - m + 1 ) c z

∞−

=

= ∑

( ) n - 2n 0

n 2

z c n n-1 R∞

=

∆ ∑

12



4.2.3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKATMenyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koefisien yang tak diketahui setelah fungsi PD berubah bentuk menjadi deret pangkat.

Langkah-langkah peneyelesaian PD :

1. Representasikan fungsi persamaan dalam bentuk deret pangkat x atau (x-m).

2. Diferensialkan (tingkat pertama) fungsi y di atas, sehingga berbentuk :

3. Diferensilkan kembali (tingkat kedua dst) fungsi y tersebut.

4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koefi-sien yang tak diketahui setelah dalam bentuk deret pangkat. Selesaikan PD.

2 3 m0 1 2 3 m

m 0y c c x c x c x ...... c x

∞

=

= + + + + = ∑

2 m 11 2 3 m

m 0y' c 2c x 3c x ...... mc x

∞−

=

= + + + = ∑

m 22 3 m

m 0y'' 2c 6c x ...... m(m 1)c x

∞−

=

= + + = −∑

13



Contoh Soal dan Penyelesaian1. Carilah solusi dari PD berikut ini :

y’ – y = 0Jawab :Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat.(c1 + 2c2x + 3c3x2 + ...) – (c0+ c1x + c2x2 + c3x3 +.....) = 0

(c1-c0) + (2c2-c1) x + (3c3-c2) x2 + ..... = 0

Samakan koefisien-koefisien persamaan dengan nolc1 - c0 = 0 ; 2c2 - c1 = 0 ; 3c3 - c2 = 0

c1 = c0 ; c2 = c1/2 = c0/2! ; c3 = c2/3 = c0/3!

2 30 00 0

c zy c c x x x ..........2! 3!

= + + + +

2 3 z0 0

1 1y c (1 x x x .......... x e2! 3!

= + + + + =

14



2. Carilah solusi dari PD berikut ini

y” + y = 0

Jawab :Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat.

(2c2 + 3.2c3x + 4.3c4x2 + ...) + (c0+ c1x + c2x2

+ c3x3 +.....) = 0

(2c2 + c0)+(3.2c3 + c1)x +(4.3c4 + c2)x2 + ...= 0

2c2 + c0 = 0 ; 3.2c3 + c1 = 0 ; 4.3c4 + c2= 0

c2 = -( c0 /2! ) ; c3 = -(c1/3!)

c4 = -[c2/(4.3)] = -(c0 /4!)

2 3 40 010 1

c ccy c c x x x x .......2! 3! 4!

= + − − + +

15



Solusi Umum : y = cos x + sin x

3. Carilah solusi dari PD berikut ini

(x+1)y’ – (x+2)y = 0

Jawab :Penyelesaian dng pendekatan deret pangkat.

(x+1)(c1 + 2c2x + 3c3x2 +…..) -(x+2)(c0 + c1x + c2x2 + ….. ) = 0

c1 x + 2c2x2 + 3c3x3 + 4c4x4 + 5c5x5 +..+ mcmxm

+ c1+ 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3+ 5c5x4 + 6c5x5 +(m+1)cm+1xm + ….c0 x - c1x2 - c2x3 - c3x4 - c4x5 –... - cm-1xm - …2c0 -2c1x - 2c2x2 - 2c3x3 -2c4x4 -...-2cmxm -… = 0

2 3 40

3 51

1 1 1y c (1 x x x ... ....)2! 3! 4!

1 1 c (x- x + x -...+......)3! 5!

= − + + − + +

16



c1 - 2c0=0 ; 2c2 – c1 – c0=0 ………dst

mcm+ + (m+1)cm+1 – cm-1xm - 2cm = 0 ( 4-15 )

c1 = 2c0 ; ( 4-16a )

( 4-16b )

m = konstanta integer = 1,2……………

[ ]m 1 0 m 1 m1c c x c (2 m)c

m 1+ += + + −+

17



Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi.Dengan rumus ini dapat dihitung c2, c3, …dst., dapat pula menggunakan tabel di bawah ini :

m Cm-1 (2-m)CmJumlah S+1

Cm+1 sebagai fungsi C0

1 C0 C1C0+C1 2

C1= 2 C0

2 C1 0 C1 3

3 C2 -C3C2-C3 4

… …. ………… ………… …… ………… …………

S 1JumlahC

S 1+ =+

0 1C C2 2

+2 0

3C C2

=

1C3 3 0

2C C3

=

4 05C C

24=32 CC

4 4−

18



Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1dan tabel rekursi

atauy= c0 ( 1 + x ) ex

SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT)Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekatan deret pangkat 1. y’ = 3y 6. ( 1-x2 ) y’= y2. y’ + 2y = 0 7. y”- y = 03. y’ – 2xy = 0 8. y”- y’ = 04. y’ – xy = 0 9. y”+ 9y = 05. (1-x)y’=y 10. y”+ 2y’= 0

2 3 40

3 2 5y c (1 2x x x x ....)2 3 2

= + + + + +

19



4.3. DERET TAYLOR4.3.1 Konsep Dasar

Bila f(z) berada di dalam domain D dan z = a pada setiap titik di dalam lingkatran C, dan sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:

(4.3-1)

Z = sembarang titik di dalam lingkaran CZ* = variabel kompleksintegrasi

c

1 f (z*)f (z) d(z)2 i z* z

=π −∫

zz*

a C

x

y

•

20



Jika pada pers.(4.3-1) dikembangkan 1/(z*-z) sebagai fungsi z-a, maka didapatkan :

(4.3-2)

Selanjutnya diasumasikan z* pada lignkaran dan z di dalam lingkaran C.

Sehingga (4.3-3)

Dari persamaan deret geometris

; q ≠ 1

Sehingga dapat dibuat hubungan n 1

n1 q1 q ...... q1 q 1 q

+

= + + + +− −

n 12 n 1 q1 q q ..... q

1 q

+−+ + + + =

−

( )

1 1 1z az* z z* a (z a) z* a 1z* a

= =−− − − − ⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎝ ⎠

z a 1z * a

−<

−

21



Jika didefinisikan q =(z-a)/(z*-a), maka :

Substitusikan ke dalam pers.(4.3-1) dan keluarkan (z-a) dari tanda integral, sehingga :

(4.3-4)Bagian akhir dari funsi di atas adalah :

(4.3-5)

( )( )

( )

2C C

n

nn 1C

1 f (z*) z a f (z*)f (z) dz * dz * ....2 i z * a 2 i z * a

z a f (z*) dz * R (z)2 i z * a +

−= + +

π − π −

−+ +

π −

∫ ∫

∫

( ) ( )

n 1

n n 1C

(z a) f (z*)R (z) dz*2 i z a z* z

+

+−

=π − −

∫

[ ]

[ ]( )

2 n

n 1

11 (z a) /(z * a)

z a z a z a1 ..... z * a z * a z * a

(z a) /(z * a)

z * z /(z * a)

+

=− − −

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −− −

22



Dengan penurunan dan analitis, maka fungsi di atas berkembang menjadi :

( 4.3-6)

Persamaan (4.3-6) adalah rumus Taylor atau Deret Taylor dengan pusat a.

Bentuk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut :

( 4.3-7)

Bila a = 0, maka deret (pers. 4.3-7) disebut dengan Deret Maclaurin.

( )(m)

m

m 0

f (a)f(z) z am!

∞

=

= −∑

( )

( )

2

n(n)

z az af (z) f (a) f '(a) f ''(a) ........1! 2!

z a f (a)

n!

−−= + + +

−+

23



Dari persamaan-persamaan di atas diketahui bahwa pada Deret Taylor fungsi f(z) dapat di-turunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada tingkat tak hingga.

Teorema Taylor1. Bila f(z) terletak di dalam domain D dan

z=a adalah sembarang titik di dalam domain D tersebut, maka f(z) sebenarnya merupaka bentuk deret pangkat.

2. Setiap deret pangkat dengan radius konvergen tidak nol (Rc = 0), maka

deret pangkat tersebut adalah deret Taylor.

4.3.2. Fungsi-fungsi Elementer Deret Taylora. Deret Geometris

; |z|<1 (4.3-8)n 2

n 0

1 z 1 z z .......1 z

∞

=

= = + + +− ∑

24



b. Fungsi Eksponensial

(4.3-9)

c. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik

(4.3-10)

(4.3-11)

2n 2 4

n = 0

z z zcosh z = 1 + + + ......(2n)! 2! 4!

∞

= ∑

2n+1 3 5n

n = 0

z z zsin z (-1) = z - + - + ......(2n+1)! 3! 5!

∞

= ∑

n 2z

n=0

z ze 1 z .......n! 2!

∞

= = + + +∑

2n 2 4n

n 0

z z zcos z (1) 1 .......(2n)! 2! 4!

∞

=

= = − + − +∑

2n + 1 3 5

n=0

z z zsinh z = z + + + ......( 2n + 1 ) ! 3! 5!

∞

= ∑

25



d. Fungsi Logaritmik

(4.3-12)

(4.3-13)

(4.3-14)

Untuk seluruh persamaan di atas |z|< 1

2 3 nz z zln(1 z) z .... + 2 3 n

+ = − + − +

2 3 n1 z z zln(1 z) ln = z ......1 z 2 3 n

− − = + + + +−

3 5 n(1 z) z z zln 2 z ..... (1 z) 3 5 n

⎛ ⎞+= + + + +⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

26



Contoh Soal dan Penyelesaian

1. f(x) = ex , uraikan menurut deret Maclaurin pada titik x=0Jawab :

f(x) = ex f(0) = 1f’(x) = ex f’(0) = 1f’’(x) = ex f’’(0) = 1

2. f(x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = (π/4) !Jawab :f(x) = sin x f(π/4) = ½ √2f’(x) = cos x f’(π/4) = ½ √2f’’(x) = -sin x f’’(π/4) = -½ √2f’’’(x) = sin x f’’’(π/4) = -½ √2

x f '(0) f ''(0)e = f(0) + x + .....1! 2!

+

2 3x x xe = 1 + x + + + .............

2! 3!

27



sin x = f(x - π/4)

SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR )Uraikan dengan deret Taylor atu Maclaurin1. cos 2x , a = 1 7. ex , a=12. sin x2 , a = 0 8. ex , a=03. cos x , a = - π/4 9. 1/(a-x) , a=14. sin x , a = π/2 10. 1/(a-x) , a = ½5. cos2 x , a = 0 11. 1/z , a = - 16. sin2 x , a = 0 12. ex , a= π

2f '( ) f "( )

4 4sin x = f( ) + (x- ) + (x- ) +....4 1! 4 2! 4

π ππ π π

2

3 n

1 12 21 2 2sin x = 2 + (x - ) - (x - ) - 2 1! 4 2! 4

1 12 22 2 (x - ) + ............+ (x - )

3! 4 n! 4

π π

π π

28



4.4. DERET FOURIERBila terdefinisikan suatu fungsi (t) yang periodik dengan harga real pada sumbu x dan periode T serta kontinyu pada interval :

( 0,T )dan (-T/2, T/2)

Maka fungsi tersebut dapat dituliskan dengan :

(4.4-1)dengan :

(4.4-2)

(4.4-3)

(4.4-4)

n = 1, 2, 3, ............

T

n 00

2B f (t) sin n. t dtT

= ω∫

[ ]n o n on 1

Aof (t) A cos n. t B sin n. t2

∞

=

= + ω + ω∑

T

o0

2A f (t) dtT

= ∫

T

n 00

2A f (t) cos n. t dtT

= ω∫

29



Contoh :

Interval :

Periode T ditentukan ; T = 8T

00

2A f (t) dtT

= ∫

( -4 , 4 ) 8 ; 0 < t < 4f (t) =

( 0 , 8 ) -8 ; -4 < t < 0⎫ ⎧⎬ ⎨⎭ ⎩

4 0

0 4

2 = 8 dt 8 dtT −

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

[ ]4 00 4

2= ( ) .8 (t) t = 2 4 - ( 0+4 ) = 08 −⎡ ⎤−⎣ ⎦

8-4 4

8-8

0

30



[ ]n o n on 1

Aof (t) A cos n. t B sin n. t2

∞

=

= + ω + ω∑

[ ]

4 0

n0 4

2 2 2B 8sin n.t dt 8sin n.t dt8 8 8

16 1 cos n n

−

⎡ ⎤π π= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= − ππ

∫ ∫

4 0

n0 4

2 2 2A 8 cos n t dt 8 cos n t dt 08 8 8−

⎡ ⎤π π= − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

n 1

16f (t) (1 cos n. ) sin n tn. 4

16 2 3 2 5 2 sin t sin t sin t ....4 3 4 5 4

∞

=

π⎡ ⎤= − π⎢ ⎥π ⎣ ⎦π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥π ⎣ ⎦

∑

31



4.4.1. FUNGSI DENAP DAN FUNGSI GANJILA. Fungsi Genap

Fungsi genap f(t) dalam Deret Fourier merupakan fungsi cosinus, lihat pers. 4.4.-1

( 4.4-5 )

B. Fungsi GanjilFungsi ganjil f(t) dalam Deret Fourier merupakan fungsi sinus, lihat pers. 4.4.-1

( 4.4-6 )

4.4.2. DIFERENSIAL DAN INTEGRALA. Diferensial

Bila :

[ ]n o n on 1

Aof(t) A cosn. t B sinn. t2

∞

=

= + ω + ω∑

[ ]n o n on 1

df '(t) A cos n. t B sin n. tdt

∞

=

= ω + ω∑

T

n0

2Bn f (t) sin n. t dtT

= ω∫

T

n n0

2A f (t)cosn. t dtT

= ω∫

( 4.4-7 )

32



B. Integral

(4.4-8)

SOAL-SOAL LATIHANUraikan dengan deret Fourier :1. f(t) = 1 (-1<t<1), f(t) = 0 (1<t<3), T = 42. f(t) = 1 (-π/8 <t< π/8), f(t) = π/4 – 1

(-π/8 < t < 3π/8) , T = π/2.3.

4.

5. f(t) = |sin t| (-π < t < π)6. f(t) = e-|t| (-π < t < π)7. f(t) = |sin t| (-π < t < π)8. f(t) = t3 (-π < t < π)

( ) [ ]t t2 2

2 1n o n o

n 1t t1 1

Ao t tf (t) A cosn. t B sin n. t dt

2

∞

=

−= + ω + ω∑∫ ∫

0 - < t < 0 f(t) =

t 0 < x < π⎧

⎨ π⎩

t- 0 < t < 0 f(t) =

-t < t < 2 π⎧

⎨ π π⎩

MATLAN_06_DERET PANGKAT & TAYLOR + FOURIER

Documents

Transcript of MATLAN_06_DERET PANGKAT & TAYLOR + FOURIER