1

MAKALAH PENGOLAHAN DATA SEISMIK

“APLIKASI FUNGSI MATEMATIS DALAM EKSPLORASI GEOFISIKA”

Disusun oleh :

Bella Dinna Safitri

115090700111002

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

LEMBAGA PENELITIAN DAN PENGABDIAN KEPADA MASYARAKAT

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2014

2

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI.......................................................................................................................2

BAB I Pembahasan..............................................................................................................3

BAB II Kesimpulan dan Saran............................................................................................15

2.1 Kesimpulan .....................................................................................................................15

2.2 Saran..............................................................................................................................15

Daftar Pustaka .....................................................................................................................16

3

BAB I

PEMBAHASAN

Gelombang seismik adalah rambatan energi yang disebabkan karena adanya gangguan di

dalam kerak bumi, misalnya adanya patahan atau adanya ledakan. Energi ini akan merambat

ke seluruh bagian bumi dan dapat terekam oleh seismometer. Data-data gelombang seismik

yang telah terekam, kemudian diproses atau diolah untuk suatu tujuan atau kepentingan

tertentu. Misalnya, dengan menggunakan rekaman data seismik gempa bumi (tektonik) dapat

ditentukan pusat dan kedalaman gempa bumi yang bersangkutan. Sedangkan pada gunung

berapi dapat digunakan untuk memperkirakan jenis aktivitas gunung berapi tersebut, seperti

gerakan magma, guguran lava padat, gejala-gejala akan terjadinya letusan dan lain-lain.

Secara umum, tujuan utama dari pengolahan data seismik adalah untuk memperoleh

rekaman yang berkualitas baik. Kualitas rekaman seismik dapat dinilai dari perbandingan

sinyal refleksi terhadap sinyal noise (S/N) yaitu perbandingan antara banyaknya sinyal

refleksi yang direkam dibandingkan dengan sinyal noisenya dan keakuratan pengukuran

waktu tempuh (travel time).

Dalam memperoleh kualitas rekaman seismik yang baik, pengolahan data seismik

menggunakan berbagai operasi matematis untuk menganalisis suatu fungsi fisis. Berikut ini

dijelaskan aplikasi fungsi matematis dalam pengolahan data seismik untuk berbagai terapan

dalam bidang seismologi.

1. Keterkaitan fungsi matematika dalam pemrosesan data seismik

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota

sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunanyang lain

(dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama

yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah

salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi",

"pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek

lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil.

Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y =

f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali

lebih besar.

4

Dalam bidang seismologi, fungsi matematis dapat diaplikasikan dalam berbagai

bidang sebagai pengolahan data seismik maupun teori dasar interpretasi untuk

pemodelan bawah permukaan. Dalam pengolahan data seismik, terdapat aplikasi

transformasi Radon. Transformasi Radon yang dalam istilah eksplorasi sering disebut

Slant-Stack, merupakan salah suatu teknik pengolahan data seismik yang saat ini sedang

banyak diteliti dan dikembangkan. Dengan transformasi Radon, data dua dimensi dari

rekaman seismik pantul dalam kawasan (x,t), dipetakan kedalam kawasan (p,T), dimana

p adalah Ray-parameter dan T adalah Intercept time. Didalam kawasan (p,T), pola-pola

rekaman yang cukup komplek dalam kawasan (x,t) akan tampak lebih jelas dan

sederhana, sehingga mempermudah untuk mengidentifikasi antara sinyal dan gangguan.

Disamping itu pemetaan rekaman data seismik kedalam kawasan (p,r), akan

mempermudah proses pemisahan beberapa gangguan yang ada dalam rekaman data.

Transformasi Radon balik cukup sulit dilakukan secara langsung dari kawasan (p,T) ke

kawasan (x,t). Oleh karena itu untuk melakukan transformasi Radon balik perlu melalui

kawasan frekuensi (p,w). Hal tersebut dilakukan dengan menggunakan transformasi

Fourier cepat (Fast Fourier Transform) sebagai piranti pendukung dalam transformasi

Radon maju dan balik. Dengan transformasi Radon, masalah pemisahan gelombang P

dan S dalam seismik eksplorasi dapat dilakukan dengan mudah. Selain dari pada itu,

transformasi Radon dapat digunakan untuk menghilangkan gelombang langsung serta

gangguan acak yang ikut terekam dalam data seismik eksplorasi.

Secara matematis, persamaan Transformasi Radon merupakan persamaan integral

sebagai berikut :

Sedangkan dalam interpretasi seismik, terdapat proses pemodelan inversi yang

memanfaatkan fungsi matematis dekonvolusi. Inversi (perkalian antara percepatan dan

densitas) adalah salah satu hal yang sangat penting di dalam melakukan karakterisasi

reservoir. Inversi adalah proses pemodelan geofisika yang dilakukan untuk memprediksi

informasi sifat fisis bumi berdasarkan informasi rekaman seismik yang diperoleh atau

dengan kata lain merupakan suatu proses konversi dari data seismik menjadi data

Impedansi Akustik.

Dalam proses akuisisi data seismik, tras seismik konvensional S(t) didapatkan dari

hasil konvolusi antara deret Koefisien Refleksi RC(t) dengan wavelet w(t):

S(t) = RC(t)* w(t)

5

Sebaliknya data seismik impedansi akustik di dapatkan dengan “membagi” atau

dikenal dengan istilah dekonvolusi pada tras seismik dengan wavelet yang sesuai.

RC(t) = (1/ w(t))* S(t)

yang mana RC(t) = (AI2-AI1)/(AI2+AI1), dan 1/w(t) adalah inversi seismik.

Tujuan dari inversi seismik ini adalah untuk mendapatkan kembali koefisien

reflektifitas yang tak lain merupakan bidang batas antar laipsan batuan. Dalam proses

inversi seismik ini, data seismik yang bersifat band limited frequency karena kehilangan

kandungan frekuensi rendah dan tinggi akibat konvolusi dengan wavelet yang bersifat

band limited, mendapatkan kembali kandungan frekuensi yang hilang tersebut denagn

cara menambahkan kandungan frekuensi rendah dan tinggi yang diambil dari data log

sumur, sehingga data seismik tersebut kembali menjadi broad band frequency. Hasil

akhir dari inverse seismik adalah broad band impedance. Dengan demikian dapat

dikatakan bahwa inverse seismik merupakan suatu usaha untuk merubah data seismik

yang semula merupakan amplitudo sebagai fungsi waktu menjadi impedansi akustik

sebagai fungsi waktu (gambar 1.1).

Gambar 1.1 Skema inversi yang memanfaatkan konvolusi dan dekonvolusi

Russel et al., (2005) mengembangkan pendekatan baru yang memungkinkan auntuk

langsung membalikkan dari reflektifitas untuk impedansi P, impedansi S dan densitas.

Dimulai dengan mendefinisikan variable baru Lp = ln(Zp) yang merupakan log

impedansi akustik normal Zp.

atau ditulis dalam matriks :

Rp = (1/2) DLP atau

6

Kemudian wavelet ditambahkan kedalam persamaan matriks :

T = W.Rp atau

yang mana T adalah trace seismik dan W adalah wavelet seismik.

Operasi yang sama diterapkan untuk LS = ln(ZS) dan LD = ln(ZD) dimana Zs

adalah impedansi S dan ZD adalah densitas. Sekarang persamaan Aki-Richards

dapat dituliskan sebagai berikut :

Pada persamaan tersebut model seismik tracenya, T pada sudut θ sebagai fungsi

impedansi dan densitas. Persamaan ini memungkinkan juga untuk diimplementasikan

pada wavelet yang berbeda dengan sudut yang berbeda pula. Untuk mengestimasi

impedansi P, impedansi S dan densitas harus dipertimbangkan fakta bahwa densitas dan

impedansi saling terkait satu sama lain. Persamaan ini diharapkan dapat mewakili tren air

(wet trend) dengan asumsi bahwa kondisi basah dapat dimodelkan sebagai rasio konstan

antara Vp/Vs.

Kemudian dengan persamaan Gardner (Russel et al., 2005) hubungan antara densitas

dan impedansi P adalah :

2. Contoh dan studi kasus aplikasi suatu fungsi matematika dalam suatu pengolahan data

seismik pada bidang eksplorasi geothermal, oil and gas, dan volcano seismologi :

7

a. Geothermal

Mikroseismik adalah sebuah terobosan baru dalam keilmuan geofisika yang

dengan keunggulannya mampu mengancam keberlangsungan metode seismik

konvensional. Prinsipnya adalah geophone ditanam pada kedalaman tertentu.

Sumber mikroseismik yang paling banyak adalah dari peristiwa kompaksi yang

diakibatkan adanya overburden. Secara tidak langsung, metode mikroseismik juga

dapat mendeteksi terjadinya peristiwa overburden yang penting diperhatikan dalam

eksplorasi geofisika.

Pada mikroseismik tidak terjadi pembatasan panjang gelombang sumber seperti

pada seismik refleksi konvensional, sehingga dapat memberikan banyak informasi

tambahan, salah satunya adalah lebih mudah dalam mendeteksi sesar. Hal ini

dikarenakan mikroseismik dapat melihat diskontinuitas dan kesalahan akibat aliran

fluida. Informasi sesar juga diperlukan dalam kinerja reservoir karena dapat

mengubah arah migrasi hidrokarbon.

Pengolahan data seismik untuk eksplorasi geothermal ini merupakan penelitian

yang dilakukan oleh Silas M. Simiyu dengan judul “Application of Micro-seismic

Methods to Geothermal Exploration : Examples from The Kenya Rift”. Hasil dari

studi untuk lapangan geothermal menunjukkan memungkinnya pemetaan resource

untuk eksplorasi geothermal dan monitoring reservoir. Variasi rasio Vp/Vs

berhubungan dengan fase fluida yang mana nilai rendah berhubungan dengan

penurunan kecepatan P-wave dalam area dengan tekanan pro tinggi, aliran kalor

tinggi, fracturing, dan saturasi gas dalam reservoir.

Untuk mengevaluasi magnitudo seismik pada eksplorasi geothermal, digunakan

persamaan matematis sebagai berikut :

Program analisis menghitung matriks kovarians 4x4 dari penyelesaiaan

persamaan dan menurunkan error ellipsoid dan error horizontal dan vertikal.

Perhitungan error membutuhkan estimasi variansi dari waktu kedatangan sebagai

berikut :

keterangan :

8

b. Oil and gas

Dalam eksplorasi oil and gas, pengolahan data seismik sangat penting untuk

didapatkan rekaman seismik yang baik. Pengolahan data seismik tersebut

menyangkut berbagai fungsi matematis. Salah satu tahapan dalam pengolahan data

seismik dalam ekslorasi oil and gas adalah dekonvolusi. Dekonvolusi adalah suatu

proses untuk menghilangkan wavelet seismik sehingga yang tersisa hanya estimasi

dari reflektifitas lapisan bumi. Secara garis besar metode dekonvolusi dapat dibagi

menjadi dua, yaitu deterministik dan statistik. Dekonvolusi deterministik adalah

dekonvolusi menggunakan operator filter yang sudah diketahui atau didesain untuk

menampilkan suatu bentuk tertentu. Contoh dekonvolusi deterministik adalah

spiking deconvolution. Sementara jika disain filter tidak diketahui, dapat diperoleh

secara statistik dari data itu sendiri. Metode ini disebut dekonvolusi statistik. Contoh

dekonvolusi statistik adalah dekonvolusi prediktif.

Dekonvolusi berkaitan erat dengan konvolusi. Secara umum konvolusi

didefinisikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka yang

menghasilkan deret angka yang ketiga. Didalam dunia seismik deret-deret angka

tersebut adalah wavelet sumber gelombang, reflektivitas bumi, dan rekaman seismik.

Secara matematis, konvolusi adalah integral yang mencerminkan jumlah

lingkupan dari sebuah fungsi a yang digeser atas fungsi bsehingga menghasilkan

fungsi c. Konvolusi dilambangkan dengan asterisk ( *). Sehingga, a*b = c berarti

fungsi a dikonvolusikan dengan fungsi bmenghasilkan fungsi c. Konvolusi dari dua

fungsi a dan fungsi b dalan rentang terbatas [0, t] diberikan oleh :

Contoh:

a = [1, 2, 3] dan b = [4,5,6] maka a*b :

9

Sehingga a*b adalah (4,13,28,27,18).

Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa jumlah elemen c adalah jumlah

elemen a ditambah jumlah elemen b dikurangi 1 atau (3+3-1 = 5). Konvolusi

dikawasan waktu (time domain) ekuivalen dengan perkalian dikawasan frekuensi

dan sebaliknya konvolusi dikawasan frekuensi ekuivalen dengan perkalian

dikawasan waktu.

Dekonvolusi dilakukan dengan melakukan konvolusi antara data seismik

dengan sebuah filter. Ada beberapa macam filter sebagai berikut :

(1) Filter frekuensi

Tujuan dari filter frekuensi adalah untuk menghilangkan komponen

frekuensi yang menggangu pada data seismik dan meloloskan data yang

diinginkan. Gelombang permukaan (ground roll), contohnya, biasanya diamati

sebagai suatu event frekuensi rendah dengan amplitudo yang besar dan dapat

dipisahkan dengan filter frekuensi.

Filter frekuensi dilakukan dalam kawasan frekuensi. Transformasi Fourier

dibutuhkan sebelum filtering dan Transformasi Fourier Balik diaplikasikan

sesudahnya. Kedua transformasi tersebut biasanya merupakan rutin filter.

Dengan menentukan frekuensi cutt-off dan slope dari taper antara full-

reject dan full-pass, maka sinyal dapat dipisahkan menurut frekuensi yang

diinginkan. Taper seharusnya didisain untuk menghindari efek batas (boundary

effect). Kemiringan taper pada frekuensi rendah seharusnya lebih tajam

dibanding kemiringan pada frekuensi tinggi.

(2) Filter F-K

Filtering dalam kawawan frekuensi-angka gelombang (F-K) juga disebut

filter kecepatan. Semua energi seismik yang berasal dari source dengan

kecepatan perambatan yang sama yang melewati event miring. Transformasi

Fourier 2D dibutuhkan untuk mentransformasi data ke dalam kawasan f-k.

Pertama, transformasi Fourier mengubah kawasan waktu ke dalam kawasan

10

frekuensi. Kedua, mentransformasi kawasan spasial ke dalam kawasan angka

gelombang k. Seperti halnya frekuensi adalah kebalikan dari perioda, maka

angka gelombang (  atau  ) adalah kebalikan dari panjang

gelombang.

Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y)

didefinisikan dengan:

F (ω1 , ω2 )=∫−∞

∞

∫−∞

∞

f ( x , y ). e− j (ω1 x+ω2 y ) dxdy

dimana F(1,2) adalah fungsi dalam domain frekwensi

f(x,y) adalah fungsi spasial atau citra

dan 2 adalah frekwensi radial 0 – 2π.

Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform,

dan sulit dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu

sendiri.

(3) Filter Wiener

Dalam filter Wiener biasanya digunakan model dekonvolusi prediktif.

Dekonvolusi prediktif mengasumsikan x(t) sebagai masukan dan (t + γ)

merupakan nilai prediktif pada waktu tertentu, yang mana γ adalah prediction

lag. Hal ini dapat menunjukkan bahwa filter digunakan untuk mengestimasi x(t

+ γ ) yang dapat dihitung menggunakan persamaan matriks yang ditunjukkan

sebagai berikut :

Jika ditentukan 5 titik masukan deret waktu xi yang mana i = 0,1,2,3,4 dan γ =

2, autokorelasi dari xi dihitung sebagai berikut :

11

Sedangkan crosscorelation antara keluaran x(t+2) dan masukan x(t) ditunjukkan

sebagai berikut :

Dengan membandingkan perhitungan untuk autokorelasi dan crosscorelation, serta

mengingat ahwa gi = ri + γ, r = 2, dan 0,1,2,3,4, persamaan matriks untuk

dekonvolusi prediktif dapat ditulis sebagai berikut :

Sedangkan koefisien filter prediksi ai, yang mana i = 0,1,2,3,4, dapat dihitung

melalui matriks tersebut. Keluaran dari filter prediksi γ(t) dengan masukan

untuk menghitung keluaran y(t) adalah sebagai berikut :

Sehingga dapat dilakukan prediksi bentuk waktu dari masukan dengan keluaran

yang merupakan estimasi dari deret xi + γ, yang mana γ = 2. Deret error

prediksi ditunjukkan sebagai berikut :

12

Hasil dari matriks tersebut menunjukkan bahwa deret error dapat

ditentukan secara langsung dengan konvolusi deret masukan dengan koefisien

filter (1,0,-a0,-a1,-a2,-a3,-a4) seperti ditunjukkan sebagai berikut :

Deret (a0,a1,a2,a3,a4) sebagai filter prediksi dan deret (1,0,-a0,-a1,-a2,-a3,-a4)

disebut sebagai filter error prediksi. Dengan mengaplikasikan hal tersebut pada

deret masukan, filter akan menghasilkan deret error dalam proses prediksi.

Filter prediksi menghasilkan komponen prediksi dari tras seismik dan juga

menghasilkan bagian yang tidak dapat diprediksikan, sehingga deret error

merupakan hasil deret refleksi (Yilmaz, 1998). Filter n-long prediction dan γ –

long prediction lag dapat dihitung sebagai berikut :

c. Volkanologi seismologi

Data geofisika deformasi dan seismik hingga saat ini masih merupakan

komponen utama dalam monitoring gunungapi. Sehubungan dengan hal tersebut

maka eksploitasi pengolahan data secara lebih spesifik akan sangat berguna.

Pengolahan data seismik untuk gunungapi ini merupakan hasil penelitian yang

dilakukan oleh Akhmad Jufriadi, Sukir Maryanto, Adi Susilo, B. Heri Purwanto,

13

M.Hendrasto dengan judul “Analisis Sinyal Seismik untuk Mengetahui Proses Internal

Gunung Ijen Jawa Timur”.

Analisis sinyal seimik pada gunungapi dapat memberikan informasi mengenai

keterkaitan sinyal seismik yang satu dengan yang lain, sehingga dapat diteliti proses

internal yang terjadi pada gunungapi tersebut (dalam hal ini merupakan Gunung

Ijem). Pada analisis karakteristik ini, pertama yang dilakukan adalah menganalisis

bahwa event terpilih dari semua stasiun diduga berasal dari sumber yang sama

dengan membandingkan pola waveform, spektral ataupun spektrumnya, seperti

Gambar 1.

Gambar 1. Kemiripan spektral event 20111201025723

Dari Gambar 1, dapat dilihat bahwa ketiga spektral terlihat memiliki pola

spektral yang sama, sehingga bisa dinyatakan bahwa sinyal seismik yang terekam

oleh ketiga stasiun berasal dari sumber yang sama. Data rekaman seismik yang

terbukti berasal dari sumberer yang sama kemudian dianalisis berdasarkan

waveform dengan menggunakan software swarm untuk mengetahui waktu tiba

gelombang P, waktu tiba gelombang S, amplitudo, frekuensi dominan, spektrum,

dan energi gelombang seismik, seperti pada gambar 2.

14

Gambar 2. Kenampakan sinyal, spektral, dan spektrum Gempa Vulkanik

Penentuan posisi sumber gempa menyangkut pada 2 hal penting, yaitu posisi

sumber pada kedalaman tertentu, yang sering disebut sebagai hiposenter dan posisi

di permukaan, yang tegak lurus dengan posisi hiposenter, yang sering disebut

sebagai episenter. Metode penentuannya adalah dengan menganalisis beda waktu

tiba gelombang P dan S antar masing-masing stasiun, sesuai dengan persamaan

berikut :

dengan : i = 1, 2, 3, dan 4 (stasiun ke-i)

(X,Y,Z)0 = koordinat sumber gempa yang tidak diketahui, (X,Y,Z)I = koordinat

stasiun seismograf, k = koefisien jarak yang tidak diketahui. ti= waktu tiba

gelombang P, t0 = waktu terjadinya gempa yang tidak diketahui. Konstanta jarak (k)

merupakan konstanta Omori, yang digunakan dalam perhitungan hiposenter,

dirumuskan sebagai berikut :

Dengan cara matematis ini, sebelumnya harus ditentukan terlebih dulu koordinat

masing-masing stasiun dan dianggap semua stasiun tersebut terletak pada satu

bidang datar. Untuk memudahkan perhitungan dan menghindari kesalahan yang

selalu timbul, pada waktu akan dilakukan pengamatan dipilih dulu stasiun seismik

yang hampir sama ketinggiannya atau bila mungkin yang terdapat pada ketinggian

yang sama. Bila hal ini tidak mungkin, dapat diambil ketinggian rata-rata dan dari

15

ketinggian tersebut kedalaman gempa mulai dihitung.Untuk memudahkan

penjelasan, diumpamakan koordinat titik sumber adalah S yaitu Xi, Yi, Zi. Dan

koordinat stasiun diumpamakan titik H yaitu X,Y,Z. Dengan kedua koordinat

tersebut, dapat dihitung panjang garis SH atau D, yaitu :

Analisis dengan cara diatas memerlukan ketelitian pembacaan beda waktu tiba

antara gelombang P dan S, atau lebih dikenal dengan istilah (S-P). Sehingga akan

didapatkan posisi hiposenter yang akurat. Dimana posisi hiposenter ini akan

mempengaruhi bagaimana analisis terhadap pergerakan magma dari masing-masing

tipe gempa vulkanik sebagai dasar untuk mengetahui bagaimana proses internal

yang terjadi di Gunungapi Ijen.

Penjalaran gelombang seismik dalam aplikasi gunungapi dapat dinyatakan

dalam bentuk umum persamaan gelombang, misalkan persamaan dalam kasus

perjalaran gelombang 1-D dapat dinyatakan dalam persamaan diferensial parsial

orde 2 bersama kondisi syarat batas dan awal berikut (Powers,1999) :

Solusi persamaan elastodinamik di atas dapat dinyatakan dalam persamaan

potensial displacement(dapat juga dinyatakan dalam vektor potensial displacement)

secara berturutturut untuk gelombang P dan S (Lay dan Wallace, 1995) :

Dimana F(t) adalah gaya sumber, α = kecepatan gelombang P =

dan Β = kecepatan gelombang , μ = modulus rigiditas, λ = konstanta

Lame, ρ = densitas medium perambatan gelombang, misalnya potensial

displacement kompresi Ap= Ap k (untuk kasus gaya sumber gempa berarah sumbu

16

z), As = As k dimana hubungan antara potensial displacementdengan displacement

itu sendiri adalah sebagai berikut :

Persamaan diferensial orde 2 potensial displacementdi atas mempunyai solusi

dalam bentuk integral konvolusi berikut (Lay dan Wallace, 1995) :

Dalam kasus data seismik, yaitu sumber gempa berasal dari gempa gunungapi,

fungsi F(t)dapat dihubungkan dengan bentuk sinyal sumber gunungapi. Dinamika

erupsi gunungapi diharapkan diperoleh dengan cara mengetahui variasi besar dan

arah gaya maupun stress (momen tensor) dari sumber gempa gunungapi yang

mengakibatkan erupsi. Dalam Gunawan (2008) telah dicontohkan alternatif solusi

persamaan (1) dalam bentuk diskritisasi persamaan diferensial. Pada pembahasan

subbab berikutnya akan diturunkan hubungan parameter-parameter sumber gempa

dengan besarnya displacement(seismogram) yang terekam di permukaan secara

analitik.

Displacement akibat gelombang seismik tipe P (kompresi) dapat dinyatakan

sebagai berikut (Stein dan Wysession, 2003) :

keterangan :

cp: ¼*π*ρ*α3*r

ρ: densitas medium (batuan)

r : jarak antara sumber gempa dan stasion perekam gempa

α: kecepatan gelombang seismik kompresi t : waktu

∂M/∂t : seismic moment rate function atau source time function

Untuk gelombang S (shear wave) displacement dinyatakan dalam uθdan uφ :

17

keterangan :

cp : ¼*π*ρ*β3*r

ρ : densitas medium (batuan)

r : jarak antara sumber gempa dan stasion perekam gempa

β: kecepatan gelombang seismik kompresi

t : waktu

∂M/∂t : seismic moment rate function atau source time function

18

BAB II

KESIMPULAN DAN SARAN

2.1 Kesimpulan

Fungsi, dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota

sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain

(dinamakan sebagai kodomain). Dalam aplikasi di bidang seismologi, fungsi matematis

sangat berkaitan dengan proses pengolahan data maupun pemodelan bawah permukaan

untuk interpretasi data seismik. Aplikasi tersebut biasanya terdapat dalam bidang

eksplorasi geothermal, oil and gas, dan volkano seismologi.

2.2 Rekomendasi

Diharapkan dengan pengetahuan mengenai aplikasi fungsi matematis dalam bidang

seismologi dapat menjadi dasar pengetahuan secara teori untuk pengolahan data maupun

interpretasi.

19

Daftar Pustaka

Gunawan, H. 2008. Analisis Data Geofisika Monitoring Gunungapi Berdasar Pengembangan

Pemodelan Analitik dan Diskrit. Buletin Vulkanologi.

Lay, T dan Wallace, T.C. 1995. Modern global Seismology. Academic Press, 521 pp.

Powers, D.L. 1999. Boundary value problems. Harcourt-Academic Press,528 pp.

Russell, et al. 2005. AVO Workshop Part 1 & 2. A CGG Veritas Company, CGG Veritas.

Stein, S., dan Wysession, M. 2003. An Introduction to Seismology, Earthquake, and Earth

Structure. Blackwell Publishing, 498 pp.