V. ELEKTRON BEBAS GAS FERMI

Ganbar 5.1 Model skematik logam natrium pada Kristal.Inti atom ion Na+¿¿ ditenggelamkan dalam lautan electron konduksi. Elektron konduksi didapat dari 3 s elektron valensi dari atom bebas. Inti atom mengandung 10 elektron dalam konfigurasi 1 s2 ,2 s2 ,2 p6. Dalam logam alkali inti atom menempati bagian yang relatif kecil (15 persen) dari total volume kristal, tetapi dalam logam mulia (Cu , Ag , Au) inti atom relatif lebih besar dan mungkin berhubungan satu dengan yang lainnya. Struktur kristal umum pada suhu ruang adalah bcc untuk logam alkali dan fcc untuk logam mulia.

Dalam teori yang telah memberikan hasil seperti ini,

tentu harus banyak kebenaran,

H.A. Lorentz

Berdasarkan teori ini dapat dipahami berbagai sifat fisik logam, dan tidak hanya dari

logam sederhana, juga dalam hal model elektron bebas. Menurut model ini, elektron valensi

penyusun atomnya menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas melalui volume logam.

dimana dalam logam model elektron bebas bekerja lebih baik, distribusi muatan elektron

konduksi menggambarkan potensial elektrostatik yang kuat dari inti ion. Kegunaan dari

model elektron bebas adalah lebih baik untuk sifat yang pada dasarnya tergantung pada sifat

kinetik elektron konduksi. Interaksi elektron konduksi dengan ion kisi.

Logam yang paling sederhana adalah alkali logam-lithium, natrium, kalium, cesium,

dan rubidium. Dalam atom bebas natrium elektron valensinya adalah dalam keadaan 3s,

logam elektron ini menjadi elektron konduksi dalam pita konduksi 3s.

Sebuah kristal valensi tunggal yang mengandung atom N akan memiliki N elektron

konduksi dan N inti ion positif. Na+¿¿ion inti berisi 10 elektron yang menempati 1 s ,2 s ,∧2 p

dan kulit ion bebas, dengan penyebaran spasial yang pada dasarnya sama ketika berada di

logam seperti ion bebas. Isi inti ion hanya sekitar 15 persen dari volume natrium kristal,

seperti pada Gambar 1. jari-jari bebas Na+¿¿ ion adalah 0.98 A, sedangkan satu-setengah dari

jarak terdekat-tetangga logam1.83 A .

Penafsiran sifat logam dalam hal gerakan elektron bebas dikembangkan jauh sebelum

penemuan mekanika kuantum. Teori klasik memiliki beberapa keberhasilan mencolok,

terutama turunan dari bentuk hukum Ohm dan hubungan antara konduktivitas listrik dan

termal. Teori klasik gagal menjelaskan kapasitas panas dan kerentanan magnetik elektron

konduksi. (ini bukan kegagalan model elektron bebas, tetapi kegagalan klasik Maxwell fungsi

distribusi).

Ada kesulitan lebih lanjut dengan model klasik. Dari banyak jenis percobaan jelaslah

bahwa elektron kondisi logam dapat bergerak bebas di lintasan lurus atas banyak jarak atom,

tanpa dibelokkan oleh tumbukan dengan elektron konduksi lain atau tumbukan dengan inti

atom. Dalam spesimen yang sangat murni pada suhu rendah, lintasan bebas rata-rata mungkin

selama 108 jarak antar atom (lebih dari 1 cm).

5.1 Tingkat Energi dalam Satu Dimensi

Pertimbangkan gas elektron bebas dalam satu dimensi, dengan memperhatikan teori

dan prinsip kuantum . Sebuah elektron massa m dibatasi dengan panjang L oleh lapisan yang

tak terbatas yang ditunjukkan pada Gambar 2. Fungsi gelombang ψn(x ) elektron adalah

solusi dari persamaan Schrödinger H ψ=ϵψ , dengan mengabaikan energi potensial yang

dimiliki H= ρ2/2m, di mana ρ adalah momentum. Dalam teori kuantum ρ dapat ditunjukkan

oleh persamaan −iℏd /dx, sehingga:

H ψn=−ℏ2

2md2ψn

dx2 =ϵn ψn (5.1)

dimana ϵ n adalah energi elektron dalam orbital.

Istilah orbital digunakan untuk menunjukkan solusi dari persamaan gelombang untuk

sistem satu elektron. Istilah ini memungkinkan untuk membedakan antara keadaan kuantum

yang sesuai dengan persamaan gelombang sistem N interaksi elektron dan keadaan kuantum

kurang lebih yang dibangun dengan menempatkan elektron N ke N orbital yang berbeda, di

mana masing-masing orbital adalah solusi dari persamaan gelombang untuk satu elektron.

Model orbital yang tepat hanya jika tidak ada inter-aksi antara elektron.

Syarat batas ψn (0 )−0; ψn ( L )=0 seperti yang digunakan pada lapisan energy potensial

yang tak terbatas. Hal ini terpenuhi jika fungsi gelombang sinus tersebut sesuai dengan

jumlah n integral dari setengah panjang gelombang antara 0−L:

ψn=A sin ( 2 πλn

x ); 12 n λn=L (5.2)

Dimana A adalah konstan. Tinjau persamaan ( 2 ) adalah solusi dari persamaan ( 1 ) , karena

d ψn

dx=A ( nπ

L )cos( nπL

x);d2ψn

dx2 =−A ( nπL )

2

sin( nπL

x ) Dimana, ϵ n di peroleh berdasarkan

ϵ n=ℏ2

2m ( nπL )

2

(5.3)

Akomodasikan N elektron di dalam garis . Menurut prinsip larangan Pauli , tidak ada dua

elektron yang dapat memiliki semua bilangan kuantum mereka.

Gambar 5.2 Tiga tingkat energi dan fungsi gelombang elektron bebas dari massa m dibatasi

pada garis panjang L. Tingkat energi lengkung dinyatakan dengan bilangan

kuantum n yang memberikan jumlah setengah panjang gelombang dalam fungsi

gelombang. Panjang gelombang ditunjukkan pada fungsi gelombang. Energi ϵ n

dari tingkat bilangan kuantum n adalah sama dengan ( ℏ2

2m )( n2 L

)2

.

Identik. Artinya , masing-masing orbital dapat ditempati oleh paling banyak satu

elektron . Hal ini berlaku untuk elektron dalam atom , molekul , atau padat .

Dalam bilangan kuantum padat linear elektron konduksi orbital n dan , di mana n

adalah bilangan bulat positif dan nomor magnetik kuantum ms=±12

, sesuai dengan orientasi

spin. Sepasang orbital dinyatakan dengan nomor kuantum n dapat menampung dua elektron ,

satu dengan spin up dan satu dengan spin down.

Jika ada enam elektron , maka dalam keadaan dasar dari sistem orbital dipenuhi yang

diperlihatkan dalam tabel :

Lebih dari satu orbital dapat memiliki energi yang sama . Jumlah orbital dengan energi

yang sama disebut degenerasi .Biarkan n f menunjukkan tingkat energi paling atas diisi , di

mana kita mulai mengisi tingkat dari bawah (n=1) dan terus mengisi tingkat yang lebih

tinggi dengan elektron sampai semua elektron N ditampung . Hal ini mudah untuk

menganggap bahwa N adalah bilangan genap . Kondisi 2 nf =N menentukan n f , nilai n untuk

tingkat teratas diisi .

Fermi ϵ f energi didefinisikan sebagai energi dari tingkat paling atas diisi dalam keadaan dasar

dari sistem elektron . Persamaan ( 5.3 ) dengan n=nf kita miliki dalam satu dimensi :

ϵ f =ℏ2

2m ( nf πL )

2

= ℏ2

2m ( Nπ2 L )

2

(5.4)

5.2 Pengaruh suhu terhadap distribusi Fermi - Dirac

Keadaan dasar adalah keadaan sistem elektron N pada nol mutlak . Apa yang terjadi

sebagai temperatuere meningkat? Ini adalah masalah standar dalam mekanika statistik dasar ,

dan solusinya diberikan oleh distribusi Fermi - Dirac memberikan probabilitas bahwa orbital

di ε energi akan ditempati dalam gas elektron yang ideal dalam kesetimbangan termal :

f ( ϵ )= 1

exp[ ε−μk BT ]+1 (5.5)

Kuantitas μ adalah fungsi dari suhu, μ harus dipilih untuk masalah tertentu sedemikian rupa

bahwa jumlah total partikel dalam sistem keluar correctly- yaitu, sama dengan N . Di nol

mutlak μ−ϵF , karena dalam batas T → 0 fungsi f (ε )Perubahan terputus-putus dari nilai 1

( diisi ) dengan nilai 0 ( kosong ) di ϵ−ϵF=μ.. Pada semua suhu f (ϵ )adalah sama dengan ½

ketika ¿ μ , untuk kemudian penyebut persamaan ( 5.5 ) memiliki nilai 2 .

Gambar 5.3 Fungsi Fermi - Dirac distribusi persamaan (5.5) pada berbagai suhu berlabel ,

untuk T f =ε f

kb

=50000 K. Hasil berlaku untuk gas dalam tiga dimensi. Total

jumlah partikel konstan , tergantung pada suhu. Kimia potensi μ pada setiap

temperatur dapat dibaca dari grafik sebagai energy dengan f =0.5.

Kuantitas μ adalah potensial kimia, dan pada nol mutlak potensial kimia sama dengan energi

Fermi, yang didefinisikan sebagai energi paling atas diisi orbital pada nol mutlak.

Ekor energi tinggi dari distribusi adalah bagian yang ϵ−μ≽ kbT di sini istilah

eksponensial dominan dalam penyebut persamaan (5.5), sehingga f ( ϵ )≅ exp¿¿ Batas ini

disebut distribusi Boltzmann atau Maxwell.

5.3 Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi

Partikel bebas persamaan persamaan Schrodinger dalam tiga dimensi adalah

−ℏ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )ψ k (r )=ϵ k ψ k (r ) (5.6)

Jika elektron terbatas pada sebuah kubus kubus tepi L, fungsi gelombang adalah gelombang

berdiri

ψn (r )=A sin ( π nx x

L )sin( π ny y

L )sin ( π nz z

L ) (5.7)

Dimana nx , n y , nz adalah bilangan bulat positif. Asal adalah di salah satu sudut kubus.

Hal ini mudah untuk memperkenalkan fungsi gelombang yang memenuhi kondisi batas

periodik. Fungsi gelombang untuk menjadi periodik dalam x , y , z , dengan periode L yaitu,

ψ ( x+L , y , z )=ψ (x , y , z ) (5.8)

untuk y dan z koordinat. Fungsi gelombang memenuhi persamaan Schrodinger partikel bebas

dan kondisi periodisitas adalah dari bentuk gelombang pesawat bepergian:

ψk (r )=exp (i k . r) (5.9)

Dengan ketentuan bahwa komponen vektor gelombang k memenuhi

k x=0 ;±2 πL

;±4 πL

;… .. , (5.10)

dan juga untuk ky dan kz.

Setiap komponen k dari bentuk 2 nπ / L akan memenuhi kondisi periodisitas lebih

panjang L, di mana n adalah bilangan bulat positif atau negatif. Komponen k adalah bilangan

kuantum masalah tersebut, bersamaan dengan bilangan kuantum m, untuk berputar arah.

Kami pastikan bahwa nilai-nilai kx memenuhi persamaan (5.8), untuk

exp [ ik x ( x+L ) ]=exp[ i2nπ ( x+L )L ]

¿exp( i 2 nπxL )exp ( i 2 nπ )=exp ( i 2 nπx

L )=exp (i k x x ). (5.11)

dengan substitusikan persamaan (5.9) di (5.6) maka mempunyai energy ϵ k dari orbital dengan

gelombang vektor k :

ϵ k=ℏ2

2mk2= ℏ2

2 m¿) (5.12)

Besarnya k dari vektor gelombang berhubungan dengan panjang gelombang λ dengan k=2 π

Momentum linear p dapat dinyatakan dalam mekanika kuantum oleh operator p=−iℏ∇, dari

mana untuk orbital (5.9).

p ψk (r )=−iℏ∇ψk (r )=ℏk ψk (r) (5.13)

Sehingga ψkgelombang bidang adalah fungsi eigen dari momentum linear dengan nilai eigen

kℏ Kecepatan partikel dalam k orbital diberikan oleh v= kℏ /m.

Dalam keadaan dasar dari sistem N elektron bebas, orbital yang ditempati dapat

digambarkan sebagai titik di dalam bola di ruang k . Energi pada permukaan bola adalah

energi Fermi, vektor gelombang di permukaan Fermi memiliki besaran k F sehingga:

ϵ F=ℏ2

2 mk F

2 (5.14)

Dari persamaan (5.10) dapat dilihat bahwa ada satu gelombang vektor diperbolehkan yaitu,

salah satu triplet berbeda dengan bilangan kuantum kx , ky , kz, untuk elemen volume ( 2πL

)3

ruang k . Dengan demikian dalam lingkup volume 4 π kF3 /3 jumlah orbital adalah

2.4 π kF

3 /3

(2 πL

)3 = V

3 π2 kF3 =N

(5.15)

Dimana faktor 2 di sebelah kiri berasal dari dua nilai yang diizinkan bilangan kuantum

berputar untuk setiap nilai yang diizinkan k . kemudian (5.15) memberikan

k F=( 3 π2 NV )

1/3

(5.16)

Yang hanya bergantung pada konsentrasi partikel.

Gambar 5.4 Dalam keadaan dasar dari sistem N elektron bebas orbital diduduki sistem

mengisi bidang radius k F, di mana εϵ F=ℏ2 kF

2 /2m adalah energi dari sebuah

elektron memiliki gelombang vektor k F.

Tabel 5.1 Hitungan electron bebas permukaan fermi untuk logam pada suhu ruang

Gambar 5.5 Kepadatan partikel tunggal sebagai fungsi dari energi , untuk sebuah elektron

gas bebas didalam tiga dimensi .dimana garis putus-putus pada kurva mewakili

kepadatan sumberf (∈,T) D¿) orbital penuh didalam suhu yang terbatas,

sehingga k B T lebih kecil dibandingkan ∈F.Yang terbayang kepadatan

mewakili orbital penuh di nol mutlak . energi rata-rata yang justru meningkat

saat suhu meningkat dari 0 ke T, untuk elektron thermal daripadatan 1 ke

padatan 2. `

Gunakan persamaan (5.14) dan (5.16)

∈F=ℏ2

2m ( 3 π2 NV )

23 (5.17)

hal ini berhubungan dengan konsentrasi energi electron fermi N/V. kecepatan elektron vF

untuk permukaan Fermi adalah :

vF=(ℏk F

m )=( ℏm )( 3 π2 NV )

13 (5.18)

Setelah kisaran jumlah dari orbital per unit energy ditemukan. D¿) yang disebut kepadatan

suatu keadaan. Dengan gunakan persamaan (5.17) untuk memperoleh jumlah total dari orbital

energi. ≤∈

N= V3 π2 ( 2m∈

ℏ2 )32 (5.19)

Jadi kepadatan suatu keadaan (untuk gambar 6.5) adalah :

D¿) = dNd∈

= V2π2 ( V

2π2 )32 ∈

12 (5.20)

Dimana D¿) adalah kepadatan dari satu pertikel keadaan. Atau kepadatan dari orbitals.

Hasilnya mungkin dapat dinyatakan lebih sederhana dengan membandingkan persamaan

(5.19) dan (5.20) untuk memperoleh :

D¿) = dNd∈

=3 N2∈

(5.21)

Dalam kelipatan urutan dari satuan, jumlah orbitals per satuan energi yang berkisar pada

energi fermi yang jumlah total elektron konduksi dibagi oleh energi fermi, sama seperti yang

di harapkan

6.4 Kapasitas Panas Elektron Gas

Ketika specimen panas dari nol mutlak, tidak semua elektron memperoleh sebuah

energi k B T seperti yang diharapkan secara sederhana, tetapi hanya elektron didalam orbital

dalam sebuah kisaran energi k B T . Masing-masing NT/TF elektron memiliki energi panas dari

ordo KBT. Total energi kinetik thermal elektronik U merupakan urutan dari :

U d ≈ (NT /T F) k B T (5.22)

Kapasitas panas elektronik tersebut diberikan oleh :

C el=∂U /∂T ≈ N kB(T /T F) (5.23)

Dan berbanding lurus dengan T, dalam kesepakatan dengan hasil percobaan yang

dibahas dalam bagian berikutnya. Dalam ruangan suhu C el lebih kecil dari nilai sederhana

N KB23 dengan kelipatan dari urutan 0,01 atau kurang, untuk TF 5 X 104 K .

sekarang diperoleh ungkapan kuantitatif untuk elektronik kapasitas panas yang berlaku di

suhu rendah KBT≪∈F. Peningkatan tersebut ∆ U=U (T )−U (0) di dalam energi total

(gambar 5) dari sebuah sistem elektron N dimana dipanaskan dari 0 ke T adalah :

∆ U =∫0

∞

d∈∈D(∈ ) f (∈ )−∫0

ep

d∈∈D(∈) (5.24)

Disini f (∈) adalah fumgsi dari diract Fermi:

f (∈ , T , μ )= 1exp [ (∈−μ )/ K BT +1 ]

(5.24a)

Dan D(∈) adalah kisaran jumlah dari orbital per-unit energi. Kalikan identitas

N=∫0

∞

d∈D(∈ ) f (∈ )=∫0

ep

d∈D(∈) (5.25)

Dari ∈f didapatkan

¿ D(∈ )=∫0

ep

d∈∈FD(∈) (5.26)

Dengan menggunakan persaman (5.26) tuliskan (5.24) sebagai :

∆ U =∫ep

∞

d∈ (∈−∈F ) f (∈ ) D (∈ )+¿∫0

ep

d∈ (∈F−∈ ) [1−f (∈ ) ] ¿D(∈) (5.27)

Dari hasil f (∈ ) D (∈ ) d∈ (∈−∈F ) di dalam integral pertama dari persamaan (5.27) adalah

jumlah rentang energi tinggi electron dari tiap orbitald∈ sebagai energi ∈.Factor dari

[1−f (∈ ) ] dalam integral kedua kemungkinan electron telah dihapus dari orbital ∈. Fungsi

dari ∆ U adalah mengelompokkan di dalam gambar 5.6. Kapasitas panas gas electron dapat

dibedakan sebagai ∆ U sehubungan dengan T. hanya suhu yang bergantung pada persamaan

(27) sebagai f (∈ ).maka dapat dikelompokan untuk memperoleh :

C el=∂ U∂ T

=∫0

∞

d∈ (∈−∈F ) ∂ f∂T

D(∈) (5.28)

Di dalam suhu terdapat ketertarikan pada logam τ /∈F<0.01.

Gambar 5.6 ketergantungan suhu dari interaksi energi fermion gas dalam tiga dimensi.

Energi yang dinormalisasikan digambarkan sebagai ∆ U /N ∈F dimana N adalah

jumlah dari electron.Suhu dituliskan sebagai KBT/∈F

Gambar 5.7 Penggambaran potensial kimia μ berbanding suhu sebagai k B T untuk interaksi

gas fermion dalam tiga dimensi. Untuk memudahkan dalam menggambarkan.

Satuan dari μ dan k B T adalah 0.763 ∈F

Pendekatan yang baik dalam mengevaluasi padatan D(∈ ) sebagai ∈F dan keluarkan

integralnya :

C el≅(D¿¿∈ F)∫0

∞

d∈(∈−∈F ) dfdT

¿ (5.29)

Uji kembali grafik pada gambar 6.7 dan gambar 6.8 untuk mendapatkan variasi potensial

kimia μ dengan T menyatakan bahwa k B T ≪∈F Dengan mengabaikan suhu ,

Gambar 5.8 Variasikan dengan suhu dari potensial kimia μ, untuk electron bebas gas Fermi

dalam satu dan tiga dimensi. Dalam kesamaan logam τ /∈F≅ 0.01 temperatur

ruang. Ini adalah kurva yang menghitung integral dari seri expansions untuk

menunjukkan partikel di dalam sistem.

Ketergantungan dari potensial kimia μ di dalam fungsi distribusi gas Fermi dan mengganti μ

oleh ∈F konstan dengan τ ≡ KBT.

dfdT

=∈−∈F

τ2 ∙exp [ (∈−∈F ) /τ ]

{exp [ (∈−∈F ) /τ ]+1}2

(5.30)

Didapatkan :

x≡ (∈−∈F )/τ (5.31)

Dan diikuti untuk (5.29) dan (5.30) bahwa:

C el=K B2 T D (∈F ) ∫

−∈F

τ

∞

dx x2 ex

(ex+1 )2 (5.32)

Dari integral (5.32) kemudian menjadi:

∫−∞

∞

dx x2 ex

(ex+1 )2= π

2

3(5.33)

Dimana kapasitas panas electron dalam gas :

C el=13

π2 D (∈F ) k B2 T (5.34)

Untuk persamaan (5.21) memiliki

D (∈F )= 3 N2∈F

= 3 N2 K B T F

(5.35)

Untuk elektron gas bebas, dengan k B T F ≡∈F. Dengan demikian persamaan (5.34) menjadi :

C el=12

π2 N kB T /T F (5.36)

A. Eksperimental Kapasitas Panas Suatu Logam

Kapasitas panas suatu logam dapat dituliskan sebagai jumlah dari kontribusi electron

dan phonon. : C=γT + A T 3, dimana γ dan A adalah karakteristik yang konstan dari sutau

logam. Itu menunjukkan nilai eksperimental dari C sebagai penggabungan dari C/T

berbanding T 2.

C /T=γ+ A T 2, (5.37)

Observasi koefisien nilai γ sebagai besaran yang diharapkan. Tapi sering kali tidak sepakat

dalam menetapkan nilai dari massa electron bebas dari logam digunakkan persamaan (5.17)

dan (5.34). Dimana mth didefinisikan sebagai :

mth

m=

γ (observasi)γ (bebas)

(5.38)

Bentuk ini muncul secara alami karena ∈F berbanding terbalik dengan massa dari electron.

Dimana γ ∝m . Nilai dari perbandingan yang diberikan pada Tabel 5.2. Pemisahannya

melibatkan 3 efek pemisahan.

Interaksi konduksi elektron dengan periodik potensi kisi kristal yang sangat

kaku. .Efektivitas massa elektron dalam hal ini disebut sangat efektif secara massa

Gambar 5.9 nilai eksperimental kapasitas panas untuk potassium, dikelompokkan sebagai

C/T berbanding dengan T 2.

Interaksi elektron konduksi dengan fonon. sebuah electron cenderung berpolarisasi

atau mengubah kisi di sekitarnya, sehingga elektron yang bergerak mencoba untuk

menyeret ion terdekat bersamanya, dengan demikian meningkatkan massa efektif

elektron.

Interaksi elektron konduksi dengan diri mereka sendiri. Sebuah elektron bergerak

menyebabkan reaksi inersia dalam gas elektron di sekitarnya, sehingga

meningkatkan massa efektif elektron.

Fermion berat. Beberapa senyawa logam yang memiliki nilai-nilai yang sangat besar

telah ditemukan, dari konstanta kapasitas panas elektronikγ . dua atau tiga kali lipat lebih

tinggi dari biasanya Senyawa fermion berat termasuk UBe13, CeAI3, dan CeCu2Si2. Telah

diduga bahwa elektron f dalam senyawa ini mungkin memiliki massa inersia setinggi 1.000

m, karena saling tumpang tindih yang lemah fungsi gelombang elektron f pada ion

berdekatan.

5.5 Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm's

Momentum elektron bebas berhubungan dengan gelombang vektor oleh mv = ħk.

Dalam medan E listrik dan medan magnet B gaya F pada sebuah muatan electron –e adalah -

e [E + (1/c)v x B], sehingga hukum kedua Newton mengenai gerakan akan menjadi

F=md vdt

=ℏ d kdt

=−e (E+ 1c

v× B) (5.39)

Karena ketiadaan tumbukan bola Fermi (Gambar 5.10) bergerak di ruang k dengan

laju seragam dengan medan listrik yang diterapkan tetap. Kita mengintegrasikan (5.39)

dengan B = 0 untuk mendapatkan

k (t )−k (0 )=−e E t /ℏ (5.40)

Jika gaya F = -eE diterapkan pada waktu t = 0 ke gas elektron yang mengisi bola

Fermi berpusat asal pada k ruang, maka pada waktu kemudian t bola akan mengungsi ke

pusat baru di

δ k=−e E t /ℏ (5.41)

Perhatikan bahwa bola Fermi dipindahkan secara keseluruhan karena setiap elektron

tergeser oleh δk yang sama.

Karena tumbukan elektron dengan ketidakmurnian, ketidaksempurnaan kisi, dan

fonon, lingkup yang dipindahkan dapat dipertahankan dalam keadaan stabil dalam medan

listrik. Jika waktu tumbukan adalah τ, perpindahan bola Fermi dalam keadaan stabil

diberikan oleh (5.41) dengan t = τ. Kecepatan tambahan adalah v = ħδk/m = -eEτ/m. Jika

dalam tetap medan listrik E terdapat n elektron muatan q = -e per satuan volume, densitas

listrik saat ini adalah

j=nq v=n e2 τ E /m (5.42)

Ini adalah hukum Ohm.

Gambar 5.10 (a) lingkup Fermi mengitari tempat orbital elektron yang berada di k ruang

pada keadaan dasar dari gas elektron. Momentum bersih adalah nol, karena

untuk setiap k orbital ada yang diduduki orbital -k. (b) Di bawah pengaruh

gaya F berperan konstan selama interval waktu t setiap orbital memiliki vektor

k meningkat sebesar δk = Ft/ħ. Ini sama dengan perpindahan dari seluruh

lingkup Fermi oleh δk. Total momentum Nħδk, jika terdapat N elektron.

Penerapan gaya meningkatkan energi sistem dengan N (ħδk)2 / 2m.

Konduktivitas listrik σ didefinisikan oleh j = σE, sehingga dengan (5.42)

σ=n e2 τm

(5.43)

Resistivitas listrik ρ didefinisikan sebagai kebalikan dari konduktivitas, sehingga

ρ=m /n e2 τ (5.44)

Nilai konduktivitas listrik dan resistivitas dari unsur-unsur yang diberikan pada Tabel

5.3. Pada unit Gaussian σ memiliki dimensi frekuensi.

Sangat mudah untuk memahami hasil (5.43) untuk konduktivitas gas Fermi. Yang kita

harapkan muatan yang diangkut sebanding dengan kerapatan muatan ne; faktor e/m masuk

(5.43) karena percepatan dalam medan listrik yang diberikan sebanding dengan e dan

berbanding terbalik dengan massa m. Waktu τ menggambarkan waktu luang selama medan

bertindak pada operator. Hasil yang sama erat untuk konduktivitas listrik diperoleh untuk

tipikal (Maxwell) gas elektron, seperti yang diwujudkan pada konsentrasi pengangkut yang

rendah dalam banyak masalah semikonduktor.

A. Tahanan listrik eksperimental logam

Tahanan listrik dari logam yang paling didominasi pada suhu kamar (300K) oleh

tumbukan elektron konduksi dengan fonon kisi dan pada suhu cair helium (4 K) oleh

tumbukan dengan atom ketidakmurnian dan ketidaksempurnaan mekanik dalam kisi (Gbr.

11). Tingkat tumbukan ini sering independen untuk perkiraan yang bagus, sehingga jika

medan listrik dimatikan distribusi momentum akan rileks kembali ke keadaan dasar dengan

tingkat relaksasi bersih.

Gambar 5.11 Resistivitas listrik di sebagian besar logam muncul dari tumbukan elektron

dengan penyimpangan dalam kisi, seperti pada (a) oleh fonon dan (b) dengan

ketidakmurnian dan situs kisi kosong.

1τ= 1

τL

+ 1τ i

(5.45)

di mana τL dan τi masing-masing adalah waktu tumbukan untuk hamburan oleh fonon dengan

ketidaksempurnaan.

Resistivitas bersih ditentukan oleh

ρ=ρL+ρi (5.46)

di mana ρL adalah resistivitas yang disebabkan oleh fonon termal, dan ρ i adalah resistivitas

yang disebabkan oleh hamburan gelombang elektron oleh kerusakan statis yang mengganggu

periodisitas kisi. Seringkali ρL tidak tergantung pada jumlah kerusakan ketika konsentrasi

mereka kecil, dan sering ρi tidak tergantung pada suhu. Pengamatan empiris ini

mengungkapkan aturan Matthiessen, yang mudah dalam menganalisis data eksperimen

(Gambar 5.12).

Gambar 5.12 Hambatan potasium di bawah 20 K, yang diukur pada dua spesimen oleh D.

MacDonald dan K. Mendelssohn. Penyadapan yang berbeda pada 0 K adalah

atribut konsentrasi yang berbeda dari campuran dan ketidaksempurnaan statis

dalam dua specimen.

Konsentrasi ketidak murnian sekitar 20 ppm. Dalam spesimen sangat murni rasio resistivitas

sekitar 106, sedangkan di beberapa alloye. (e.e., Manganin) itu serendah 1,1.

Hal ini memungkinkan untuk mendapatkan kristal tembaga murni sehingga

konduktivitasnya pada suhu helium cair (4 K) hampir 105 kali pada suhu ruangan, untuk

kondisi ini τ ≈ 2 ×10−9 s di 4 K. lintasan bebas rerata ldari konduksi elektron didefinisikan

sebagai:

l=v f τ

Dimana v f adalah kecepatan di permukaan Fermi, karena semua tumbukan hanya melibatkan

elektron di dekat permukaan Fermi. Dari tabel 1 bisa ditemukan v f=1,57 × 108 cm s−1 untuk

cu, sehingga lintasan bebas rata-rata adalah l (4 K) = 0,3 cm. berarti jalur bebas sejauh 10 cm

telah diamati dalam logam yang sangat murni dalam kisaran suhu helium cair.

Dengan bergantung pada suhu bagian dari tahanan listrik sebanding dengan tingkat di

mana elektron bertumbukan dengan fonon termal dan elektron termal. Tingkat tumbukan

dengan fonon sebanding dengan konsentrasi fonon termal. Salah satu batas sederhana adalah

pada suhu di atas suhu Debye 0, disini konsentrasi foton sebanding dengan suhu T, sehingga

ρ∝T untuk T>θ. Sebuah dasar dari teori yang diberikan pada lampiran J.

B. Hamburan Umklapp

Hamburan Umklapp elektron oleh fonon menyumbangkan sebagian besar resistivitas

listrik dari logam pada suhu rendah. Ini adalah proses hamburan elektron-fonon di mana

melibatkan timbal balik vektor kisi G, sehingga perubahan momentum elektron dalam

prosesnya mungkin jauh lebih besar

Gambar 5.13 Dua bola Fermi di daerah yang berdekatan, konstruksi untuk memperlambat

peran proses umklapp phonon di tahanan listrik.

Dalam proses hamburan elektron-fonon normal pada suhu rendah atau dalam proses umklapp

yang wavevector dari satu partikel dapat "terbalik", menganggap bagian tegak lurus (100)

melalui dua daerah Brillouin berdekatan di bcc kalium, dengan bola Fermi setara termuat

dalam Gambar 5.13. Separuh bagian bawah dari gambar tersebut menunjukkan tumbukan

elektron-fonon normal k '= k + q, sedangkan bagian atas menunjukkan proses kemungkinan

hamburan k' = k + q + G melibatkan phonon yang sama dan mengakhiri daerah luar Brillouin

pertama, di titik A. Titik ini persis sama dengan titik A' dalam daerah asli, di mana AA'

adalah vektor kisi resiprokal G. hamburan ini adalah proses umklapp, dalam analogi dengan

fonon. Tumbukan tersebut menghasikan hamburan kuat karena sudut hamburan dapat dekat

dengan π.

Ketika permukaan Fermi tidak memotong batas daerah, ada issome minimum q0

phonon wavevector untuk hamburan umklapp. Pada suhu cukup rendah jumlah fonon tersedia

untuk hamburan umklapp jatuh saat exp (−θu/T ), di mana θu adalah temperature yang

dihitung dari permukaan dengan satu elektron orbital per atom dalam daerah Brillouin bcc,

dengan menunjukan satu geometri seperti q0=0,267 k f .

Data eksperimental pada Gambar 12 untuk kalium memiliki bentuk eksponensial yang

diharapkan dengan θu=23 K dibandingkan dengan Debye θ = 91K. pada suhu yang sangat

rendah di bawah kisaran 2 K kalium, jumlah proses umklapp di diabaikan dan resistivitas kisi

kemudian hanya disebabkan sudut hamburannya kecil, yang dalam posisi penghamburan

normal atau tidak umklapp.

5.6 Gerak Bidang Magnetik

Dengan persamaan (5.39) dan (5.41) kita menyebabkan persamaan gerakan untuk

perpindahan δk dari partikel bola Fermi yang bertindak dengan gaya F dan oleh gesekan yang

diwakili oleh tumbukan di tingkat 1/τ :

ℏ( ddt

+ 1τ )δ k=F (5.48)

Partikel masa bebas percepatan dalam (dℏ

dt)δ k dan efek tumbukan diwakili oleh δℏ k /τ , di

mana τ adalah waktu tumbukan.

Pertimbangkan saat gerak sistem dalam seragam magnetik diajukan B. gaya Lorentz

pada elektron.

(CGS) F=−e (E+ 1c

v× B) (5.49)

(SI) F=−e (E+v × B )

Jika m v= δℏ k , maka persamaan gerak adalah

(CGS) m( ddt

+ 1τ )v=−e(E+ 1

cv × B) (5.50)

Kondisi yang penting adalah sebagai berikut. Posisikan suatu medan magnet statis B terletak

sepanjang sumbu z. Kemudian persamaan komponen gerak berada.

(CGS) m( ddt

+ 1τ )v x=−e (E x+

Bc

v y)

m( ddt

+ 1τ )v y=−e(Ex+

Bc

v x) (5.51)

m( ddt

+ 1τ )v z=−e E z

Hasil di SI diperoleh dengan mengganti c dengan l.

Dalam keadaan stabil dalam medan listrik statis derivatif waktu adalah nol, sehingga

kecepatan drift

vx=−eτ

mEx−ωc τ v y ; v y=

−eτm

E y−ωc τ vx ; vz=−eτ

mE z (5.52)

Dimana ωc=eB/mc adalah frekuensi eyelotron.

A. Efek Hall

Efek hall adalah medan listrik yang dikembangkan di dua wajah konduktor, dalam arah

j × B, ketika j arus mengalir melintasi medan magnet B. Perhatikan spesimen berbentuk

batang dalam medan listrik memanjang Ex dan medan magnet melintang, seperti pada

Gambar 5.14. Jika pada kondisi ini tidak dapat mengalir keluar dari batang ke arah y maka

harus memiliki δ v y=0. Dari persamaan (5.52) ini hanya mungkin jika ada medan listrik

melintang

(CGS) E y=−ωc τ Ex=−eBτ

mcEx (5.53)

Gambar 5.14 Standar geometri untuk efek hall. Penampang spesimen berbentuk batang

persegi panjang ditempatkan dalam medan magnet Bz, seperti pada (a).

medan listrik Ex dialirkan di seluruh akhir elektroda menyebabkan kerapatan

jx arus listrik mengalir ke bawah batang. Kecepatan gerak elektron bermuatan

negatif segera setelah medan listrik diterapkan seperti pada (b). Defleksi arah

-y disebabkan oleh medan magnet. Elektron menumpuk di satu sisi batang

dan kelebihan ion positif yang didirikan pada sisi yang berlawanan seperti

dalam (c). Medan listrik melintang hanya membatalkan gaya lorents karena

medan magnet.

(SI) E y=−ωc τ Ex=−eBτ

mcEx

Jumlahnya didefinisikan dengan

RH=E y

jx B (5.54)

Disebut koefisien Hall. Untuk mengevaluasi pada model sederhana dengan menggunakan

j x=n e2 τ Ex /m dan diperoleh :

(CGS) RH=eBτ Ex /mc

jx=n e2 τ Ex /m=−1

nec (5.55)

(SI) RH=−1ne

Ini adalah berlawanan untuk elektron bebas, untuk e positif dengan definisi.

Tabel 5.4 Perbandingan lorong diamati koefisien dengan teori elektron bebas

Nilai-nilai eksperimental Rh yang diperoleh nelalui metode konvensional dirangkum dari

data pada suhu kamar yang disajikan dalam tabel Landolt-Bornstein. Nilai-nilai yang

diperoleh dengan metode gelombang semacam alat di 4 K adalah dengan JM Goodman.

Nilai-nilai dari n konsentrasi pembawa berasal dari tabel 1.4 kecuali Na, K, Al, In, di mana

valnes Goodman digunakan. Untuk mengkonversi nilai Rh dalam satuan CGS dengan nilai di

volt-cm / amp-gauss, kalikan dengan 9 x 1011; mengkonversi Rh di CGS untuk m3 /

coulomb, kalikan dengan 9 x 1013.

Semakin rendah konsentrasi pembawa muatan, maka akan menyebabkan semakin besar

Koefisien Hall. Mengukur Rh adalah cara penting untuk mengukur konsentrasi pembawanya.

Simbol Mu Rh menunjukkan koefisien Hall sesuai persamaan (5.54), tetapi simbol yang sama

kadang-kadang digunakan dengan arti yang berbeda, yang resistensi Hall masalah dua

dimensi.

Hasil sederhana persamaan (5.55) sesuai dengan asumsi bahwa setiap saat relaksasi

adalah sama, tergantung pada kecepatan electron. Faktor secara numerik adalah kesatuan

yang masuk jika waktu relaksasi adalah fungsi dari kecepatan. Dengan penyampaian menjadi

agak lebih rumit jika kedua elektron berkontribusi pada lubang konduktivitas.

Pada Tabel 5.4 teramati nilai-nilai koefisien ruang dibandingkan dengan nilai-nilai

dihitung dari konsentrasi pembawa muatan. Pengukuran yang paling akurat yang dibuat

dengan metode semacam alat resonansi. Nilai-nilai yang akurat dari natrium dan kalium

dalam perjanjian baik dengan nilai-nilai dihitung untuk satu elektron konduksi per atom,

dengan menggunakan (5.55).

Perhatikan, bagaimanapun, nilai eksperimental untuk elemen trivalen aluminium dan

iodium ini sesuai dengan nilai yang dihitung untuk satu pembawa muatan positif per atom

dan dengan demikian tidak sepakat besarnya dan menandatangani dengan nilai yang dihitung

untuk diharapkan tiga pembawa muatan negatif.

Anomali tanda dijelaskan oleh Peierls (1928). Gerak pembawa tanda positif jelas, yang

Heisenberg kemudian disebut "lubang," tidak dapat dijelaskan oleh gas elektron bebas, tetapi

ia menemukan penjelasan alami dalam hal teori pita energi dikembangkannya. Teori Band

juga menyumbangkan terjadinya nilai-nilai yang sangat besar koefisien hall, seperti untuk As,

Sb, dan Bi.

5.7 Konduktivitas Termal Logam

Konduktivitas termal untuk partikel dengan kecepatan v adalah K=13

Cvl, panas

kapasitas C per satuan volume, dan berarti lintasan bebas l. konduktivitas termal gas Fermi

berikut dari (6.36) untuk kapasitas panas, dan dengan ∈F=12

m vF2 :

K el=π2

3n k B

2 T

m v F2 . vF . l=

π 2n k B2 Tτ

3 m (5.57)

Dengan l=vF τ, konsentrasi elektron dalam n, dan τ adalah tumbukan. Dalam logam murni

kontribusi elektronik dominan pada semua suhu. Dalam logam murni atau paduan teratur,

elektron berarti jalan bebas dikurangi dengan tumbukan dengan kotoran, dan kontribusi

phonon mungkin sebanding dengan kontribusi elektronik.

5.7.1. Rasio Thermal untuk Konduktivitas Listrik

Hukum Wiedemann-Franz menyatakan bahwa untuk logam pada suhu tidak terlalu

rendah dengan rasio konduktivitas termal terhadap konduktivitas listrik untuk konduktivitas

listrik berbanding lurus dengan suhu, Dengan nilai konstanta proporsionalitas independen

dari logam tertentu, didukung gambaran tentang gas elektron sebagai pembawa muatan dan

energi. Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan (5.43) untuk σ ang (5.56) untuk K:

Tabel 5.5 nomor Lorentz eksperimental

Nomor Lorenz L didefinisikan sebagai

L ≈ K /σT (5.58)

Dan menurut (5.7) harus memiliki nilai

L= π2

3 ( k B

e )2

=2,72×10−13( ergesu

−deg)2

¿2,45 ×10−8 watt−ohm /deg2 (5.59)