Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

7.2.1 FUNGSI PRODUKSI

Fungsi produksi umum menghasilkan fungsi tenaga kerja (L) dan fungsi modal (K), yaitu

Q = f(L, K)

Fungsi produksi yang biasa dipakai pada analisis ekonomi adalah fungsi produksi Cobb-

Douglas yang ditulis sebagai

Q = A

Dimana A konstan dan 0 < < 1, 0 < < 1, L > 0, K > 0. Sebagai contoh, fungsi produksi

Cobb-Douglas secara spesifik bisa ditulis

Q = 50L0.4

K0.6

Tabel 7.4 Tabel fungsi marginal untuk Q = Q = A : 0 < < 1, 0 < < 1

Nama Turunan Parsial Tafsiran

Produk Marginal dari

Tenaga Kerja

QL =

MPL =

= A

MPL > 0

Dengan modal yang konstan,

Q meningkat sebagai input

tenaga kerja. L, meningkat

QLL =

=

= ( – 1)

= ( – 1)

Karena QLL < 0 maka kurva

cekung ke asal

QLL < 0

Dengan modal yang konstan,

Q meningkat, tetapi

meningkat pada nilai yang

menurun; oleh karena itu

MPL menurun (nilai berubah

menjadi negatif) sebagai

input tenaga kerja, L,

menurun

Produk Marginal dari

Modal

QK =

MPK =

= A

Hokum Pengembalian

Tenaga Kerja yang

Semakin Berkurang

MPK > 0

Dengan tenaga kerja yang

konstan, Q meningkat

sebagai input modal. K,

meningkat

QKK =

=

= A ( -1)

QKK < 0

Dengan tenaga kerja yang

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

= ( -1)

Karena QKK < 0 maka kurva

cekung ke asal

konstan, Q meningkat, tetapi

meningkat pada nilai yang

menurun; oleh karena itu

MPK menurun (nilai berubah

menjadi negatif) sebagai

input modal, K, menurun

Fungsi marginal secara umum

Derivatif parsial untuk fungsi produksi Cobb-Douglas dirangkum dalam Tabel 7.4.

Derivatif pertama adalah fungsi marginal, disebut sebagai produk marginal. Derivatif kedua

(laju perubahan derivatif pertama) menunjukkan apakah marjinal produk (MPL, MPK)

meningkat atau menurun.

Dalam bab 6.5, hukum pengembalian yang berkurang untuk tenaga kerja telah

diuraikan. Hukum berkurangnya pengembalian modal mencerminkan perubahan output yang

dihasilkan dari perubahan modal untuk menjaga tenaga kerja konstan.

Fungsi produksi Cobb-Douglas menunjukkan pengembalian yang berkurang untuk

setiap faktor. Ini dibuktikan oleh turunan negatif kedua:

Hukum pengembalian tenaga kerja yang menurun: QLL < 0

Hukum pengembalian modal yang menurun: QKK < 0

Ingat: Derivatif kedua negatif juga menunjukkan bahwa kurva adalah cekung ke asal

Contoh Soal

Tentukan derivative pertama dan kedua untuk fungsi produksi, Q = 10L0.5

K0.5

. Gunakan

turunan parsial kedua untuk menentukan fungsi marginal (produk marginal) menaik atau

menurun.

Solusi

Derivative kedua untuk fungsi produksi dihitung dengan membedakan kembali

derivative pertama, solusinya,

QKK

Q = 10L0.5

K0.5

QK = 5L0.5

K-0.5

QKK = 5(-0.5)L0.5

K-0.5-1

= -2.5L0.5

K-1.5

Negatif : MPK (atau QK)

menurun dengan menaiknya

input K. Hukum

pengurangan kembali ke

modal (hukum jangka pendek

untuk produksi)

QLL

Q = 10L0.5

K0.5

QL = 5L-0.5

K0.5

QLL = 5(-0.5)L0.5-1

K-0.5

= -2.5L-1.5

K0.5

Negatif : MPL (atau QL)

menurun dengan menaiknya

input L. Hukum pengurangan

kembali ke tenaga kerja

(hukum jangka pendek untuk

produksi)

QLK

Q = 10L0.5

K0.5

QK = 5L0.5

K-0.5

QLK = 5(0.5)L0.5-1

K-0.5

= -2.5L-0.5

K-0.5

Positif : MPK menurun

dengan menaiknya input L.

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

Catatan : MPK bernilai positif Catatan : MPL bernilai positif

Hubungan antara marginal dan fungsi rata-rata

Pada bagian 6, APL (produk rata-rata tenaga kerja) didefinisikan sebagai jumlah

keluaran dibagi jumlah pekerja. Demikian pula, APK (produk rata-rata modal) didefinisikan

sebagai jumlah keluaran dibagi jumlah modal. Hubungan antara APL dan MPL dan antara

APK dan MPK diringkas dalam tabel 7.5 dibawah untuk fungsi produksi Cobb-Douglas, Q =

A K3

Tabel 7.5 Rata-rata dan fungsi marginal untuk fungsi produksi, Q = A

Fungsi Rata-Rata Fungsi Marginal Komentar

Tenaga kerja Q = A Q = A

MPL =

=

MPL < APL

Karena

APL =

=

= A

MPL =

= A

Modal APK =

=

= A

MPK =

= A

MPK = =

MPK <

APK

Karena

Kondisi Produksi

Biasanya, seorang produsen akan menginginkan produktivitas yang meningkat

seiring dengan jumlah setiap input yang meningkat, ditunjukkan oleh fungsi marginal positif.

Namun, tingkat kenaikan biasanya melambat ketika jumlah input menjadi semakin besar,

ditunjukkan oleh derivative negatif kedua. Prakteknya, suatu perusahaan menghasilkan

output pada rentang produksi tertentu berfungsi sebagaimana diuraikan oleh kondisi produksi

berikut.

Kondisi saat menggunakan tenaga kerja

MPL =

bernilai positif

=

< 0

MPL < APL

Kondisi saat menggunakan modal

MPK =

bernilai positif

=

< 0

MPK < APK

Gambar grafik untuk fungsi produksi : isoquants

Sebuah fungsi produksi Q = f(L , K) digambar dalam grafik dua dimensi yang

dikenal dengan istilah isoquant, K = f(L). Untuk membuat plot isoquant dalam grafik dua

dimensi, kuantitas sudah pasti berada pada nilai konstan, dan kemuadian K diekspresikan

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

dalam bentuk L. Sebuah isoquant memberikan kombinasi antara L dan K untuk Q (produksi)

yang mempunyai nilai tetap yang sama.

Gradien isoquant (MRTS)

Gradien dK/dL dapat diturunkan secara langsung dari persamaan isoquant. Gradien

ini dinamakan tingkat marginal dari substitusi teknis (MRTS).

Pada sembarang titik (L = L0, K = K0) pada isoquant, nilai gradien adalah ukuran

dari modal yang menurun untuk setiap unit tenaga kerja yang meningkat, yaitu banyak modal

yang akan diganti (disubstitusikan) ketika tenaga kerja menurun satu tingkat, disaat masih

mempertahankan keluaran yang sama, Q.

adalah cara yang singkat untuk menentukan nilai gradien pada (L0, K0)

Grafik isoquant pada gambar 7.5 menunjukkan semakin rendahnya tingkat

substitusi yang dirumuskan sebagai

atau tingkat di mana jumlah modal menurun untuk

setiap unit peningkatan tenaga kerja menjadi lebih kecil dengan meningkatnya L.

Ingat : Produk Marginal ( MPL, MPK, dan MRTS = dK/dL) jangan dicampuradukkan.

Gradien pada isoquant adalah rasio dari produk marginal

Gradien isoquant dapat dinyatakan pada aturan produk marginal tenaga kerja dan

modal dengan cara diferensial total.

dQ =

)dL +

)dK

Gambar 7.5 MRTS = gradien isoquant, kemiringannya berkurang

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

Sepanjang isoquant, dQ = 0, oleh karena itu, substitusikan dQ = 0 pada persamaan

di atas, hasilnya dapat dituliskan sebagai berikut

0 =

)dL +

)dK

-(

)dK =

)dL

-QK dK = QL dL

=

= -

Sebagai derivative parsial, QL dan QK adalah produk marginal tenaga kerja dan

produk marginal modal, yang biasanya ditulis MPL dan MPK, dK/dL dapat dituliskan sebagai

= -

Contoh Soal

Suatu fungsi produksi diberikan pada persamaan Q = 10L0.5

K0.5

a) Gambarkan grafik isoquant untuk Q = 50 dan Q = 70

b) Tentukan produk marginal tenaga kerja dan produk marginal modal

c) Tentukan gradien isoquant, dK/dL. Untuk Q = 50. Hitung MRTS ketika L = 1 dan

tentukan interpretasi verbalnya.

Solusi a) Substitusikan Q = 50 pada persamaan fungsi produksi dan selesaikan K = f(L)

50 = 10L0.5

K0.5

5 = L0.5

K0.5

= K0.5

= K

Persamaan isoquant untuk Q = 70 adalah K = 49/L

b) Produk marginal tenaga kerja :

MPL =

= 10(0.5L

0.5-1)K

0.5 = 5L

-0.5K

0.5

Priduk marginal modal :

MPK =

= 10L

0.5(0.5K

0.5-1) = 5L

0.5K

-0.5

c) Untuk menentukan dK/dL atau MRTS, tuliskan diferensial total sebagai berikut.

dQ =

)dL +

)dK

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

Karena Q konstan, maka dQ = 0. Substitusikan dQ = 0 dan turunan parsial MPL dan

MPK pada persamaan di atas, selanjutnya selesaikan untuk dK/dL seperti ilustrasi di

bawah ini :

Bentuk tereduksi MRTS untuk fungsi produksi Cobb-Douglas

Diberikan persamaan umum fungsi produksi Cobb-Douglas, Q = A , selanjutnya

MRTS :

=

=

=

=

=

7.2.2

Kembali ke skala

Jika input (L , K) pada fungsi produksi Cobb-Douglas diganti dengan proporsi yang

sama, dapat dengan mudah kita tentukan perubahan yang proporsional pada keluaran, Q.

Untuk sembarang konstan, λ, jika L diganti dengan λL dan K diganti dengan λK, maka

perubahan pada Q dapat ditentukan dari persamaan fungsi produksi.

Diberikan fungsi produksi Cobb-Douglas

Q = A

Dengan mengganti L dengan λL dan K dengan λK, maka

Q2 = A

= A

=

=

Fungsi homogen derajat r

Pada umumnya, fungsi produksi Cobb-Douglas dideskripsikan sebagai homogen, jika

F(λL, λK) = λrf(L,K)

Ketika r = (

Perubahan tambahan

Jika tenaga kerja dan modal sedikit berubah secara bersamaan, maka jumlah

perubahan pada keluaran dapat ditentukan dengan rumus ‘sedikit perubahan’. Dengan Q =

f(L,K), maka dapat diubah menjadi

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

ΔQ = (

)ΔL + (

)ΔK

7.2.3

Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas mendeskripsikan utilitas sebagai fungsi dari produk konsumsi dan

dapat dinyatakan sebagai berikut

U = f(x,y)

Fungsi utilitas yang biasa digunakan dalam analisis ekonomi adalah fungsi utilitas

Cobb-Douglas yang dapat dinyatakan sebagai berikut

U = A

Dimana A konstan dan 0 < < 1, 0 < < 1, x > 0, y > 0, x dan y adalah kuantitas dari

produk konsumsi X dan Y. Sebagai contoh, fungsi utilitas Cobb-Douglas secara spesifik

dapat dinyatakan sebagai berikut.

U = 10x0.3

y0.5

Utilitas marginal

U = f(x), maka

= Ux = MUx

Dengan U = f(x,y), utilitas marginal dapat didefinisikan sebagai derivative parsial:

= Ux = MUx adalah utilitas marginal dari produk X

= Uy = MUy adalah utilitas marginal dari produk Y

Gambar grafik dari fungsi utilitas

Gambar grafik utilitas serupa dengan fungsi produksi. Fungsi utilitas U = f(x,y) dapat

digambarkan pada grafik dua dimensi yang disebut kurva indifference, y = f(x). untuk

membuat plot pada kurva indifference, utilitas pasti bernilai konstan, maka y dinyatakan

dalam aturan x. Suatu kurva indifference memberikan semua kombinasi x dan y untuk utilitas

U dan mempunyai nilai yang sama.

Suatu isoquant adalah kombinasi input L dan K yang digunakan ketika keluaran

berada pada tingakatan yang tetap.

Suatu kurva indifference adalah kombinasi produk X dan Y dimana ketika

dikonsumsi akan memberikan tingkatan yang sama kepada pembeli.

Gradien kurva indifference

Novita Rizki Y – 170311611620 – Offering B

Gradien kurva indifference disebut tingkat marginal substitusi (MRS), dan dapat

dinyatakan dalam aturan utilitas marginal dari produk X dan Y. Pernyataan ini berasal dari

diferensial total.

(

) (

)

0 = (

) (

)

(

) = (

)

-Uy dy = Ux dx

= Ux

=

Secara konevensional, Ux ≡ MUx dan Uy ≡ MUy . Maka,

=