TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL IIModul ini diajukan untuk melengkapi persyaratan tugas akhir mata kuliah Persamaan Direfensial II Disusun Oleh:NAMA : LINDA TRI ANDAYANI NPM : 200913500170KELAS : 7 APROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat Jakarta Selatan Telf./Fax.(021)7818718-78835283Page 1KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan dan tepat waktu. Makalah ini disusun agar pembaca dapat menambah wawasan pada mata kuliah PERSAMAAN DIFERENSIAL II, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Dalam menyusun makalah ini kami banyak menemukan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari kami maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada: ALLAH SWT . Kedua orang tua kami yang telah membantu kami Bpk Huri Suhendri selaku dosen Persamaan Direfensial II yang telah membimbing kami dalam penyusunan malakah ini sehingga makalah kami dapat terselesaikan dengan baik. Teman teman yang telah membantu kami untuk menyelesaikan modul kami.Jakarta, 14 September 2012 PenyusunDAFTAR ISI KATA PENGANTAR.............................................................................................i DAFTAR ISI...........................................................................................................ii A.Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien konstan..................1 1. P. D. L orde-n homogen dengan koefisien konstan................................2 2. P. D. L orde-n tak homogen a) Metode Wronsky............................................................................5 b) Metode inveres cara ke-1.............................................................10 c) Metode invers cara ke-2...............................................................14 d) Metode dalam bentuk sederhana................................................20B.Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien variabel 1. P. D. L Cauchy..........................................................................................22 2. P. D. L Legendre.......................................................................................23 C.Sistem Persamaan Diferensial Linier Simultan.............................................29Page 3Daftar Pustaka......................................................................................................33A. Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien konstan Bentuk umum Bentuk umum dalam operator diferensialDan seterusnya Sehingga dapat disingkat menjadiKeterangan :merupakan fungsi dari variabel x Jika merupakan konstanta disebut persamaan diferensial linier orde-n dengan koefisien konstantaJika orde bukan koefisien konstanta disebut persamaan diferensial liner orde-n dengan koefisien variabel Jika Jika orde-n maka disebut persamaan diferensial homogen orde-n maka disebut persamaan diferensial tidak homogen Contoh:1. 1 2.Jawab: 1. Persamaan diferensial linier homogen orde-4 dengan variabel konstan. 2. Persamaan diferensial linier tak homogen orde -2 dengan koefisien konstan. 3. Persamaan diferensial linier tidak homogen orde-5 dengan koefisien variabel. Latihan1.1P. D. L. Homogen orde-n dengan koefisien konstantaPage 51. Bentuk homogennyaAtau dapat disingkat menjadiAtau dapat dikeluarkan variabel x nya2. Langkah-langkah penyelesaian 1. Membuat persamaan karakteristik2. Menentukan akar-akar dari persamaan karakteristik a. Jika akar-akar rill berbedaSolusi umumnya adalahb. Jika akar-akar rill dan akar kembarSolusi umumnya adalahc. Jika akar-akar rill dan campuranSolusi umumnyad. Jika akar-akar bilangan kompleksDanSolusi umumnya adalahContoh:1.2.Jawab: 1.Jadi solusi umumnya adalah2.Page 7Jadi solusi umumnya adalah3. TinjauSolusi umunnya adalahLatihan1.I.P. D. L. Tak Homogen orde-n dengan koefisien konstan 1. Bentuk umum metode wronskyKarena jawab umum dariAtau (dengan subtitusi (2) dalam (1).Tinjau :Dimanaakan ditentukan lebiih lanjut.PilihsehinggaSubtistusi : (3),(5) dan (6) dalam (*)Page 9Dari (2) makamemenuhi sistempersamaan, (4) (7)Dimana : Disebut determinan WRONSKYJadiMaka solusi umumnya dariAdalah + Contoh soal: 1. tentukan jawaban umum dari PDJawab : Tinjau Persamaan karakteristikAdalah JadiDeterminan WRONSKY :JadiJadi solusi umumnya dari PD adalah :2.Jawab :Page 11Tinjau Persamaan karakteristikJadiw w w JadiSolusi umumnya adalah (3.TinjauPersamaan karakteristik :JadiJadiPage 13Maka solusi umumya adalahLatihan:1)2)2. Bentuk umum:PoP1P2...+ Pn-1Pny = Q dengan Q 0Po Dny + P1 Dn-1 y + P2 Dn-2y + . . . + Pn-1 Dy + Pn y = Q Atau (Po Dn + P1 Dn-1 + P2 Dn-2 + . . . + Pn-1 D + Pn)y = Q Solusi umum: Y = Yc +YpYc= solusi komplementer (solusi dari P.D. L. Homogen) Yp= solusi partikulerMenentukan Yp: a. Metode Invers Operator Bentuk umum P. D. L. tak homogen ditulis dalam bentuk F (D) y = Q sehingga: Yp = atau Yp = 1. Cara pertama Berdasarkan faktor riil linier dari F (D): Yp = Langkah penyelesaiana. Tentukan invers operator dari f (D) yaitub. Tentukan faktor riil linier dariyaitu:Yp= c. Secara berabtai tentukan Yp: Tahap 1: Misalnya: U = U = e 1x Tahap 2: Misalnya: V= V= e n-1x .n-1xQ (P.D.L Orde satu)1xdx. dxPage 15Tahap terakhir: Misal: S= S= e 1x .1xdxd. Yp merupakan hasil dari tahap terakhir Yp = s Contoh:+29 Persamaan karakteristiknya: (+ 100y = + 25 ) ( + 4 ) = 0maka solusi : y = mencariMisal : u u u u misal v = v vv maka solusi umumnya adalah1.+2+=10Jawab:Persamaan karakteristiknya: (+ 1 ) ( + 1 ) ( + 2 )= 0maka solusi : y = mencariMisal : u u u u misal v = v v vPage 17miasal w = w w w maka solusi umumnya adalah2.Jawab: Persamaan karakteristiknya: ( maka solusi : y = mencari 15 ) ( 4)=0Misal : u u u u misal v = vv v maka solusi umumnya adalah Latihan:1) 2)2. Cara kedua Bentuk dinyatakan sebagai jumlah n pecahan bagian darifakta sehingga: Yp = .Q=(Langkah penyelesaiana. Tentukan invers operator:Tentukan jumlah n pecahan bagian dariPage 19Dengan menggunakan koefisien kedua ruas, tentukan nilai N1, N2, . . . , Nn Subtitusikan N1, N2, . . . , Nn ke Yp: Yp = ( b. Tentukan Yp: Yp = N1 . e 1x . Contoh:-1x).Qdx + . . . + Nn . enx .nxdx+ 4 + 3y = Jawab: Persamaan karakteristiknya:maka : mencaridieliminasi menjadimaka solusi umumnya adalah+ 14 + 4y = Jawab: Persamaan karakteristiknya:maka :Page 21mencaridieliminasi menjadimaka solusi umumnya adalah1)+ Jawab:6y =Persamaan karakteristiknya:maka : mencariPage 23dieliminasi menjadimaka solusi umumnya adalah Metode dalam bentuk sederhana Metode koefisien tak-tentu dapat diterapkan haya jika dan semua turunanya dapat dituliskan dalam suku-suku himpunan finit yang sama dari fungsi-fungsi yang dapat indepanden secara linier, yang kita lambangkan dengan . Metode ini diawali dengan mengansumsikan bahwa solusi tertentunya memiliki bentukDimana melambangkan konstanta multiplikatif sembarang. Konstanta-kontanta sembarang ini kemudian ditentukan dengan melalui solusi yang diajukan kedalam persamaan diferensial yang ditentukan dan menyertakan koefisien-koefisien yang memiliki suku yang sama. Kasus 1. polonominal tingkat ke-n dalam x. Asumsikan solusinya membentukDimanaadalah konstan yang harus ditentukan.Kasus 2. dimana ka dan adalah konstantakonstanta yang diketahui. Asumsikan solusinya memiliki bentukKasus 3. dimana adalah konstanta-konstanta yang diketahui. Asumsikan solusinya memiliki bentukDimana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.Page 25Contoha. selesaikanJawab: Persamaan karakteristikJadi Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 1.kita mengansumsikanJadi . Dengan memasukkan haisl-hasil ini kedalam persamaan diferensil, kita memperolehAtau ekuivalen denganDengan menyertakan koefisisen-koefisien yang memiliki pangkat x yang sama, kita memperolehJika sistem ini diselesaikan, kita memperolehDan solusi umumnya adalahb. selesaikanPersamaan karakteristikJadi Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 2 dimana variabel independen x digantikan oleh dan . Dengan menggantikan Kita mengansumsikan .Jadi . Dengan memasukkan haisl-hasil ini kedalam persamaan diferensil, kita memperolehAtau ekuivalen dengan , maka menjadi , sehinggaDan solusi umumnya adalahc. selesaikanPersamaan karakteristikPage 27Jadi Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 2 dimana variabel independen x digantikan oleh dan . Dengan menggantikan Kita mengansumsikan .Dengan demikianDanDengan hasil-hasil ini masukkan kedalam persamaan diferensial, kita memperolehYang ekuivalen denganDengan menyertaka koefisien-koefisien dari suku-suku yang sama, kita memperolehMaka menjadiDan solusi umumnya adalahB. Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien variabel 1. Persamaan Diferensial Linier Cauchy Bentuk P.D:Po xn Atau dapat ditulis dalam polonom operator (Po x2 D2 + P1 xn-1 Dn-1 + . . . + Pn-1 x D +Pn)y = Q(x) dimana Po,P1, . . . ,Pn adalah konstan. Untuk menyelesaikan P.D ini dilakukan transformasi x = e2 untuk mereduksi P. D semula menjadi P.D unier orde n dengan koefisien konstan yaitu: Tranformasi x = e2 atau In x = z kemudian jika D didefinisikan oleh D = : xDy =Dy x2D2y = D (D-1) y x3D3y = D (D-1) (D-2) y xnDny = D (D-1) (D-2) (D-3) . . . (D-n + 1)y dan P.D semula teredukdi menjadi:Page 29[Po D (D-1)(D-2)(D-3) . . . (D-n + 1)+P1D (D-1)(D-2) . . . (D-n +2)+ . . . +Pn-1 D +Pn]y = Q(e2) P. D baru inni diselesaikan dengan cara telah dibahas pada v langkah menghitung solusi umum P.D chauchy 1. lakukanlah transformasi x = e2dan D = 2. P. D tereduksi menjadi P. D liner orde n dengan koefisien konstan didalam polinominal operator D 3. Selesaikanlah P. D baru ini dengan cara-cara pada bab v 4. gunakan transformasi Z = In x atau e2 = x untuk mendapatkan variabel semua 5. solusi umum P. D cauchy ditentukan 2. Persamaan Diferensial Linier Legendre Bentuk P. DPo (ax + b)nP1 (ax + b)n-1Pn-1 (ax + b)+ Pn y = Q(x)dimana Po, P1, . . . ,Pn adalah konstan Untuk menyelesaikan P. D ini dilakukan yaitu: Transformasi ax + b = e2 atau In (ax + b) = z jika D = (ax +b)Dy = aDy (ax +b)2D2y = a2D (D-1) y (ax +b)3D3y = a3 D(D-1) (D-2) y (ax +b)nDny = anD (D-1)(D-2)(D-3). . . (D-n +1)y dengan demikian P.D semula tranformasi ax+b=e2 untukmereduksi P. D semula menjadi P. D linier orde dengan koefisien konstantereduksi menjadi: [Po an D (D-1)(D-2) . . . (D-n +1) + P1 an-1D (D-1)(D-n+2) + . . . +Pn-1 Ad + Pn]y =Q[ ]P. D baru ini diselesaikan dengan cara yang telah dibahas pada bab 5 Langkah menghitung solusi umum P.D linier legendre:1. Lakukanlah transformasi ax + b = e2 dan d =2. P. D tereduksi menjadi P.D linier orde n dengan koefisien konstan didalam polinomial operator D 3. Selesaikanlah P.D baru ini dengan cara pada v4. Gunakanlah transformasi Z = In (ax b) dan e2 = ax + b untukmendapatkan variabel semula 5. Solusi umum P.D legerdre ditemukanContoh:1. Selesaikan Transformasi mengubah menjadiPenyelesaian lengkapnyaPage 312.[4D(D (4 (4 (4 (2 2Yc Tahap I: Yp Misal U: u u u 4z Misal V: vv v Tahap II: Yp Misal U: uuMisal V: v v vSolusi umumnya adalah3.Jawab:Page 33Mencari Ganti Mis U: u u u u u V: V= v v v solusi umumnya adalah4.Jawab:Mencari Ganti Mis U: u u u u u V:Page 35V= v v v solusi umumnya adalah5.Jawab:Mencari Ganti Mis U:u u u u u V: V= v v v solusi umumnya adalahLatihan1)y + 7xy + 9y = sin x 4 y + 8xy 15y = xPage 37C. Sistem Persamaan Diferensial Linier Simultan 1. Pengertian dari sistem persamaan linier simultan Sistem P.D Linier simultan adalah suatu sistem dari persamaan diferensial dengan dua atau lebih variabel tak bebas dan satu variabel bebas. Jumlah dari persamaan simultan sama dengan jumlah dari variabel tak bebasnya. Misalnya: (D-1) x + (D-5) y = e-tAtau (D+3) x + y = 2Jumlah dari persamaan simultan = 2 dan jumlah dari variabel tak bebas = 2 (yaitu x dan y). Solusi umum dari P.D simultan dapat diperoleh dengan cara menggunakan eliminasi dari variabel tak bebasnya. Jumlah konstanta sembarang yang ditampilakan dalam solusi umum derajat dalam simultan:Didalam melakukan eliminasi variabel tak bebas determinanini harusdiperhatikan. Jika sistem itu adalah tak bebas sehingga sistem ini tidak akan dipikirkan disini. Langkah mencari solusi umum sistem P.D Linier simultan: 1. Tulislah P.D didalam polinomial operator D untuk P. D. Linier dengan koefisien konstan, tetapi untuk P.D.L dengan koefisien variabel , tulislah P.D ini didalam polinomial D.2. Hitunglah determinan D Dengan memperhatikan determinan tak bebasnya ini, lakukanlah eliminasi variabelSelesaikanlah P.D hasil eliminasi itu dengan metode yang telah dibahas pada bab sebelumnya Hitung juga untuk variabel tak bebas yang lain Solusi umum sistem merupakan kumpulan dari variabel tak bebas yang telah diperoleh melalui eliminasi tadi Contoh:1. Selesaikan sistem : (D + 1)x + (D 1)y = et (D2 + D + 1)x + (D2 + D + 1)y = t2Jawablah : (D + 1)x + (D 1)y = et ...............................(1) (D2 + D + 1)x + (D2- D + 1)y = t2 ...............(2) Kenakanlah operator D2+ D + 1 pada pers(1) dan (D + 1) pada pers(2) dan kurangkanlah. Diperoleh : 2y = t2 + 2t 3et dan y = t2 + t - etKenakanlah operator D2- D + 1 pada pers (1) dan D 1 pada pers(2) dan kurangkanlah, diperoleh : 2x + t2 2t + et dan x = t2 t + etcatatlah = 2 adalah derajat 0 pada D, dengan demikian tak ada konstanta sebarang pada penyelesaiannya2. Selesaikan sistem :Page 39 D2x a2y = 0 D2y + a2x = 0Jawab : D2x a2y = 0 ..................(1) D2y + a2x = 0 ..................(2) Kenakan operator D2 pada pers(1) dan substitusikan D2y = -a2x dari pers (2), diperoleh : D4x a2(-a2x) = D4x + a4x = (D4 + a4)x = 0, maka D = dan x = ( )+ ( ) (1 )substitusikan untuk x pada pers (1) dan selesaikan y= x= ( )+ ( )3. Selesaikan sistem :Carilah persamaan khusus dimana Jawab : ..................(1) ...............................................(2) ......................................(3) Pertama, kenakanlah D pada pers(2) sehingga ...................(4) ,!selanjutnya tambahkan dua kali pers(3) pada pers(1) dan kurangkan pers(4) diperoleh ( , maka dan Dari pers(2), Dari pers(3) , ; maka, karena berderajat 2 dalam D terdapatlah dua konstanta sebarang dan penyelesaian umumnyaLatihana)b)c)d)Page 41e)DAFTAR PUSTAKAArjuna,Lilik.1983.Pengantar Penyelesaian Deret Integral Lipat Persamaan Diferensial.Bandung:ARMICO. Finizio. 21 Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, 1982. terjemahan oleh Widiarti Santoso. Jakarta : Erlangga Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta : Graha Ilmu Marga, M dan Ismail Bestari. 1985. Matematika Universitas. Bandung : Armico Nababan. 2005. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta : Universitas Terbuka Nugraha, Didit Budi. 2009. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta : Universitas Kristen Satya Wacana