Diferensial & OptimalisasiDiferensial Fungsi MajemukOptimalisasiPenerapan dalam ekonomiParsial DiferensialParsial DiferensialSebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y = dy/dxSedangkan ika fungsi yg bersangkutan memiliki lebih dari satu variabel bebas! maka turunannya akan lebih dari satu macam! tergantung umlah variabel bebasnyaParsial DiferensialParsial DiferensialJika y = f(x! ")dandisebut derivatif parsial! dan disebut diferensial parsial! sedangkan dy disebut diferensial t#talJika p = f($! r! s)dzzdydxxydy+=xyzydxxydzzydsspdrrpdqqpdp++=Parsial DerivatifParsial Derivatif y = f(x%! x&! x'! (! xn) dimana xi (i = %! &! '! (! n) adalah variabel yg independen satu sama lainnya! tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhi variabel lainnya (variabel lainnya k#nstan)Jika variabel x% mengalami perubahan sebesar )x% sedangkan variabel lainnya (x&! x'! (! xn) tetap! maka y akan berubah sebesar )y* +aka ku#sien diferensi dapat ditulis:13 2 1 3 2 1 11) ,..., , , ( ) ,..., , , (xx x x x f x x x x x fxyn n +=Parsial DerivatifParsial Derivatif ,erivative y terhadap x% sebagaimana c#nt#h diatas disebut sebagai derivatif parsial dan dilambangkan dengan:-ungsi turunannya (derivative) adalah: 1011limxyxyx 1xyContoh (2): Derivative ParsialContoh (2): Derivative Parsial .arilah turunan parsial terhadap x% dan x& dari fungsi y = f(x%! x&) = 'x%& / x%x& /0x&&dengan menganggap x& k#nstan! turunan terhadap x% adalah:turunan terhadap x&:2 116 x xxy+ =1 218 x xxy+ =Contoh (3): Derivative ParsialContoh (3): Derivative Parsial.arilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y = f(u! v) = (u/0)('u/&v)dengan menganggap v k#nstan! turunan terhadap u adalah:turunan terhadap v:( ) ( ) 12 2 6 2 3 1 4 3 + + = + + + =v u v u uuy( ) ( ) ( ) 4 2 2 3 0 4 2 + = + + + =u v u uvyContoh (4): Derivative ParsialContoh (4): Derivative Parsial.arilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y = f(u! v) = ('u 1 &v)/(u&/'v)dengan menganggap v k#nstan! turunan terhadap u adalah:turunan terhadap v:( ) ( )( ) ( )22222239 4 332 2 3 3 3v uv uv uv uu v u v uuy++ + =+ +=( ) ( )( )( )( )2222239 233 2 3 3 2v uu uv uv u v uvy++ =+ + =Derivatif dari Parsial DerivatifDerivatif dari Parsial DerivatifSama seperti diferensial fungsi sederhana! derivatif fungsi maemuk uga dapat diturunkan kembaliJika y = x' / 2"& 30x&" 1 4x"& / 5" 1 6! maka turunan pertama y terhadap x dan ":turunan ke3&: 2 26 8 3 z xz xxy =8 12 4 102+ =xz x zzyz xxy8 622 =z xz x y12 82 = xzy12 1022 =z xx z y12 82 = %a%b&a&b% &Derivatif dari Parsial DerivatifDerivatif dari Parsial Derivatifturunan ke3': 633=xy823 = z xy%aa%ab823 = z xy1223 = z xy%ba%bb033=zy1223 = x zy&aa&ab1223 = x zy823 = x zy&ba&bbNilai EkstrimNilai Ekstrim7ntuk y = f(x! ") maka y akan mencapai titik ekstrimnya ika (necessary condition):7ntuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapai adalah maksimum atau minimum! maka (sufficient condition):0 =xy0 =zydan022zydan+aksimum+inimumContoh (5): itik EkstrimContoh (5): itik Ekstrim.arilah titik ekstrim dari fungsi:y = 3x& / %&x 1 "& / %8" 3 02selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum9%) :itik ekstrim: yx dan y" = 8y = 3(4)& / %&(4) 1 (2)& / %8(2) 1 02 = %4letak titik ekstrim adalah (4! %4! 2)'3dimensi6 0 12 2 = = + =x xxy5 0 10 2 = = + =z zzyContoh (5): itik EkstrimContoh (5): itik Ekstrim.arilah titik ekstrim dari fungsi:y = 3x& / %&x 1 "& / %8" 3 02selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum9&) Jenis titik ekstrim: yxx dan y"" :+aka titik ekstrim adalah titik maksimum dengan ymax = %4 0 222< =xy0 222< =zy!atihan!atihan.arilah titik ekstrim dari fungsi:p = '$& 1 %5$ / r& 1 5r / 28selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum9Optimalisasi "ers#aratOptimalisasi "ers#arat;ptimalisasi suatu fungsi #bektif (fungsi yg akan di#ptimalkanilai #ptimum diper#leh ketika turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan n#l (necessary condition)Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut adalah maksimum atau minimum! dapat diselidiki dari turunan keduanya (sufficient condition):Jika turunan kedua < 0, maka maksimumJika turunan kedua > 0, maka minimum$etode %&'stit&si$etode %&'stit&siJika fungsi #bektif: " = f(x! y)s*t* u = g(x! y) fungsi kendala %)manipulasi fungsi kendala menadi persamaan salah satu variabel&)Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsi #bektifitasnya').ari turunan pertama dari fungsi tersebut (untuk mencari nilai ekstrim)4)Selidiki maksimum/minimum denan men!ari turunan kedua sesuai denan "ers#aratan Contoh (() $etode %&'stit&siContoh (() $etode %&'stit&si? = 58@ 1 &@& 1 @A 1 'A& / %88A*(***( (%)s*t* @ / A = %& ********** (&)Bearrange (&): @ = %& 1 A (((* (')Substitusi (') ke (%):=58(%& 1 A) 1 &(%& 1 A)& 1 (%& 1 A)A1 'A& / %88A=C48 1 58A 1 &(%00 1 &0A 1 A&) 1 %&A/ A& 1 'A& / %88A=10A& / 24A /46& (((* (0)Contoh (() $etode %&'stit&siContoh (() $etode %&'stit&si,erivasi #rder ke3% persamaan (0): d?/dA = 815A / 24 = 8 AD = 6Substitusi nilai A ke ('): @D = %& 1 6 = 2Er#fit (?):? = 58(2) 1 &(2)& 1 (2)6 1 '(6)& / %88(6)= F545Jenis titik ekstrim:d&?/dA& = 35 G 8 titik ekstrim maksimum $etode !a)ran)e$etode !a)ran)eJika fungsi #bektif: " = f(x! y)s*t* u = g(x! y) fungsi kendala maka:=(x! y! $) = f(x! y) / $((%, #) & u)'ilai ("timum ter)adi "ada saat *% dan *# + 0 (necessary condition)'ilai ("timum adala, maksimum )ika *%% dan *## < 0 dan minimum )ika *%% dan *## > 0 (sufficient condition)Contoh (*) $etode !a)ran)eContoh (*) $etode !a)ran)e? = 58@ 1 &@& 1 @A 1 'A& / %88A*(***( (%)s*t* @ / A = %& ********** (&)-ungsi =agrangian:= = 58@ 1 &@& 1 @A 1 'A& / %88A / H(@ / A 1 %&),engan menggunakan derivatif parsial! s#lusi ditemukan pada saat f(") = 8:0 4 80 = + = Y XXL(((* (')Contoh (*) $etode !a)ran)eContoh (*) $etode !a)ran)eEersamaan (') dikurangi (0):58 1 0@ 1 A / H = 8%88 1 @ 1 4A / H = 81&8 1 '@ / 2A = 80 100 6 = + + = Y XYL(((* (0)0 12 = + =Y XL(((* (2)(((* (4)Contoh (*) $etode !a)ran)eContoh (*) $etode !a)ran)eIali (2) dengan ' dan umlahkan dengan (4): '@ / 'A 1 '4 = 81'@ / 2A 1 &8 = 85A 1 24 = 8 AD = 6 @ / 6 1 %& = 8 @D = 2 ? = 58(2) 1 &(2)& 1 2(6) 1 '(6)& / %88(6) = F545Jenis titik ekstrim: d&?/d@& = 30 G 8 d&?/dA& = 35 G 8 +asukkan nilai AD J @D ke (') atau (0)! nilai H:H = 12 1 0& / %88 = 12'titik esktrim maksimum!atihan!atihan.arilah titik ekstrim dari fungsi:" = &x / &y dengan kendala (syarat) x& / y& = 5Jelaskan enis titik ekstrim dan tentukan nilai ekstrim fungsi tersebut9Permintaan $ar+inalPermintaan $ar+inalKpabila & macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya! maka permintaan atas masing3masing barang akan fungsi#nal terhadap harga kedua barang tersebut Jika Lda = f(Ea! Eb) dan Ldb = f(Ea! Eb) maka:=aaPQdEermintaan marinal akan K berkenaan dengan Ea=baPQdEermintaan marinal akan K berkenaan dengan Eb=abPQdEermintaan marinal akan M berkenaan dengan Ea=bbPQdEermintaan marinal akan M berkenaan dengan EbElastisitas Permintaan ParsialElastisitas Permintaan ParsialNlastisitas permintaan (price elasticity of demand)Jika Lda = f(Ea! Eb) dan Ldb = f(Ea! Eb)! maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri:%)Marang a&)Marang bbbbbbbbQdPPQdPQdd ==--aaaaaaaQdPPQdPQdd ==--Elastisitas Permintaan ParsialElastisitas Permintaan ParsialNlastisitas Silang (cross elasticity of demand)Jika Lda = f(Ea! Eb) dan Ldb = f(Ea! Eb)! maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya:%)Nlastisitas silang barang a dengan barang b &)Nlastisitas silang barang b dengan barang abaababbaQdPPQdPQd==--abbabaabQdPPQdPQd==--Elastisitas Permintaan ParsialElastisitas Permintaan ParsialNlastisitas Silang (cross elasticity of demand)Jika danG 8 untuk Ea dan Eb tertentu! maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer)O karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanyaJika danP 8 untuk Ea dan Eb tertentu! maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi)O karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnyaabbaabbaContoh (,) Elastisitas 2 "aran)Contoh (,) Elastisitas 2 "aran)-ungsi permintaan atas & barang ditunukkan sbb:Lda(Ea&)(Eb') 1 % = 8Ldb(Ea')(Eb) 1 % = 8Qitunglah elastisitas permintaan masing3masing barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebutR%)Nlastisitas permintaan:manipulasi bentuk persamaan permintaan:3 23 21 ==b ab aaP PP PQd1 331 ==b ab abP PP PQdContoh (,) Elastisitas 2 "aran)Contoh (,) Elastisitas 2 "aran)%) Nlastisitas permintaan:cari Lda dan Ldb:bentuk persamaan elastisitas permintaannya:Marang a: elastis! barang b: elastis3uniter 3 32 =b aaaP PPQd2 3 =b abbP PPQd2 23 23 3 = = = b aab aaaaaaP PPP PQdPPQdd 11 32 3 = = = b abb abbbbbP P PP PQdPPQdd Contoh (,) Elastisitas 2 "aran)Contoh (,) Elastisitas 2 "aran)&) Nlastisitas silang:cari turunan pertama atas a dan b:bentuk persamaan elastisitas silangnya:Qubungan kedua barang adalah k#mplementer1 43 =b aabP PPQd4 23 =b abaP PPQd3 33 24 2 = = = b abb aabbaabP PPP PQdPPQd3 31 31 4 = = = b aab abaabbaP P PP PQdPPQd-&n)si "ia#a .a'&n)an-&n)si "ia#a .a'&n)anKndaikan sebuah perusahaan mempr#duksi & barang K dan M! dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan #leh LK dan LM sedangkan fungsi biaya . = f(LK! LM) maka:Eenerimaan dari barang K: BK = LK x EK = f(LK)Eenerimaan dari barang M: BM = LM x EM = f(LM)Eenerimaan t#tal: B = BK / BM = f(LK) / f(LM)-ungsi keuntungannya:S = B 1 . = Tf(LK) / f(LM)U 1 f(LK! LM) = g(LK! LM)-&n)si "ia#a .a'&n)an-&n)si "ia#a .a'&n)anIeuntungan akan #ptimum ketika S = 8::itik #ptimum adalah maksimum ika S G 8:0 = AQ0 = BQ022< AQ022< BQContoh (/) -&n)si "ia#a .a'&n)anContoh (/) -&n)si "ia#a .a'&n)anMiaya t#tal yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg mempr#duksi dua barang! @ dan A! adalah:. = L@& / 'LA& /L@LAQarga ual per unit masing3masing barang adalah E@ = 6 dan EA = &8Merapa unit tiap barang harus dipr#duksi agar keuntungan maksimumRMerapakah besarnya keuntungan maksimumRContoh (/) -&n)si "ia#a .a'&n)anContoh (/) -&n)si "ia#a .a'&n)anMerapa unit tiap barang harus dipr#duksi agar keuntungan maksimumRB@ = E@L@ = 6L@BA = EALA = &8LAB = 6L@ / &8LAS = 6L@ / &8LA 1 L@& 1 'LA& 1 L@LA6 1 &(&8 1 4LA) 1 LA = 8'' 1 %%LA = 8LA = 'LA = ' &8 1 4(') 1 L @ = 8L@ = & 0 2 . = = Y XXQ QQ0 6 20 = = X YYQ QQContoh (/) -&n)si "ia#a .a'&n)anContoh (/) -&n)si "ia#a .a'&n)anJika S@@ dan SAA G 8 maka titik maksimum:Mesarnya keuntungan maksimum:S = 6(&) / &8(') 1 (&)& 1 '(')& 1 (&)(')S = '6S#al ini uga dapat diselesaikan melalui persamaan marinalnya! S akan maksimum ketika +B = +.:+B@ = +.@ dan +BA = +.A0 222< = XQ0 622< = YQ$0 dan 1eseim'an)an 1ons&msi$0 dan 1eseim'an)an 1ons&msiJika kepuasan k#nsumen 7 dan barang3barang yg dik#nsumsinya $i = (i = %! &! '! (! n) maka:7 = f($%! $&! $'! (! $n )Seandainya untuk penyerderhanaan! diasumsikan bahVa se#rang k#nsumen hanya mengk#nsumsi & macam barang! @ dan A! maka fungsi utilitasnya:7 = f(x! y)-ungsi utilitas 7 = f(x! y) merupakan persamaan kurva indiferensi (indifference curve)