ILUSTRASI FENOMENA FISIK

u(x,t)

ISOLATOR

X

t xo xt

PENENTUAN

MODEL MATEMATIKA

Aliran panas di dalam suatu benda homogen mengikuti persamaan

panas:

Dengan adalah suhu dalam benda tersebut, k adalah

konduktifitas

termal, s adalah panas jenis, dan r adalah kerapatan benda,

adalah

Laplacian dari u, dan relatif terhadap koordinat Kartesius x, y, z:

Sebagai salah satu penerapan penting, marilah kita tinjau suhu pada

suatu

batang atau kawat tipis panjang, yang irisan melintangnya konstan

Maka u tergantung hanya pada x dan waktu t dan

persamaan panasnya menjadi apa yang dinamakan

persamaan panas berdemensi-satu, yaitu:

penyelesaian

MODEL MATEMATIKA

Marilah kita mulai dengan kasus kedua ujung batangnya (x=0dan

x=L) dipertahankan pada suhu nol. Maka syarat-syaratbatasnya

adalah:

untuk setiap t > 0.

Jika f(x) adalah suhu awal batang tersebut, maka syaratawalnya

adalah:

diketahui

Selanjutnya, kita akan menentukan solusi u(x,t) bagi (1) yang

memenuhi (2)& (3).

Langkah Pertama. Dengan menerapkan metode pemisahan variabel,

mula-mula kita tentukan solusi bagi (1) yang memenuhi syarat batas (2)

Kita mulai dengan:

Sehingga diperoleh:

Kita simpulkan bahwa kedua ruas itu pasti sama dengan suatu konstanta

misalnya k.

Untuk , misalkan , sehingga kita peroleh dari (5):

Diperoleh:

Kita lihat bahwa ini menghasilkan dua persamaan diferensial

biasa:

Langkah Kedua. Kita perhatikan (6).

Dengan menggunakan pers. bantu diperoleh:

Solusi umumnya adalah:

Syarat batas atas (2) berakibat bahwa:

dan

Jika G=0, berimplikasi u=0 (tidak mungkin)

Jika G≠0, maka F(0)=0 dan F(L)=0.

Dari (8):

Untuk

Berdasarkan (*)& (**) diperoleh:

Dengan mengambil B=1, kita memperoleh solusi (6) yang

memenuhi (2):

Sekarang dari (7):

Integralkan kedua ruas:

Diketahui , maka:

Solusi umumnya adalah:

Jadi, fungsi-fungsi:

Merupakan solusi bagi pers. panas (1) yang memenuhi (2).

,

Langkah Ketiga. Untuk memperoleh solusi yang juga

memenuhi (3),

kita perhatikan:

(10)

CONTOH SOAL

Misalkan suhu di dalam sebatang tembaga yang telah

diisolasi

yang panjang 80 cm suhu awalnya adalah 100 sin (πx/80)° C

dan

ujung-ujungnya dipertahankan pada suhu 0°C. Berapa lama

sampai

suhu maksimum di dalam batang tembaga itu turun menjadi

50°C?

Data fisik untuk tembaga:

Kerapatan 8.92 gr/cm3, panas jenis 0,092 kal/°C, konduktifitas

termal 0.95 kal/cm det°C.

Penyelesaian

Diketahui : Panjang = L = 80 cm

Konduktivitas termal = K = 0,95 kal/cm det

°C

Panas jenis = s = 0,092 kal/gr °C

Kerapatan = ρ = 8,92 gr/cm3

Syarat awal menghasilkan:

Dari perhitungan di atas, kita peroleh:

Di dalam dibutuhkan , dengan

Sehingga diperoleh:

Solusi bagi adalah

Selanjutnya:

detik

menit