Deret Taylor Diferensial Numerik

16
Deret Taylor & Diferensial Numerik Matematika Industri II

Transcript of Deret Taylor Diferensial Numerik

Deret Taylor & Diferensial Numerik

Matematika Industri II

Maclaurin (Power) Series

• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga

• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!

!)0(

!2)0(

)0()0()(

)(2

n

xf

xf

xffxf

nn

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.

Bentuk umum deret Taylor:

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .

n

n

in

iiiii Rn

xxf

xxf

xxf

xxfxfxf

!)(.....

!3)('''

!2)(''

!1)(')()(

32

1

f(x)

Order 2

Order 1

xi xi+1

f(xi ) : fungsi di titik xi

f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1

f ’, f ’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi

∆x : jarak antara xi dan xi+1

Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar

jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus

diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu) 3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

)()( 1 ii xfxf

Perkiraan order nol

!1)(')()( 1

xxfxfxf iii

Perkiraan order satu

!2)(''

!1)(')()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

Perkiraan order dua

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

Contoh

Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0.

Solusi:

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxf i

5,1

105,8

)5,0)(20)0(24)0(6(5,8

!1

05,0)0(')0(

!1)(')()5,0()(

2

1

ff

xxfxffxf iii

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

DERET TAYLOR (Kesalahan Pemotongan)

Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Sehingga terdapat kesalahan (error) yang disebut dengan kesalahan pemotongan (truncation error, Rn), yang ditulis:

.....!)2(

)(!)1(

)()(2

21

11

n

xxf

n

xxfxOR

n

in

n

inn

n

O(∆xn+1) berarti kesalahan pemotongan mempunyai order ∆xn+1 atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n+1.

Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:

1.Interval ∆x adalah kecil.

2.Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret.

Untuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat dituliskan dalam bentuk:

)(!1

)(')()( 21 xO

xxfxfxf iii

)()()(

)(' 1 xOx

xfxfxf

x

f iii

Turunan pertama dari f terhadap

titik xi didekati oleh kemiringan

garis yang melalui titik B(xi,f(xi))

dan titik C(xi+1,f(xi+1)).

Bentuk diferensial di atas disebut

diferensial maju order satu.

A B

C

i-1 i i+1

maju

terpusat

mundur

x

y

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

Jika data yang digunakan adalah titik xi dan xi-1 maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi:

Atau

.....!3

)('''!2

)(''!1

)(')()(32

1

xxf

xxf

xxfxfxf iiiii

)(!1

)(')()( 21 xO

xxfxfxf iii

)()()(

)(' 1 xOx

xfxfxf

x

f iii

A B

C

i-1 i i+1

maju

terpusat

mundur

x

y

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

A B

C

i-1 i i+1

maju

terpusat

mundur

x

y

Jika data yang digunakan adalah titik xi-1 dan xi+1 maka disebut diferensial terpusat. Apabila pers. deretTaylor dikurangi pers. Deret Taylor (untuk diferensial mundur) didapat :

atau

atau

.....!3

)('''2!1

)('2)()(3

11

xxf

xxfxfxf iiii

6)('''

2

)()()('

2

11 xxf

x

xfxfxf

x

fi

iii

)(' ixf

)(2

)()()(' 211 xO

x

xfxfxf

x

f iii

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

A B

C

i-1 i i+1

maju

terpusat

mundur

x

y

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Kedua)

Apabila pers. deretTaylor (diferensial maju) ditambah pers. Deret Taylor (diferensial mundur) didapat turunan kedua:

atau

atau

.....!4

4)(''''2

!2)(''2)(2)()(

2

11

xxf

xxfxfxfxf iiiii

12)(''''

)()(2)()(''

2

2

11

2

2 xxf

x

xfxfxfxf

x

fi

iiii

)()()(2)(

)('' 2

2

11

2

2

xOx

xfxfxfxf

x

f iiii

Contoh

• Misal 𝑓 𝑥 = 0,25𝑥3 + 0,5𝑥2 + 0,25𝑥 + 0,5 – Penyelesaian eksak

• f(0) = 0.5

• f(1) = 1.5

• Orde berapa penyelesaian numerik mendekati/sama dengan penyelesaian analitik/eksak?

• Berapa perkiraan fungsi tersebut pada orde 0, 1, 2 dan 3 pada titik xi+1=1 dan memiliki jarak=1 dari titik xi = 0.

• Untuk order 0 : – f(xi+1) = f(xi) – f(0 +1) = f(0) – f(1) = 0.5

• „Kesalahanpemotongan: – Rn= 1.5 –0.5 = 1

• „Untuk order 1 :

– f(xi+1) = f(xi) + f’(xi) ∆𝑥

1!

– f(0+1) = 0.5 +(0,75𝑥2 + 𝑥 + 0,25 ) 1 = 0.5 + (0.75 (0) + 0 +0.25) = 0.75

• Kesalahanpemotongan – Rn= 1.5 –0.75 = 0.75

• Untuk orde 2 : – „f(xi+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2) = 1.25

• „Kesalahan pemotongan – Rn= 1.5 –1.25 = 0.25

• Untuk orde 3 : – f(xi+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1.5

• Kesalahan pemotongan: – Rn= 1.5 –1.5= 0 (terbukti)

Soal

• Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8,5

Dengan deret Taylor orde 0, 1, 2 dan 3; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥𝑖+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi=0

• Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8,5

Dengan deret Taylor orde 0, 1, 2 dan 3; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥𝑖+1 = 0,25 berdasar nilai fungsi pada titik xi=0

Soal Diferensiasi Numerik

1. Diketahui 𝑓 𝑥 = 0,25𝑥3 + 0,5𝑥2 + 0,25𝑥 +0,5. Perkirakan turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut di titik 𝑥𝑖 = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆𝑥 = 0,5!

2. Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8,5. Perkirakan turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut di titik 𝑥𝑖 = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆𝑥 = 0,5 dan ∆𝑥 = 0,25!