Matematika Teknik Dasar-2 Aplikasi Integral -...
Transcript of Matematika Teknik Dasar-2 Aplikasi Integral -...
Matematika Teknik Dasar-211 โ Aplikasi Integral - 2Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan โ Universitas Brawijaya
Momen Inersia
Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik
Dengan persamaan sebagai berikut ๐ธ๐พ =1
2๐๐ฃ2
Dalam bidang teknik banyak terapan benda yang berotasi: roda, bubungan(cam), poros, poros dynamo (armature), dsb.
Pergerakan dinyatakan dalam putaran per detik
Momen Inersia
Diperhatikan sebuah partikel P dengan massa m yang
berputar mengelilingi sumbu-x dengan kecepatan sudut
konstan radian per detik.
Berarti bahwa sudut di pusat lingkaran bertambah dengan kecepatan radian per detik.
Maka disimpulkan kecepatan linear P, v cm/s, bergantung pada dua kuantitas
a. Kecepatan sudut ( rad/s)
b. Seberapa jauh P dari pusat
Momen Inersia
Untuk mendapatkan sudut 1 radian dalam satu detik.
P harus bergerak pada lingkaran dengan jarak yang
sama dengan panjan 1 jari-jari, sebesar r (cm)
Jika bertambah dengan kecepatan 1 rad/s, P bergerak dengan kecepatan r cm/s
Jika bertambah dengan kecepatan 2 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 2r cm/s
Jika bertambah dengan kecepatan 3 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 3r cm/s
Momen Inersia
Maka dari maksud slide sebelumnya bisa disimpulkan bahwa kecepatan sudut P adalah rad/s, maka kecepatan linear, dari P adalah
= r
Dari sebelumnya didapatkan ๐ธ๐พ =1
2๐๐ฃ2
๐ธ๐พ =1
2๐ ๐๐ 2
๐ธ๐พ =1
2๐2. ๐๐2
Momen Inersia
Ada sebuah sistem yang tersusun dari partikel-partikel yang berotasi terhadap sumbu XX dengan kecepatan sudut sama sebesar rad/s, maka tiap partikel menyumbangkan energinya:
๐ธ๐พ1 =1
2๐2. ๐1๐1
2
๐ธ๐พ2 =1
2๐2. ๐2๐2
2
๐ธ๐พ3 =1
2๐2. ๐3๐3
2
๐ธ๐พ4 =1
2๐2. ๐4๐4
2
Momen Inersia
EK = EK1 + EK2 + EK3 + EK4 + ...
EK = 1
2๐2. ๐1๐1
2 + 1
2๐2. ๐2๐2
2 + 1
2๐2. ๐3๐3
2 + 1
2๐2. ๐4๐4
2 + ...
EK = ฯ1
2๐2. ๐๐2 (jumlah seluruh partikel)
EK =1
2๐2 ฯ.๐๐2 (karena adalah konstanta)
Momen Inersia
EK =1
2๐2 ฯ.๐๐2
Dapat disimpulkan dua faktor berbeda:
a.1
2๐2 dapat diubah-ubah dengan mempercepat atau memperlambat
laju rotasi
b. ฯ.๐๐2 adalah difat benda yang berotasi. Ini adalah sifat fisik dari benda dan disebut momen kedua dari massa, atau momen inersia (dinyatakan dengan simbol I)๐ผ = ฯ๐๐2 (untuk seluruh partikel)
Momen Inersia
๐ผ = ฯ๐๐2 (untuk seluruh partikel)
I = 2.32 + 1.12 + 3.22 + 4.22
I = 18 + 1 + 12 + 16 = 47 kg.m2
Jari-Jari Girasi
Jika dimisalkan massa total M berjarak k dari sumbu
Maka EK dari M akan sama dengan ฯ๐ธ๐พ
1
2๐2. ๐๐2=
1
2๐2 ฯ.๐๐2
๐๐2= ฯ๐๐2
k disebut sebagai jari-jari girasi sebuah benda terhadap sumbu rotasi tertentu.
Jadi I = ฯ๐๐2; Mk2 = I, dengan M = ฯ๐
Contoh -1
Cari momen inersia (I) dan jari-jari girasi (k) dari sebuah batang tipis homogen terhadap sebuah sumbu yang melalui salah satu ujung yang tegak lurus terhadap panjang batang tersebut.
Misal = massa per satuan panjang batang
massa dari elemen PQ = .x
Momen kedua dari massa PQ terhadap XX = massa x (jarak)2
= .x.x2 = x2.x
Momen kedua total untuk semua elemen ditulis ๐ผ โ ฯ๐ฅ=0๐ ๐๐ฅ2. ๐ฟ๐ฅ
Contoh -1
Tanda aproksimasi () dipakai karena x adalah jarak sampai ke sisi kiri dari elemen PQ
Jika x 0, maka menjadi:
๐ผ = เถฑ0
๐
๐๐ฅ2. ๐๐ฅ = ๐๐ฅ3
30
๐
=๐๐3
3
Digunakan Mk2=I digunakan untuk mencari k. Awal mula ditentukan massa total M.
๐ = ๐๐
Contoh -1
๐ผ =๐๐3
3๐ = ๐๐
Mk2 = I โด ๐๐. ๐2 =๐๐3
3
k2 = ๐2
3โด ๐ =
๐
3
I = ๐๐3
3
Contoh -2
Carilah I untuk sebuah pelat empat-persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisi.
Misal = massa per satuan luas dari pelat
Massa dari potongan PQ = b.x.
Momen kedua massa dari massa potongan terhadap XX
bx. (massa x jarak2)
Momen kedua total untuk seluruh potongan
๐ผ = ฯ๐ฅ=๐/2๐ฅ=๐/2
๐๐๐ฅ2. ๐ฟ๐ฅ
Contoh -2
Jika x 0
๐ผ = เถฑโ๐/2
โ๐/2
๐๐๐ฅ2. ๐ฟ๐ฅ = ๐๐๐ฅ3
3โ๐/2
๐/2
๐ผ = ๐๐๐3
24โ โ
๐3
24=๐๐๐3
12
Massa total M=bd, I=๐๐2
12
๐ผ =๐๐๐3
12=
๐๐2
12dan ๐ =
๐
12=
๐
2 3
Contoh - 3
Carilah I untuk sebuah pelat emapt-persegi-panjang, 20cm x 10cm, dengan massa 2kg. Terhadap sumbu yang berjarak 5cm dari sisi yang panjangnya 20cm.
Jawaban:
Diambil sebuah potongan sejajar dengan sumbu.
Diperhatikan pada contoh ini:
๐ =2
10.20=
2
200= 0,01
Maka = 0,01 kg/cm2
Contoh - 3
= 0,01 kg/cm2
Luas potongan = 20.x
Massa potongan = 20.x.
Momen kedua dari massa potongan terhadap XX 20.x..x2
Momen kedua total dari masssa= ๐ผ๐ฅ=5๐ฅ=15
20๐๐ฅ2. ๐๐ฅ
Jika x 0, ๐ผ = 51520๐๐ฅ2. ๐๐ฅ = 20๐
๐ฅ3
3 5
15
=20๐
33375 โ 125 = 217 kg.cm2
Contoh - 3
Nilai k
Mk2=I dan M=2kg
2k2 = 217 k2=108,5
k = 108,5 = 10,4 cm
Kesimpulan
Tahapan mencari nilai I
โช Ambil sebuah potongan yang sejajar sumbu rotasi pada jarak x dari sumbu tersebut
โช Bentuklah sebuah pernyataan untuk momen kedua dari massa terhadap sumbu
โช Jumlahkan seluruh potongan
โชUbah menjadi bentuk integral dan dihitung
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
โช Jika I terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massa sebuah benda diketahui, maka dengan mudah menuliskan nilai I terhadap sumbu lain yang sejajar dan diketahui jaraknya dari sumbu yang pertama.
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
Misalkan G adalah pusat massa
Misalkan m = massa potongan PQ
๐ผ๐บ =๐๐ฅ2
๐ผ๐ด๐ต =๐ ๐ฅ + 1 2
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
โด ๐ผ๐ด๐ต =๐ ๐ฅ2 + 3๐๐ฅ + ๐2
๐ผ๐ด๐ต =๐๐ฅ2 +2๐๐ฅ๐ +๐๐2
๐ผ๐ด๐ต =๐๐ฅ2 + 2๐๐๐ฅ + ๐2๐
ฯ๐๐ฅ2 = ๐ผ๐บ ; ฯ๐ = ๐
IAB = IG + Ml2
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
โด ๐ผ๐ด๐ต =๐ ๐ฅ2 + 3๐๐ฅ + ๐2
๐ผ๐ด๐ต =๐๐ฅ2 +2๐๐ฅ๐ +๐๐2
๐ผ๐ด๐ต =๐๐ฅ2 + 2๐๐๐ฅ + ๐2๐
ฯ๐๐ฅ2 = ๐ผ๐บ ; ฯ๐ = ๐
IAB = IG + Ml2
Contoh - 4
Dicari I untuk terhadap sumbu AB untuk pelat empat-persegi-panjang di bawah ini:
Contoh - 4
Jawaban:
๐ผ๐บ =๐๐2
12=3.16
12= 4 ๐๐. ๐๐2
๐ผ๐ด๐ต = ๐ผ๐บ +๐๐2
๐ผ๐ด๐ต = 4 + 3.25๐ผ๐ด๐ต = 4 + 75 = 79 ๐๐. ๐๐2
Contoh - 5
Sebuah pintu terbuat dari logam, 40cm x 60cm, mempunyai massa 8kg dan diberi engsel pada salah satu sisi dengan panjang 60cm.
Hitunglah:
a. I terhadap XX, yaitu sumbu yang melalui pusat massa
b. I terhadap garis yang melalui engsel, AB
c. K terhadap AB
Contoh - 5
Jawaban:
Soal a
๐ผ๐บ =๐๐2
12=
8.40
12=
3200
12=1067 kg cm2
Soal b
๐ผ๐ด๐ต = ๐ผ๐บ +๐๐2= 1067 + 8.202 = 1067 + 3200 = 4267 kg cm2
Soal c
Mk2 = IAB ; 8k2=4267 ; k2 = 533,4 ; k=23,1 cm
Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)
Misalkan m adalah suatu massa kecil di P
Maka IX ฯ๐ฟ๐. ๐ฆ2
dan Iy ฯ๐ฟ๐. ๐ฅ2
Misalkan ZZ adalah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu XX dan YY
Iz = ฯ๐ฟ๐. ๐๐ 2
Iz = ฯ๐ฟ๐. ๐ฅ2 + ๐ฆ2 2
Iz = ฯ๐ฟ๐. ๐ฆ2 + ฯ๐ฟ๐. ๐ฅ2
Iz = Ix + Iy
Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)
Dicari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu
Ditetapkan bahwa ๐ผ๐ง =๐๐4๐
2=
๐.๐2
2
Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang
saling tegak lurus
Diketahui bahwa Ix + Iy = Iz = ๐.๐2
2
Dengan seluruh diameter identik
IX = IY 2IX = ๐.๐2
2IX =
๐.๐2
4
Contoh - 6
Carilah I untuk sebuah cakram lingkaran berdiameter 40cm dan massa 12 kg
a. Terhadap sumbu normal (z)
b. Terhadap diameter sebagai sumbu
c. Terhadap garis singgung sebagai sumbu
Contoh - 6
a. ๐ผ๐ง =๐.๐2
2=
12.202
2= 2400 kg cm2
b. ๐ผ๐ =๐.๐2
4=
12.202
4= 1200 kg cm2
c. IX = 1200 kg cm2
Dengan teorema sumbu sejjar
IT = IX + Ml2
IT = 1200 + 12.202
IT = 6000 kg cm2
Kesimpulan - 1
1. ๐ผ = ฯ๐๐2; Mk2=I
2. Pelat empat-persegi-panjang ( = massa/ satuan luas)
๐ผ๐บ =๐๐3๐
12=
๐๐2
12
Kesimpulan - 1
3. Cakram lingkaran
๐ผ๐ง =๐๐4๐
2=
๐.๐2
2
๐ผ๐ฅ =๐๐4๐
4=
๐.๐2
4
Kesimpulan - 1
4. Teorema sumbu-sumbu sejajar
๐ผ๐ด๐ต = ๐ผ๐บ +๐๐2
Kesimpulan - 1
5. Teorema sumbu-sumbu tegak-lurus
๐ผ๐ = ๐ผ๐ + ๐ผ๐
Contoh - 7
Carilah I untuk batang berongga terhadap sumbu utamanya jika massa jenis benda adalah 0,008 kg.cm-3
Diperhatikan potongan dari batang, dengan jarak x dari sumbu
Massa kulit 2๐๐ฅ. ๐ฟ๐ฅ. 40๐ (kg)
Momen kedua terhadap XX โ 2๐๐ฅ. ๐ฟ๐ฅ. 40๐. ๐ฅ2
โ 80๐๐๐ฅ3. ๐ฟ๐ฅ
Contoh - 7
Momen kedua total = ฯ๐ฅ=4๐ฅ=8 80๐๐๐ฅ3. ๐ฟ๐ฅ
Jika x 0, ๐ผ = 80๐๐ 48๐ฅ3 ๐๐ฅ = 80๐๐
๐ฅ4
4 4
8
๐ผ =80๐๐
4642 โ 162
I = 20.48.80 = 20.48.80.0,008
I = 614,4 = 1930 kg.cm2
Pusat Tekanan
Tekanan pada sebuah titik P dengan kedalaman z di bawah permukaan suatu cairan
Sebuah cairan yang sempurna, tekanan di P, atau
gaya dorong pada luas satuan P disebabkan
berat dari kolom cairan yang terletak setinggi z
di atasnya
Tekanan P adalah p=wz, dengan w=berat dari volume satuan cairan.
Dan tekanan P sama besar ke segala arah
Pusat Tekanan
dalam pembahasan ini tekanan atmosfer yang
bekerja pada permukaan cairan diabaikan.
Maka, tekanan pada sembarang titik dalam cairan
sebanding dengan kedalaman titik di bawah
permukaan.
Pusat Tekanan
Gaya dorong total pada sebuah pelat vertikal yang dicelupkan ke dalam cairan
Diperhatikan sebuah potongan tipis pada kedalaman z di bawah permukaan cairan
Tekanan pada P=wz
Gaya dorong pada potongan
PQ wz (luas potongan)
PQ w.z.a.x
Pusat Tekanan
Total gaya dorong di seluruh pelat
โ
๐ง=๐1
๐ง=๐2
๐๐ค๐ง๐ฟ๐ง
Jika z 0, gaya dorong total = ๐1๐2 ๐๐ค๐ง๐๐ง = ๐๐ค
๐ง2
2 ๐1
๐2=
๐๐ค
2๐22 โ ๐1
2
Gaya dorong total = ๐๐ค
2๐2 โ ๐1 ๐2 + ๐1
= ๐ค๐ ๐2 โ ๐1๐2+๐1
2
Pusat Tekanan
Gaya dorong total = ๐ค๐ ๐2 โ ๐1๐2+๐1
2
๐2+๐1
2dinyatakan sebagai าง๐ง
Gaya dorong total = ๐ค๐ ๐2 โ ๐1 าง๐ง = ๐ ๐2 โ ๐1 ๐ค าง๐ง
๐ ๐2 โ ๐1 adalah luas total pelat, maka
Gaya dorong total = luas pelat x tekanan di pusat massa pelat
Contoh - 8
Jika w adalah berat per volume satuan dari cairan, hitunglah gaya dorong total pada pelat a dan b berikut ini:
Contoh - 8
Pelat a
Luas = 6 x 8 = 48cm2
Tekanan di G = 7w
Gaya dorong total = 48.7w = 336 w
Contoh - 8
Pelat b
Luas = (10 x 6)/2 = 30 cm2
Tekanan di G = 6w
Gaya dorong total = 30.6w = 180 w
Pusat Tekanan
Jika pelat membentuk sudut terhadap bidang horizontal, maka:
Kedalaman dari G = ๐1 +๐
2sin 300 = ๐1 +
๐
4
Pusat Tekanan
Tekanan di G = ๐1 +๐
4๐ค
Luas total = ab
Gaya Dorong Total = ab ๐1 +๐
4๐ค
Bisa disimpulkan
Gaya dorong total = luas permukaan x tekanan pada pusat massa
Kedalaman Pusat Tekanan
Tekanan pada sebuah pelat yang dicelupkan
bertambah terhadap kedalaman
Resultan gaya-gaya yang bekerja adalah sebuah gaya dengan magnitudo yang sama dengan gaya dorong total T, dan bekerja pada sebuah titik Z
yang disebut pusat tekanan pelat.
Misalkan าง๐ง adalah kedalaman dari pusat tekanan
Kedalaman Pusat Tekanan
Untuk mencari าง๐ง diambil momen-momen gaya terhadap sumbu dimana bidang pelat memoton permukaan cairan. Dilihat sebuah pelat empat-persegi-panjang.
Kedalaman Pusat Tekanan
Luas potongan PQ = a.z
Tekanan permukaan PQ = zw
Gaya dorong potongan PQ = a.z.z.w
Momen gaya dorong terhadap sumbu pada permukaan adalah
=awz.z.z = awz2.z
Jumlah momen gaya pada seluruh potongan = ฯ๐1
๐2 ๐๐ค๐ง2๐ฟ๐ง
Jika z 0, jumlah momen = ๐1๐2 ๐๐ค๐ง2๐๐ง
Kedalaman Pusat Tekanan
Gaya dorong total x าง๐ง = jumlah momen dari seluruh gaya dorong
เถฑ๐1
๐2
๐๐ค๐ง ๐๐ง ๐ฅ าง๐ง = เถฑ๐1
๐2
๐๐ค๐ง2๐๐ง
Gaya dorong total x าง๐ง = w๐1๐2 ๐๐ง2๐๐ง = wI
าง๐ง = ๐ค๐ผ
๐๐๐ฆ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐ก๐๐=
๐ค๐ด๐2
๐ด๐ค าง๐ง
ำ๐ง =๐2
าง๐ง
Contoh โ 9
Pada sebuah dinding penahan tanah yang memiliki bentuk persegi-panjang vertikal, 40m x 20m, dengan sisi atas dinding sama dengan tinggi permukaan air. Carilah kedalaman dari pusat tekanan
Dalam soal ini าง๐ง = 10m
Mencari k2 terhadap AB
Contoh โ 9
Mencari k2 terhadap AB
๐ผ๐ถ =๐ด๐2
12=
40.20.400
12=
80000
3m4
๐ผ๐ด๐ต = ๐ผ๐ถ + ๐ด๐3 =80000
3+ 800.100 =
4
3. 80000
Ak2= I โด ๐2 =4
3
80000
800=
400
3
ำ๐ง =๐2
าง๐ง=
40
3= 13,33๐
Contoh โ 10
Outlet dari sebuah tangki ditutup dengan penutup bundar yang tergantung secara vertikal. Diameter penutup = 1m dan bagian atas penutup berada 2,5m di bawah permukaan cairan. Carilah kedalaman pusat tekanan dari penutup.
a. Kedalaman sentroid = าง๐ง = 3m
b. Mendapatkan k2 terhadap AB
Contoh โ 10
๐ผ๐ถ =๐ด๐2
4=
๐1
2
2.1
2
2
4=
๐
64
๐ผ๐ด๐ต =๐
64+ ๐ด. 32
๐ผ๐ด๐ต =๐
64+ ๐
1
2
2. 9
๐ผ๐ด๐ต =๐
64+
9๐
4=
145๐
4
Untuk tinjauan AB; k2=๐ผ๐ด๐ต
๐ด=
145๐
4.4
๐=
145
6
ำ๐ง =๐2
าง๐ง=
145
6.1
3=
145
18= 3,02m