Persamaan Diferensial Tinmgkat Satu

15/3/2014 hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740 1/15

You are currently using guest access (Login)

Mata Kuliah Layanan Dosen Layanan Mahasiswa

Download

Home Courses Mata Kuliah untuk Umum hibah24 Topic 1 Persamaan

Diferensial Tingkat Satu

Persamaan Differensial Biasa

1. Pengantar

Persamaan Diferensial Biasa memainkan peranan yang penting sebagai bahasa didalam

merumuskan dan menyelesaikan persoalan-persoalan yang melibatkan ilmu pengetahuan

dan keteknikan. Dalam bab ini pembicaraan dimulai dengan pernyataan yang jelas dari

definisi prinsip dan teorema yang berkaitan dengan Persamaan Diferensial Tingkat Satu

beserta ilustrasi dan deskriptif lainnya. Kemudian semua ini diikuti dengan sejumlah soal

terjawab sebagai contoh soal dan soal tambahan sebagai latihan beserta kunci jawabannya.

Suatu Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang menghasilkan fungsi yang tak

diketahui terhadap turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas Diklasifikasikan ada 2

jenis, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. Salah satu

klasifikasi yang jelas adalah dengan melihat apakah fungsi yang tak diketahui bergantung

pada satu atau lebih . Bila hanya satu disebut Persamaan Diferensial Biasa, jika fungsi yang

tak diketahui bergantung pada lebih dari satu peubah bebas, disebut Persamaan Diferensial

Parsial.

Contoh dari Persamaan Diferensial Biasa adalah :

1. Rangkaian Listrik seri RLC :

dimana Q(t) = muatan listrik , L= Induktor

R = Tahanan, C= Kapasitor

E(t) = Voltage

NAVIGATION

Home

Site pages

Current course

hibah24

General

Topic 1

Topic 2

Topic 3

Topic 4

Topic 5

Topic 6

Topic 7

Topic 8

Topic 9

Topic 10

Courses

Participants

Persamaan

Diferensial

Tingkat Satu

Quis bab 1



2. Persamaan gerak pegas tanpa redaman :

dimana y(t) = posisi massa pada saat t

m = massa

k = konstanta pegas

Contoh dari Persamaan Diferensial Parsial

1. Persamaan potensial

2. Persamaan difusi atau induksi panas.

2. PD Tingkat Satu

2.1 Pengertian Persamaan Diferensial dan Definisi-Definisi.

Banyak masalah penting dalam teknik, ilmu fisika dan ilmu sosial ketika diformasi dalam

bentuk matematika memerlukan penelitian dari suatu fungsi yang memenuhi suatu

permasalahan yang mengandung satu atau lebih derifatif dari fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan semacam ini disebut Persamaan Diferensial. Beberapa gambaran bagaimana

terbentuknya suatu Persamaan Diferensial diberikan dibawah ini :

1. Persamaan Geometri

1. Suatu kurva yang mempunyai koefisien arah (slope) garis singgungnya pada

setiap titik (x,y) sama dengan dua kali jumlah koordinat titik itu diberikan oleh

2. Kurva dengan syarat bahwa jumlah potongan (Intercepts) x dan y dengan garis

singgungnya selalu sama dengan 2, diberikan ilustrasi sebagai berikut:

Persamaan garis singgung kurva di titik ( x, y) adalah , sehingga

potongan garis singgung tsb dengan sumbu-sumbu koordinat :



PD yang menyatakan hal diatas adalah :

2. Masalah Fisika

Suatu peristiwa berpindahnya partikel yang bermassa m sepanjang garis lurus (sumbu

x) ke arah titik O dengan memperhatikan hal berikut ini :

1. Apabila dipilih arah positip ke kanan. Bilamana x > 0, gaya berarah ke kiri

(negatip), sehingga besarnya gaya adalah - k1 x. Bilamana x



Persamaan Diferensial orde 1 derajat 3

Penyelesaian suatu Persamaan Diferensial :

Penyelesaian suatu Persamaan Diferensial adalah suatu hubungan antara variabel-variabel

tanpa turunan dan yang memenuhi Persamaan Diferensial tersebut.

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) :

Adalah penyelesaian Persamaan Diferensial yang mengandung konstanta sebarang yang

banyaknya sama dengan tingkat dari Persamaan Diferensial tersebut.

Penyelesaian Khusus/Partkelir Persamaan Diferensial (PKPD)

Adalah penyelesaian Persamaan Diferensial yang diperoleh dari PUPD jika kedua konstanta-

konstanta sebarangnya diberi harga tertentu.

Contoh :

Persamaan Diferensial : y"-y'-2y=0

Penyelesain Umum Persamaan Diferensial (PUPD) :

Jika c1 dan c2 masing-masing diberi harga c1= 2 dan c2= 1, maka Penyelesaian

Khusus/Partkelir Persamaan Diferensial (PKPD) :

2.2. Metoda Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tingkat Satu:

2.2.1. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Bentuk Umum :

PUPD :

Persamaan Diferensial Dengan Variabel Yang Dapat Dipisahkan.

Bentuk Umum :

Dibagi dengan fungsi g(x) V (y ) diperoleh Persamaan Diferensial dengan variabel

terpisah yaitu :



PUPD :

Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial :

Penyelesaian dapat ditulis :

PUPD :

2.

diubah menjadi maka dengan mengintegralkan

menjadi

2.2.2 Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan Diferensial tingkat satu dan derajat satu disebut Persamaan Diferensial Homogen,

Jika Persamaan Diferensial tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

(2.1)

Sedang f(x,y) disebut homogen berderajat n jika :

Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial (2.1) dengan substitusi y=vx mereduksi

Persamaan Diferensial (2.1) menjadi Persamaan Diferensial terpisah.

Contoh :




Penyelesaian :

Substitusi y=vx dan dy= v dx + x dv : maka Persamaan Diferensial menjadi :

maka PUPD :

2.

Penyelesaian :

Misalkan y = vx

diperoleh PUPD :

3. Selesaikan :

BUKTIKAN

PUPD :

Atau



2.2.3. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu.

Bentuk umumnya :

Cara mendapatkan Penyelesaian umumnya : Gandakan Persamaan Diferensial dengan

Didapat :

PUPD :

Dimana : dinamakan faktor pengintegral dari Persamaan Diferensial.

Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial

Penyelesaian :

Faktor Pengintegral

PUPD :

atau



2. Selesaikan PD :

Penyelesaian :

Persamaan Diferensialnya dapat ditulis :

Faktor pengintegral

PUPD :

atau

2.2.4. Persamaan Diferensial Bernouli

Bentuk umumnya:

Substitusi : maka

Persamaan Diferensialnya menjadi :

Yang merupakan Persamaan Diferensial Tingkat Satu.

Contoh : Selesaikan Persamaan Diferensial :

1.

Penyelesaian : Substitusi



Persamaan Diferensial menjadi :

Faktor Pengintegral :

PUPD :

PUPD :

atau

2.

Buktikan PUPDnya :

2.2.5. Persamaan Diferensial Eksak.

Suatu Persamaan Diferensial dengan bentuk :

Disebut Persamaan Diferensial Eksak ; Jika ada suatu fungsi F(x,y) yang diferensial totalnya

sama dengan yaitu :

Teorema :

Syarat perlu dan cukup agar persamaan

merupakan Persamaan Diferensial Eksak adalah :

PUPD Eksak berbentuk F(x,y) = C, dimana

dan

Dari kedua hubungan ini dapat dicari F(x,y)sebagai berikut :



Dari maka atau

maka ,

Dimana : dx

menyatakan bahwa dalam integrasi y dipandang konstanta dan dalam hal ini R(y )adalah

konstanta integrasi.

dy

menyatakan bahwa dalam integrasi x dipandang konstan dan dalam hal ini Q(x )adalah

konstanta integrasi.

Jadi atau . (2.2)

R(y ) atau Q(x) ditentukan sebagai berikut :

(2.3)

Maka dari persamaan (2.3) diatas dapat ditemukan : R(y ) atau Q(x) lalu substitusi ke (2.2)

dan didapat :

PUPD :

Contoh : Selesaikan Persamaan Diferensial :

1.

Penyelesaian :

Disini : dan

Jadi Persamaan Diferensial adalah Eksak.

PUPD Eksak berbentuk



Jadi PUPD :

2. Persamaan Diferensial

Penyelesaian :

, Persamaan Diferensial diatas adalah eksak.

Dimisalkan PUPD : maka

PUPD :

2.2.6.Persamaan Diferensial Dengan Faktor Pengintegral :

Apabila Persamaan Diferensial tidak eksak, yaitu :

maka salah satu cara digunakan faktor pengintegral sedemikian Persamaan Diferensial

menjadi eksak.

Suatu fungsi yang tidak nol v(x,y) disebut faktor pengintegral untuk

, jika persamaan



diferensial adalah eksak.

Syarat perlu dan cukup untuk ini adalah :

atau

Menentukan Faktor Pengintegral :

1. Jika V = f(x) saja, maka :

dan , sehingga

, berubah menjadi

; atau

Jadi :

Karena V = f(x) ; maka juga hanya merupakan fungsi dari x saja

katakanlah h(x).

Sehingga

Jadi jika V = f(x), maka Persamaan Diferensial mempunyai faktor pengintegral

Buktikan bahwa jika adalah sebuah fungsi y saja , maka factor



pengintegral untuk adalah

Buktikan Jika V = f(x, y) atau V = f(z) dimana z=g(x,y) maka factor

pengintegral untuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 adalah

Contoh Soal :


Penyelesaian :

Disini : Pers. Dif. Tidak Eksak

Sedangkan

Faktor pengintegral :

Persamaan Diferensial (i) dikalikan dengan menjadi

Persamaan Diferensial Eksak

PUPD. Berbentuk F(x,y)=C



maka R(y) = C

PUPD

2.

Penyelesaian :

Pers. Dif. Tidak Eksak

Lanjutkan Mencari Vaktor

Pengintegral dan PUPD

3.

Penyelesaian :

Misalkan z= xy maka dan diperoleh



P3AI-ITS

Pusat Pengembangan Pendidikan dan Aktivitas Instruksional

You are currently using guest access (Login)

hibah24

Faktor pengintegral

Dengan demikian , PD eksaknya adalah

Yang mempunyai penyelesaian

Last modified: Friday, 21 December 2012, 9:54 AM

Persamaan Diferensial Tinmgkat Satu

Documents

Transcript of Persamaan Diferensial Tinmgkat Satu