Maquinas de Turing EXAMEN

7/26/2019 Maquinas de Turing EXAMEN

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MQUINAS DE TURINGAutmata y lenguajes

5to semestreTomado de Harlntong In!


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De"n!n

De"nmos una m#$una de Turng !omo una %&tu'laM( )Q** *s*+*F* ,* donde

Qes un !onjunto "nto de estados

es un al"a+eto de entradaes un al"a+eto llamado alfabeto de la cintasQes el estado n!al+ es el s-m+olo +lan!oFQes el !onjunto de estados "nales o dea!e'ta!nd. QQ/L*R0 es una "un!n 'ar!al$ue se llamafuncin de transicin


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1a !nta

1a m#$una de Turng 'osee una !nta d2dda en !eldas* !ada!elda es !a'a3 de alma!enar un s-m+olo4

Adem#s 'osee una !a+e3a le!toraes!rtora $ue lee y es!r+e uns-m+olo en la !nta4 In!almente la !nta !ontene ben todas

sus !eldas41a "un!n de trans!ntrans"orma 'ares )q* , en ternas dela "orma )p* t*X,* dondepes el sguente estado* tes els-m+olo es!rto en la !nta yXes el mo2mento de la !a+e3a

le!toraes!rtora* $ue 'uede serLoR4a b b

6os!n de la!a+e3a

le!toraes!rtora

Estado nternoq7

)q7* a, ( )q5* b*R, b b b

6os!n de la!a+e3a

le!toraes!rtora

Estado nternoq5


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Re'resenta!n nstant#neaSe 'uede dar una des!r'!n nstant#nea de la m#$una deTurng smlar a la de los AD6ND )AUT8MATAS DE6I1A N8 DETERMINISTA,* 'ara la trans!n anterorser-a

)q7* abb, 9: )q5* bbb,

el !ar#!ter su+rayado nd!a la 'os!n de la !a+e3ale!toraes!rtora4

8tra 'os+ldad es ante'oner el estado a!tual al !ar#!ter

se;alado 'or la !a+e3a le!toraes!rtora !omo se muestra

q7abb9: bq5bb


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M#$unas de Turng !omo

a!e'tadores de lenguajesSeaM( )Q* * *s* +*F* , una m#$una de Turng4 Enton!esel lenguaje a!e'tado 'orMes

L)M, ( /w< = q7w9:< w7pw>'arapFy wi


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Ejem'loEl lenguaje regular a< es a!e'tado 'or la m#$una Q( /q7* q>0* s( q7*F( /q>0* )q7* a, ( )q7* a*R, y )q7* #, ( )q>* #*R,

Tam+@n 'uede se a!e'tar 'or la m#$una.

Q( /q7* q> * q0* s ( q7*F( /q0*

)q7* a, ( )q7* a*R, )q>* a, ( )q>* a*R,)q7* b, ( )q>* b*R, )q>* b, ( )q>* b*R,

)q7* #, ( )q* #*R, )q>* #, ( )q>* #*R,


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Ejem'loEl lenguaje anbnes a!e'tado 'or la m#$una Q( /q7* q> * q * qB *qB0* s ( q7*F( /q50

)q7* a, ( )q>* c*R, )q>* d, ( )q>* d*R,

)q>* a, ( )q>* a*R, )q>* b, ( )q* d*L,

)q* d, ( )q* d*L, )q* a, ( )q* a*L,

)q* c, ( )q7* c*R,

)q7* d, ( )qB* d*R, )qB* d, ( )qB* d*R,

)qB* #, ( )q

5* #*L,


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Ejem'lo

El sguente gra"o muestra una m#$una de Turng trans"ormauna !adena de la "orma anbamen an+mbmedante la sguente

"un!n de trans!n.

)q7* a, ( )q7* a*R,)q7* b, ( )q>* a*R,

)q>* a, ( )q>* a*R,)q>* C, ( )q* C*L,)q* a, ( )qB* b*L,)qB* a, ( )qB* a*L,

)qB* C, ( )q5* C*R,


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Ma$unas de Turng y lenguajes

Una m#$una de Turng $ue a!e'ta un lenguaje no ne!estadetenerse 'ara !ual$uer !adena de entrada* solo 'ara las $ue

'ertene!en al lenguaje4Hay lenguajes RE 'ara los !uales nnguna m#$una de Turng$ue los a!e'te 'ara !on todas las entradas4

1a su+!lase de lenguajes $ue son a!e'tados al menos 'or unam#$una de Turng $ue 'ara !on toda !adena de entrada sellaman lenguajes recursivos4


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un!ones Turng !om'uta+lesSe d!e $ue una "un!n de !adena " e sTurng !om'uta+le seste una m#$una de TurngM( )Q* * * q7* C*F* , 'ara la!ual q7w !" qf u'ara algFn qf F* !uandof )w, ( u

1a "un!nf)m* n, ( m nse 'uede m'lementar !on

)q7* a, ( )q7* a*R, )q* a, ( )qB* b*L,

)q7* b, ( )q>* a*R, )qB* a, ( )qB* a*L,

)q>* a, ( )q>* a*R, )qB* #, ( )q5* #*R,

)q>* c, ( )q* b*L,


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aa*R

ba*R

aa*R

CC*L ab*L CC*R

aa*L

q> q qB q5q7

Dagrama de estados


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Ejem'lo1a sguente m#$una de Turng re!ono!e el lenguaje anbn4

)q7* a, ( )q>* c*R,

)q>* a, ( )q>* a*R,)q>* d, ( )q>* d*R,)q>* b, ( )q* d*L,)q* d, ( )q* d*L,

)q* a, ( )q* a*L,)q* c, ( )q7* c*R,)q7* d, ( )qB* d*R,)qB* d, ( )qB* d*R,

)qB* +, ( )q5* +*L,

aa*Lac*R

aa*R

dd*R

++*L

dd*R

q7q> q

qB

q5

bd*L

dd*R dd*L

cc*

R


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onstru!!n de M#$unas de TurngDe"n!n4 Sean M7 y M> dos m#$unas de Turng so+re el msmo al"a+eto de entrada

y el msmo al"a+eto de salda * dondeM7( )Q* * *s7* +*F7* 7,

M>( )Q* * *s>* +*F>* >,

se su'one Q7Q>( * 1a !om'os!n de m#$unas de TurngM7yM>es la m#$una

de TurngM( )Q* * *s* +*F* ,* $ue se denota 'orM7M>4 dondeQ ( Q7Q>

s$s7

F $ F>

7)q* , s qQ7y 7)q* , )p* *X, pF7

$ >)q* , s qQ>

)s>* *X, s qQ7y 7)q* , ()p* *X, 'ara algFnpF7/


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lo$ues de !onstru!!nDe"nmosR+!omo lam#$unaM7!onF7( /qB0 !on

7)q7* a, ( )q>* a*R,7)q7* C, ( )q>* C*R,7)q>* a, ( )q>* a*R,7)q>* C, ( )q* C*L,

7)q* C, ( )qB* C*R,7)q* a, ( )qB* a*R,

Mue2e la !a+e3a le!es! ?asta la 'os!n delsguente +lan!o a la dere!?a4

De"nmos lam#$unaM>!onF>( /p>0 !on

>)p7* a, ( )p>* a*R,>)p7* C, ( )p>* a*R,

Es!r+e aen la 'os!n de la !a+e3a le!es!4

Se re'resenta 'or el s-m+olo a4

De"nmosM7M>estar# dada 'or

)q7* a, ( )q>* a*R,)q7* C, ( )q>* C*R,)q>* a, ( )q>* a*R,)q>* C, ( )q* C*L,

)q* C, ( )p7* C*R,)q* a, ( )p7* a*R,)p7* a, ( )p>* a*R,)p7* C, ( )p>* a*R,

!onF( /p>0

Se mue2e al sguente +lan!o a la dere!?a yes!r+e una a4


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Ejem'lo

a a a a a a

a+e3a le!es!

Antes deRCRC

a a a a a a

a+e3a le!es!

Des'u@s deRCRC

C


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8tra "orma deRC

)q*

,

C ( C

q7 )q>* *R, )q>* C*R,

q> )q>* *R, )q* C*L,

q )qB* *R, )qB* C*R,


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L+Esta m#$una +us!a el 'rmer s-m+olo de la 3$uerda $ue nosea +lan!o4

)q*

,

( C C

q7 )q>* C*L, )q>* *L,

q> )q>* C*L, )q* *R,

q )qB* C*L, )qB* *L,


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Ejem'lo

a a a a a a

a+e3a le!es!

Antes deRCLC

a a a a a a

a+e3a le!es!

Des'u@s deRCLC


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8tras m#$unas Ftles

)q*,

q7 )q>* a*R,

q> )q>* *L,

Es!r+e el s-m+olo a so+re la !nta y deja la !a+e3a so+re el s-m+olo

)q*, ( C ( a

q7 )q>* C*L, )qB* a*L,

q> )q* C*R, )q* a*R,

qB

)q5

* C*R, )q5

* a*R,

1a sguente m#$una termna en qs el s-m+olo en la !nta es un+lan!o y termna en q5s es una a4 Esta m#$una re'resenta una+"ur!a!n y se re'resenta medante dos "le!?as4

( C

( a


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M#$una de Turng $ue !am+a aes 'or +es y +es 'or aes4

( a

( b

R b

a

En el smulador JT.


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le!?as mFlt'les

Ra% b% C

RR

a

Rb

CRR o R>

aR b

( a

aR b

a


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Des'la3amento de una !adena w

L> CRaRCR ( a

R

( C

( b

CRb

L> CRRCR C

R

( CEl s-m+olo nd!a$ue la m#$unare!uerda !uals-m+olo es!r+so+re C4

&R

En el smulador JT.


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Re!ono!edor de ww'

CRCL LCR (

( C

C

C C

C

(C

C

6ara en estado de a!e'ta!n 6ara en estado de no a!e'ta!n

CRCL LCR (

( C

C

C C

C

(C

+

6ara en estado de a!e'ta!n


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Mod"!a!ones de las m#$unas de

TurngTrans!ones sn mo2mento de la !a+e3a le!es!4 Mod"!ar

. Q Q /R*L0

6or. Q Q /R*L% &0

Donde S sgn"!a 'ermane!er46uede o+tenerse !on una m#$una normal agregando

)q* , ( )p(* K*R, y )p(* , ( )p* *L,


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nta d2dda en su+!eldas

a a a a

a b a a

a b b a

1a !nta !ontene mFlt'les !ara!teres4 El mo2mento de la!a+e3a de'ender# del estado a!tual y de la n&tu'la $uere'resente el !ontendo a!tual4


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Suma +naraEl al"a+eto estar# "ormado 'or las ternas.

)+* +* +, )7* 7* +, )7* 7* L, )7* 7* 7,)L* L* +, )L* L* L, )L* L* 7, )+* +* 7,)L* 7* +, )L* 7* L, )L* 7* 7,)7* L* +, )7* L* L, )7* L* 7,

6rmero +us!ar# el etremo dere!?o medante

)q7* , ( )q7* *R, s )+* +* +,)q7* , ( )q>* *L, s ( )+* +* +,

adem#s.

)q>* )L* L* +,, ( )q>* )L* L* L,*L, )q* )L* L* +,, ( )q>* )L* L* 7,*L,

)q>* )L* 7* +,, ( )q>* )L* 7* 7,*L, )q* )L* 7* +,, ( )q* )L* 7* L,*L,

)q>* )7* L* +,, ( )q>* )7* L* 7,*L, )q* )7* L* +,, ( )q* )7* L* L,*L,

)q>* )7* 7* +,, ( )q* )L* L* L,*L, )q* )7* 7* +,, ( )q* )7* 7* 7,*L,

)q>* )+* +* +,, ( )qB* )+* +* L,* &, )q* )+* +* +,, ( )q>* )+* +* 7,* &,


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nta semn"nta

a a a a + +a a +

M#$una de Turng !on una !nta semn"nta4

M#$una de Turng !on una !nta n"nta 'uedesmularse !on una !nta semn"nta de dos 'stas

a b a a + +a a +

a a b a

+ +a a +"

* )b* +,* )&% L,,)q>* )b* a,, ( )q>* )b* a,* )R% L,,)q>* )+* +,, ( )q* )+* +,* )R% L,,

a a b b

a a

a a b b

a

a a b b

aa

a a b b

aa

a a b b

aa

a a b b

estado. q7 estado. q7 estado. q7

estado. q> estado. q> estado. q>


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M#$una Un2ersal de Turnguna m#$una Un2ersal de Turng es una m#$una $ue a 'artr de una

des!r'!n de una m#$una de TurngM y una !adena de entrada w* smula el!om'ortamento deMso+re la !adena w4

Su'onemos $ue Q ( /q7* q>* 444* qn0 donde q7es el estado n!al y q>es el Fn!oestado de a!e'ta!n4 Adem#s ( /7* >* 444* m0 donde 7es el s-m+olo+lan!o4

od"!amos M de la sguente manerare'resentamos q7'or 7

re'resentamos q>'or 77* et!

re'resentamos 7'or 7

re'resentamos >'or 77* et!

re'resentamosL'or 7 y re'resentamosR'or 77

Ejem'lo. )q* 7, ( )qB* * 1, L777L7LL7777L777L7L


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M#$una Un2ersal de Turng

1a m#$una de Turng Un2ersalMu!onsta de tres !ntas

7er !nta O la !od"!a!n deM en uno y !eros4

>a4 !nta O la !od"!a!n del !ontendo de la !nta deMenunos y !eros4

a4 !nta O la !od"!a!n del estado a!tual !od"!ado deM4


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6ro+lema de la 'arada

El problema de la paradao problema de la detencin'aram#$unas de Turng es el ejem'lo de 'ro+lema rresolu+le m#s!ono!do4

onsste en determnar s una m#$una de Turng se detendr#!on !erta entrada* o +en $uedar# en un !!lo n"nto4

Este "ue el 'rmer 'ro+lema $ue se demostr "ormalmente $ue

no ten-a solu!n4


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6ro+lema de la 'arada

Definicin

Sea M una m#$una de Turng ar+trara !on un al"a+eto de

entrada P4 Sea 4 6uede de!drse s la m#$una M sedetendr# !on la entrada

Demostracin

6ara demostrarlo* su'ongamos $ue el 'ro+lema de la 'aradatene solu!n* es de!r* su'ondremos $ue este una m#$unade Turng $ue es !a'a3 de determnar s otra m#$una de

Turng 'ara !on una entrada determnada4


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6ro+lema de la 'aradaonsderemos una m#$una de Turng 6* $ue re!+e !omoentrada una m#$una de Turng M y una !adena !od"!adas en la !nta y una a !ontnua!n de la otra

)M,* y $ue se en!arga de eje!utar M so+re la !adena 41a m#$una 6 'arar# y a!e'tar# la entrada s M 'ara !on *y 'arar# y re!?a3ar# la entrada s M no 'ara !on 4


35/43

Mod"!amos la m#$una 6* !reando una m#$una 6e$u2alente4

Esta m#$una no 'arar# s M 'ara !on * y 'arar# s M no'ara !on 4


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A?ora !rearemos una m#$una D* !uya "un!n es la sguente4

Re!+e una m#$una M* la 'asa 'or una m#$una $ue se en!arga de !o'arla m#$una M a !ontnua!n4 6or lo tanto* a la salda de la m#$una !o'a*

la !nta !ontendr# MM )la !od"!a!n de la m#$una re'etda,4A !ontnua!n* D !oge este resultado y lo 'asa a tra2@s de 64 on estontentamos de!dr s la m#$una M 'ara !on la entrada M4 Es de!r* s M'ara !on la entrada M* enton!es D no 'ara* y s M no 'ara !on la entradaM* enton!es D 'ara4


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6or Fltmo* tomaremos una m#$una D )denomnaremos SD,* y le a'l!aremos!omo entrada una m#$una D4 SD a'l!a !omo entrada a la m#$una $ue re!+e*la msma m#$una46or lo tanto* esta m#$una en 'rn!'o 'arar# s D no 'ara !on entrada D* y no'arar# s D 'ara !on entrada D4 6ero s SD no 'ara y s D 'ara !on entrada D*sa+endo $ue D(SD* llegamos a una !ontrad!!n* 'or $ue a'l!ar D a SDde+er-a dar !omo resultado lo msmo $ue a'l!ar D so+re D4Del msmo modo 'ara el otro !aso4 6or lo tanto* el 'ro+lema de la 'arada notene solu!n48+tendo dehttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_parada


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1enguajes re!urs2amente

enumera+lesUn lenguajeLso+re un al"a+eto se d!e $ue es re!urs2amenteenumera+le s es a!e'tado 'or una m#$una de Turng4

Un lenguajeLes re!urs2o sLes re!urs2amente enumera+le y?ay alguna m#$una de Turgn $ue 'ara so+re todas las entradas$ue a!e'taL4


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M#$una 'ara re!ono!er un lenguaje

regularSeaM( )Q* *s*F* ,* un autmata "nto determnsta* Se 'uede!onstrur una m#$una de Turng $ue re!ono3!a el lenguajere!ono!do 'orM*M(( )Q(* K* *s(* C*F(* K,* donde

QK ( Q/qK0

K (

( /#0

FK ( /qK0

K)q* , ( )K)q* ,* * R, 'ara todo qQy

K)q* #, ( )q* C* S, 'ara todo qQ


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Gram#t!as no restrngdasUna gram#t!a no restrngda )tam+@n se !ono!e !omo unagram#t!a estru!turada 'or "rases, es una B&tu'la )( )** * &*,*donde

*es el al"a+eto de s-m+olos no termnaleses el al"a+eto de s-m+olos termnales

&*es el s-m+olo n!al

es un !onjunto de 'rodu!!ones de la "orma * donde )*,u )*,


41/43

Ejem'lo

& a&,- a,-

-, ,-

a, ab

b, bb

b- bc

c- cc

1a 'rodu!!n -, ,-nter!am+a losno termnales,y -* o+tenendo una!adena de la "orma an,n-n4

1as 'rodu!!ones a, ab y b, bbtrans"orman toda,en b* o+tenendoanbn-n4

1as 'rodu!!ones b- bcy c- cc

trans"orman toda -en c* o+tenendoanbncn


42/43

Ejem'lo

& .-a,

-a aa-

-, /, 0

a/ /a

./ .-

a0 0a

.0

.y,a!tFan !omo mar!adores de "nal de la

!adena de aes4-se des'la3a a la dere!?a al du'l!arse el nFmerode aes ?asta $ue est# junto a,* enton!es setrans"orma en/4

/se des'la3a ?a!a la 3$uerda ?asta $ueen!uentra una.* y enton!es se !on2erte en -4

uando -,se reem'la3a 'or0* termna la

genera!n de aes4Enton!es0se des'la3a a la 3$uerda ?asta $ueen!uentra la A* momento en el !ual se elmna.04

1enguaje generado. 1

a

>


43/43

1a Jerar$u-a de ?omsVy

Tipo Language AutmataNormas de produccin

de gramticas

L

re!urs2amente

enumera+le )1RE, M#$una de Turng )MT, Sn restr!!ones

7 de'endente del!onteto )1S,Autmata lnealmentea!otado W.X Y WZX

> nde'endente del!onteto )11, Autmata !on 'la .Y Z

regular )R1, Autmata "nto .Y a,

.Y a

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