MAKALAH ZAT PADAT

ELEKTRON BEBAS DALAM LOGAM

Elektron Bebas Oleh :

Nurainy Kusumawati (140310100010)

Nia Restu Juliantie (140310100062)

Elektron Terkuantisasi oleh :

Jahid Akbar (140310100006)

Samsul Ari (140310100084)

Fadly Rizki Pratama (140310100088)

Elektron Dalam Logam oleh :

Yusuf Akbar (140310100008)

Ronald Samuel P (140310100044)

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN

2013

BAB 1

PENDAHULUAN

Fisika zat padat adalah ilmu yang mempelajari secara spesifik mengenai

Kristal dan elektron di dalam kristal. Pengetahuan tentang kristal mulai ditekuni

pada Awal abad ke-19 yang diikuti dengan ditemukannya difraksi sinar-X.

Dengan Menggunakan difraksi X dan dilandasi oleh landasan teoritis yang

memadai serta dikemukakannya perhitungan yang sederhana dan perkiraan yang

tepat dapat mempelajari struktur kristal.

Istilah "kristal" memiliki makna yang sudah ditentukan dalam ilmu

material dan fisika zat padat, dalam kehidupan sehari-hari "kristal" merujuk pada

benda padat yang menunjukkan bentuk geometri tertentu. Berbagai bentuk kristal

tersebut dapat ditemukan di alam. Bentuk-bentuk kristal ini bergantung pada jenis

ikatan molekuler antara atom-atom untuk menentukan strukturnya. Bunga salju,

intan, dan garam dapur adalah contoh-contoh kristal. Kristal adalah suatu padatan

yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas secara teratur dan polanya

berulang melebar secara tiga dimensi. Secara umum, zat cair membentuk kristal

ketika mengalami proses pemadatan. Pada kondisi ideal, hasilnya bisa berupa

kristal tunggal, yang semua atom-atom dalam padatannya "terpasang" pada kisi

atau struktur kristal yang sama, tapi, secara umum, kebanyakan kristal terbentuk

secara simultan sehingga menghasilkan padatan polikristalin. Misalnya,

kebanyakan logam yang kita temui sehari-hari merupakan polikristal. Struktur

kristal mana yang akan terbentuk dari suatu cairan tergantung pada kimia

cairannya sendiri, kondisi ketika terjadi pemadatan, dan tekanan ambien. Proses

terbentuknya struktur kristalin dikenal sebagai kristalisasi. Kristal logam kristal

dengan kisi yang terdiri atas atom logam yang terikat melalui ikatan logam. Atom

logam merupakan atom yang memiliki energi ionisasi kecil sehingga elektron

valensinya mudah lepas dan menyebabkan atom membentuk kation. Bila dua

atom logam saling mendekat, maka akan terjadi tumpah tindih antara orbital-

orbitalnya sehingga membentuk suatu orbital molekul. Semakin banyak atom

logam yang saling berinteraksi, maka akan semakin banyak terjadi tumpang tindih

orbital sehingga membentuk suatu orbital molekul baru. Terjadinya tumpang

tindih orbital yang berulang-ulang menyebabkan elektron-elektron pada kulit

terluar setiap atom dipengaruhi oleh atom lain sehingga dapat bergerak bebas di

dalam kisi.

Salah satu sifat kristal logam adalah dapat ditempa. Sifat ini diperoleh dari ikatan

logam yang membentuknya. Dalam ikatan logam, terjadi interaksi antara atom/ion

dengan elektron bebas di sekitarnya sehingga dapat membuat logam

mempertahankan strukturnya bila diberikan suatu gaya yang kuat.

BAB II

TEORI DASAR

A. Electron Bebas

Semua material terdiri dari molekul, dan molekul juga terdiri dari atom.

Atom mempunyai suatu inti dengan elektron yang beredar disekitarnya. Inti atom

terdiri dari kutub positif (proton) dan negatif (elektron). Kebanyakan atom dikenal

hanya memiliki proton dan elektron. Elektron memiliki muatan listrik negatif (-),

sedangkan proton memiliki muatan positif (+). Netron tidak memiliki muatan

listrik atau netral. Muatan listrik negatif yang dimiliki oleh elektron seimbang

dengan muatan listrik positif yang dimiliki oleh proton. Hal ini dikenal sebagai

ikatan elektron.    

Elektron adalah partikel subatom yang bermuatan negatif dan umumnya

ditulis sebagai e-. Elektron tidak memiliki komponen dasar ataupun substruktur

apapun yang diketahui, sehingga ia dipercayai sebagai partikel elementer.

Elektron memiliki massa sekitar 1/1836 massa proton. Momentum sudut (spin)

instrinsik elektron adalah setengah nilai integer dalam satuan ħ, yang berarti

bahwa ia termasuk fermion. Antipartikel elektron disebut sebagai positron, yang

identik dengan elektron, tapi bermuatan positif. Ketika sebuah elektron

bertumbukan dengan positron, keduanya kemungkinan dapat saling berhambur

ataupun musnah total, menghasilan sepasang (atau lebih) foton sinar gama.

Elektron, yang termasuk ke dalam generasi keluarga partikel lepton pertama,

berpartisipasi dalam interaksi gravitasi, interaksi elektromagnetik dan interaksi

lemah. Sama seperti semua materi, elektron memiliki sifat bak partikel maupun

bak gelombang (dualitas gelombang-partikel), sehingga ia dapat bertumbukan

dengan partikel lain dan berdifraksi seperti cahaya. Oleh karena elektron termasuk

fermion, dua elektron berbeda tidak dapat menduduki keadaan kuantum yang

sama sesuai dengan asas pengecualian Pauli.

Elektron yang berada di luar ikatan, dapat beredar bebas dari aplikasi gaya

luar, seperti pergerakan melalui medan magnet, friksi atau pengaruh kimia.

Elektron tersebut dikenal sebagai elektron bebas. Elektron bebas dapat

meninggalkan garis edarnya, dimana dapat diisi oleh elektron yang memaksa

keluar dari garis edar pada atom yang lain. Elektron bebas berpindah satu atom ke

atom berikutnya, disitulah arus elektron diproduksi. Ini adalah prinsip dasar dari

kelistrikan.

B. Model Elektron Bebas Klasik

Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron

bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam

kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah

geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh

lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.

Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak

keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar

titik kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat

medan listrik ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul

dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron.

Jika waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ , maka

kecepatan hanyut dalam selang waktu tersebut

Oleh karena itu rapat arus yang terjadi

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan

volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu

menjadi

Karena hubungan Jx=σε, maka konduktivitas listrik menjadi

Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar

5.107(Ωm)-1 dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas

mo=9,1.10-31kg, maka didapatkan nilai τ berorde 10-14 s. Contoh analisa lain

adalah konduktivitas termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien

suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus

kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan

gradien suhu ∂T/∂x

Qe = -K ∂T/∂x

dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan

sepenuhnya oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan

elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka

konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni K fonon 10≅ -

2K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.

Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal

dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan

volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena

CV =(3/2)nk, (1/2)mv2

=(3/2)kT dan l=vτ , maka konduktivitas menjadi

Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah

Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853).

Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz

Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk

suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K).

Tetapi, untuk suhu “intermediate”, K/σT bergantung pada suhu. Dalam teori

drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung suhu.

Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan

Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ~T-1, sehingga dari ungkapan

konduktivitas listrik didapatkan

Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun.

Hal ini tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak

memadai.

Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.

a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam

volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing

bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas

ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas).

c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron

bebas sangat besar.

d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang

potensial di permukaan batas.

Dalam pendekatan ini elektron-elektron dapat dipandang seperti partikel

gas ideal. Sebagai contoh, perhatikan logam natrium (11Na). Atom natrium

memiliki konfigurasi elektron : 1s2-2s

2-2p

6-3s

1. Elektron-elektron pada

orbitan 1s sampai dengan 2p membentuk struktur kulit penuh. Elektron-

elektron ini bersama dengan inti atom membentuk teras atom. Sedangkan

elektron yang ke 11 pada orbitan 3s merupakan elektron valensi. Elektron

valensi inilah yang menjadi elektron bebas apabila atom-atom natrium

membentuk kristal logam. Lihat kembali “Ikatan logam” pada Bab I.

Secara umum bila suatu logam mempunyai rapat massa mρ tersusun oleh

atom-atom dengan elektron valensi Z, dan massa atom yang bersangkutan M,

maka konsentrasi elektron bebas pada logam tesebut adalah :

(3.1)

NA adalah bilangan Avogadro. Konsentrasi elektron pada persamaan (3.1)

tersebut dinyatakan dalam satuan elektron/cm3 atau elektron/m3 dan biasanya

hanya ditulis cm-3 atau m-3.

a. Hantaran Listrik

Perhatikan seutas kawat sepanjang L dengan penampang A, ujung-ujung

kawat (C dan D) diberi beda potensial VCD, dan nilai hambatan kawat adalah R.

Dalam kawat mengalir arus listrik I serta timbul medan listrik E, seperti pada

gambar. menurut Hukum Ohm, kuat arus listrik dalam kawat :

Selanjutnya dapat ditulis rumus-rumus lainnya yang menyangkut :

dengan ρ menyatakan resistivitas listrik bahan kawat, dan dapat dituliskan dalam

hubungannya dengan konduktivitas listrik σ:

Dari persamaan-persamaan di atas, hokum Ohm seperti pada persamaan (3.2)

dapat dituliskan kembali dalam bentuk :

Semua besaran listrik di atas merupakan besaran makroskopik yang dapat diukur

atau ditentukan secara langsung. bagaimanakah mekanisme elektron

menghantarkan listrik sehingga persamaan-persamaan di atas dapat terpenuhi ?

Pada gambar elektron bergerak dipercepat ke arah kanan sebagai akibat

penerapan medan listrik ke arah kiri. Dalam gerakannya elektron menumbuk dan

dihamburkan oleh atom-atom. Tumbukan dengan atom-atom ini menimbulkan

“daya hambat” yang dialami elektron, yang akan mengimbangi gaya medan listrik

pada elektron. Keadaan demikian dapat diungkapkan melalui persamaan gerak

sebagai berikut :

dengan m*

menyatakan massa efektif elektron, v kecepatan elektron, e muatan

elektron, t waktu dan τwaktu relaksasi tumbukan (waktu antara dua kali tumbukan

berurutan). suku kedua ruas kanan pada persamaan (3.6) merupakan gaya hambat

yang seperti “gaya gesek” stokes pada percobaan pengukuran Viskositas cairan.

Perimbangan antara gaya oleh medan dan gaya hambatan akan menghasilkan

keadaan tunak (stationer). Bila keadaan ini tercapai maka :

Dengan demikian persamaan (3.6) menghasilkan :

Yaitu kecepatan akhir elektron yang disebut juga kecepatan alir (drift velocity).

Tanda minus menyatakan bahwa arah gerak elektron berlawanan dengan arah

medan listrik E yang menyebabkannya. Kecapatan elektron ini berperan dalam

hambatan listrik. Untuk membedakannya dengan kecepatan rambang (akan

dibahas kemudian), kecepatan lain dituliskannya dengan notasi V jadi :

selanjutnya, rapat arus listrik dapat didefinisikan sebagai J = (-ne)vd dengan n

menyatakan konsentrasi elektron. Dengan mengganti vd seperti pada persamaaan

(3.8a), diperoleh :

Bandingkan persamaan ini dengan hukum Ohm pada persamaan (3.5.), dihasilkan

ungkapan bagi konduktivitas listrik :

persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara besaran makroskopik (σ) dan

besaran mikroskopik bagi elektron (*m dan σ). Di pihak lain, apabila diambil

keadaan relaksasi, yaitu apabila medan listrik dihilangkan (E=0), maka persamaan

gerak elektron menjadi :

yang memberikan solusi :

vd (0) menyatakan kecepatan akhir sesaat sebelum medan listrik dihilangkan. τ

yang merupakan waktu relaksasi dapat dinyatakan sebagai berikut :

Λ adalah jarak antara dua tumbukan berurutan atau disebut juga lintasan bebas

rata-rata elektron. Sedangkan vr menyatakan kecepatan rambang elektron, yaitu

kecepatan elektron dalam gerakannya karena pengaruh termal (panas). Kecepatan

rambang tidak berpengaruh dalam hantaran listrik. Denagn hubungan (3.14),

maka ungkapan konduktivitas listrik (3.11) menjadi :

Beberapa nilai dari besaran-besaran bersangkutan diberikan pada tabel

b. Resitivitas Listrik

Dari persamaan (3.4) dan (3.11) dapat diperoleh rumusan bagi resistivitas listrik :

Tumbukan elektron dengan penghambur dalam kristal dapat dibedakan atas dua

faktor, yaitu :

Apabila tumbukan dengan fonon menghasilkan waktu relaksasi dan tumbukan

dengan atom impuritas menghasilkan waktu relaksasi maka dapat dituliskan :

Dengan demikian, resistivitas listrik pada persamaan di atas berubah menjadi :

yang selanjutnya dapat ditulis :

Pada suhu rendah (T<<) tidak ada fonon, jadi 0 sehingga ρ=ρi=. Sebaliknya pada

suhu tinggi (T>>) konsentrasi fonon meningkat, sehingga tumbukan dengan fonon

menjadi dominan. Akibatnya dan dengan demikian . Jadi jelas bahwa resistivitas

listrik tergantung pada suhu (T), terutama sebagai akibat tumbukan dengan fonon.

Untuk menampung kebergantungan pada T ini, maka lebih tepat dituliskan

sebagai berikut :

fρ (T) dapat diturunkan berdasarkan teeori kinetik gas dan memiliki bentuk :

Dengan M massa atom dalam kristal, k’ tetapan gaya antar atom dan suhu Debye.

Pesamaan (3.19) disebut hukum Matthiessen. Hukum ini menyimpang pada suhu

rendah (mendekati T=0, dan penyimpangan ini disebut efek Kondo. Lihat gambar

C. Model Elekton Bebas Terkuantisasi

Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah

sifat listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang

terkuantisasi. Model ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan

prinsip eksklusi Pauli untuk elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac.

Model elektron bebas, dimana pengaruh dari semua elektron bebas yang lain

dan semua ion prinsip dipresentasikan oleh potensial V sama dengan nol sehingga

gaya yang bekerja pada elektron juga sama dengan nol, secara kuantum

mengambil persamaan Schrödinger

dengan solusi fungsi elektron

dan energi elektron

Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bila

elektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka

haruslah dipenuhi

Dalam ruang k, setiap keadaan elektron dipresentasikan oleh volume

sebesar (2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx = Δny = Δnz = 1. Semua keadaan

elektron yang berenergi E k=h2

2 m0

(k x2+k y

2+k z2) terletak pada permukaan bola

berjari-jari k yang memenuhi k2=(k x

2+k y2+k z

2 )=2 m0

h2 Ek. Sedangkan semua

keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalam kulit bola

dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian, jumlah

keadaan elektron adalah

4 π k2 dk

( 2 πL )

3 = L3k 2

2 π2 dk

Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi

L3k 2

π2 dk

Mengingat ungkapan E=h2k 2

2 m0, maka jumlah keadaan elektron persatuan volume

yang berenergi antara E dan E+dE adalah

Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapat

dua wlwktron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat

sama. Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi

Fermi-Dirac

Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0) dan fungsi

distribusi Fermi-Dirac

Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E < EF(0) terisi penuh

elektron dan E > EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T > 0 K berlaku

Hal ini berarti pada T > 0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan di

bawah EF menjadi kosong sebagian.

Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.

a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion

positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak

dalam volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai

energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu

dirangkum dalam ungkapan rapat elektron

dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE (3.28)

Dengan mensubtitusikan (3.27) dan (3.26) diperoleh ungkapan rapat

elektron sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem

c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron

bebas sangat besar.

d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya

terdapat suatu potensial penghalang yang harus diloncati oleh elektron

bebas paling energetik pada suhu T = 0 K (energi EF) untuk dapat

meninggalkan permukaan batas logam.

3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga Cv

Rapat elektron pada suhu T = 0 K

dan rapat energi pada suhu T = 0 K

Bila dinyatakan dalam rapat elektron (3.30) di atas, maka

Sedangkan rapat energi elektron pada suhu T > 0 K

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk (3.32) digunakan bentuk

integral

yang mempunyai bentuk asymtotik untuk y0 besar dan berharga positip

Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu adalah

Karena bentuk [(πkT)2/EF2(0)] sangat kecil dibandingkan dengan satu, maka

EF selalu dapat diganti dengan EF(0). Dengan memakai bentuk (3.33), (3.34) dan

deret binomial (1+x)p, serta memperhatikan ungkapan (3.31) dan (3.30), maka

rapat energi (3.32) di atas dapat dihitung dan hasilnya adalah

sehingga kapasitas panas elektron bebas

Apabila kapasitas panas elektron bebas model klasik (Cv)el’ (persamaan

(3.13)), maka ungkapan (3.36) untuk satu mol zat menjadi

Tampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga Cv unuk kristal diperkecil

dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya. Untuk harga EF=5 eV dan T=300

K, maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran bahwa faktor pengecil tersebut

kira-kira berorde 10-2.

Dapatlah disimpulkan bahwa sumbangan elektron bebas pada harga Cv suatu

logam sangatlah kecil, terutama pada suhu yang sangat tinggi. Tetapi sumbangan

tersebut akan dominan pada suhu yang cukup rendah.

Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu Fermi TF, kapasitas panas

suatu logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan elektron bebas dan fonon,

yakni

dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan. Secara eksperimen

dapat dibuat grafik Cv/T terhadap T2 sehingga γ dan A bisa ditentukan.

3.2.2 Paramagnetik Pauli

Apabila terdapat suatu medan magnet luar H, maka spin elektron bebas akan

menyesuaikan diri terhadap H. Energi total elektron bebas karena pengaruh medan

Tanda positip untuk spin antiparalel dan negatip untuk spin paralel terhadap

medan. Pengaruh medan terhadap rapat keadaan g(E) digambarkan di bawah ini.

Rapat keadaan g(E) dibagi menjadi dua bagian, yaitu spin ke atas dan ke bawah.

Tanpa medan magnet luar H, keduanya simetri terhadap sumbu E.

Bila terdapat medan magnet luar H, maka secara total lebih banyak elektron

yang antiparalel terhadap H. Magnetisasi yang terjadi adalah

Gambar 3.1 Variasi tingkat energi karena aplikasi medan magnet luar H

Bila diambil kasus untuk T = 0 K, maka diperoleh

Perhitungan di atas menggunakan relasi g(E±µ0µBH) = g(E) ± µ0µBH(dg/dE)

berdasarkan ekspansi Taylor, dan g(EF) = 3n/2 EF yang diperoleh dengan

menggabungkan (3.26) dan (3.30). Dengan demikian suseptibilitas magnetiknya

Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap

suhu. Dengan harga EF0 = 2 eV didapatkan χ = 5.10-6 yang sesuai dengan hasil

eksperimen. Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi

hasilnya valid dalam rentang suhu yang cukup besar.

3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam

Konduktivitas yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke keadaan

elektron yang lain adalah elektron yang berenergi E sedemikian sehingga f(E) < 1.

Hal ini terjadi di daerah E ~ EF. Elektron yang demikian akan mengalir bila

dikenai medan listrik. Hubungan rapat arus J dan medan listrik ε dinyatakan oleh

hukum Ohm

J=σ ε (3.43)

dimana σ adalah konduktivitas listrik. Bila rapat elektron n dan kecepatan hanyut

elektron vd, maka rapat arus juga diungkapkan dalam bentuk

J=nevd

Dalam kesetimbangan termal, distribusi elektron berada dalam keadaan

mapan (steady state) n0( v ), yang tifak bergantung waktu. Dalam ruang kecepatan,

distribusi n0( v ) mempunyai simetri bola, dan dinamakan bola Fermi (dengan

radius laju Fermi vF), serta permukaannya disebut permukaan Fermi. Kecepatan

elektron bersifat acak, dan berkaitan dengan energi melalui ungkapan

E=12

m v2

direpresentasikan oleh semua titik dalam bola. Arus total nol karena setiap

elektron yang berkecepatan v selalu berpasangan dengan yang berkecepatan –v.

Kecepatan elektron sangat besar di permukaan Fermi. Permukaan Fermi tidak

begitu dipengaruhi oleh suhu. Bila suhu naik, hanya sedikit elektron yang

melintasinya.

Perlu diketahui bahwa pengukuran eksperimen menunjukkan bahwa

permukaan Fermi berbentuk bola terdistorsi, sebagai akibat dilibatkannya

interaksi elektron dan kisi. Bila terdapat medan listrik, misalnya εx searah sumbu-

X, maka distribusi elektron berubah menjadi n( v ). Perubahan ini mempunyai

komponen posisi dan waktu. Dalam hal ini bola Fermi bergeser ke arah (-X),

seperti ditunjukkan oleh gambar 3.2 berikut.

Gambar 3.2 a. Bola Fermi saat setimbang, b. Pergeseran bola Fermi saat

dikenakan medan

Diambil asumsi bahwa kecepatan pergeseran titik pusat oleh kehadiran

medan luar ini sangat kecil bila dibandingkan dengan vrms.

Bila ε homogen (besar dan arahnya), maka perubahan distribusi elektron

hanya dipengaruhi oleh komponen waktu. Proses yang terjadi adalah adanya

perubahan distribusi elektron karena pengaruh medan luar ε dan adanya proses

hamburan yang ingin memulihkannya ke keadaan semula. Penggabungan kedua

proses ini menghasilkan persamaan kontinuitas

dengan τ adalah waktu relaksasi. Ungkapan ini sering disebut persamaan

transport Boltzmann. Dalam keadaan mapan (∂ n ( v )/∂t=0) persamaan (3.44)

menjadi

Dalam kasus di atas diambil ε=ε x i sehingga persamaan (3.45) menjadi

Rapat arus listrik yang terjadi

Integral suku pertama persamaan (3.47) menghasilkan nol karena kecepatan rata-

rata vx = 0 dalam n0 ( v ). Dengan demikian rapat arus (3.47) menjadi

Mengingat bahwa

a. τ=l /v , dimana l adalah lintas bebas rata-rata antara dua tumbukan,

b. v2=v x2+v y

2+v z2, dan

c. gerak elektron secara acak sehingga vx2=1/3v2

maka ungkapan rapat arus (3.48) berubah menjadi

Dari rapat elektron (3.29), setelah mengganti variabel E menjadi v,

diperoleh distribusi elektron n0 ( v ) tak lain adalah

Substitusi persamaan (3.50) dan setelah diadakan perubahan variabel v menjadi E,

maka rapat arus (3.49) menjadi

Dengan demikian, mengingat hubungan (3.43) diperoleh konduktivitas

listrik

Untuk suhu T = 0 K, harga (−∂ f (E ) /∂ E) berupa fungsi delta Dirac δ sehingga

integral dalam (3.52)

dan dengan menggunakan ungkapan rapat elektron (3.30), maka ungkapan

konduktivitas listrik (3.52) di atas menjadi

dimana τF adalah waktu relaksasi sebuah elektron pada bola Fermi. Ungkapan

konduktivitas listrik di atas, ternyata bentuknya sama dengan hasil teori Drude

yang lalu.

Baik teori Drude maupun model elektron bebas terkuantisasi

mengemukakan bahwa konduktivitas listrik hanya berbanding lurus dengan

konsentrasi elektron. Namun beberapa logam dengan konsentrasi elektron lebih

tinggi, justru menunjukkan nilai konduktivitas lebih rendah. Di samping itu,

sebenarnya fakta menunjukkan bahwa konduktivitas listrik bergantung pada suhu

dan juga arah.

D. Elektron Dalam Logam

Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya

besi dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain.

Umumnya, logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi,

konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan

dengan struktur mikroskopis bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam

mengandung elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam

keseluruhan volume kristal.

Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi

elektron konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion,

sehingga keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang

tetap terlokalisasi sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian,

gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam

ruang, dan elektron bebas bergerak di antara ion tersebut. Gambaran lebih

lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik setimbang, dan

demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan merubah

arah geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron lain

(kemungkinan kecil).

Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores” hanya

sekitar 15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan

setengah jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron

konduksi dapat dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan Z,

masing-masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi

elektronnya adalah

dengan N adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki

konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu,

Ag dan Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen.

Bagian awal ini membahas perkembangan model elektron bebas. Bahasan

kapasitas panas dan suseptibilitas magnetik dari sumbangan elektron

menunjukkan bahwa yang sesuai dengan eksperimen adalah hanya jika elektron

mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Kemudian, dikenalkan konsep tingkatan Fermi

dan permukaan Fermi, yang dapat digunakan untuk memperjelas deskripsi

konduktivitas listrik dalam logam.

Dalam bab ini juga dibahas pengaruh medan magnet terhadap gerakan

elektron bebas, yakni efek Hall dan resonansi siklotron. Bahasan kedua hal ini

menghasilkan informasi yang mendasar tentang logam.

Dalam model elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan

fonon dan ketidakmurnian. Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen.

Selain itu, elektron dapat melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi

emisi thermionik. Akhirnya, bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa

kegagalan model elektron bebas dalam membahas sifat logam.

Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas,

yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal

dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya

setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar,

maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.

Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak

keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik

kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik

ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul

dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika

waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ , maka kecepatan

hanyut dalam selang waktu tersebut

Oleh karena itu rapat arus yang terjadi

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan

volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu menjadi

Karena hubungan Jx=σε, maka konduktivitas listrik menjadi

Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.107(Ωm)-1

dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg,

maka didapatkan nilai τ berorde 10-14 s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas

termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan

terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan

eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x

Qe = -K ∂T/∂x

dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan

sepenuhnya oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan

elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka

konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-

2K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.

Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal

dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan

volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena CV

=(3/2)nk, (1/2)mv2

=(3/2)kT dan l=vτ , maka konduktivitas menjadi

Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah

Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853).

Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz

Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi

(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu

“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu.

Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung

suhu. Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan

Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ~T-1, sehingga dari ungkapan

konduktivitas listrik didapatkan

Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini

tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.

Model Elektron Bebas Klasik

Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.

a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam

volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing

bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas

ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas).

c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron

bebas sangat besar.

d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang

potensial di permukaan batas.

Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total

elektron tersebut perkilomol

Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya

sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas

Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah

Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator.

Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam dan

isolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akurat

menunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total

adalah reduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10-2. Oleh karena itu model elektron

bebas klasik tidak memberikan hasil ramalan Cv yang memadai. Suseptibilitas

magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medan magnetik H melalui

ungkapan

Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruh

medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol

μ, yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik

Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-

Boltzmann,

maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi

Dimana θ adalah sudut antara µ dan H.

dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin

Dengan menggunakan deret

maka untuk medan H tidak kuat, yakni µH<<kT momen dipol rata-rata tersebut

berharga

Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya

Dengan membandingkan persamaan-persamaan diperoleh suseptibilitas magnetik

Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal

ini berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa

χ untuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari hasil yang dibahas diatas, maka dapat disimpulkan bahwa kristal

adalah suatu padatan yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas secara

teratur dan polanya berulang melebar secara tiga dimensi. Secara umum, zat cair

membentuk kristal ketika mengalami proses pemadatan. Berbagai bentuk kristal

tersebut dapat ditemukan di alam. Bentuk-bentuk kristal ini bergantung pada jenis

ikatan molekuler antara atom-atom untuk menentukan strukturnya. Bunga salju,

intan, dan garam dapur.

Dalam logam terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas

elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo

karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion

logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh

dalam tumbukan ini. Hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk

suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi,

untuk suhu “intermediate”, K/σT bergantung pada suhu.