Ringkasan Matek Fe Ui

63
CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis A. Sifat-sifat Matematika Ekonomi 1. Perbedaan Matematika vs. Nonmamatematika Ekonomi Keuntungan pendekatan matematika dalam ilmu ekonomi Ketepatan (Precise), Keringkasan (concise) Memaksa pernyataan asumsi-asumsi dengan jelas Menarik kesimpulan / dalil dari asumsi yang digunakan melalui Penalaran Deduksi Memungkinkan pembahasan kasus n-variabel Matematika sebagai Bahasa dari Logika Memudahkan proses logika (deduksi/induksi) Dengan matematika dapat memperluas Logika deduksi Mampu mengambil esensi dari realitas dengan alat matematika Kekurangan : Terlalu kaku dan terlalu menyederhanakan realitas dengan teori. (Realitas Teori) 2. Perbedaan Matematika Ekonomi vs. Ekonometrik Deduksi vs. induksi Deduksi: dari umum ke spesifik Matematika Ekonomi Induksi: dari spesifik ke umum Ekonometrik Kekurangan deduksi: Tergantung ketepatan asumsi awalnya Kekurangan induksi: Kebenaran dari hasil akhirnya berupa probabilitas Paradoks Hume: Bukan deduksi atau induksi yang menuju Kebenaran Maka gunakan keduanya: masing-masing digunakan bersama untuk saling mengkoreksi satu dengan yang lain. B. Model-model Ekonomi 1. Unsur-unsur dalam Model Matematis Variabel, Konstanta, Parameter dan Koefisien Persamaan identitas, kondisi ekuilibrium dan persamaan perilaku. Contoh:

description

Ringkasan teori matekbis untuk mahasiswa feui

Transcript of Ringkasan Matek Fe Ui

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan

Bisnis A. Sifat-sifat Matematika Ekonomi 1. Perbedaan Matematika vs. Nonmamatematika Ekonomi

Keuntungan pendekatan matematika dalam ilmu ekonomi ◦ Ketepatan (Precise), Keringkasan (concise) ◦ Memaksa pernyataan asumsi-asumsi dengan jelas ◦ Menarik kesimpulan / dalil dari asumsi yang digunakan

melalui Penalaran Deduksi ◦ Memungkinkan pembahasan kasus n-variabel

Matematika sebagai Bahasa dari Logika ◦ Memudahkan proses logika (deduksi/induksi) ◦ Dengan matematika dapat memperluas Logika deduksi ◦ Mampu mengambil esensi dari realitas dengan alat

matematika Kekurangan : Terlalu kaku dan terlalu menyederhanakan realitas

dengan teori. (Realitas Teori) 2. Perbedaan Matematika Ekonomi vs. Ekonometrik

Deduksi vs. induksi ◦ Deduksi: dari umum ke spesifik Matematika Ekonomi ◦ Induksi: dari spesifik ke umum Ekonometrik

Kekurangan deduksi: ◦ Tergantung ketepatan asumsi awalnya

Kekurangan induksi: ◦ Kebenaran dari hasil akhirnya berupa probabilitas

Paradoks Hume: ◦ Bukan deduksi atau induksi yang menuju Kebenaran ◦ Maka gunakan keduanya: masing-masing digunakan

bersama untuk saling mengkoreksi satu dengan yang lain. B. Model-model Ekonomi 1. Unsur-unsur dalam Model Matematis

Variabel, Konstanta, Parameter dan Koefisien Persamaan identitas, kondisi ekuilibrium dan persamaan

perilaku. Contoh:

π ≡ TR – TC (identitas atau definisi) Qd = Qs (Kondisi ekuilibrium) Y = 6 + b X0 (Persamaan perilaku) Y: variabel endogen diperoleh dari dalam X0: variabel eksogen diperoleh dari luar 6: Konstanta b: Parameter dan koefisien dari variabel eksogen X0

B. Sistem Bilangan Real

Bilangan real digambarkan dengan garis bilangan yang mengandung bilangan +, -, dan 0, serta bersifat kontinu. Disimbolkan dengan R, dan terdiri dari: ◦ Bilangan Rasional

Pecahan: dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat

Bilangan Bulat: bilangan yang utuh ◦ Bilangan Irasional

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat, contohnya akar 2, pi.

Perkembangan sistem bilangan dimulai dari yang paling sederhana yaitu bilangan Asli sampai ke bilangan Imajiner, merupakan perkembangan dari pemikiran peradaban manusia itu sendiri. Sketsanya di bawah ini:

Bil Kompleks (C)

Bil. Nyata (R) Bil. Imaginer

Bil. Rasional (Q) Bil. Irasional (Q’), cont: 2

Bil. Bulat (−) 0 Bil. Bulat (+)

Bil. Asli (N)

Bil. Bulat (Z)

Bil. Cacah

Bil. Pecahan

C. Konsep Himpunan

Definisi Himpunan: Kumpulan dari sembarang objek yang didefinisikan.

Notasi Himpunan = huruf besar, ex; A, B, …… Notasi Elemen / anggota = huruf kecil ex; a, b, …… Notasi Keanggotaan ∈ Contoh: Himpunan A= {i,…,n} maka elemen i ∈ A

Hubungan antar Himpunan-himpunan

Himpunan Bagian A adalah himpunan bagian dari B, dinotasikan sebagai A⊂B dan dinyatakan sebagai: A⊂B = { x / Ax∈∀ , x∈B } Contoh: A = { 1,2,3 } , B = { 3,2 } maka B⊂A

Jumlah Himpunan Bagian=2N, N: jumlah anggota himpunan. Misalnya anggota himpunan A = 3, maka himpunan bagiannya = 23 = 8

Himpunan kosong :himpunan tanpa anggota. Notasi = { } atau ∅

Himpunan Semesta :himpunan dari semua anggota. Notasi = S

Operasi himpunan

1. A∪B = { x / x ∈A atau x∈B } 2. A∩B = { x / x ∈A dan x ∈ B } 3. A – B = { x / x ∈A, tetapi x ∉B } 4. Ac = { x / x ∉A, tetapi x ∈S }

Contoh : A = { 5,6,7 } B = { 1,2,3 }

Maka A – B = { 5,6,7 }

Dalil dalam Operasi himpunan 1. Hukum Komutatif: A∪B= B∪A dan A∩B= B∩A 2. Hukum Assosiatif: A∪ ( B∪C)= (A∪B)∪C 3. Hukum Distributif: A∪ ( B∩C)= (A∪B) ∩ ( A∪C)

dan A∩ ( B∪C)= (A∪B) ∩ ( A∪C)

Contoh: Model Permintaan dan Penawaran (demand supply model)

dapat disajikan dalam bentuk himpunan sebagai pasangan berurut (ordered pair definisi ini dilihat pada bagian Fungsi)

berupa garis lurus berupa garis lurus

D∩S = perpotongan berupa titik

Keterangan notasi: ∃/ : tidak ada ∃ : ada ∀ : untuk setiap

D. Himpunan dan Fungsi

• Pasangan berurut (ordered pairs): (a,b) ≠ (b,a) Hal ini berbeda dengan definisi himpunan di mana {a,b} = {b,a}

• Hasilkali Kartesian (Cartesian Product): X × Y = { (a,b) a ∈ X dan b ∈ Y} Contoh: X = {1,2}; Y = {3,4} ; maka Hasilkali Kartesian X × Y = { (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) }

• Hubungan (relation): pasangan berurut (x, y) yang bersifat sembarang nilai x dapat menentukan lebih dari satu nilai y

• Fungsi (function): pasangan berurut (x, y) yang bersifat sembarang nilai x dapat menentukan HANYA satu nilai y. Fungsi dinotasikan sebagai f: x y

• Catatan: Hubungan belum tentu fungsi, fungsi pasti hubungan ! Contoh yang bukan fungsi:

Fungsi: Sebelah kiri (domain) harus habis. Ini juga bukan Hubungan. Fungsi: tidak boleh punya 2 pasangan. Ini merupakan Hubungan.

( ){ }PQQPD βα −== ,

( ){ }dPQQPS +== γ,

( )QP,

a b c d

x y z

B A

a b c d

x y z

B A

Penulisan Fungsi secara umum: y = f (x) y adalah variabel terikat (dependent variable) gambaran

(image) dari nilai x. Himpunan semua gambaran disebut kisaran (range),

digambarkan sebagai sumbu vertikal. f adalah fungsi atau aturan pemetaan (mapping) nilai x menjadi

hanya satu nilai y. x adalah variabel bebas (independent variable) Himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain),

digambarkan sebagai sumbu horizontal. E. Tipe-tipe Fungsi

Fungsi Konstan: y = f (x) = k, k∈R Contoh : y = f (x) = 5 y=f (x) 5

Fungsi Polinom (suku banyak)

Bentuk umum: y = f (x) = ∑=

n

i

ii xa

0.

n = 0 y = f (x) = a0x0 = a0 fungsi konstan (berderajat 0) n = 1 y = f (x) = a0+a1x1 f. linear (f. polinom berderajat 1) n = 2 y = f (x) = a0+a1+a2x2

n = 3 y = f(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3

x

y=f(x)

a0

y=a0+a1x+a2x2

x

y=f(x)

a0 y=a0+a1x

a1

y=f(x)

x

a0 y=a0+a1x+a2x2+a3x3

Fungsi Rasional : pembagian fungsi polinom

Contoh: y = f(x) = 12

1++

−xx

x

Fungsi Non-Aljabar (Fungsi transenden) o y = ax (fungsi eksponensial) o y = lnb(x) (fungsi logaritma)

Penyimpangan Eksponen

Dalil Eksponen: Xn = (X×X×X×...×X) n kali 1. Dalil I: Xm × Xn = Xm+n 2. Dalil II:

3. Dalil III: X-n = 4. Dalil IV: X0 = 1

5. Dalil V: X1/n = 6. Dalil VI: (Xm)n = Xmn 7. Dalil VII: Xm × Ym = (XY)m

Sifat-sifat fungsi:

Sebuah fungsi NAIK jika: f(xB) ≥ f(xA) untuk xB > xA

Sebuah fungsi SELALU NAIK jika: f(xB) > f(xA) untuk xB > xA

Sebuah fungsi TURUN jika: f(xB) ≤ f(xA) untuk xB > xA

Sebuah fungsi SELALU TURUN jika: f(xB) < f(xA) untuk xB > xA

F. Fungsi dari Dua atau Lebih Variabel Bebas

y = f(x) y = f(x, z) dua variabel bebas (3 dimensi) y = f(w,x,z) tiga variabel bebas (hypersurface)

G. Tingkat Generalitas

Fungsi spesifik 1: bentuk spesifik dan parameter spesifik y = 10 – 5x

Fungsi spesifik 2: bentuk spesifik dan parameter umum y = a – bx

nm

n

m XXX −=

nX1

n x

Fungsi umum: bentuk umum dan tanpa parameter y = f(x) f memetakan x ke hanya satu nilai y

LATIHAN: 1. Dalam teori perusahaan, para ekonom mempertimbangkan biaya total C sebagai fungsi dari tingkat output Q: C=f(Q)

A. Menurut definisi fungsi, akah setiap angka biaya berkaitan dengan tingkat output yang unik?

B. Apakah setiap tingkat output (Q) menentukan angka biaya yang unik?

C. Jika C=5+3Q di mana {Q|1≤Q≤9}, carilah range dari fungsi dan nyatakan dalam bentuk himpunan!

CATATAN KULIAH Pertemuan II: Analisis Keseimbangan Statik

dan Arti Keseimbangan A. Pengertian Ekuilibrium

• Ekuilibrium: kumpulan variable-variabel terpilih yang saling berhubungan satu dengan lainnya dalam model, yang berada dalam keadaan (state) tidak ada kecenderungan yang melekat untuk berubah.

• Ada 2 jenis: Ekuilibrium Tujuan (goal equilibrium) dan Ekuilibrium bukan Tujuan (nongoal equilibrium)

B. Ekuilibrium Pasar Parsial – Suatu Model Linear 1. Pembentukan Model Linear

Persoalan: Pandang satu komoditas, kemudian cari Harga ekuilibrium (Pe) Kuantitas ekuilibrium (Qe), jika • Diberikan variabel:

o Qd Kuantitas Permintaan (demand) o Qs Kuantitas Penawaran (supply) o P Harga, bedakan dengan Pe = Harga ekuilibrium

• Dengan asumsi: o Qd = Qs o Qd Fungsi linier TURUN dari P o Qs Fungsi linier NAIK dari P o Pe > 0

• Kasus ini adalah satu persamaan ekuilibrium dan dua persamaan perilaku.

o Model Permintaan-Penawaran o Qd = a - bP Persamaan Permintaan o Qs = -c + dP Persamaan Penawaran o Qd = Qs Kondisi ekuilibrium

Kasus ini, secara grafik dapat digambarkan sebagai:

2. Penyelesaian melalui Eliminansi Variabel

Model Ekuilibrium Pasar Parsial • Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium • Qd = a - b(P) (a,b > 0) Permintaan • Qs = -c + d(P) (c,d > 0) Penawaran

Penyelesaian: a - bPe = -c + dPe a + c = bPe + dPe a + c = Pe(b+d)

Pe = (a+c)/(b+d) Qd = Qe = a-bPe = a-b(a+c)/(b+d) = (ad-bc)/(b+d)

Contoh Soal: Model Ekuilibrium Pasar Parsial

Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium Qd = 51 - 3P = a - b(P) Qs = – 10 + 6P = -c + d(P)

Cari nilai Pe dan Qd? Jawab: Qd = Qs = Qe Qd = 51 - 3P Qs = 6P – 10

Qs = −c+dP (supply)

a Qd

P

(demand)

O -c

QQQ sd ==( )QP,

P

bPaQd −=

51 - 3Pe = 6Pe - 10 -9Pe = -61 Pe = 61/9=6 7/9

Pe = 61/9 = 6 7/9 Qd = 51 – 3 (61/9) = 459/9 – 183/9 = 276/9 = 30 2/3

Sehingga (Pe, Qe) = (6 7/9, 30 2/3)

C. Ekuilibrium Pasar Parsial – Suatu Model Nonlinear 1. Pembentukan Model Nonliner

Model Ekuilibrium Pasar Parsial • Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium • Qd = 4 – P2 Permintaan • Qs = 4P -1 Penawaran Jawab: 4-P2 = 4P -1 P2 + 4P -5 = 0 Bagaimana cara mencari nilai P?

o Secara grafik o Memfaktorkan o Rumus abc (akar persamaan kuadrat)

A. Secara grafik

Dengan memplot persamaan kuadrat di atas:

B. Memfaktorkan Qd=4-P2 Qs=4P-1 Qd=Qs 4-P2=4P-1 P2+4P-5=0 (P+5)(P-1)=0

P={-5, 1} Qd=4-P2={-21,3}

C. Rumus abc

ax2 + bx + c = 0 → P2+4P-5=01 2. Penurunan Rumus abc dengan melengkapkan persamaan kuadrat

• Persoalan: Persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, cari nilai x dalam parameter a, b, c.

( ) ( )12

)5)(1)(4(1642

4,

2

21 ⋅−−±−

=−±−

=a

acbbPP

( ) { }5,12

642

20164,2/1

21 −=±

−=+±

−=PP

Penurunan Rumus abc: • x2 + bx/a + c/a = 0 • x2 + bx/a + b2/4a2 = b2/4a2 - c/a • (x + b/2a)2 = (b2-4ac)/4a2 • x + b/2a = ±(b2-4ac)½/2a

Sehingga:

D. Ekuilibrium Pasar Umum 1. Model Pasar dengan Dua Barang

Kasus: Ada dua jenis komoditi yang saling berhubungan satu dengan lainnya. Diasumsikan Persamaan Permintaan dan Penawaran Linear sbb:

Kita dapat menyederhanakan sistem persamaan di atas dengan subtitusi menjadi dua persamaan dengan dua variabel, yaitu:

( ) ( ) ( ) 022211100 =−+−+− PbaPbaba ( ) ( ) ( ) 022211100 =−+−+− PP βαβαβα

Definisikan : iii bac −= iii βαθ −=

Didapat: 0.22110 =++ PcPcc 0.22110 =++ PP θθθ

Terakhir diperoleh solusi, sbb :

( )a

acbbx

242

2,1−±−

=

221102

221102

22

221101

221101

11

0

0

PPQPPQ

QQPbPbbQPaPaaQ

QQ

s

d

sd

s

d

sd

βββααα

++=++=

=−++=++=

=−

1221

01102 θθ

θθccccP

−−

=

1221

20021 θθ

θθccccP

−−

=

2. Contoh dengan Angka Diketahui: • Qdi = Qsi • Qd1 = 18-3P1+P2 • Qs1 = -2+4P1 • Qd2 = 12+P1-2P2 • Qs2 = -2+3P2 Cari nilai P1, P2 Jawab:

E. Ekuilibrium dalam Analisis Pendapatan Nasional 1. Model Pendapatan Nasional Keynes (tanpa Pajak):

• Y= C + I0 + G0 (a>0, 0<b<1) • C= a + b y Keterangan: Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b

Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah)

Cari nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce)

Dengan mensubstitusi didapat:

00 GIbYaY +++= ( ) 001 GIabY ++=−

( )bGIa

Ye −++

=1

00

• 18-3P1+P2 = -2+4P1 • P2=4P1+3P1-2-18 • P2 = 7P1 -20 • 12+P1-2P2 = -2+3P2 • 3P2+2P2= P1 +14 • 5P2 = P1 +14 • 5(7P1 -20) = P1 +14 • 35 P1 -100 = P1 +14 • 34 P1 = 114

P1 = 114/34 = 3,35 P2 =7P1 -20 = 7×114/34-20 = 3,47

bbGbIababa

bGIabaC

bYaC

−+++−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

+=

+=

1

1

00

00

babGbI

Ce −++

=1

00

2. Model Pendapatan Nasional Keynes (dengan Pajak):

• Y = C + I0 + G0 (1) • C = a + b(Y-T) (2) • T = d+tY (3) Keterangan: Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi), T (pajak) Parameter = a, b, d, t

Variabel eksogen = I0 (investasi),G0 (pengeluaran pemerintah)

Cari nilai ekuilibrium pendapatan nasional (Ye), ekuilibrium Pajak (Te) dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce)

Persoalan ini merupakan persoalan tiga persamaan linier dengan tiga variabel, yang akan mudah diselesaikan dengan konsep MATRIKS pada bab selanjutnya.

3. Contoh dengan Angka:

Diberikan Model Pendapatan Nasional Keynes (tanpa Pajak): Y = C + I0 + G0 C = 25 + 6Y.5 I0 = 16 G0= 14 Cari nilai Ye dan Ce

Jawab: Y = C + 16+ 14 C= Y-30 Y-30 = 25 + 6Y.5 Misalkan: W = Y.5 W2-30 = 25 + 6W W2-6W-55 =0 (W-11)(W+5)

W=11, -5 (ambil yang positif) Ye = 121 Ce = 91

Latihan: 1. Pecahkan Model Pendapatan Nasional Keynes (dengan Pajak) di atas dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi!

CATATAN KULIAH Pertemuan III: Model-model linier

dan Aljabar Matriks (1) Tujuan mempelajari Aljabar Matriks :

Memberikan suatu cara penulisan sistem persamaan yang singkat

walaupun persamaannya luas sekali

Memberikan suatu cara pengujian suatu pemecahan dengan

pendekatan determinan

Mendapatkan cara pemecahan yang ringkas (jika solusinya ada)

A. Matriks dan Vektor

1. Matriks sebagai Susuan [Array]

Asumsikan Model Ekonomi sebagai system persamaan linear , di

mana:

aij : parameter,

dengan i = 1.. n baris, j = 1.. m kolom, dan nilai n=m,

xi : variabel endogen,

di : variabel eksogen dan merupakan konstanta.

Maka Model tersebut dapat dituliskan sebagai:

• Kemudian definisikan : Matriks adalah suatu susunan segi empat

dari bilangan, parameter dan variabel.

nn

n

n

nm

m

m

nn d

dd

x

xx

ax

axax

axa

axaaxa

2

1

2

22

12

211

22121

12111

=

==

+

++

+

++

Bentuk umum dari matriks dinyatakan sebagai :

A = [ aij] i = 1, 2, ……., m = baris, j = 1, 2, ……., n = kolom

A =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

a a a

a a a a a a

mnm2m1

2n2221

1n1211

……

Selanjutnya dengan penulisan matriks, maka sistem persamaan

linear dapat dituliskan sebagai:

Ax = d dimana:

A = matriks dari parameter

x = vektor kolom dari variabel endogen

x =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

x

xx

n

2

1

d = vektor kolom dari variabel eksogen dan berupa konstanta

d =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

d

dd

n

2

1

Selanjutnya untuk memecahkan model ekonomi tersebut, kita

harus mencari nilai vektor x, sbb:

dAxdAx

d

dd

x

xx

aaa

aaaaaa

nnnmnn

m

m

1*

2

1

2

1

21

22221

11211

−=

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

• Ilustrasi untuk Model dua persamaan dua variabel

1) Qd=Qs

2) Qd = a – bP (a,b >0)

3) Qs = -c + dP (c,d >0)

• Selanjutnya atur sehingga menjadi bentuk di bawah ini:

4) 1Q + bP = a

5) 1Q – dP = -c

• Selanjutnya ditulis dengan Aljabar Matriks sebagai:

• Solusi didapat dengan Invers Matriks (Pertemuan selanjutnya) 2. Vektor sebagai Matriks Khusus

• VEKTOR dapat dianggap tipe khusus dari matriks, contohnya:

Vektor baris matriks yang hanya memiliki 1 baris

Contoh : R= [ r1, r2, …..rn ]

Vektor kolom matriks yang hanya memiliki 1 kolom

Contoh : C= ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

n

2

1

ccc

B. Operasi dengan Matriks

Penjumlahan Matriks Secara umum, aturannya:

dAxc

aPQ

db

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1

1

dAx

ca

db

PQ

1*

1

*

*

11

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡11725

2013

9712

[ ] [ ] [ ]ijijij cba =+

Pengurangan Matriks

Secara umum, aturannya:

Interpretasi geometrik dari Penjumlahan Vektor Misalkan

v = [2 3], u = [3 2], dan v+u = [5 5]

maka dapat digambarkan sebagai:

• Perkalian skalar

Secara umum, aturannya: a=konstanta

Perkalian skalar ini merupakan asal dari konsep ketergantungan linear (linear dependence)

Himpunan vektor saling tergantung linear (linearly dependence) jika sembarang dari anggotanya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota yang lain.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡6511

3201

9712

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

81432141

1642

81

8483216

1642

8

[ ] [ ]ijij baba =

[ ] [ ] [ ]ijijij cba =+

x1

x2

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

V

U

V+U

Ketergantungan linear ini yang akan menyebabkan kesukaran dalam memecahkan sistem persamaan linear.

Contoh:

Maka vektor V3 adalah bergantung linear, karena:

Interpretasi geometrik dari Perkalian skalar

• Perkalian Vektor (hasilkali titik) Jika c dan z adalah vektor baris berikut ini:

Maka hasilkali titik dari dua vektor tersebut adalah:

[ ]

44332211

4

3

2

1

4321'.

zczczczczzzz

cccczcy

+++=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

==

[ ][ ][ ]54

8172

3

2

1

===

vvv

[ ] [ ][ ]54

16221623 213

=−=−= vvv

023 321 =−− vvv

x2

x1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

-2

[ ] U246 =

[ ] U=23

[ ]231 −−=⋅− U

[ ]4321 ccccc =[ ]4321 zzzzz =

• Catatan pada Operasi Vektor Sebuah vektor kolom u [m x 1] dan baris vektor v [1 x n] maka hasil kalinya uv mempunyai dimensi [m x n].

Contoh:

• Perkalian Matriks

Perkalian matriks membutuhkan Kondisi Kesesuaian (conformability condition)

Kondisi Kesesuaian adalah bahwa untuk perkalian, dimensi kolom matriks dari matriks yang di awal (lead matrix) A harus sama dengan dimensi baris dari matriks yang di akhir (lag matrix) B.

Jadi apabila A dan B adalah sembarang matriks dimana dimensi dari kedua matriks adalah A(mxn) dan B(pxq), perkalian matriks A dan B dapat dilakukan apabila n = p dan hasil dari perkalian tersebut adalah sebuah matriks yang berdimensi (mxq).

Contoh:

• Dimensi: A(1x2), B(2x3), maka C(1x3)

• Notasi Sigma Σ Simbol Yunani sigma yang digunakan untuk Penjumlahan adalah

cara lain untuk menyajikan Perkalian Matriks. Dalam notasi ini digunakan, indeks penjumlahan biasanya

disimbolkan i. Contoh:

Notasi untuk Hasilkali titik:

[ ]

[ ][ ] Cccc

babababababa

bbbbb

aaAB

==+++=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

131211

231213112212121121121111

232221

1312111211

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

12xu [ ]541

31=

xv

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

108215123

54123

32xuv

332211

3

1babababa

iii ++=∑

=

C. Hukum Komutatif, Asosiatif dan Distributif

• Hukum Komutatif Penjumlahan Matriks: A + B = B + A

Perkalian Matriks, secara umum tidak bersifat komutatif. Sehingga, AB ≠ BA, bahkan jika BA memenuhi kondisi kesesuaian.

Kekecualian: AB=BA jika dan hanya jika B = sebuah skalar, B = matriks identitas I, atau B = invers dari matriks A, atau A-1

D. Matriks Identitas dan Matriks Nol

Matriks Bujursangkar

Matriks segi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan

jumlah kolom yang sama

Contoh : m 2x2 ⎥

⎤⎢⎣

⎡ d c b a

Matriks Identitas

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=+

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

abaaabba

bbbb

aaaa

BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=+

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

abababab

bbaa

bbbb

AB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

7610

,4321

BA

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡+−++−+

=25241312

7413640372116201

AB

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎤⎢⎣

⎡++−+−+

=4027

434726371641203110

BA

Matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang memiliki nilai

sama dengan 1 untuk diagonal utama dan nol untuk yang lainnya.

Contoh : I 2x2 = ⎥

⎤⎢⎣

⎡1001

I 3x3 =

Matriks Nol Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol.

Contoh : E. Matriks Transpos

Transpos dari suatu matriks A= aij yang berukuran m x n dinotasikan sebagai AT yang berukuran n x m dimana setiap elemennya adalah aT

ij = aji . Contoh:

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=→⎥

⎤⎢⎣

⎡s qr p

A sr

q Tρ

Sifat Matriks Transpos: (AT)T = A

F. Determinan dan Sifat Dasar Determinan

Definisi: Determinan suatu matriks A dinotasikan sebagai |A| adalah bilangan skalar yang dihubungkan secara tunggal dengan matriks tersebut.

Contoh:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

000000000

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

100010001

.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

401983

A⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−=

490813

TA

Ordo 2 x 2

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡d cb a

⏐A⏐= ad – bc

Ordo 3 x 3

Secara umum dapat dihitung dengan Ekspansi Laplace dengan menggunakan Kofaktor:

Maka dengan Ekspansi Laplace didapat bahwa: Di mana:

Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j, yaitu:

Contoh:

A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

6 1 24 3 1 1 5 2

3231

222113

3331

232112

3332

232211

aaaa

M

aaaa

M

aaaa

M

=

=

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A =

skalarCaAn

jjj == ∑

=111

( ) ijji

ij MC +−≡ 1

312213332112233211

322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

A

−−−++=

=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Sifat - sifat determinan

1. ⏐AT⏐ = ⏐A⏐

2. |A-1⏐ = A I

3. BA = B A

Contoh :

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡6 53 4

|A| = 95.36.46534

=−=

B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2 31 2

|B| = 13.12.22312

=−=

Maka: |A.B|=|A|.|B|=9.1=9

4. Apabila 1 baris atau 1 kolom matriks A dikalikan dengan skalar

k, maka ⏐A*⏐ = k.|A|, A*=Matriks A yang 1 baris atau 1

kolomnya dikalikan dengan skalar k.

Contoh :

)145(62

752.3

2475

3212715

bcaddcba

dcba

dcba

−===

5. Pertambahan (pengurangan) dari suatu kelipatan baris manapun

ke baris yang lain, TIDAK menyebabkan nilai determinan

berubah.

52.31.11231

22.46.16241

141.46.36143

3231

222113

3331

232112

3332

232211

−=−===

−=−===

=−===

aaaa

M

aaaa

M

aaaa

M

( ) 3351028)5.(1)2.(514.211

1 =−+=−+−−+=−= ∑=

+n

jij

jij MaA

Contoh :

dcba

bcadkacbkbdakbdkac

ba=−=+−+=

++)()(

G. Matriks Singular: Karakteristik dan Identifikasi

Beberapa kasus, dimana suatu sistem persaman linear tidak mempunyai solusi:

1. Tidak konsisten dan tergantung linear (linear dependent) x + y = 8 x + y = 9

2. Tergantung linear (linear dependent) 2x + y = 12 4x + 2y= 24

3. Terlalu banyak persamaan 2x + 3y = 58 3x + y = 18 x + y = 20

• Syarat suatu sistem persaman linear mempunyai solusi: 1. Matriks A bujur sangkar (nxn), sehingga: jumlah persamaan n =

jumlah variable n. 2. Baris atau Kolom Matriks A bersifat saling bebas linear (linearly

independent). Hal ini dipenuhi jika rank(A)=n (syarat cukup non-singular)

3. Jika syarat (1) dan (2) dipenuhi maka matriks A disebut matriks nonsingular. Jika tidak maka disebut sebagai matriks singular, yang mengakibatkan sistem persamaan linear tidak mempunyai solusi.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡98

1111

yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2412

2412

yx

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

201858

111332

yx

H. Tes Singularitas.

• Definisi: Misalkan diberikan matriks A berordo (nxn), matriks A

dikatakan matriks singular, bila |A| = 0

• Identifikasi Matriks Singular 1. Tes Singularitas : Teknik Determinan

Contoh: Apakah matriks A singular?

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

1224612357

A

Jawab:

0)44.(3)2424.(5)1212.(7

2412

.312462

.512261

.71224612357

=−+−−−=

+−==A

Karena determinan matriks A sama dengan nol, maka matrik A adalah matriks singular. Sekarang perhatikan apa yang menyebabkan matriks A singular! Pada matriks A, Baris ke-2 dan Baris ke-3 merupakan kelipatan satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu determinannya 0, berdasarkan sifat determinan ke-5.

2. Kebebasan linier (syarat cukup non-singular) • Definisi : Kombinasi linier

Suatu vektor w dikatakan kombinasi linier dari V1, V2, V3, … , Vn Apabila w dapat diungkapkan sebagai berikut : W = K1V1 + K2V2 + … + KnVn = Σ KiVi

• Definisi : Kebebasan linier

Misalkan V = { V1, V2, V3, … , Vn } merupakan komponen vektor dan K= { K1, K2, K3, … , Kn } merupakan komponen parameter skalar, maka perhatikan persamaan vektor dalam bentuk: Σ KiVi =K1V1 + K2V2 + … + KnVn = 0,

Persamaan ini akan mempunyai paling sedikit satu pemecahan trivial yaitu K1 = K2 = K3 = … = Kn = 0

Jika Ki = 0, maka Vi adalah satu-satunya pemecahan maka V dikatakan bebas linier.Jika tidak, maka V bergantung linier. (singular)

Contoh Tes Singularitas :

B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4623

, periksalah apakah B=non-singular ?

1. Gunakan teknik determinan: |B| = 12-12 = 0 → B singular

2. Gunakan teknik kebebasan linier

Misalkan : V={ V1, V2 } adalah vektor-vektor kolom dari matriks B, sbb:

K1V1 + K2V2 = 0 → K1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡63

+ K2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡42

= 0

3K1 + 2K2 = 0 6K1 + 4K2 = 0 Dua Persamaan di atas identik, maka gunakan salah satu

Pilih Persamaan 1 : 5 K1 + 2 K2 = 0 3 K1 = -2 K2

Pemecahan ini menunjukkan adanya banyak solusi bagi persamaan K1V1 + K2V2 = 0. Contoh solusi selain K1 = K2 = 0, adalah K1 = -2 dan K2 = 3, sehingga V1 dan V2 tidak bebas linier (bergantung linier). Selanjutnya disimpulkan maka B adalah matriks singular.

Latihan:

1. Periksa apakah matriks A berikut ini singular? A=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

946127531

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

42

63

21 VdanV

CATATAN KULIAH Pertemuan IV: Model-model linier

dan Aljabar Matriks (2) A. Mencari Matriks Invers

• Suatu matriks A (nxn) mempunyai invers bila terdapat suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, yang merupakan matriks bujur sangkar berdimensi n.

• Syarat keberadaan dari Matriks Invers adalah jika |A| ≠0 Kita tertarik untuk mencari invers, karena matriks invers dapat

digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier Ax=d, yaitu: x=A-1d

• Cara mencari Matriks Invers: 1. Mencari invers melalui transformasi elementer dengan reduksi

Gauss (Gaussian Reduction). Prosedurnya adalah: a. Menggandengkan matriks A di depan matriks identitas: (A|I).

b. Lakukan operasi baris elementer sehingga matriks A bertransformasi menjadi matriks identitas (I); di mana A-1 dapat dilihat di sebelah kanan garis vertikal. Contoh:

( )

( )

( )

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3275

1001

|

3203/1

103/71

|

13/203/1

3/103/71

|

1003/1

523/71

|

1001

5273

|

5273

IA

IA

IA

IA

IA

A

Kalikan baris pertama dengan 1/3

Kalikan baris 1 dgn –2 dan tambahkan ke baris ke-2

Kalikan baris 2 dengan 3

Kalikan baris 2 dgn –7/3 dan tambahkan dengan baris pertama

2. Mencari Invers dengan Kofaktor. Prosedurnya adalah: a. Tentukan matriks kofaktor Ac dari matriks A Ingat kembali bahwa: Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j b. Tentukan adjoint matriks Aj yang merupakan transpose dari

Ac, sehingga: Aj = AcT

c. Invers dari A diperoleh dengan mengalikan adjoint matriks

dengan determinan dari A, sehingga didapat:

Contoh: • Carilah Matriks Invers dari matriks A dengan metode kofaktor,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=12

34A

• Jika matriks A berukuran (nxn),maka Mij merupakan suatu cubmatriks dari A yang berukuran (n-1) x (n-1), di mana baris ke-i dan kolom ke-j (dari A) dihilangkan.

4;3

2;112

34

2221

1211

==

−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

MM

MMmakaA

• Minor dari suatu matriks A adalah |Mij| dan kofaktor dari A

adalah:

Maka:

)int(11 AadjoA

A =−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=

nnnn

n

n

C

CCC

CCCCCC

A

21

22221

11211

( ) ijji

ij MC +−≡ 1

( ) ijji

ij MC +−≡ 1

( ) 1)1.(111 1111 −=−=−−≡ +C

( ) 2)2).(1(21 2112 =−−=−−≡ +C

• Maka:

B. Aturan Kramer (Cramer’s Rule)

• Pendekatan lain untuk mencari solusi bagi x dari SPL Ax = b : ATURAN CRAMER.

• Misalkan sistem persamaan linear Ax = b, apabila diasumsikan |A|≠0, maka untuk mencari solusi digunakan metode determinan di mana:

Dimana |Aj|= determinan matriks A dengan kolom ke–j diganti vektor b.

• Contoh pecahkan sistem persamaan linear berikut ini:

A . x = b

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−==

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

212/32/1

)det(1Maka

2||Determinan4231

AdjointMatriks

4321

Kofaktor

1234

1j

Tcj

c

AA

A

A

AA

A

A

( ) 33).1(31 1221 −=−=−≡ +C

( ) 44.141 2222 ==−≡ +C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=+

=+

8080

4223

80428023

2

1

21

21

xx

xxxx

A

Ax j

j =

Jawab: C. Aplikasi pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional

• Aplikasi dalam Model Pasar dan Pendapatan Nasional akan dipecahkan dengan mudah menggunakan aturan Cramer atau matriks invers.

• Model Pasar (Market Model) Model dua komoditi dapat ditulis sebagai suatu sistem dua persamaan linear, sbb:

Akan dipecahkan dengan metode matriks Invers:

• Model Pendapatan Nasional Y= C + I0 + G0 (a>0, 0<b<1) C= a + b Y Keterangan:

10

4223802803

2

20

4223480280

1

2

1

==∆∆

=

==∆∆

=

x

x

o

o

PPcPcPcγγγ −=+

−=+

2211

2211

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

o

ocPPcc

γγγ 2

1

21

21

122121

21 γγγγ

cccc

A −==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

12

12

ccAC

γγ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

11

22

cc

adjAγγ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

o

occc

ccPP

γγγ

γγ 11

22

12212

1 1

Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b

Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah)

Nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) akan dicari dengan Aturan Cramer.

Dengan Aturan Cramer:

Model Pendapatan Nasional dengan Pajak Y=C+I0+G 1Y - 1C – 1G = I0 C=a+b*(Y-T0) -bY + 1C + 0G = a-bT0 G=g*Y -gY + 0C +1G = 0

= Carilah nilai Y, C, G dengan (a) Matriks Invers (b) Aturan Cramer a. Dengan Matriks Matriks

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−a

GICY

b00

111

baGI

b

aGI

Ye −++

=

−−

−+

=1

11111

00

00

( )b

GIba

b

abGI

Ce −++

=

−−

−+

=1

111

1

00

00

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−

1001111

gb

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

GCY

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−0

0

0

bTaI

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−=

1001111

gbA

Maka: Sehingga: b. Dengan Aturan Cramer

( )gbgbA +−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−= 1

1001111

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−=

bbgggb

AC

1111

1

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−=

bggbgbAj

11

111

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

011

111

11

0

0

bTaI

bggbgb

gbGCY

( )( )( )

( )( )

( )gbbTaIgG

gbbTagbIC

gbbTaIY

+−−+

=

+−−−+

=

+−−+

=

1

11

1

00

00

00

)(11000111

00*000

0

gbbTaI

AA

YbTaIbTaI

A YY +−

−+==−+=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

−−=

( )( ) ( )( ))(1

1110011

00*000

0

gbbTagbI

AA

CbTagbIg

bTabI

A CC +−

−−+==−−+=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−=

( ) ( ))(1

00111

00*000

0

gbIbTag

AA

GIbTagg

bTabI

A GG +−

+−==+−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−=

( )gbgbA +−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−= 1

1001111

D. Aplikasi pada Model I-O

• Model Input-Output (I-O) menjawab pertanyaan: “Berapa tingkat output dari setiap industri n yang harus diproduksi dalam perekonomian, sehingga memenuhi total permintaan produk tersebut?”

• Susunan Model I-O adalah: Dengan: xi = tingkat output industri i

aij = input komoditi ke-i untuk menghasilkan output ke-j. di = permintaan akhir untuk output ke-i

Selanjutnya dapat diturunkan solusi untuk Model I-O dengan Matriks invers sbb:

[ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]iiij

iiiji

iijii

iiiij

iiiij

dxAI

dxAxI

xAxId

xIdxA

xdxA

=−

=−

−=

=+

=+

nnnnnnn

nn

nn

dxaxaxax

dxaxaxaxdxaxaxax

++++=

++++=+++=

2211

222221212

112121111

( )( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−−−−

nnnnnn

n

n

d

dd

x

xx

aaaaaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

11

1

[ ] [ ] [ ]iij dAIxi

1* −−=

• Contoh Model I-O dalam numerik Misal :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

05.20.25.15.

A

Maka Model I-O menjadi: Latihan 1. Diberikan SPL sbb :

2X1 + 3X2 – X3 = 0 X1 + X2 + X3 = 4 3X1 – 2X2 + X3 = 5 Tentukanlah solusi bagi X1, X2, X3 dengan aturan cramer dan matriks invers

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

2

1

2

1

2

1

05.20.25.15.

xx

dd

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

2

1

2

1

2

1

1001

05.20.25.15.

xx

dd

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

2

1

2

1

2

1

05.20.25.15.

1001

xx

xx

dd

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

2

1

2

1

2

1

05.20.25.15.

1001

dd

xx

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

2

1

2

1

05.120.25.15.1

dd

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

2

11

2

1

95.20.25.85.

dd

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡20001000

1700350

85.20.25.95.

7575.1

2

1

xx

CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik

dan Konsep Derivatif A. Pengertian Komparatif Statik dan Konsep Derivatif

• Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu, mempunyai dua keterbatasan dalam:

• Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium • Kasus ekuilibrium tidak stabil (unstable equilibrium)

• Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel eksogen berkaitan dengan Analisis Komparatif Statik.

• Dan pembahasan mengenai pencapaian dan kestabilan ekuilibrium terdapat dalam Analisis Dinamik.

• Di bab ini akan dibahas Komparatif Statik: studi dari keadaan

ekuilibrium yang berbeda-beda dengan himpunan nilai parameter dan variabel eksogen yang berbeda-beda.

• Dimulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal • Contoh:

– Model Pasar Tertutup (P0,Q0) (terguncang)→ (P1,Q1) – Model Pendapatan Nasional (Y0, C0) (terguncang)→(Y1, C1)

Contoh Diagram: Pergeseran pada Permintaan (demand)

Q

P

Qs

Qd0

Qd1

P1

P0

Q0 Q1

• Perbedaan antara Analisis Ekuilibrium Statik dan Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik:

1. Analisis Ekuilibrium Statik: y* = f(x) 2. Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: y1* - y0* = f(x1) - f(x0)

Di mana subskrip 0 menyatakan keadaan awal dan 1 menyatakan keadaan selanjutnya.

• Misal ∆y = y1-y0 dan ∆x = x1-x0 atau x1 = x0 + ∆x

Selanjutnya diketahui y=f(x) maka: ∆y = f(x1) - f(x0) dan subtitusikan persaman x1 didapat: ∆y =f(x0 + ∆x) - f(x0)

Bagi persamaan terakhir, kedua sisinya dengan ∆x, maka akan didapat Hasil-Bagi Beda (difference quotient) Dan ambil limit ∆x -> 0, maka akan didapat derivatif (derivative) dari fungsi y=f(x):

• Contoh:

Jika fungsi y=3x2-4, maka cari Hasil-bagi Beda dan Derivatifnya: a.

b. maka

( ) ( )x

xfxxfxy o

∆−∆+

=∆∆ 0

( ) ( )x

xfxxfxy

xx ∆−∆−

=∆∆

→∆→∆

00

00limlim

( ) ( )X

XfXXfXY o

∆−∆+

=∆∆ 0

( )( ) ( ) 43

432

00

200

−∆+=∆+

−=

xxxxf

xxf

( ) ( )x

xxxxy

∆−−−∆+

=∆∆ 4343 2

02

0

xxxxxx

∆+−−∆+∆+

=434363 2

02

020

xx ∆+= 36 0

( ) ( ) ( )X

XfXXfXY

dxdyXf

xx ∆−∆+

=∆∆

==′→∆→∆ 00

limlim

006lim x

xy

x=

∆∆

→∆xx

xy

∆+=∆∆ 36 0

B. Derivatif dan Kemiringan (Slope) Kurva • Intrepetasi geometric dari Hasil Bagi Beda (Difference Quotient) • Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya ∆x = x1-x0? Bila

diberikan kenaikan x yang kecil, maka y rata-rata akan diukur oleh kemiringan garis=Hasil Bagi Beda.

• Selanjutnya bila kenaikan x dikurangi terus-menerus akan diperoleh garis yang mendatar, sampai akhirnya dalam limit ∆x 0 akan diperoleh garis singgung fungsi y di x0 (garis warna merah)

C. Konsep Limit dalam Kaitannya dengan Derivatif • Konsep Limit fungsi (f(x), x→a) function menggambarkan batas

nilai dari f(x) jika x mendekati a dari sebelah kanan dan sebelah kiri. Nilai limit tersebut dapat berhingga (N), tak berhingga (infinite), tidak dapat didefinisikan (undefined)

• Notasi limit : Persamaan diatas dibaca : limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati a (dari arah kanan dan arah kiri) adalah L

• Intrepetasi geometrik dari Konsep Limit:

f(x0+∆x)

f(x)

f(x0)

x0 x1

y=f(x)

x

Kemiringan = f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0)

LxfLimax

=→

)(

f(x)

L

x a

• Horizontal Asymptote: Garis y = a disebut asimptot horisontal dari grafik f jika dan hanya jika :

atau

Di sini nilai x menuju Ketakhinggaan positif atau negative

• Vertical Asymptote: Garis x = a disebut asimptot vertikal dari grafik f jika dan hanya jika :

• Interpretasi geometrik dari asimptot horisontal dan vertikal: • Untuk menentukan limit dari suatu fungsi, kita dapat

mensubstitusikan nilai x = a ke dalam fungsi f. Namun cara ini tidak berlaku untuk semua jenis fungsi.

• Cara lain yang digunakan untuk menentukan limit dari fungsi adalah dengan mengobservasi nilai dari a yang didekati dari 2 arah yaitu :

Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kiri

Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kanan

Sehingga untuk menguji eksistensi dari limit ada, jika : maka

axfLimx

=−∞→

)( axfLimx

=∞→

)(

∞=−→

)(xfLimax

−∞=−→

)(xfLimax

∞=+→

)(xfLimax

−∞=+→

)(xfLimax

f(x)

a

x → -∞ x → +∞

LxfLimax

=−→

)(

LxfLimax

=+→

)(

LxfLimxfLimaxax

==−+ →→

)()( LxfLimax

=→

)(

• Contoh-contoh: 1.

dan Maka: 2. dan karena maka 3. x2 – 9 (x-3) (x+3) 4. lim ––––– = ––––––––– = x+3 = 3+3 = 6 x → 3 x – 3 (x-3) 5.

Tentukan nilai lim f(x) =…….? x → 2

lim f(x) = 6(2) – 4 x → 2- lim f(x) = 3(2) +2

x → 2+ Jadi Lim f(x) = 8, karena limit kiri = limit kanan

x → 2

3

2xLim

x→

83

2=

−→xLim

x83

2=

+→xLim

x

83

2=

→xLim

x

⎩⎨⎧

>+≤

=4;324;2

)(xxxx

xf

)()(44

xfLimxfLimxx −+ →→

8)(4

=−→

xfLimx

11)(4

=+→

xfLimx

adatidakxfLimx

)(4→

2)(lim1

32lim152lim)(lim

=+

+=++

=

+∞→

+∞→+∞→+∞→

vqvv

vvq

v

vvv

⎩⎨⎧

<−≥+

=2;462;22

)(xxxx

xf

SIFAT-SIFAT LIMIT

D. Fungsi kontinu dan Diferensiabel • KONTINUITAS PADA SUATU TITIK

Suatu fungsi f disebut kontinu pada x = a jika : 1. Fungsi tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit f(x) untuk x menuju a adalah f(a) Maka fungsi kontinu di titik x = a, jika:

• KONTINUITAS SEPANJANG INTERVAL

Fungsi f kontinu sepanjang interval [a,b] jika kontinu pada setiap titik dalam interval [a,b].

• Contoh-contoh: 1. Periksalah Apakah f(x) = x3 kontinu di x = 2 ?

Jawab :

1. f (2) = 8

2. lim x3 = 8 x → 2- lim x3 = 8 x → 2+ 3. lim f(x) = f(2)=8 x → 2 Jadi f(x) kontinu di x=2

1. Jika f(x) = c maka ccLimax

=→

)(

2. Jika f(x) = xn maka nn

axaxLim =

3. )(.)(. xfLimcxfcLim

axax →→=

4. [ ] [ ] [ ])()()()( xgLimxfLimxgxfLim

axaxax →→→+=±

5. [ ] [ ] [ ])(.)()().( xgLimxfLimxgxfLim

axaxax →→→=

6. )(

)(

)()(

xgLim

xfLim

xgxfLim

ax

ax

ax→

→= dimana 0)( ≠

→xgLim

ax

)()(lim afxfax

=→

2. Periksa apakah fungsi q(v) di bawah ini kontinu di v=2 dan v=-2?

Fungsi rasional ini tidak dapat didefinisikan di v = 2 dan -2, meskipun terdapat limit ketika v → 2 atau -2. maka fungsi ini diskontinu di v = 2 dan -2.

• Diferensiabel pada suatu titik

Suatu fungsi f disebut diferensiabel pada x = a jika : 1. Hasil-Bagi Beda dari Fungsi f’(x)tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit Hasil-Bagi Beda untuk x menuju a adalah f’(a) Maka fungsi diferensiabel di titik x = a, jika:

• Jika suatu fungsi diskontinu, maka fungsi tersebut tidak

diferensiabel. Tetapi Jika suatu fungsi tidak diferensiabel, maka fungsi tersebut belum pasti diskontinu.

• Contoh: Periksa apakah fungsi y=f(x)=|x-2|+1 kontinu dan diferensiabel di x=2? a. Karena maka y=f(x) kontinu b. Diferensiasi dari fungsi f(x) Uji keberadaan limit:

444)( 2

23

−−−+

=v

vvvvq

xxfxxf

xyxf

xx ∆−∆+

=∆∆

=→→

)()(limlim)( 00

000'

)1(1)(lim)(lim22

fxfxfxx

===−+ →→

22

lim2

112lim

2)2()(lim

222 −−

=−

−+−=

−−

→→→ xx

xx

xfxf

xxx

11lim22lim

22

lim222

==−−

=−−

+++ →→→ xxx xx

xx

1)1(lim2

)2(lim22

lim222

−=−=−−−

=−−

++− →→→ xxx xx

xx

Karena maka fungsi f(x) tidak diferensiabel di x=2

Latihan:

x2 - 9 1. f(x) = –––––– , periksalah apakah f(x) kontinu di x = 3?

x – 3 2. ,periksalah apa f(x) diferensiabel di x = 2?

22

lim22

lim22 −

−≠

−−

+− →→ xx

xx

xx

⎩⎨⎧

<−≥+

=2;462;22

)(xxxx

xf

CATATAN KULIAH Pertemuan VI: Aturan Derivatif, Konsep Derivatif Parsial dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

REVIEW TURUNAN (DERIVATIVE) • Diberikan fungsi y = f(x) maka turunan dari fungsi tersebut adalah

:

Dalam pertemuan sebelumnya, telah dipelajari cara menentukan turunan dengan pendekatan limit, sbb: 1. Tentukan difference quotient dari fungsi dengan menggunakan persamaan : 2. Tentukan limit dari difference quotient untuk ∆x 0 dengan menggunakan persamaan :

1. Dalam pertemuan ke-6 ini akan dipelajari aturan-aturan cara menentukan turunan (diferensiasi) secara praktis.

A. Aturan Diferensiasi untuk Fungsi dengan Satu Variabel

1. Fungsi Konstan

Jika f(x) = k maka f ‘(x) = 0=kdxd

0 m0)(

0lim)()(lim

m , Jika:Bukti

f '(x) akaNfNxkk

NxNfxf f '(N)

kf(N)aka kf(x)

NxNx

==′

=−−

=−−

=

==

→→

xxfxxfLim

dxdy

x ∆−∆+

=→∆

)()(0

xxfxxf

xy

∆−∆+

=∆∆ )()(

xxfxxfLim

dxdy

x ∆−∆+

=→∆

)()(0

2. Fungsi Pangkat (Power Function)

Jika f(x) = xn maka 1−= nn nxxdxd

34 4x dxdy maka , xy Jika

:Contoh

==

B. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari variable yang Sama

3. Aturan Penambahan dan Pengurangan

Jika h(x) = f(x)+g(x) maka ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfdxd ′±′=±

Contoh:

01083

75104

75104

2

23

23

++−=

++−=

++−=

QQdQdC

dQdQ

dQdQ

dQdQ

dQd

dQdC

QQ QC

4. Aturan Perkalian

Jika h(x) = f(x) g(x) maka ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxfxgxgxfdxd ′+′=

Contoh:

( ) ( )( )

QdQdR

QQRQQQ

QdQdPP

dQdQ

dQdR

-Q)Q(R-Q PPQR

215

152151151

1515

2

−=

−=

−=−+−=

+=

===

5. Jika f(x) = c.g(x) maka f ‘(x) = c. g‘(x) 6. Aturan Pembagian

Jika h(x) = f(x)/g(x) maka ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xg

xgxfxfxgxgxf

dxd

2

′−′=⎥

⎤⎢⎣

Contoh: Hubungan antara Fungsi Biaya-Marjinal dan Biaya-Rata-rata

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( ) MCAC m,0 jika

11

1rata-Rata

Marjinal B

minimum rata-Rata Biaya Cari

2

==

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′=

⋅−′⋅=

===

akaQQC

dQd

ACMCQQ

QCQCQ

QQCQCQ

QQC

dQd

Biaya C(Q)/QAC Biaya C'(Q) MC

Totaliaya C(Q) TC

C. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Fungsi-fungsi dari Variabel yang Berbeda.

7. Aturan Rantai (Chain Rule)

( )( ) ( ) ( )xgyfdxdy

dydz

dxdzmakaxgfzMisalkan ′′=== ,:

Contoh: o Jika f(x) = [u(x)]n maka f’(x) = n.[u(x)]n-1.u’(x) o Jika f(x) = eu(x) maka f’(x) = u’(x)eu(x) o Jika f(x) = Ln[u(x)] maka f’(x)= u’(x)/u(x)

8. Aturan Rantai untuk multivariabel

( )( )1

01

1 ..2,,...,

xy

dydz

dxdzmakaxxgfzMisalkan

ndxn ∂∂

== =

9. Aturan Fungsi Invers

unik.y nilaian menghasilkakan x nilai sembaranguntuk karenainversnya fungsi dicaridapat selalu yang fungsiadalah monoton Fungsi

( )

( )dxdy

yfdydxyfxaka

xfdxdyanxfy

1dan )(m

x dariNaik Selalu Monoton Fungsiadalah y dimana d),(Misal

11 =′

==

′==

−−

• Sifat pemetaan satu-satu adalah unik untuk fungsi monoton • Definisi fungsi:

fungsi: satu y untuk setiap x fungsi monoton: satu y untuk setiap x dan satu x untuk setiap y (fungsi invers)

• Contoh: Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) monoton naik Qs = b0 + b1P Fungsi Penawaran (dimana b1 > 0) P = -b0/b1 + (1/b1)Qs Invers Fungsi Penawaran Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) monoton turun Qd = a0 - a1P Fungsi Permintaan (dimana a1 >0) P = a0/a1 - (1/a1)Qd Invers Fungsi Permintaan

D. Deferensiasi Parsial

• Misalkan fungsi z = f(x,y), turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap x pada (x,y) adalah

• Turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap y pada (x,y) adalah

• Interpretasi dari turunan/diferensiasi parsial 1. Fx menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG

(tangent slope) yang parallel dengan bidang xz 2. Fy menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG

(tangent slope) yang parallel dengan bidang yz

• Selanjutnya untuk fungsi multivariabel ),,,( 21 nxxxfy …=

/dPdQ /b dP/dQ b/dP dQ

)imana b( )Q/b( /b -bP P b b Q

(Q) f P f(P)Q

sss

ss

-

11

0d1

:Contoh•

11

1

11010

1

===

>+=+=

==

∆xy)f(x,y)∆x,f(xLimf

0∆x

−+=

→x

∆yy)f(x,∆y)yf(x,Limf

0∆yy−+

=→

Maka turunan/diferensiasi parsial thd x1 adalah:

11

1

21211

01

0

),,,(),,,(limlim11

fxy

xxxxfxxxxf

xy nn

xx

≡∂∂

∆−∆+

=∆∆

→∆→∆

……

Dan secara umum turunan parsial thd sembarang xi adalah:

1...ni ,lim0

=≡∂∂

≡∆∆

→∆ iii

xf

xy

xy

i

• Contoh:

1. 2. y = f (x1, x2) = 3x1

2 + x1x2 + 4 x22

1xf

∂∂ = 1f = 6x1 + x2

2xf

∂∂ = 2f = 8x2 + x1

3. ),( νufy = = )( ν+u )23( ν+u = )253( 22 νν ++ uu

uf∂∂ = ν56 +u

υ∂∂f = ν45 +u

4. 221

32121 )3()2(),( xxxxxxfy +++==

1x

f∂∂ = 1).3(22.)2(3 21

221 xxxx +++

= )3(2)2(6 212

21 xxxx +++

2x

f∂∂ = 3.)3(21.)2(3 21

221 xxxx +++

= )3(6)2(3 212

21 xxxx +++

( )

( )

( ) 3.03.03.03.0

7.07.7.07.

0.70.3

2.67967.0

8.28963.0

L 96K Q1Douglas-CobbProduksiFungsi

−−

−−

===

===

==+

LKLKLQMPP

LKLKKQMPP

L

K

∂∂∂∂

βα

E. Aplikasi pada Analisis Statis-Komparatif Setelah memiliki pengetahuan mengenai aturan diferensiasi, selanjutnya akan diaplikasikan untuk menganalisis: Bagaimana nilai ekuilibrium suatu variabel endogen akan berubah jika terjadi perubahan dalam setiap variabel eksogen atau parameter. 1. Model Pasar (Market Model) Model Pasar sederhana dengan satu komoditi:

penawarandcdPcQtaanperbabPaQ

s

d

)0,(min)0,(

>+−=>−=

Solusinya dengan metode matriks invers adalah:

( )

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+−

+

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

ca

dbdb

dbb

dbd

PQ

cabd

dbPQ

11

111

*

*

*

*

dbcaP

dbbcadQ

++

=+−

= **

Untuk mencari bagaimana perubahan yang sangat kecil dalam satu parameter akan mempengaruhi nilai P* dan Q*, kita perlu mendiferensiasi secara parsial terhadap setiap parameter

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−−+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−=+

*

*

111

11

PQ

cabd

db

ca

PQ

db

CdPQabPQ

s

d

Interpretasi Geometrik dari derivatif parsial

0<+−

=∂∂

dbb

cQ

Q S1

D P

S0

( )( )( )

( )0

0

01

01

2

*

2

*

*

*

<++−

=∂

<++−

=∂

>+

=∂

>+

=∂

dbca

dP

dbca

bP

dbcP

dbaP

( )( )( )

( )0

0

0

0

2

*

2

*

*

*

>++

=∂

<++−

=∂

<+−

=∂

>+

=∂

dbcab

dQ

dbcad

bQ

dbb

cQ

dbd

aQ

01>

+=

dbaP

∂∂

Q S

D P

D1

( )( )

02 <++−

=db

cadbQ∂∂

Q

S0

D1 D0

P

Q0

Q1

( )( )

02 <++−

=∂∂

dbca

dP

Q S0

D P

S1

2. Model Pendapatan Nasional (National-income model) Model Pendapatan Nasional dengan 3 variabel endoge, Y (Pendapatan Nasional), C (Konsumsi), dan T (Pajak):

1) t 0 0; (d MPT t tY;dT 1) b 0 0; (a MPC b T);-b(Y a C

G I C Y 00

<<>=+=<<>=+=

++=

Solusi sistem persamaan liniernya adalah:

tbb-1b)-d(1taG)t(I

tbb-1bd-aG)t)(I-b(1

tbb-1GIbd-a Y ***

++++

=+

++=

+++

= TC

Dan diferensi parsial thd parameter G0 adalah: 3. Model Input-Output Penyelesaian atas model input-output terbuka muncul sebagai persamaan matriks x=(I-A)-1.d Misalnya matrik invers (I-A)-1 = [bij] maka penyelesaiannya dapat ditulis sebagai:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

2

1

2221

1211

2

1

dd

bbb

xx

Tingkat perubahan nilai x thd permintaan akhir eksogen d1 dan d2 adalah: Jadi 2,1,b d/x jkkj ==∂∂ kj

01

01

)1(01

1 ***

>+−

=>+−−

=>+−

=btb

tGT

btbtb

GC

btbGY

ooo ∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂∂∂∂∂∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

=∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

2

1

2212

2111

2

1

1111

222221

112111

2

1

maka ,b d/x ika

dd

dxdxdxdx

xx

jdbdbdbdb

xx

F. Catatan atas Determinan Jacobian • Gunakan Determinan Jacobian |J| untuk mengetest eksistensi

dari ketergantungan fungsional antara fungsi-fungsi Dalam bentuk umumnya adalah:

1

1

xy∂∂

2

1

xy∂∂

............. xny

∂∂ 1

J = 22

xy∂∂

2

2

xy∂∂

............. nx

y∂∂ 2

1x

yn

∂∂

2x

yn

∂∂

............. n

n

xy∂∂

• Penerapannya tidak terbata pada fungsi-fungsi linier • Jika |J| = 0 maka fungsi nonlinier atau linier adalah saling

tergantung (dependent) dan tidak ada solusi untuk sistem persamaannya.

Contoh :

1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :

Y1=2x1+3x2 Y2=4x1

2+12x1x2+9x22

1

1

xy∂∂

2

1

xy∂∂ 2 3

J = =

1

1

xy∂∂

2

1

xy∂∂ 1221 1218128 xxxx ++

= )3624(3624 2121 xxxx +−+ = 0

21 ydany∴ terdapat hubungan fungsional, secara tidak linier dalam hal

ini 212 yy =

2212

2111

xyxyxyxy

J∂∂∂∂∂∂∂∂

=

Latihan : 1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :

Y1=3x12+2x2

2 Y2=5x1+1

2. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :

Y1=3x12+x2

Y2=9x14+6x1

2(x2+4)+x2 (x2+8)+12

CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

A. Diferensial • Masalah yang Dihadapi: Bagaimana analisis komparatif-statik jika

tidak ada solusi bentuk-ringkas (reduced-form) dikarenakan oleh bentuk umum dari model?

• Contoh: Bagaimana menghitung ∂Y / ∂T jika:

Y = C(Y, T0) + I0 + G0 • Model ini mengandung fungsi umum, sehingga tidak bias diperoleh

solusi bentuk ringkas yang eksplisit. Di sini T0 dapat mempengaruhi C secara langsung atau secara tidak langsung melalui Y (artinya variabel dependen (yaitu Y dan T0) dari fungsi C tidak bebas satu dengan yang lain). Hal ini melanggar asumsi derivatif parsial.

Solusi: • Jawabannya adalah kembali ke konsep diferensiasi total.

Berdasarkan proses diferensiasi total dapat membawa ke konsep derivatif total.

• Oleh karena itu harus dipahami dahulu KONSEP DIFERENSIAL • Simbol dy/dx yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y=f(x),

seringkali dianggap sebagai entitas tunggal. Sekarang akan diinterpretasikan kembali sebagai suatu perbandingan dari 2 kuantitas dy dan dx. Simbol dy dan dx masing-masing disebut diferensial dari y dan x.

• Sebuah diferensial menggambarkan perubahan dalam y sebagai

hasil dari perubahan dalam x dari sembarang nilai awal x dalam domain fungsi y = f(x).

• Berdasar definisi derivatif:

Selanjutnya f '(x) dapat dipandang sebagai aproksimasi dari dy:

dxxfdy )('=

xyLimxfgariskemiringan

dxdyxfy

x ∆∆

====→∆ 0

)(')(

Interpretasi Geometrik dari diferensial dy dan dx • Istilah “diferensiasi” selanjutnya dapat berarti:

• Proses mencari diferensial (dy) – (dy/dx) dipandang sebagai operator yang mengubah (dx)

menjadi (dy) ketika dx →0

dxdxdydy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

• Proses mencari turunan/derivatif (dy/dx) atau – (dy/dx) dipandang sebagai diferensiasi terhadap x

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dxdy

dxdy

Diferensial dan Elastisitas Titik • Misal Qd = f(P) (fungsi permintaan) • Elastisitas Permintaan terhadap Harga, didefinisikan sbg:

Contoh: 1. Carilah elastisitas titik permintaan jika fungsi permintaan adalah Q=100-2P. Fungsi Marjinal dan fungsi rata-ratanya dari fungsi permintaan ini adalah : dQ/dP=-2 dan Q/P=(100-2P)/P, sehingga

perbandingannya adalah: P

P

PQ

dPdQ

d

d

d −−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

≡=50

ε

( )

( )

1,1

%%

<>

−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==∆∆

dd

d

d

d

d

dd

jikainelastikjikaelastik

rataRataFungsiMagjinalFungsi

PQ

dPdQ

PdP

QdQ

PQ

εε

ε

f(x0+∆x)

f(x)

f(x0)

x0 x1

y=f(x)

x

Kemiringan= f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0)

dy

dx

f’(x)

B. Diferensial Total • Konsep diferensial selanjutnya diperluas untuk fungsi dua atau lebih

variabel bebas. • Misal y = f (x1, x2), maka diferensial total dy adalah:

Dengan notasi yang lain: • Kasus yang lebih umum misalnya fungsi utilitas

U = U (x1, x2, …, xn) • Diferensial total dari U adalah: • ∂U/ ∂xi adalah utilitas marjinal dari barang xi • dxi adalah perubahan dalam konsumsi dari barang xi • dU sama dengan jumlah dari perubahan marjinal dari setiap barang

dalam fungsi konsumsi. Contoh: 1. Carilah diferensial total dari fungsi U(x1, x2) =x1

2+ x23 + x1 x2

Dan C. Aturan-aturan Diferensial • Untuk mencari diferensial total dy, dari fungsi y=f(x1,x2) caranya :

1. Cari derivatif parsial f1 dan f2 terhadap x1 dan x2 2. Substitusi f1 dan f2 dalam persamaan dy = f1.dx1 + f2.dx2

• Cara yang lain dengan menggunakan Aturan-aturan diferensial.

Misal k adalah fungsi konstan; u = u(x1); v = v(x2) 1. dk = 0 (Aturan Fungsi Konstan) 2. d(c.un) = c.nun-1.du (Aturan Fungsi Pangkat) 3. d(u ± v) = du ± dv (Aturan Penambahan dan Pengurangan) 4. d(uv) = v.du + u.dv (Aturan Perkalian)

2211 dxfdxfdy +=

nn

dxxUdx

xUdx

xUdU

∂∂

∂∂

∂∂

+++= 22

11

22

11

dxxydx

xydy

∂∂

∂∂

+=

2111

2 xxUxU

+==∂∂

12

222

3 xxUxU

+==∂∂

212

2121 )3()2( dxxxdxxxdU +++=

5. (Aturan Pembagian) Contoh:

1. Cari diferensial total dari 22xyxz +

=

a.

Maka: dxx

yxdyx

dz 32 22

21 +

−=

b. Dengan Aturan diferensial:

2vudvvdu

vud −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

222

22

21

22

22

xxy

yxx

y

xy

xx

yyz

dxxzdy

yzdz

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

=

( )( )34

2

22

22

2

2)2(2)(

21

)()(

21

21

xyx

xxyxx

x

xx

yxyxx

x

xyx

xxz

+−=

+−=

∂∂

+−+∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=∂∂

( ) [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

dxx

yxdyx

dxx

yxxdyxx

yxdxdxxdyxx

yxdxdxxdyxdxxx

xdxyxdydxxx

xdyxyxdxxx

yxd

32

4

2

4

2

224

2224

24

22222

22

21

442

42

42241

442241

4)()(241

)2()()(22

12

+−=

+−=

−−=

−−+=

+−+=

+−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

D. Derivatif Total • Tidak seperti derivative parsial, derivative total tidak mensyaratkan

fungsi eksplisit. • Cara mencari derivatif total dari diferensial total adalah : • Diberikan fungsi y = f (x1, x2, …, xn) • Selanjutnya Diferensial Total dy adalah:

• Maka Derivatif Total dari y terhadap x2 didapat dengan

membagi kedua sisi dengan dx2 • INGAT : Ada dua simbol yang mirip yang harus dibedakan, yaitu :

derivatif total 2dx

dy dan diferensial total 2x

y∂∂

. Simbol yang terakhir

hanya merupakan salah satu komponen dari simbol pertama. • Contoh: 1. 3

22

121 435),( vuxvuxxxfy −=+== Carilah dy/du dan dy/dv !

a. 21 21dxfdxfdy xx +=

1.10.

21

21

21

xx

xx

fufdudxf

dudxf

dudy

+=

+=

b. 21 21

dxfdxfdy xx +=

)12.(3. 2

21

21

21

vffdvdxf

dvdxf

dvdy

xx

xx

−+=

+=

nn

nn

dxfdxfdxfdy

dxxydx

xydx

xydy

+++=

+++=

...2211

22

11 ∂

∂∂∂

∂∂

22

2

11

2 dxdx

ffdxdxf

dxdy n

n+++=

2. 42)(3),( 22 ++==−== wwwgxwxwxfy Carilah dy/dw ! dwfdxfdy wx +=

310)2()14.(3 +=−++=

+=

www

fdwdxf

dwdy

wx

E. Derivatif dari Fungsi-fungsi Implisit • Konsep diferensial total memungkinkan untuk mencari derivatif dari

fungsi implisit. • Fungsi eksplisit: y = f(x) mudah diubah menjadi fungsi implicit

F(y, x)=0 tetapi arah sebaliknya belum pasti. • Contoh fungsi implisit F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran) • Fungsi Implisit F(y, x1 …, xm) = 0 dapat diubah menjadi Fungsi

eksplisit: y = f(x) bila memenuhi TEOREMA FUNGSI IMLISIT berikut ini, yaitu : a) Jika F mempunyai derivative parsial kontinu Fy, F1, …, Fm and Fy≠0 b) Jika pada titik (y0, x10, …, xm0), dapat dikonstruksi lingkungan (neighborhood) N dari (x1 …, xm), contohnya dengan membatasi jangkauan (range) y = f(x1 …, xm), sehingga setiap vektor (x1 …, xm) dipetakan tepat satu nilai y. Maka: i) Terdapat fungsi y dalam bentuk y = f(x1 …, xm) dan ii) Masih memenuhi F(y, x1 …, xm) untuk setiap titik di N sedemikian sehingga F ≡ 0

• Contoh aplikasi Teorema Fungsi Implisit: 1. Untuk F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran),

2

22

9

9

xy

xy

−±=

−=

Di sini dapat dibatasi jangkauan (range) y menjadi dua bagian agar fungsi diatas menjadi fungsi eksplisit, yaitu (0,∞) dan (-∞,0) Sehingga didapat :

(0,∞) 29 xy −+=+ dan

(-∞,0) 29 xy −−=− Derivatif dari Fungsi Implisit Untuk mencari derivatif fungsi implisit dapat digunakan 2 cara : 1. Diubah dahulu menjadi fungsi eksplisit (kalau bisa) atau gunakan 2. Konsep diferensial total dalam bab sebelumnya Contoh : 1. Carilah derivatif dy/dx dari fungsi F(y,x)=y2+x2 -9 =0 a. Diketahui fungsi eksplisitnya :

(0,∞) 29 xy −+=+

+

+ −=

−=−

−=

yx

xxx

xdxdy

22 9)2(

91

21

dan

(-∞,0) 29 xy −−=−

− −=

−=−

−−=

yx

x

xxxdx

dy22 9

)2(9

121

b. Dengan diferensial total

dyFdxFdF yx +=

dxdyFF

dxdF

yx +=

yx

yx

FF

dxdy

dxdyFF

y

x

yx

−=−=−=

+=

22

0

2. Jika F(z, x, y) = x2z2 + xy2 – z3 + 4yz = 0, maka F. Statika Komparatif dari Model-model Fungsi Umum 1. Model Pasar (Market Model) Misalkan fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah komoditi adalah:

( )( ) )0;0(,)2

)0;0(,)1//

0

//0

0

0

<>=

><=

TPs

YPd

SSTPSQ

DDYPDQ

Di mana Y = Pendapatan, T0 = pajak dan P = harga Semua turunan bersifat kontinu. Variabel Endogen : Q, P Variabel Eksogen : 00 T,Y

00

0002

0001

Q) – , TPS(), T(P, Q; YF Q) – , YPD(), T(P, Q; YF

≡=

≡=

0*

0*

0*

0* dTdP ,dYdP ,dTdQ ,dYdQCarilah

Total derivatif nya :

0

0

0//

0//

0

0

=−+

=−+

QddTSPdS

QddYDPdD

TP

YP

Atur sehingga :

0//

0//

0

0

dTSQdPdS

dYDQdPdD

TP

YP

−=−

−=−

Ubah dalam bentuk matriks :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

0

0

0/

/

/

/

00

11

0

dTdY

SD

QdPd

SD

T

Y

P

P

yzzxzxy

FF

dydz

z

y

4324222 +−

+−=−=

Hitung tanda dari Determinan Jacobiannya :

Hitunglah Persamaan derivatif total – parsial terhadap Y0 dan T0 dari matriks di atas:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

/

0

0/

/

/

0

0/

/

0

0

0

11

011

TP

P

Y

P

P

SdT

QddT

Pd

SD

D

dYQd

dYPd

SD

Dapatkan solusinya dengan metode Matriks Invers :

a. ;0

111

0

0/

////0

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−dY

QddY

PdD

DSDSY

PPPP

Sehingga di dapat :

;;0;0 //

//

0//

/

0

00 >−

=>−

=PP

YP

PP

Y

DSDS

dYQddan

DSD

dYPd

b.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−−

0

0/////0

0111

dTQd

dTPd

SDSDS TPPPP

Sehingga didapat :

0;0 //

//

0//

/

0

00 <−

−=>

−=

PP

TP

PP

T

DSSD

dTQddan

DSS

dTPd

011 //

/

/

>−=−−

= PPP

P DSSD

J