KULIAH - V

TEORI ELEKTRON BEBAS LOGAM

5.1 Elektron Bebas

Sifat elektrik dan sifat magnetik zat padat ditentukan terutama oleh sifat-sifat elektron

di dalam bahan tersebut. Proton biasanya dapat diturunkan ke peranan yang lebih

rendah, seperti menjamin netralitas muatan. Netron sewaktu-waktu dapat

dipertimbangkan, seperti dalam bahan superkonduktor, dimana temperatur kritis

tergantung pada massa total inti. Secara keseluruhan, level energi elektron menjadi

penentu sifat bahan padat.

Persoalan matematis, tidaklah seperti yang kita temukan dalam atom secara

tersendiri. Bagaimana kita dapat menentukan level energi elektron dalam zat padat?

Mengambil fungsi gelombang yang tergantung pada koordinat 1025 elektron; atau

menuliskan potensial Coulomb antara tiap pasangan elektron, antara elektron dan

proton; dan menyelesaikan persamaan Schrodinger. Ini adalah pendekatan, seperti

yang barangkali telah anda persoalkan, kita tidak akan mencobanya. Tetapi apa

yang dapat kita lakukan sebagai gantinya? Kita dapat mengambil banyak model-

model yang lebih sederhana, yang secara matematik dapat diselesaikan, dan

berharap bahwa penyelesaian akan masuk akal.

Mari kita mulai mencari model sederhana dengan mengambil sepotong logam dan

memperhatikan fakta empiris, (yang benar pada temperatur ruang), bahwa tidak ada

elektron diluar batas logam. Dengan demikian ada mekanisme yang

mempertahankan elektron tetap di dalam. Apakah itu? Itu mungkin adalah potensial

barrier tak berhingga pada perbatasan. Dan apa yang terjadi di dalam? Bagaimana

energi potensial elektron berubah dengan adanya jumlah inti dan elektron lain yang

sangat banyak? Misalkan kita menganggapnya merata. Kita mungkin

menganggapnya ini suatu asumsi (dan tentu saja kita benar mutlak), tetapi itu adalah

pekerjaan. Hal ini telah dikemukakan oleh Sommerfeld pada tahun 1928 dan yang

telah dikenal sebagai “ Model Elektron bebas” dari suatu logam.

1

Kita mungkin mengakui bahwa model ini bukanlah apa-apa tetapi suatu sumur

potensial yang telah ditemukan sebelumnya. Disana ditemukan penyelesaian untuk

kasus satu-dimensi dalam bentuk berikut :

E = m

kh

2

22

(5-1)

= m

h

8

2

2

2

L

n

Jika kita membayangkan kubus dengan sisi L yang mengandung elektron, maka kita

memperoleh energi dengan cara yang sama

E = m

h

2

2

(k2x + k2

y + k2z)

= 2

2

8mL

h(n2

x + n2y + n2

z) (5-2)

dimana nx, ny, nz adalah integer.

5.2 Kerapatan Tempat (states) dan Distribusi Fermi–Dirac

Energi yang diizinkan, menurut persamaan (5-2) adalah multi integral dari

2

2

8mLh . Untuk suatu volume 10-6 m3 satuan energi ini adalah

E = = 0,6 x 10-33 J = 3,74 x 10-15 eV (5-3)

Ini adalah perbedaan energi antara level pertama dan level ke dua, tetapi karena

kuadrat integer tercakup, perbedaan antara level energi yang berdekatan meningkat

pada energi yang lebih tinggi. Mari kita mendahului hasil yang diperoleh dalam

bagian berikut dan mengambil energi maksimum E = 3 eV, yang merupakan nilai

tipikal. Dengan mengambil n2x = n2

y = n2z , energi maksimum ini terkait dengan nilai nx

1,64 x 107. Sekarang level energi yang berada di bawah energi maksimum dapat

diperoleh dengan mengambil integer nx – 1, nx. Kita mendapatkan perbedaan energi:

E 1,22 x 10-7 eV. (5-4)

Catatan : Bahkan pada energi tertinggi, perbedaan antara level energi yang berdekatan adalah sebesar 10-7 eV.

2

Kita dapat mengatakan bahwa, secara maksroskopik di dalam interval energi yang

kecil dE, masih terdapat banyak level-level energi diskrit. Dengan demikian kita

dapat memperkenalkan konsep “Kerapatan Tempat“ (Density of State ), yang sangat

membantu penyederhanaan perhitungan kita.

Pertanyaan berikut adalah berapa banyak tempat (states) yang ada antara level

energi E dan (E + dE). Untuk maksud tersebut, penting untuk memasukan variabel

baru “n“ dengan hubungan :

n2 = n2x + n2

y + n2z (5-5)

Dengan demikian “n” menyatakan vektor ke titik nx, ny, nz dalam ruang tiga dimensi.

Dalam ruang ini, setiap titik dengan koordinat integer menetapkan satu tempat;

karena itu setiap satuan kubus mengandung tepat satu tempat . Dengan demikian,

jumlah tempat dalam suatu volume adalah sama dengan nilai numerik volume

tersebut. Karena itu dalam bola dengan radius ‘n’, jumlah kedudukan adalah:

3

4 3n(5-6)

Karena ‘n’ dan E dihubungkan, maka adalah ekivalen untuk mengatakan bahwa

jumlah tempat yang mempunyai energi yang lebih kecil dari E adalah

3

4 3n=

3

4K3/2 E3/2 dimana K =

2

28

h

mL(5-7)

Dengan cara yang sama, jumlah tempat yang mempunyai energi lebih kecil dari

E+dE adalah :

2/32/3 )(3

4dEEK

(5-8)

Jadi jumlah tempat mempunyai energi antara E dan E+dE adalah sama dengan:

Z(E)dE = }){(3

4 2/32/32/3 EdEEK

(5-9)

Ini belum berakhir. Kita harus mencatat bahwa hanya nilai positip dari nx, ny, nz yang

diperbolehkan, karena itu, kita harus membagi dengan faktor ‘8’. Selanjutnya untuk

dua nilai spin, kita harus mengalikan dengan fakor ‘2’. Akhirnya kita memperoleh

Z(E)dE = CE ½ dE dimana C = 4πL3(2m)3/2/h3 (5-10)

3

Persamaan (5-10) memberikan kita jumlah tempat, tetapi kita juga ingin mengetahui

jumlah tempat yang diduduki, demikian juga jumlah tempat yang mengadung

elektron. Untuk itu kita perlu mengetahui kemungkinan penempatan, F(E). Fungsi ini

dapat diperoleh dengan latihan tanpa terlalu banyak tenaga dalam statistik mekanik.

Seseorang memulai dengan prinsip Pauli (bahwa tidak ada tempat yang dapat

ditempati oleh lebih dari satu elektron) dan menghasilkan peluang distribusi yang

paling mungkin pada kondisi itu sehingga energi total dan jumlah total partikel

diberikan. Hasilnya adalah apa yang disebut “Distribusi Fermi–Dirac“.

F(E) = 1}/){exp(

1

kTEE F

(5-11)

Dimana EF adalah parameter yang disebut “Level Fermi”. Dengan dapat dingat

dengan baik bahwa pada

E = EF, F(E) = ½ (5-12)

Maka pada level Fermi probabilitas penempatan adalah ½.

Seperti terlihat pada gambar (5-1), F(E) tampak sangat berbeda dari distribusi klasik

exp(-E/kT). Mari kita analisis sifat ini dalam dalam kasus berikut :

Gambar (5-1). a).Fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk energi Fermi 2,5 eV dan temperatur 0 K, 600 K dan 6000 K.

b) Distribusi klasik Maxwell-Boltzmann pada energi dan temperatur yang sama.

4

T=0 K

600 K

6000 K

EF=2,5 eV

Fermi-Dirac

E

1,0

0,5

)exp(1

1)(

kT

EEEF

F

T=0 K

600 K

6000 K

EF=2,5 eV E

Maxwell-Boltzmann

exp(-E/kT)

1. Pada T = 0.

F(E) = 1 untuk E < EF

F(E) = 0 untuk E > EF (5-13)

Dengan demikian pada temperatur mutlak nol semua tempat yang tersedia diduduki

sampai EF, dan semua tempat di atas EF kosong. Tetapi ingat Z(E)dE adalah jumlah

tempat antara E dan E+dE. Sehingga jumlah total tempat adalah

(5-14)

Yang harus sama dengan jumlah total elektron NL3, bila N adalah jumlah elektron

persatuan volume. Dengan menyubsitusikan persamaan (5-14) ke dalam persamaan

(5-10) persamaaan berikut harus dipenuhi :

(4L3(2m)3/2/h3) (5-15)

Dengan mengintegralkan dan menyelesaikan untuk EF, diperoleh :

EF = (5-16)

EF yang dihitung dari jumlah elektron bebas, diperlihatkan dalam tabel (5-1). Dengan

demikian sekalipun pada temperatur mutlak nol, energi elektron mencakup batas

yang lebar. Ini bertentangan kuat dengan statistik klasik, dimana pada T = 0 semua

elektron mempunyai energi sama dengan nol.

Tabel (5-1). Level Fermi yang dihitung dari pers. (5-16)

Li 4,72 eV

Na 3,12 eV

K 2,14 eV

Rb 1,82 eV

Cs 1,53 eV

Cu 7,04 eV

Ag 5,51 eV

Al 11,70 eV

5

2. Untuk energi elektron diatas Level Fermi, sehingga

E – EF >> kT (5-17)

Faktor satu dalam persamaan (5-11) dapat diabaikan, menjadikan

F(E) (5-18)

Yang dapat diakui sebagai distribusi klasik Maxwell – Boltzmann. Karena itu,

untuk energi yang cukup besar distribusi Fermi-Dirac diturunkan ke distribusi

Maxwell-Boltzmann yang secara umum dinyatakan sebagai “Boltzmann Tail”

3. Untuk energi di bawah level Fermi sehingga

EF – E >> kT (5-19)

Persamaan (5-11) dapat didekati dengan

F(E) (5-20)

Kadang-kadang bermanfaat untuk berbicara tentang kemungkinan tempat

tidak diduduki dan menggunakan fungsi 1–F(E). Kemudian kita dapat

mengatakan untuk kasus yang ada, bahwa kemungkinan tidak diduduki

berubah secara eksponensial.

4. Dalam batas E EF fungsi distribusi berubah agak lebih kasar dari mendekati

satu ke mendekati nol. Tingkat perubahan tergantung pada kT. Untuk

temperatur mutlak nol, perubahan sangat cepat, untuk temperatur lebih tinggi

(seperti yang terlihat pada gambar (5-1) perubahan lebih bertahap. Kita dapat

mengambil daerah tengah (sangat diinginkan) seperti antara F(E) = 0,9 dan

F(E) = 0,1. Lebar daerah itu kemudian diperoleh (dengan menyelesaikan

persamaan (5-11) ke sekitar 4,4 kT).

Kesimpulannya, kita dapat membedakan tiga daerah untuk temperatur

tertentu; dari E = 0 ke E = EF–2,2 kT, dimana kemungkinan pendudukan

mendekati satu, dan kemungkinan tidak diduduki berubah secara

eksponensial. Daerah ke dua, dari E = EF–2,2 kT sampai E = EF + 2,2 kT,

dimana fungsi distribusi berubah dari mendekati satu ke mendekati nol; dan

daerah ke tiga dari E = EF + 2,2 kT sampai E = ∞, dimana kemungkinan

pendudukan berubah secara eksponensial.

6

5-3. Suhu Spesifik Elektron

Teori klasik, yang telah dikemukakan sebelumnya, gagal untuk memperkirakan suhu

spesifik elektron. Sekarang kita dapat melihat alasannya. Kesalahan utama

bukanlah sifat gelombang dari elektron, bukan pula persamaan Schrodinger, tetapi

prinsip Pauli. Karena hanya satu elektron yang dapat meduduki satu tempat, elektron

dengan energi rendah tidak pada posisi untuk menerima sejumlah kecil energi yang

diberikan secara tiba-tiba. Tempat diatasnya diduduki, dengan demikian elektron-

elektron tersebut tetap pada tempatnya. Hanya elektron-elektron yang berada di

dekat Level Fermi yang mempunyai peluang untuk pindah ke dalam tempat dengan

energi yang lebih tinggi; sehingga hanya elektron-elektron itu yang dapat memberi

kontribusi terhadap suhu spesifik.

Suhu spesifik pada volume konstan per elektron didefinisikan sebagai

cv = (5-

21)

dimana <E> adalah energi rata-rata elektron.

Elektron klasik akan mempunyai energi rata-rata 3/2kT, yang menuju nol bersamaan

dengan T . Secara mekanika kuantum, jika elektron memenuhi statistik Fermi-

Dirac, maka energi rata-rata elektron tertentu dapat dengan sangat mudah

ditentukan (lihat contoh (5-6). Untuk maksud mengestimasi suhu spesifik, kita dapat

membuat argumen sederhana dan menuntut bahwa hanya elektro-elektron dalam

daerah E = EF–2,2 kT sampai E=EF yang perlu dipertimbangkan sebagai yang dapat

memberi respon terhadap panas, dan elektron-elektron itu dapat dipandang sebagai

elektron klasik yang mempunyai energi (3/2)kT. Karena itu energi rata-rata elektron-

elektron itu adalah :

<E> = (5-22)

yang akan memberikan panas spesifik

cv = 6,6 (5-23)

7

Penurunan yang benar dari suhu spesifik akan terjebak ke dalam kesulitan

matematis, tetapi ini adalah prinsip yang sangat sederhana. Energi rata-rata elektron

yang mengikuti distribusi F(E) diberikan oleh :

<E> = (5-24)

yang akan dievaluasi sebagai fungsi temperatur dan didifferensiasi. Hasilnya adalah :

cv = (5-25)

Yang dapat diterima dengan baik dengan Pers (5-23) yang diperoleh dengan

argumen yang kuat. Suhu spesifik elektron ini jauh lebih rendah dari nilai klasik (3/2)k

untuk suatu temperatur dimana material tetap berwujud padat.

5-6. Fungsi Kerja

Jika logam dipanaskan, atau disinari gelombang cahaya pada bahan, elektron-

elektron dapat meninggalkan logam. Studi eksperimental yang lebih mendalam akan

menyatakan bahwa ada ambang energi tertentu yang harus dimiliki elektron untuk

dapat melepaskan diri. Kita menamakan energi ini (untuk alasan historis) “Fungsi

Kerja” (Work Function) yang dinotasikan dengan . Dengan demikian model kita

adalah seperti yang diperlihatkan pada gambar (5-2). Pada temperatur mutlak nol

semua tempat diisi sampai EF, dan ada potensial barrier eksternal .

Gambar 5-2. Model perhitungan emisi termionik

5-5. Emisi Termionik

Dalam bagian ini kita membahas emisi elektron pada temperatur tinggi (karena sifat

termionik). Seperti yang telah disepakati sebelumnya, elektron membutuhkan energi

sekurang-kurangnya EF+ untuk dapat terlepas dari logam, dan semua ini tentu saja

akan tersedia dalam bentuk energi kinetik. Untungnya, dalam model elektron bebas,

8

Logam vacum

EF

Energi

jarak

semua energi adalah energi kinetik, karena energi potensial nol dan elektron tidak

berinteraksi, sehingga hubungan antara energi dan momentum adalah sederhana.

E = (5-26)

Kondisi selanjutnya adalah bahwa elektron, disamping mempunyai jumlah elektron

yang benar, juga harus bergerak dalam arah yang benar. Dengan mengambil “x’

sebagai koordinat yang tegak lurus terhadap permukaan logam, momentum elektron

harus memenuhi ketidaksamaan :

= EF + (5-27)

Namun demikian, ini tetap tidak cukup. Elektron mungkin tidak dapat melewati barrier

meskipun mempunyai energi yang tepat dalam arah yang benar. Munurut ketentuan

mekanika kuantum, elektron tetap mengalami refleksi. Karena kemungkinan

pelepasan adalah 1– r(px), dimana r(px) adalah koefisien refleksi. Jika jumlah elektron

yang mempunyai momentum antara px dan px+dpx adalah N(px)dpx, maka jumlah

elektron yang sampai pada permukaan per detik per satuan luas adalah :

(5-28)

dan jumlah elektron yang dilepaskan adalah

{1 – r(px)} (5-29)

Dengan menambahkan kontribusi dari semua elektron yang mempunyai momentum

melebihi pxo, kita dapat menulis untuk kerapatan arus emisi sebagai berikut :

J = {1 – r(px)} (5-30)

Kita dapat memperoleh jumlah elektron dalam range momentum tak terhingga

dengan cara yang sama seperti untuk range energi tak terhingga. Pertama, semua

itu mengandung dua faktor, kerapatan tempat dikalikan dengan kemungkinan

pendudukan. Kerapatan tempat Z(px) dapat dengan mudah diperoleh dengan

mencatat dari pers. (5-2) dan (5-26) sehingga

px = (h/2) nx, py = (h/2) ny, pz = (h/2) nz (5-31)

9

Jumlah tempat dalam kubus pada satu sisi adalah tepat satu. Karena itu jumlah

tempat dalam volume pada sisi dnx, dny, dnz adalah sama dengan dnx.dny.dnz, yang

dengan bantuan pers. (5-31) dapat dinyatakan sebagai :

(5-32)

Dengan membagi kembali dengan 8 (karena hanya persoalan integer positip) dan

mengalikan dengan dua (karena spin) diperoleh

Z(px, py, pz) = (5-33)

Maka, jumlah elektron dalam batas momentum px, px+dpx; py, py+dpy; pz, pz+dpz

adalah :

N(px, py, pz) dpx dpy dpz =

= (5-34)

Untuk memperoleh jumlah elektron dalam batas momentum px, px+dpx, persamaan

diatas perlu diintegralkan dari semua py dan pz

N(px)dpx

= dpx

(5-35)

Integral ini agak lebih rumit, tetapi karena tertarik hanya pada elektron yang melebihi

ambang ( kT ) , kita dapat mengabaikan faktor 1 dalam penyebut. Kita

kemudian berangkat bersama beberapa fungsi Gauss, dimana mengintegral

antara ± dapat diperoleh dalam tabel integral yang lebih baik (anda dapat

menurunkan semuanya untuk diri sendiri jika anda tertarik melakukannya). Hal ini

akan membawa kita ke

N(px)dpx = (5-36)

Dengan mnyubsitusikan pers. (5-36) ke dalam (5-30) dan menganggap bahwa r(px) =

r tidak tergantung pada px, yang tidak benar tetapi memberi pendekatan yang cukup

baik, integral dapat dengan muda dilakukan dan meberikan

10

J = Ao(1 – r )T2e-/kT (5-37)

Dimana Ao = 4 em2k/h3 = 1,2 x 106 A m-2K-2 (5-38)

Faktor yang sangat penting dalam pers. (5-37) adalah exp(-/kT), yang sangat

tergantung pada temperatur dan nilai aktual fungsi kerja. Ambil, sebagai contoh,

tungsten ( fungsi kerja sejumlah logam diberikan dalam tabel (5-2) dimana 4,5 eV

pada temperatur T = 2500 K. Kemudian perubahan 10% dalam fungsi kerja atau

temperatur akan mengubah emisi dengan faktor 8.

Tabel (5-2)Fungsi Kerja

Na 2,3 eVK 2,2 eVCa 3,2 eVCs 1,8 eVBa 2,5 eVPt 5,3 eVTa 4,2 eVW 4,5 eV

Keuntungan utama dari pers. (5-37) memperlihatkan ketergantungan secara

eksponensial pada temperatur, yang dihasilkan secara eksperimental. Nilai numerik

sesungguhnya biasanya lebih rendah dari yang diperkirakan melalui persamaan,

tetapi ini tidak terlalu mengejutkan dalam meninjau banyak penyederhanaan yang

diperkenalkan. Dalam kristal sesungguhnya adalah fungsi temperatur, kondisi

permukaan dan arah sumbu kristalografi, dalam model sederhana tidak

diperhitungkan.

Ada satu hal lagi yang perlu didiskusikan, yang sungguh-sungguh diremehkan

sehingga kebanyakan buku teks menyebutkan pun tidak. Analisis kita adalah

sepotong logam dalam isolasi. Arus elektron yang diperoleh dalam pers (5-37)

adalah arus yang akan mulai mengalir jika bahan uji (sample) dipanasi secara tiba-

tiba ke temperatur T. Tetapi arus ini tidak akan mengalir dalam waktu lama, karena

elektron yang meniggalkan logam akan membuat logam tersebut bermuatan positip,

yang selanjutnya membuat elektron semakin sulit meninggalkan logam. Dengan

11

demikian rumus kita benar, bila kita mempunyai sedikit bantuan untuk mengisi

kembali elektron yang hilang karena emisi. Karena itu kita membutuhkan rangkaian

elektrik seperti dalam gambar (5-3a). Bersamaan dengan emisi elektron dari

potongan logam kita, elektron-elektron yang lain akan masuk dari rangkaian elektrik.

Arus yang mengalir dapat diukur dengan amperemeter.

Kelemahan dari rangakian ini adalah elektron yang bergerak ke elektroda akan

dipencarkan oleh molekul-molekul udara. Kita harus sungguh-sungguh

mengosongkan tempat antara emitter dan elektroda penerima, dengan membuat

konfigurasi anoda katoda dalam tabung hampa. Hal ini dinotasikan dalam gambar (5-

3b) oleh sampul yang diperlihatkan. Sekarang elektron bebas untuk mencapai anoda

tetapi juga bebas untuk berkumpul disekitar katoda. Hal ini lagi-lagi tidak baik, karena

dengan muatan negatipnya, elektron-elektron itu akan menolak banyak elektron

lainnya dan memutuskan pergerakan ke anoda dan kembali ke emiter. Dengan

demikian kita kembali tidak mengukur arus natural.

Untuk mencegah penumpukan elektron di depan katoda, tegangan dc dapat

diberikan ke anoda (gambar (5-3c); hal ini akan menghalau eletron-elektron yang

tidak diinginkan dari daeraha anoda – katoda. Ini adalah pengaturan yang digunakan

untuk mengukur arus termionik.

Kebutuhan yang akan dipenuhi oleh material katoda adalah perubahan yang cukup

besar untuk aplikasi-aplikasi khusus. Katoda harus mempunyai arus emisi yang

besar untuk pemakaian daya tinggi, dan umur pemakaian yang tinggi pada

pengulang kapal selam yang tetap menggunakan tabung elektron. Berbagai

kebutuhan ini secara mengagumkan dipenuhi oleh industri, bagaimana pun prestasi

ni tidak akan dilepaskan dari kekuatan ilmu pengetahuan. Untuk membuat katoda

yang baik adalah tetap merupakan seni dan seni misterius.

12

A

Pengumpul elektron

logam

Ampmeter

(a)

Gambar (5-3).Tahapan pengukuran emisi termionik. A) Arus mengalir tetapi dihalangi oleh molekul udara, b) Arus mengalir dalam ruang hampa sampai membentuk awan muatan yang selanjutnya menolak elektron. Pembacaan steady state ammeter jauh lebih kecil dari emisi total, c) Dengan menggunakan baterei semua arus emisi terukur.

5-6. Efek Schottky

Sekarang kita akan memperbaiki model emisi termionik selanjutnya, dengan

mencakup :

a. Gaya bayangan

b. Medan elektrik

Ini sederhana dan konsekuensi yang sedikit lebih baik dari hukum elektrostatik

bahwa gaya pada elektron di depan sebuah plat konduktor tak berhingga diberikan

secara benar dengan menggantikan lembaran dengan muatan cermin

(partikel bermuatan positip dengan jarak sama dibelakang lembaran seperti yang

diperlihatkan pada gambar 5-4). Gaya antara dua muatan adalah

F = (5-39)

dan energi potensial adalah integral gaya dari titik ‘x’ ke titik tak terhingga.

V(x) = = - (5-

40)

13

A

A

BatereiRuang vacum

(b)

(c)

Gambar 5-4. Teori muatan bayangan. Efek plat konduktor pada medan statis akibat akibat partikel bermuatan ekivalen dengan muatan kedua yang berlawanan, partikel dalam posisi cermin bayangan.

Dalam perhitungan diatas kita mengambil energi potensial nol pada x=∞ untuk

disesuaikan dengan konvensi elektrostatis, tetapi ingat bahwa nilai nol yang lalu

adalah untuk elektron valensi yang diam. Karena itu untuk konsistensi, kita harus

menggambar kembali diagram energi di dalam dan di luar logam seperti yang

diperlihatkan dalam gambar (5-5a). Jika kita melibatkan efek cermin muatan, maka

potensial barrier dimodifikasi menjadi seperti yang diperlihatkan pada gambar (5-5b).

Gambar 5-5. Efek Schottky. (a) Potensial pada logam dengan interface vacum, (b) Perubahan potensial akibat medan muatan bayangan, (c) Potensial akibat tegangan anoda yang diberikan dalam ruang hampa, (d) Medan potensial total yang memperlihatkan penurunan potensial barrier dibandingkan dengan (a).

Dengan ketiadaan medan elektrik perubahan dalam bentuk potensial barier secara

praktis tidak mempunyai efek sama sekali. Tetapi jika kita mempunyai medan

elektrik, koreksi yang kecil akibat cermin muatan menjadi cukup berarti.

14

Ampmeter

Energi

x

antarmuka logam-vacum

Energi

xo

B

A

Simpulan

V(x)=-ex

a b

c d

Untuk kesederhanaan, mari kita meneliti kasus pada watu medan elektrik konstan.

Dalam keadaan tersebut,

V(x) = -eEx (5-41)

Seperti yang diperlihatkan dalam gambar (5-5(c). Jika medan elektrik ada dan cermin

muatan dimasukkan dalam perhitungan, maka potensial akan ditambahkan,

memberikan potensial barrier seperti dalam gambar (5-5(d). Jelas, ada keadaan

maksimum yang dapat dihitung dari kondisi

(5-42)

dan akan memberikan

Vmaks = - e (5-43)

Dengan demikian fungsi kerja efektif direduksi dari ke

eff = - (5-44)

Dengan menyubsitusikan ke dalam pers. (5-37) maka diperoleh persamaan baru

untuk emisi termionik.

J = (5-45)

Reduksi dalam nilai efektip dari fungsi kerja dikenal sebagai “ Efek Schottky”,

(Schottky Effect) dan dengan menggambarkan log J terhadap 1/2 akan

memberikan apa yang disebut “ Garis Schottky” (Schottky Line). Perbandingan

dengan hasil percobaan dalam gambar (5-6 memperlihatkan bahwa diatas nilai

tertentu dari medan elektrik hubungan sangat akurat. Tidak ada yang begitu

berkesan, meskipun dalam grafik jenis ini, konstanta secara umum ditepatkan untuk

memperoleh kurva teoritis dan kurva eksperimental . Tetapi itu tentu saja menyusul

dari gambar (5-6 bahwa hubungan fungsional antara J dan adalah benar.

15

log JT=1566 K

Gambar (5-5). Pengujian eksperimental rumus Schottky (Pers. 5-45)

5.7. Emisi Medan

Seperti telah terlihat dalam bagian terdahulu, kehadiran medan elektrik

meningkatkan arus emisi karena lebih banyak elektron yang dibebaskan pada barrier

yang diturunkan. Jika kita menaikkan medan lebih lanjut, ke 10-9 V.m-1, maka jalur

pembebasan yang baru terbuka. Elektron tidak lagi bergerak di atas potensial barrier

tetapi melalui terowongan elektron yang menerobos potensial barrier. Itu dapat

terlihat dalam gambar (5-7, bahwa jika medan elektrik cukup tinggi, barrier menjadi

tipis sehingga elektron dapat menembusnya. Ini disebut “Emisi Medan” (Field

Emission) dan secara praktis tidak tergantung pada temperatur.

Untuk menurunkan formula teoritis terhadap hal ini, kita harus mempertimbangkan

semua elektron yang bergerak ke arah permukaan dan menghitung probabilitas

penerobosannya (Tunneling Probability). Ini diturunkan dari bentuk potensial

barrier bahwa elektron dengan energi yang lebih tinggi dapat dengan mudah lewat,

tetapi ( pada temperatur biasa) hanya beberapa diantaranya; sehingga kontribusi

utama ke arus penerobosan datang dari elektron yang ditempatkan di sekitar Level

Fermi. Untuk elektron-elektron tersebut lebar barrier (lihat gambar (5-7) dapat

dihitung dari persamaan

- = (5-46)

dan tinggi potensial barrier yang dihadapi adalah eff. Karena itu, secara sangat

mendekati, kita dapat menyatakan keadaan ini dengan profil potensial dalam gambar

(5-8. Itu akan diperlihatkan (Latihan 3.7) bahwa arus penerobosan mendekati

perubahan eksponensial terhadap lebar barrier.

16

T=1437 K

Kurva teori

Percobaan

E1/2

J (5-47)

which, dengan bantuan pers. (5-46) direduksi ke

J (5-48)

Faktor eksponensial dalam pers. (5-48) menyatakan suatu pendekatan yang amat

baik ke formula eksak, yang sayang sekali terlalu panjang untuk diperlihatkan. Perlu

diperhatikan bahwa peranan temperatur dalam pers. (5-37) dan (5-45) di sini diambil

alih oleh medan elektrik.

Gambar 5-7. Dengan pemberian medan elektrik yang sangat tinggi, potensial barrier menipis, sehingga dari pada bergerak diatas barrier, elektron pada level Fermi dapat menerobos barrier.

Teori telah diperkuat dengan baik melalui eksperimen. Sebagian besar kesulitan

dalam perbandingan diperhitungkan ke dalam ketidakteraturan permukaan.

Kehadiran suatu bagian penonjolan sangat mengubah keadaan karena medan

elektrik lebih tinggi pada tempat-tempat itu. Ini adalah suatu kelemahan sepanjang

interpretasi pengukuran dipentingkan, tetapi eksistensi efek ini memungkinkan

penemuan suatu peralatan pintar yang dinamakan “ Mikroskop Emisi Medan “ (Field

Emission Microscope).

5.8. Mikroskop Emisi Medan

Bagian penting dari mikroskop emisi medan adalah suatu elemen yang sangat

tajam (dengan diameter ≈ 100 nm), yang ditempatkan dalam ruang yang

17

eff

EF

V=-eEx

Layar fluorescent

dikosongkan (gambar (5-9). Potensial dengan beberapa ribu volt diberikan antara

elemen (biasanya terbuat dari tungsten) dan anoda, yang membangkitkan pada

elemen medan eletrik yang cukup tinggi untuk menarik keluar elektron. Elektron yang

diemisikan mengikuti garis gaya dan menghasilkan gambar yang diperbesar

(pembesaran = r2/r1), dimana r2 = jari-jari layar dan r1 = jari-jari elemen) pada layar

berpendar, karena pembesaran dapat sebesar 106, kita dapat berharap untuk melihat

perubahan periodik emisi elektron yang disebabkan struktur atom. Kegagalan untuk

mengamati hal ini dijelaskan dengan dua alasan; difraksi mekanika kuantum, dan

penyimpangan dari teori akibat komponen transversal yang acak dalam kecepatan

elektron pada waktu meninggalkan logam.

Gambar 5-9. Skema prinsip mikroskop emisi medan

Keterbatasan yang baru saja disebutkan dapat diatasi dengan memasukkan helium

ke dalam ruang dan membalik polaritas potensial yang diberikan. Atom helium yang

segera berada disekitar elemen tungsten terionisasi karena medan eletrik yang besar

sehingga memperoleh muatan positip, dan bergerak ke layar. Baik difraksi mekanika

kuantum (ingat, panjang gelombang de Broglie berbanding terbalik dengan massa)

dan kecepatan thermal acak sekarang lebih kecil, dengan demikian resolusi lebih

tinggi dan atom-atom secara terpisah tentu saja dapat dibedakan seperti pada

gambar (5-10. (Gambar (5-10 tidak ditampilkan). Perangkat ini, disebut mikroskop

ion medan ( Filed-ion microscope), adalah yang pertama dalam sejarah ilmu

pengetahuan yang membuat atom-atom terpisah dapat dilihat. Dengan demikian

hanya sekitar dua setengah milenium sesudah pengenalan konsep atom, terbukti

bahwa atom-atom itu dapat dilihat.

18

0 – 104 VPower Supply

Ruang vakum

Titik akhir

6.9 Efek Photoelektrik

Emisi elektron yang disebabkan oleh gelombang elektromagnetik disebut

“Efek photoelektrik”. Kata “photo” (Light dalam bahasa Yunani) perlu diperjelas,

karena efeknya pertama kali ditemukan dalam batas yang dapat dilihat. Yang

menarik ialah cahaya adalah penomena paling awal yang membuat keraguan paling

serius tentang kebenaran fisika klasik dan instrumen yang dibuat dari fisika kuantum.

Eksperimen dasar yang dilakukan diperlihatkan dalam gambar (5-11). Pada

waktu gelombang eletromagnetik datang, arus mulai mengalir antara elektroda.

Besarnya arus sebanding dengan masukan daya elektromagnetik, tetapi tidak ada

arus jika frekuensi tidak cukup tinggi untuk membuat

hω > (5-49)

Ini mungkin tempat yang terbaik untuk memperkenalkan photon yang

merupak partikel ekivalen dari gelombang elektromagnetik. Setiap photon membawa

energi sebesar :

E = hω (5-50)

Elektron akan diemisikan bila energi ini lebih besar dari fungsi kerja. Dalam

gelombang elektromagnetik dengan daya P dan frekuensi ω jumlah photon yang

datang persatuan waktu adalah :

Nphoton = P/hω

Perhitungan arus secara terperinci tidak mudah sebab photon tidak

berkewajiban untuk memberikan energinya ke elektron. Seseorang harus

menghitung probabilitas pengalihan, yang berbeda pada permukaan dan bagian

dalam material. Persoalan sedikit agak komplek; kita tidak akan lebih dalam lagi ke

dalam teori ini. Itu dapat merupakan hiburan bagi anda bahwa engineer pertama

yang menggunakan dan mendisain photocell ( Alat yang tersedia secara komersial

dengan prinsip efek photoelektrik ) mengetahui lebih sedikit sekitar penggunaannya

dari pada yang anda lakukan.

6.10 Lampu Kristal Halogen

19

Filamen tungsten telah digunakan tidak hanya sebagai sumber elektron, tetapi

juga sebagai elemen radiator dalam bola lampu. Disain dasar telah berubah sedikit

selama beberapa ratus tahun terakhir sampai yang ada sekarang ketika lampu kristal

halogen dikembangkan. Keuntungan dari sampul kristal (ditambahkan dengan tepat

dengan molybdenum dalam proses yang terlindung) sehingga temperatur kerja yang

mungkin lebih tinggi dari sampul kaca biasa, demikian juga kita akan mendapatkan

efisiensi cahaya yang lebih baik (keluaran cahaya sebanding dengan T4). Tetapi hal

ini saja tidaklah begitu bagus karena filamen tungsten telah sejak lama merupakan

contoh utama dari yang mengalami hukuman universal (menurut Hukum Sod dan

Murphy). Apa yang terjadi adalah, pada bagian tertentu dari filamen terjadi

pengaratan dan penipisan yang membuat resistansi lebih tinggi dan kemudian terjadi

pemanasan lebih. Dengan demikian tingkat penguapan lokal meningkat, dan

semakin menipis, dan kemudian terbakar. Sepintas lalu , cahaya menjadi seperti

lebih terang untuk beberapa detik sebelum terbakar, meskipun daya elektrik yang

digunakan kecil. Efek ini dapat diatasi dengan menambahkan sedikit gas halogen,

seperti clorine, ke dalam lampu selama proses. Uap tungsten sekarang dikonversi

menjadi clorida, yang cukup mudah menguap untuk meninggalkan sampul silika

panas yang transparan. Pada waktu molekul clorida menghantam bagian yang paling

panas, molekul-molekul itu terurai, mendepositkan tungsten dan membebaskan

clorine untuk mengambil bagian dalam reaksi selanjutnya. Tingkat deposit meningkat

seiring dengan temperatur, sehingga titik paling panas menipis , dan kerena itu

didinginkan. Proses feedback negatip menstabilkan lampu. Dengan demikian di

waktu mendatang jika anda menggunakan lampu kistal halogen.

5-11. Persambungan antara dua logam

Jika dua jenis logam dengan fungsi kerja yang berbeda terjadi kontak seperti

diperlihatkan dalam gambar (5-12), keadaan jelas tidak stabil. Elektron akan

menyeberang dari sebelah kiri ke kanan untuk menempati tingkat energi yang lebih

rendah yang tersedia. Tetapi dengan mneyeberangnya elektron, akan terjadi

kelebihan muatan positip pada sebelah kiri dan kelebihan elektron di sebelah kanan.

Konsekuensinya, medan elektrik dibangkitkan dengan polaritas yang menghambat

aliran elektron dari kiri ke kanan dan mendorong aliran elektron dari kanan ke kiri.

20

Keseimbangan dinamik dicapai jika jumlah elektron yang sama menyeberang dalam

kedua arah. Pada beda potensial berapa hal ini akan terjadi ? Solusi eksak dari

persoalan ini menjadi urusan statistik termodinamik. Solusinya cukup panjang, tetapi

ada jawaban, seperti yang sering dalam hal termodinamik akan sangat sederhana.

Gambar 5-12. Level Fermi dan fungsi kerja dua logam yang akan disambungkan.

Beda potensial antara kedua logam, yang disebut ‘potensial kontak’ ( Contact

Potensial ), sama dengan beda fungsi kerja antara dua logam, atau dalam istilah

yang lebih umum beda potensial dapat diperoleh dengan menyamakan level Fermi

pada bidang kontak kedua logam. Ini merupakan hukum yang benar untuk sejumlah

material dalam keseimbangan pada suatu temperatur.

Diagram energi yang dihasilkan diperlihatkan pada gambar (5-13. Beda

potensial antara yang timbul antara kedua logam adalah kenyataan . Jika kita

menempatkan elektron tambahan pada daerah kontak, maka elektron-elektron

tersebut akan mengalami gaya ke kiri. Beda potensial nyata, tetapi sayangnya itu

tidak dapat melakukan fungsi baterei. Mengapa? Karena dalam kehidupan nyata kita

akan tidak pernah memperoleh sesuatu dari tanpa sesuatu dan bagaimana pun,

mengeluarkan daya dari keadaan keseimbangan adalah melawan hukum kedua

termodinamika.

21

Gambar 5-13. Beda potensial ( ) untuk dua logam yang disambung

22