Pt 2 diferensial fungsi
Transcript of Pt 2 diferensial fungsi
MATEMATIKA II
Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
http://polmansem3.esy.es/
h)a(f)ha(f
lim)a(f0h
'
h)x(f)hx(f
lim)x(f0h
'
Turunan dari fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan rumus:
Jika fungsi f(x) dideferensialkan untuk semua x maka turunan dari fungsi f(x) untuk sembarang nilai x ditentukan dengan rumus:
• f’(x) dibaca f aksen x disebut turunan dari
fungsi f(x).
• f’(a) diperoleh dari f’(x) dimana x diganti
dengan a.
• f’(x) sering ditulis dengan df(x)/dx atau dy/dx
Contoh 1:
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini!
a.
b.
Jawab:
a. maka
=
Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3.
13)( xxF
52)( 2 xxxF
13)( xxF
1)(3)( hxhxF
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
'
3
313)133(lim
0
h
h
h
xhxh
Rumus Dasar:
y = sinx y’ = cos x
y = cos x y’ = - sin x
y = tg x y’ = sec2 x
y = ctg x y’ = -cosec2 x
y = sec x y’ = sec x. tg x
y = cosec x y’ = -cosec x. ctg x
Rumus Dasar:
y = sin ax y’ = a.cos ax
y = cos ax y’ = -a.sin ax
y = tg ax y’ = a.sec2 ax
y = ctg ax y’ = -a.cosec2 ax
y = sec ax y’ = a.sec ax. tg ax
y = cosec ax y’ = -a.cosec ax. ctg ax
Contoh 3:
Tentukanlah turunan dari fungsi trigonometri berikut:
1.Sin 5x
2.Tg 2x
Jawab:
1.Sin 5x = 5 cos 5x
2.Tg 2x = sec22x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dydx
du
du
dy
dx
dy
..
.
Contoh4:
Tentukanlah turunan kedua dari fungsi berikut:
1.y = 5x3 – 7x2+ 1
2.y = 3/x2 + 2x4
3.y= sin2x
Jawab:
1.y = 5x3 – 7x2+ 1
dy/dx = 15x2- 14x
dy2/dx2 = 30x - 14
2. y = 3/x2 + 2x4
dy/dx = -6x-3 + 8x3
dy2/dx2 = 18x-4 + 24x2
3. y = sin 2x
dy/dx = 2 cos 2x
dy2/dx2 = -4 sin 2x
Rumus Dasar:
y = ex y’ = ex
y = e-x y’ = - e-x
y = eax y’ = a. eax
y = e-ax y’ = -a e-ax
Contoh 5:
Tentukan dy/dx dari fungsi hiperbolik berikut:
1. y = ecos5x
2. y = (e4x – e5x)4
Jawab:1. y = ecos5x
mis u = cos 5x du/dx = - 5.sin 5x
y = eu dy/du = eu = ecos5x
dy/dx = du/dx . dy/du = - 5.sin 5x. ecos5x
2. y = (e4x – e5x)4
mis u = (e4x – e5x) du/dx = 4e4x –5 e5x
y = u4 dy/du = 4u3 = 4(e4x – e5x)3
dy/dx = du/dx . dy/du = (4e4x –5 e5x). 4(e4x – e5x)3
= 4(4e4x –5 e5x). (e4x – e5x)3
Rumus Dasar:
1. y = alog x y’ =1/a. alog e
2. y = ln x y’ = 1/x elog e =1 /x
3. y = ax y’ = ax. ln a
Contoh 2.6:
Tentukan dy/dx dari fungsi logaritma berikut:
1. y = ln (x2 + 5)
2. y = )6( 2
3 xx
Jawab:
1. y = ln (x2 + 5)
mis: u = x2 + 5 du/dx = 2x
y = ln u dy/du = 1/u = 1/(x2 + 5)
dy/dx = du/dx . dy/du = 2x . 1/(x2 + 5) = 2x/(x2 + 5)
2. y =
mis: u = x2 + 6x du/dx = 2x + 6
y = 3u dy/du = 3u . ln 3 = . ln 3
dy/dx = du/dx . dy/du = (2x + 6) . ln 3
)6( 2
3 xx
)6( 2
3 xx
)6( 2
3 xx
Rumus Dasar:
1. y = sinh x y’ = cosh x
2. y = cosh x y’ = sinh x
Contoh 7:
Tentukan dy/dx dari fungsi hiperbolik berikut:
1. y = sinh 7x
2. y = cosh3 (1-x)
Jawab:
1. y = sinh 7x
mis u = 7x du/dx =7
y = sinh u dy/du = cosh u = cosh 7x
dy/dx = du/dx . dy/du = 7. cosh 7x
2. y = cosh3 (1-x)
mis u = 1 – x du/dx = -1
t = cosh u dt/du = sinh u = sinh (1-x)
y = t3 dy/dt = 3 t2 = 3 cosh2 (1-x)
dy/dx = du/dx . dt/du. dy/dt
= -1. sinh (1-x). 3 cosh2 (1-x)
= -3 sinh (1-x). cosh2 (1-x)
TERIMA KASIHSelamat Belajar