Kelompok 9:Benhard J.H (35139)

Akhmad Faizal Khabibi (35266)Kevin Gausultan H. M (35103)

Luthfi Rizal Listyandi (35285)Aginta Ramadhanu A. (35387)

Deret Taylor

• Deret Taylor adalah representasi 

fungsi matematika sebagai jumlahan tak

hingga dari suku-suku yang nilainya

dihitung dari turunan fungsi tersebut di

suatu titik.

• Deret Taylor menyediakan sarana untuk

menetukan nilai fungsi pada suatu titik dalam

bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik

yang lain. Sebelum memulai dengan penggunaan

deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi

diingatkan kembali dengan Teorema Taylor.

• Teorema Taylor akan disebut deret Taylor untuk n mendekati tak berhingga dengan yaitu :

• Dengan

• Sehingga diperoleh

• *Note: Deret Taylor dengan fungsi saat x0=a )(xf

Deret Maclaurin

• Pada dasarnya rumus untuk deret maclaurin sama

dengan deret taylor hanya saja Deret maclaurin

berpusat pada x0=0 sedangkan deret taylor x0=a .

Jadi diawal kita perkirakan x=0 untuk menentukan

deret maclaurin.

• Misal f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x0 = a dan a = 0 . Maka

f(x) dapat diperderetkan menjadi menjadi deret kuasa dalam bentuk

dibawah ini yaitu:

• dengan

• Sehingga diperoleh Deret Maclaurin:

• Note: Deret Taylor dengan fungsi saat x=0 disebut Deret Maclaurin

)(xf

Menentukan Nilai Pendekatan dengan Metode Taylor

• menentukan nilai pendekatan suatu fungsi

dengan menggunakan deret Taylor, yaitu

dengan memperhatikan satu suku pertama

yang disebut dengan pendekatan orde nol,

memperhatikan dua suku pertama disebut

dengan pendekatan orde pertama dan

seterusnya.

• Aproksimasi orde ke nol

)()( 1 ii xfxf

• Aproksimasi orde ke satu

!1)()()( 1

xxfxfxf iii

• Aproksimasi orde ke dua

!2)(

!1)()()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

Deret Taylor Terpotong

• Karena suku-suku pada deret Taylor tidak berhingga jumlahnya, maka

untuk alasan kepraktisan, deret Taylor dipotong sampai suku orde

tertentu. (Dr. M. Sarosa, Dipl. Ing. MT)

• Deret Taylor terpotong adalah deret Taylor yang dipotong sampai

suku orde ke-n.

dengan

disebut galat atau sisa (residu)

)()()(

!

)0(...)(!2

)0( 2

)(!1

)0()()( 0000 xRnxf n

nxx n

xf iixx

xf ixx

xfxf

xcdengancn xfxx

Rn

n

n

)(

0

)1(0

1

),()!1(

Deret Taylor Terpotong (lanjutan 1)

• Deret Taylor yang terpotong dapat dituliskan :

dengan

n

n

n

n

n xfxxP n

x1

0

)(0 )(

!)(

)(

)()()( xRxPxf nn

xcdengancn xfxx

Rn

n

n

)(

0

)1(0

1

),()!1(

*Contoh Soal 11. The Taylor series for sin x at x=0. Show that the Taylor series for sin x at x=0

converges for all x.

Since →0 as k→∞, whatever the value

of x, →0, and the Maclaurin series for sin x

converges to sin for every x. Thus,

)()!12(

0 )12(

12

12

)(c

kfxx

Rk

k

k

R xk )(12

Hukum Mean

• Jika f dan turunannya adalah kontinu pada [a,b] dan terdapat

(x), maka sedikitnya terdapat c pada (a,b).

Sehingga….

• Bila b diganti dengan x

Fungsi Rn(x) ditentukan oleh nilai dari turunan

pada titik c diantara a dan x untuk nilai n

yang diinginkan.

• Ingat Kembali!!!

• Ini disebut rumus taylor dengan sisa

• Rn(x) disebut suku sisa dari deret n (error) untuk f mendekati fungsi f(x)

oleh P(n) melebihi interval I. Jika Rn(x) →0 dan n→∞ untuk semua

kita katakan Deret Taylor dari fugsi f(x) saat x=a konvergen ke f(x) pada

interval I. Sehingga…

*Contoh Soal

1. Carilah deret Taylor dan Taylor

polinomialnya dari

saat

xxf cos)(

0x

Jawab

• Deret Taylornya:

• Taylor Polinomialnya:

Contoh Grafiknnya

• Grafik xxf cos)(

*Contoh Soal

Hitunglah nilai pendekatan cos(0,2) dengan deret

Maclaurin sampai orde n=6

cos(0,2)=1-0,22/2+0,24/24-0,26/720=0,9800667

*Contoh Soal

1. Cari deret Taylor dari f(x) = sin x untuk x= 0 !

Jawabxxf sin)(

• Deret Taylornya:

• Taylor Polinomialnya:

*Contoh Soal

• Cari deret Taylor dari saat X=0

Jawab

• Deret Taylornya:

• Taylor Polinomialnya:

Grafik saat x=0 dengan hampiran Taylor