matek-diferensial-2
-
Upload
hary-anugrah -
Category
Documents
-
view
227 -
download
0
description
Transcript of matek-diferensial-2
HITUNG DIFERENSIALHITUNG DIFERENSIAL
ALJABAR KALKULUSKonsep matematika yg mempelajari tingkat perubahan dari suatu fungsi
DIFERENSIAL•Mempelajari tingkat perubahan rata-rata/seketika dari suatu fungsi•Mencari turunan dari suatu fungsi
INTEGRAL•Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya•Menentukan luas bidang
APLIKASI•Menghitung nilai optimal•Analisis marginal
APLIKASI•Surplus konsumen dan surplus produsen
PENGERTIAN LIMITPENGERTIAN LIMIT Konsep dasar diferensialKonsep dasar diferensial Adalah harga batas tertentu, L, yang Adalah harga batas tertentu, L, yang
dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a.variabelnya mendekati harga tertentu, a.
Kegunaan Limit :Kegunaan Limit :Perhitungan bentuk-bentuk tak tentuPerhitungan bentuk-bentuk tak tentuMenentukan kontinuitas/diskontinuitas Menentukan kontinuitas/diskontinuitas
suatu fungsisuatu fungsiPerhitungan hasil bagi diferensial/turunan Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan
fungsifungsi
Lxfax
)(lim
PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTUPERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Bentuk tak tentu : Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 10/0, ~/~, 1~~, ~ - , ~ -
~~ Contoh :Contoh :
62
9lim.1
2
3
X
Xx
x
fxf
XXxfDik
x
)2()2(lim
3)(:.2
0
2
187
1042lim.3
2
2
XX
XXx
187
1042lim.4
2
23
XX
XXXx
XXX
XXx 187
1042lim.5
23
2
x
x X
6
3
11lim.6
x
x XX
X2
2
2
52
22lim.7
XXXx
10lim.8 2
KONTINUITAS FUNGSIKONTINUITAS FUNGSISuatu fungsi Y = f(x) dikatakan Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan
kontinyu untuk x = a dari suatu kontinyu untuk x = a dari suatu interval tertentu jika :interval tertentu jika :Y = f(a) terdefinisiY = f(a) terdefinisi mempunyai harga tertentu, mempunyai harga tertentu,
misal Lmisal LL = f(a)L = f(a)
)(lim xfax
PERHITUNGAN HASIL BAGI PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIALDIFERENSIAL
Menunjukkan perubahan rata-rata Y Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap Xterhadap X
Jika perubahan X (Jika perubahan X (X) cukup kecil X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :sehingga mendekati nol, maka :
Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA = PERTAMA =
x
xfxxf
X
Y
)()(
x
xfxxf
X
Yxx
)()(limlim
00
'' )( YxfX
Y
TURUNAN PERTAMA FUNGSI TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISITIMPLISIT
Y = c Y = c Y’ = 0 Y’ = 0Y = aX + b Y = aX + b Y’ = a Y’ = aY = XY = Xnn Y’ = n X Y’ = n Xn-1n-1
Y = UY = Unn Y’ = n U Y’ = n Un-1n-1 . U’ . U’Y = U ± V Y = U ± V Y’ = U’ ± V’ Y’ = U’ ± V’Y = U/V Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V Y’ = (U’V – V’U)/V22
Y = eY = exx Y’ = e Y’ = exx
Y = eY = euu Y’ = u’.e Y’ = u’.euu
Y = ln X Y = ln X Y’ = 1/X Y’ = 1/XY = ln U Y = ln U Y’ = U’/U Y’ = U’/UY = aY = axx Y’ = a Y’ = axx ln a ln a
Turunan fungsi implisit Turunan fungsi implisit
Y = f’(x) Y = f’(x) XX
Turunan yang lebih tinggi Turunan yang lebih tinggi
Turunan fungsi dalam bentuk Turunan fungsi dalam bentuk parameterparameter
Jika X = f(x) dan Y = g(x), makaJika X = f(x) dan Y = g(x), maka
n
nnn
X
YXfY
)(
tX
tY
X
YY
/
/'
SOAL LATIHAN LIMITSOAL LATIHAN LIMITx
x xx
xx3
2
2
26
46.1 lim
126
654.2
2
2lim
x
xx
x
xx
xx
x 24
38.3
3
2
lim
83
652.4
2
0lim
x
xx
x
2010lim.5 2
xxxx
x
x
x 2/151.6 lim
x
fxf
tentukanxxxfJika
x
)5()5(
:,37)(_.7
lim0
2
SOAL LATIHAN TURUNANSOAL LATIHAN TURUNAN
Tentukan turunan pertama dari Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :fungsi berikut :
1.1. Y = 4xY = 4x33+3x+3x22–5x+7–5x+7x-10x-102.2. Y = ln(6xY = ln(6x22+x)-e+x)-e3x-23x-2
3.3. Y = (4xY = (4x22-1)/(2x+3)-1)/(2x+3)4.4. Y = 3xY = 3x22ee-2x-2x
5.5. Y = ln((4x+5)/(2x-1))Y = ln((4x+5)/(2x-1))6.6. Y = (3x–7)Y = (3x–7)66
7.7. Y = 2tY = 2t22-4t dan X = 3t+1-4t dan X = 3t+1
APLIKASI TURUNAN PERTAMAAPLIKASI TURUNAN PERTAMA Menentukan gradien/slope garis singgungMenentukan gradien/slope garis singgung
Y – YY – Y11 = m (X – X = m (X – X11) ) m = Y’ m = Y’ Menentukan koordinat titik stasionerMenentukan koordinat titik stasioner
Titik stasioner terjadi ketika garis singgung Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 f’(x) = f’(x) = 00
Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.
Menentukan bagian kurva yang monoton Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turunnaik/turun Monoton naik : Monoton naik : X > 0 X > 0 Y > 0Y > 0 Monoton turun : Monoton turun : X > 0 X > 0 Y < 0Y < 0
Menghitung harga limit bentuk tak tentu Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopitaldengan cara L’Hopital
APLIKASI TURUNAN KEDUAAPLIKASI TURUNAN KEDUA Menentukan bentuk kurvaMenentukan bentuk kurva
Cekung ke atas (Cekung ke atas (concave upwardconcave upward) : ) : Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg
X X Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0
Cekung ke bawah (Cekung ke bawah (concave downwardconcave downward) : ) : Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg
X X Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0
Menentukan titik belok dan titik sadelMenentukan titik belok dan titik sadelBatas antara bag kurva yg cekung ke atas dan Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan
cekung ke bwh atau sebaliknyacekung ke bwh atau sebaliknyaSyarat : Y” = f”(x) = 0Syarat : Y” = f”(x) = 0Titik Belok : untuk X = 0 Titik Belok : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0 Y’ = 0, Y” = 0Titik Sadel : untuk X = 0 Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0
CONTOH SOALCONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = XDiketahui fungsi Y = X33 – 3X – 3X22 – 9X + – 9X +
22, tentukan :22, tentukan :1.1. f(1), f’(4), f”(2)f(1), f’(4), f”(2)
2.2. Persamaan garis singgung di titik Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2dengan absis 2
3.3. Koordinat titik esktrim (maks/min)Koordinat titik esktrim (maks/min)
4.4. Koordinat titik belok/titik sadelKoordinat titik belok/titik sadel
SOAL LATIHANSOAL LATIHAN Diketahui fungsi Y = XDiketahui fungsi Y = X33 – 27X + a, – 27X + a,
dan f(2) = 10. Tentukan :dan f(2) = 10. Tentukan :1.1. Harga aHarga a
2.2. Persamaan garis singgung di titik Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2dengan absis 2
3.3. Koordinat titik esktrim (maks/min)Koordinat titik esktrim (maks/min)
4.4. Koordinat titik belok/titik sadelKoordinat titik belok/titik sadel
APLIKASI DIFERENSIAL DLM APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMIEKONOMI
Analisis marginal Analisis marginal Laju pertumbuhanLaju pertumbuhanMenghitung Marginal Revenue (MR) dan Menghitung Marginal Revenue (MR) dan
Marginal Cost (MC)Marginal Cost (MC)
MR = TR’MR = TR’ MC = TC’MC = TC’
APLIKASI DIFERENSIAL DLM APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMIEKONOMI
Harga EkstrimHarga EkstrimTotal Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0Laba maksimum (rugi minimum), Laba maksimum (rugi minimum),
= TR – TC= TR – TC’ ’ = 0 = 0 MR = MC MR = MC
Output optimumOutput optimumTerjadi ketika Average Cost (AC) minimumTerjadi ketika Average Cost (AC) minimumAC minimum AC minimum AC’ = 0 AC’ = 0 AC = MC AC = MC
APLIKASI DIFERENSIAL DLM APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMIEKONOMI
Elastisitas Elastisitas Mengukur perubahan suatu variabel Mengukur perubahan suatu variabel
akibat perubahan variabel lainakibat perubahan variabel lainJenis elastisitas :permintaan/harga (Ed), Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),
penawaran (Es), dllpenawaran (Es), dllPerhitungan elastisitas :Perhitungan elastisitas :
Elastisitas Titik (Point Elasticity)Elastisitas Titik (Point Elasticity)
Elastisitas Busur (Arc Elasticity)Elastisitas Busur (Arc Elasticity)
Q
Px
P
QE
12
12
12
12
PP
PPx
QQE
CONTOH SOALCONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan
TC = QTC = Q22 + 790Q + 1.800 + 790Q + 1.8001.1. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC, Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC,
AVC, dan AFC ketika Q = 10AVC, dan AFC ketika Q = 10
2.2. Hitung TR maksimum Hitung TR maksimum
3.3. Hitung laba maksimum/rugi minimumHitung laba maksimum/rugi minimum
4.4. Hitung output optimumHitung output optimum
5.5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100= 100
6.6. Break Event Point (BEP)Break Event Point (BEP)
1.1. Diketahui fungsi permintaan : Q – Diketahui fungsi permintaan : Q – 90 + 2P = 0 dan fungsi biaya rata-90 + 2P = 0 dan fungsi biaya rata-rata : AC = Qrata : AC = Q22 – 39,5Q + 120 + – 39,5Q + 120 + 125/Q. Hitung : a) Penerimaan 125/Q. Hitung : a) Penerimaan maks; b) Profit maks; c)Elastisitas maks; b) Profit maks; c)Elastisitas permintaan ketika P = 10permintaan ketika P = 10
SOAL LATIHANSOAL LATIHAN