PEMANFAATAN APLIKASI GEOGEBRA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Disusun Oleh : Kelompok 6

Nama : Aisyah Turidho (06081281520073)

Annisa Nurzalena (06081381520029)

Khafifa (06081281520074)

Tania Tri Septiani (06081381520056)

Wahyu Adi Negara (06081381520043)

Mata Kuliah : Program Aplikasi Komputer

Dosen Mata Kuliah : Meryansumayeka, M.Sc

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2016

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI.......................................................................................................................................... i

A. PENGERTIAN GEOGEBRA....................................................................................................1

B. MANFAAT GEOGEBRA.........................................................................................................1

C. TAMPILAN GEOGEBRA........................................................................................................2

D. MEMBUAT FUNGSI DENGAN APLIKASI GEOGEBRA...................................................21

E. MEMBUAT BANGUN RUANG DENGAN APLIKASI GEOGEBRA.................................27

F. MENYELESAIKAN PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN DENGAN APLIKASI GEOGEBRA...................................................................................................................................30

G. MEMBUAT PERSAMAAN LINGKARAN DAN TITIK SINGGUNG GARIS DAN LINGKARAN PADA APLIKASI GEOGEBRA............................................................................35

H. MEMBUAT PERSAMAAN ELLIPS, PARABOLA DAN HIPERBOLA........................39

I. ALAT BANTU ILMU KALKULUS PADA APLIKASI GEOGEBRA.................................43

J. PENUTUP...............................................................................................................................52

DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................................................53

i

A. PENGERTIAN GEOGEBRAGeogebra merupakan aplikasi Matematika dinamis yang dibuat dengan menggabungkan ilmu geometri, aljabar dan kalkulus dan berfungsi sebagai alat bantu untuk mengatasi kesulitan dalam pembelajaran Matematika.

Aplikasi Geogebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter di Universitas Florida Atlantik. Aplikasi ini dikembangkan di sejak tahun 2001. Untuk mendapatkan aplikasi ini maka kita dapat mengunduhnya dengan mengunjungi http://www.geogebra.org/ . Selain pada komputer, aplikasi ini juga dapat digunakan pada handphone anroid maupun i-phone. Untuk mengunduh aplikasi geogebra melalui handphone maka anda hanya perlu mengunjungi playstore atau appstore dan search geogebra kemudian unduh. Namun, pada handphone, tools aplikasinya belum selengkap yang ada pada komputer selain itu pada handphone belum tersedia grafik 3D.

Dalam menggunakan aplikasi ini kita tak perlu khawatir tentang bahasa yang digunakan dalam aplikasi ini karena aplikasi ini sudah banyak diterjemahkan dalam berbagai bahasa termasuk pula bahasa Indonesia.

B. MANFAAT GEOGEBRA1. GeoGebra dapat dimanfaatkan sebagai media untuk menunjang proses

pembelajaran matematika yang dapat difungsikan untuk mendemonstrasikan atau memvisualisasikan konsep-konsep matematika khusunya yang mebutuhkan ketelitan tinggi seperti halnya grafik, serta sebagai alat bantu untuk mengkonstruksi konsep-konsep matematika.

2. Program GeoGebra melengkapi berbagai jenis software atau aplikasi yang ada pada komputer untuk pembelajaran aljabarmaupun geometri yang sudah ada, seperti Derive, Maple, MuPad, Geometry’s Sketchpad atau CABRI.

3. GeoGebra menawarkan kesempatan yang efektif sebagai inovasi lingkungan belajar online interaktif yang memungkinkan siswa mengeksplorasi berbagai konsep-konsep matematika.

4. GeoGebra membantu siswa untuk memahami konsep-konsep matematika yang membutuhkan ketelitian tinggi.

5. GeoGebra memudahkan siswa untuk membuat grafik dari persamaan yang sulit digambarkan secara manual.

1

C. TAMPILAN GEOGEBRA

a. Menu Pada tampilan menu terdapat file, edit, view, options, tools, window dan help. 1. File, pada menu file berisikan:

2

Menu Tool Bar

Jendela Kiri

Jendela Kanan

Input

2. Edit, pada menu edit berisikan:

3. View, pada menu view berisikan:

4. Options, pada menu options berisikan:

3

5. Tools, pada menu tools berisikan:

6. Window, pada menu window berisikan:

7. Help, pada menu help berisikan:

b. Tool Bar, pada tampilan tool bar berisikan ikon-ikon. Ikon-ikon tersebut akan berbeda-beda sesuai dengan menu view yang telah dipilih.Berikut ikon-ikon pada tool bar pada menu view graphics :

1. Ikon Pertama

- Move, digunakan untuk memindahkan atau menggeser posisi grafik.- Move around point, untuk merotasikan objek bebas yang berpusat pada

titik yang sudah dipilih lalu men-dranya dengan mouse

4

- Freehand Shape, digunakan untuk membuat garis secara sembarang dengan awal mula berupa bentuk tulisan tangan dan akan muncul titik pada garis itu di jendela kiri

- Pen, untuk membuat goresan pena

2. Ikon kedua

- Point, untuk membuat suatu titik pada grafik- Point on object, untuk membuat titik pada bagian dalam suatu objek- Attach/detach point, untuk menggunakan suatu titik dengan mengklik

titik tersebut- Intersect, untuk melihat perpotongan dua object dengan cara memilih

dua objek atau klik langsung pada perpotongannya - Midpoint or Center, untuk menentukan titik tengah dan titik pusat

suatu objek- Complex Number, untuk membuat bilangan kompleks pada grafik

dengan cara mengklik grafik tersebut- Extremum, untuk menentukan titik maksimum dan minimum grafik- Roots, untuk menentukan akar persamaan dari garfik fungsi tersebut

3. Ikon Ketiga

5

- Line, untuk membuat garis melalui dua titik- Segment, untuk membuat ruas garis antara dua titik dengan cara

memilih dua buah titik- Segment with given length, untuk membuat ruas garis dengan panjang

tertentu dengan cara memilih suatu titik dan akan muncul box untuk mengisi panjang ruas garisnya.

- Ray, untuk membuat sinar antara dua titik dengan cara memilih titik awal dan titik akhirnya

- Polyline, untuk membuat garis jamak antara titik-titik dengan cara memilih titik-titik sudut kemudian klik titik awal sudut lagi.

- Vector, untuk membuat garis vektor dengan memilih titik awal dan titik akhirnya

- Vektor from point, untuk membuat vektor dengan cara mengklik titik dan garis vektor sehingga akan muncul vektor yang besarnya sama dengan vektor yang diklik tadi namun posisinya berasal dari titik yang dipilih

6

4. Ikon Keempat

- Perpendicular line, untuk membuat garis tegak lurus dengan cara memilih suatu titik dan memilih garis yang tegak lurus tehadap titik itu

- Parallel Line, untuk membuat garis sejajar dengan cara mengklik sebuah titik dan garis kemudian akan terbentuk garis yang sejajar dengan garis itu

- Perpendicular bisector, untuk membuat garis tengah tegak lurus dengan cara memilih dua buah titik

- Angle Bisector, untuk membuat garis bagi dengan cara memilih tiga buah titik atau dua buah garis

- Tangents, untuk membuat garis singgung dengan mengklik sebuah titik singgung pada suatu fungsi

- Polar or diameter line, untuk membuat garis polar dan diameter pada lingkaran atau konik

- Best fit line, untuk mencocokkan garis terbalik dengan cara memilih daftar titik-titik

- Locus, untuk membuat garis lokus dengan cara memilih titik lokus kemudian pilih titik pada suatu objek

5. Ikon Kelima

7

- Polygon, untuk membuat poligon pada grafik dengan cara memilih beberapa titik dan klik lagi titik awalnya

- Regular polygon, untuk membuat segi-n beraturan dengan cara memilih dua buah titik lalu masukkan banyak titik sudut pada box perintah

- Rigid Polygon, untuk membuat poligon namun cara membuatnya lebih kaku

- Vector polygon, untuk membuat poligon dalam bentuk vektor

6. Ikon Keenam

8

- Circle with center through point, untuk membuat lingkaran dengan memilih titik pusat dan titik tertentu dan titik tertentu itu akan berada pada lingkaran

- Circle eith center and radius, membuat lingkaran dengan cara memilih titik pusat dan memasukkan jari-jari pada box perintah

- Compass, untuk membuat lingkaran dengan cara memilih ruas garis atau dua titik untuk jari-jari lalu titik pusat

- Circle through 3 points, untuk membuat lingkaran dengan memilih tiga buah titik

- Semicircle through 2 points, untuk membuat setengah lingkaran dengan cara memilih dua titik

- Circular arc, untuk membuar busur lingkaran dengan membuat titik pusat dan membuat dua buah titik

- Circumcircular arc, untuk membuat busur lingkaran dengan membuat tiga buah titik

- Circular sector, untuk membuat sektor lingkaran dengan membuat titik pusat dan membuat dua titik

- Circumcircular sector, untuk membuat sektor lingkaran dengan membuat tiga titik

7. Ikon Ketujuh

- Ellipse, digunkan untuk membuat elips dengan 2 titik fokusnya dan 1 titik lainnya

- Hyperbola, igunakan untuk membuat grafik hyperbola dengan 2 titik fokusnya dan 1 titik lainnya

- Parabola, digunakan untuk membuat parabola yang dibuat dari beberapa titik

- Conic through 5 points, digunakan untuk membuat ellips yang dibuat dari 5 buah titik

9

8. Ikon Kedepalan

- Angle, digunakan untuk mengetahui sudut dari 3 buah titik yang dapat ditentukan dengan menarik kursor

- Angle with given size, digunakan untuk membuat sudut dari 2 buah titik dan masukan sudut yang kita berikan

- Distance or length, digunakan untuk mengetahui jarak dari 2 buah titik- Area, digunakan untuk mengetahui luas dari lingkaran, elips dan

poligon- Slope, digunakan untuk mengetahui kemiringan garis dari garis sumbu

nya- List, digunakan untuk mengetahui titik koordinat nya- Relation, digunakan untuk mengetahui sama atau tidak dari 2 buah

gambar- Function inspector, digunakan untuk mengetahui rincian dari sebuah

fungsi

10

9. Ikon Kesembilan

- Reflect about line, digunakan untuk merefleksikan sebuah titik terhadap sebuah garis

- Reflect about point, digunakan untuk merefleksikan sebuak titik terhadap titik lainnya

- Reflect about circle, digunakan untuk merefleksikan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran

- Rotate around point, digunakan untuk membuat titik baru dari 2 buah titik yang diketahui sudutnya

- Translate by vector, digunakan untuk menerjemahkan titik koordinat kedalam bentuk vector

- Dilate from point, digunakan untuk membuat titik baru dari 2 buah titik

10. Ikon Kesepuluh

11

- Slider : digunakan untuk membuat luncuran pada sumbu y- Text: digunakan untuk memasukkan teks- Image: digunkan untuk memasukkan gambar- Button: digunakan untuk membuat tombol masukan - Check box: digunakan untuk menandai grafik- Input box: digunakan untuk membuat kotak masukan

11. Ikon Kesebelas

- Move graphics view: digunakan untuk memindahkan grafik- Zoom in: digunakan untuk memperbesar tampilan grafik- Zoom out: digunakan untuk memperkecil tampilan grafik- Show/hide object: digunakan untuk menampilkan atau menyamarkan

suatu objek- Show/hide label: digunakan untuk menampilkan atau menyamarkan

sebuah label- Copy visual style: digunakan untuk mengcopy warna dari sebuah objek- Delete: digunakan untuk menghapus sebuah objek

Berikut ikon-ikon tool bar menu view 3D Graphics:

1. Ikon pertama

12

-Move, digunakan untuk memindahkan atau menggeser serta memutar posisi grafik 3D.

2. Ikon kedua

- Point, untuk membuat suatu titik pada grafik- Point on object, untuk membuat titik pada bagian dalam suatu objek- Intersect, untuk melihat perpotongan dua object dengan cara memilih

dua objek atau klik langsung pada perpotongannya - Midpoint or Center, untuk menentukan titik tengah dan titik pusat

suatu objek- Attach/detach point, untuk menggunakan suatu titik dengan mengklik

titik tersebut

3. Ikon ketiga

- Line, untuk membuat garis melalui 2 titik- Segment, untuk membuat ruas garis antara dua titik dengan cara

memilih dua buah titik- Segment with given length, untuk membuat ruas garis dengan panjang

tertentu dengan cara memilih suatu titik dan akan muncul box untuk mengisi panjang ruas garisnya.

13

- Ray, untuk membuat sinar antara dua titik dengan cara memilih titik awal dan titik akhirnya

- Vector, untuk membuat garis vektor dengan memilih titik awal dan titik akhirnya

- Vektor from point, untuk membuat vektor dengan cara mengklik titik dan garis vektor sehingga akan muncul vektor yang besarnya sama dengan vektor yang diklik tadi namun posisinya berasal dari titik yang dipilih

4. Ikon keempat

- Perpendicular line, untuk membuat garis tegak lurus dengan cara memilih suatu titik dan memilih garis yang tegak lurus tehadap titik itu

- Parallel Line, untuk membuat garis sejajar dengan cara mengklik sebuah titik dan garis kemudian akan terbentuk garis yang sejajar dengan garis itu

- Angle Bisector, untuk membuat garis bagi dengan cara memilih tiga buah titik atau dua buah garis

- Tangents, untuk membuat garis singgung dengan mengklik sebuah titik singgung pada suatu fungsi

- Polar or diameter line, untuk membuat garis polar dan diameter pada lingkaran atau konik

- Locus, untuk membuat garis lokus dengan cara memilih titik lokus kemudian pilih titik pada suatu objek

5. Ikon kelima

14

- Polygon, untuk membuat poligon pada grafik dengan cara memilih beberapa titik dan klik lagi titik awalnya

6. Ikon keenam

- Circle with center through point, untuk membuat lingkaran dengan memilih titik pusat dan titik tertentu dan titik tertentu itu akan berada pada lingkaran

- Circle eith center and radius, membuat lingkaran dengan cara memilih titik pusat dan memasukkan jari-jari pada box perintah

- Circle through 3 points, untuk membuat lingkaran dengan memilih tiga buah titik

- Circular arc, untuk membuar busur lingkaran dengan membuat titik pusat dan membuat dua buah titik

- Circumcircular arc, untuk membuat busur lingkaran dengan membuat tiga buah titik

- Circular sector, untuk membuat sektor lingkaran dengan membuat titik pusat dan membuat dua titik

- Circumcircular sector, untuk membuat sektor lingkaran dengan membuat tiga titik yang akan terletak pada sektor

- Ellipse, untuk membuat elips dengan cara memilih dua titik fokus lalu pilih satu titik elips

- Hyperbola, untuk membuat hiperbola dengan memilih dua titik fokus dan satu titik hiperbola

- Parabola, untuk membuat parabola dengan memilih titik dan garis arah

15

- Conic through 5 points, untuk membuat konik pada grafik melalui 5 titik

7. Ikon Ketujuh

- Intersect two surfaces, untuk membuat perpotongan dua permukaan

8. Ikon Kedelapan

- Plane through 3 points, digunakan untuk membuat bidang dengan menggunakan 3 titik

- Plane, digunakan untuk membuat bidang dengan dengan menggunakan 3 titik atau sebuah garis dan 2 titik atau 2 buah garis

- Perpendicular plane, untuk membuat bidang dengan 1 titik dan garis sumbu

- Parallel plane, digunakan untuk membuat bidang dengan menggunakan sebuah titik dan titik di garis sumbu

16

9. Ikon kesembilan

- Pyramid, untuk membuat piramid atau limas dengan cara membuat

poligon lalu buat titik atas- Prism, untuk membuat prisma dengan cara membuat poligon lalu tarik

keatas poligon itu hingga terbentuk prisma- Extrude to pyramid or cone, untuk membuat limas atau kerucut dengan

mendrag poligon untuk limas dan mendrag lingkaran untuk kerucut kemudian masukkan tinggi limas atau kerucut pada box perintah

- Extrude to prism or cylinder, untuk membuat prisma atau tabung dengan mendrag poligon untuk prisma dan mendrag lingkaran untuk tabung kemudian masukkan tinggi prisma atau tabung pada box perintah

- Cone, untuk membuat kerucut dengan membuat titik pusat dan titik puncak lalu memasukkan jari-jari pada box perintah

- Cylinder, untuk membuat tabung dengan membuat titik pusat pada alas atas dan bawah lalu masukkan jari-jari pada box perintah

- Tetrahedron, untuk membuat limas segitiga dengan membuat dua titik- Cube, untuk membuat kubus dengan membuat dua titik- Net, untuk membuat jaring-jaring bangun ruang

17

10.Ikon Kesepuluh

- Sphere with center through point, digunakan untuk membuat bola dengan menarik kursor

- Sphere with center and radius, digunakan untuk membuat bola dengan memasukkan jari-jari

11.Ikon kesebelas

- Angle, digunakan untuk menentukan sudut dari 3 buah titik atau 2 buah garis

- Distance or length, digunakan untuk menentukan jarak dari 2 buah titik dan pada bidang lainnya

- Area, digunakan untuk mengukur luas dari poligon, lingkaran dan bidang lainnya

- Volume, digunakan untuk menentukan volume dari piramid, prisma, kerucut dan bidang lainnya

18

12.Ikon kedua belas

- Reflect about plane, digunakan untuk merefleksikan sebuah objek dengan bidang

- Reflect about line, digunakan untuk merefleksikan sebuah objek dengan sebuah garis

- Reflect about point, digunakan untuk merefleksikan sebuah objek dengan sebuah titik

- Rotate around line, digunakan untuk membuat bidang lain dari bidang dengan memasukkan sudut

- Translate by vector, digunakan untuk menerjemahkan titik koordinat kedalam bentuk vector

- Dilate from point, digunakan untuk membuat titik baru dari 2 buah titik

13.Ikon ketiga belas

- Text, digunakan untuk memasukkan teks

19

14.Ikon keempat belas

- Rotate 3d graphics view, digunakan untuk merotasi grafik- Move graphics view, digunakan untuk memindahkan grafik- Zoom in, digunakan untuk memperbesar tampilan grafik- Zoom out, digunakan untuk memperkecil tampilan grafik- Show/hide object, digunakan untuk menampilkan atau menyamarkan

suatu objek- Show/hide label, digunakan untuk menampilkan atau menyamarkan

sebuah label- Copy visual style, digunakan untuk mengcopy warna dari sebuah objek- Delete, digunakan untuk menghapus sebuah objek- View in front of, digunakan untuk melihat di depan bidang

c. Jendela kiri, untuk menampilkan persamaan, titik, garis dan sebagainya.d. Jendela kanan, untuk menampilkan grafik yang dipilih pada menu view

20

Jendela kiri

Jendela kiri

e. Input, untuk memasukkan persamaanD. MEMBUAT FUNGSI DENGAN APLIKASI GEOGEBRA

Dalam pelajaran Matematika terdapat beberapa macam fungsi, yaitu fungsi linier,

fungsi kuadrat, fungsi polinom, fungsi trigonometri, fungsi eksponen, dan fungsi

logaritma. Tiap-tiap fungsi tersebut memiliki gambar grafik yang berbeda-beda. Nah,

untuk mengetahui dan mempermudah dalam menentukan grafik fungsi tersebut dapat

menggunakan aplikasi geogebra. Caranya yaitu :

- Menentukan terlebih dahulu tipe fungsi yang akan dibuat

- Masukkan persamaan berdasarkan bentuk umum fungsi tersebut pada kolom

masukan

- Tekan enter maka akan muncul grafik fungsi

1. Fungsi Linier

Bentuk umum fungsi linear adalah F(x) = ax + b , maka untuk membuat gambar

dari grafik fungsi linier dapat memasukan bentuk umum persamaannya.

Contoh : Fungsi f(x) = 2x + 5 memiliki gambar grafik seperti berikut

Persamaan Garis Lurus Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus

Buka aplikasi geogebraPada bagian bawah aplikasi kita tuliskan persamaan garis lurus yang kita inginkan di kotak input atau bisa juga

21

dengan menulis persamaan umum garis lurus yakni ax+by+c=0 pada kotak input lalu enterTerus jika kita menulis persamaan umum dari garis lurus maka kita harus membuat slider untuk nilai a,b, dan c dari persamaan itu, dengan mengklik icon slider maka akan muncul jendela slider seperti berikut :

Pilih number dan masukkan name a,b, dan c pada kolom name. Pada bagian interval kita dapat mengubah nilai max dan min pada slider sesuai keinginan kita. Jika sudah maka hasilnya akan seperti gambar dibawah ini.

22

Menentukan Persamaan Garis LurusBuka aplikasi geogebraPertama kita bisa masukkan nilai titik A dan B pada kotak input lalu enter, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A dan B dengan mengklik icon point.Untuk mengetahui persamaan garis lurus dari titik A dan B maka kita hubungkan dengan mengklik icon line maka akan terbentuk sebuah garis dan persamaan garis lurusnya terletak pada bagian algebra, seperti gambar dibawah ini.

2. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah F(x) = ax2 + bx + c . Namun untuk

memasukan lambang pangkat perintah pada kolom perintah harus mengetik dengan

lambang “^” , sehingga menjadi F(x) = ax^2+bx+c

Contoh : Gambar grafik fungsi f(x) = x^2+3x+5 adalah

23

3. Fungsi Polinom

Bentuk umum dari fungsi polinom yaitu F(x) = anxn + an-1xn-1+....+ax+1 , sehingga

Contoh : untuk memasukkan fungsi f(x) = x4+2x3+3x2+x+5 dapat dilakukan

dengan mengetik f(x) = x^4+2x^3+3x^2+x+5 dan akan diperoleh gambar berikut

24

4. Fungsi Trigonometri

Dalam trigonometri umumnya menggambarkan grafik fungsi dengan

menggunakan sin, cos, atau pun tan. Jadi untuk menggambarkan fungsi

trigonometri dapat memasukan sin, cos dan tan pada persamaannya.

Contoh : f(x) = sin ( x + 45) - 4

5. Fungsi Eksponen

Bentuk umum fungsi eksponen adalah f(x) = ax maka untuk memasukan pada kolom

masukan dapat dilakukan dengan f(x) = a^x.

Contohnya = Fungsi f(x) = 2^x memiliki grafik berikut

25

6. Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma yang tersedia hanya berbasis e , basis, basis 10, dan basis 2.

Logaritma basis 10, perintahnya adalah f(x) = lg(x) , basis e adalah f(x) = ln(x) , dan

basis 2 yaitu f(x) = ld(x).

Contoh : misal untuk logaritma berbasis e, maka kita akan memasukan perintah f(x) =

ln(x)

26

E. MEMBUAT BANGUN RUANG DENGAN APLIKASI GEOGEBRA

Bangun ruang terbagi menjadi dua yaitu bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung. Bangun ruang sisi datar terdiri dari balok, kubus, prisma, limas. Sedangkan bangun ruang sisi lengkung yaitu kerucut, bola dan tabung. Dalam geogebra terdapat menu “3D Graphics “ yang berfungsi untuk membangun bangun ruang.

Contoh : Membangun Tabung

- Buka Geogebra, tampilkan 3D Graphics dengan klik “View”, lalu pilih “3D

Graphics”

- Jika hanya ingin menampilkan 3D Graphics, klik bagian yang dilingkari

- Untuk menghilangkan sumbu koordinat klik “3D Graphics”, kemudian klik “Show

or Hide the axes”

27

- Untuk memulai membuat tabung, klik gambar piramida, kemudian pilih “cylinder”

- Buat dua titik sembarang pada bagian koordinat

28

- Masukan radius atau jari-jari tabung yang diinginkan pada kotak yang muncul, lalu

klik OK

- Setelah semua jalan telah diikuti maka otomatis tabung akan muncul

Untuk membuat bentuk bangun ruang yang lain, dapat dilakukan dengan cara yang

sama.

29

F. MENYELESAIKAN PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN DENGAN

APLIKASI GEOGEBRA

1. Menyelesaikan Persamaan

Ada bermacam-macam persamaan diantaranya yaitu :

Persamaan Linear

Persamaan Kuadrat

Persamaan Polinom atau Suku Banyak

Cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah :

Tentukan persamaan yang akan di selesaikan

Letakkan semua suku di sebelah kiri, sehingga suku di sebelah kanan adalah 0

Pada kolom input, masukan persamaan pada suku di sebelah kiri dan enter

Lalu pada kolom input ketik “Root[f]” dan enter

Akan terbentuk titik potong antara grafik dengan sumbu X yaitu (X,0)

Maka penyelesaian persamaannya adalah nilai X yang telah didapat

Contoh : misal kita akan menyelesaikan persamaan x3 - 4x2 = 2x - 3

Langkah-lahkahnya :

Persamaan yang akan diselesaikan adalah x3 - 4x2 = 2x – 3

Persamaan menjadi x3 - 4x2 - 2x + 3 = 0

Ketik pada kolom input f(x) = x^3 - 4x^2 - 2x + 3 dan enter

30

Ketik pada kolom input “Root[f]” dan enter

Titik potong yang terbentuk adalah (-1,0) , (0.7,0) , (4.3,0)

31

Maka penyelesaiannya adalah -1 , 0.7, dan 4.3

Untuk mencarai penyelesaian pada persamaan yang lain dapat mencarinya

dengan cara yang sama

2. Menyelesaikan Sistem Persamaan

Ada beberapa jenis sistem persamaan, diantaranya adalah :

Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Adapun jenis sistem persamaannya, langkah-langkah untuk menyelesaikannya

juga sama yaitu :

Ketik persamaan pertama pada kolom input dan enter

Ketik persamaan kedua pada kolom input dan enter

Pada Kolom Input ketik “Intersect[a,b]” (nama grafik petama adalah a, dan nama

grafik kedua adalah b) dan enter.

Selanjutnya akan muncul titik potong antara kedua garis

32

Contoh : Selesaikan sistem persamaan 2x + y = 3 dan y = x2 + 3x -2

Langkah – Langkah :

Ketik persamaan 2x + y = 3 pada kolom input dan enter

Ketik persamaan y = x^2 + 3x -2 pada kolom input dan enter

Pada Kolom Input ketik “Intersect[a,b]” (nama grafik petama adalah a, dan nama

grafik kedua adalah b) dan enter.

33

Selanjutnya akan muncul titik potong antara kedua garis

34

G. MEMBUAT PERSAMAAN LINGKARAN DAN TITIK SINGGUNG GARIS

DAN LINGKARAN PADA APLIKASI GEOGEBRA

Persamaan Lingkaran Menggambar Grafik Persamaan Lingkaran

Buka aplikasi geogebraPada bagian bawah aplikasi kita tuliskan persamaan lingkaran yang kita inginkan di kotak input atau bisa juga dengan menulis persamaan umum lingkaran yakni x2+ y2+ Ax+By+C=0 pada kotak input lalu enterTerus jika kita menulis persamaan umum dari lingkaran maka kita harus membuat slider untuk nilai a,b, dan c dari persamaan itu. Maka hasilnya akan seperti ini :

Menentukan Persamaan LingkaranBuka aplikasi geogebraPertama kita bisa masukkan nilai titik A, B dan C pada kotak input lalu enter, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A, B dan C dengan mengklik icon point.

35

Untuk mengetahui persamaan lingkaran dari titik A, B dan C maka kita tulis “circle” pada kotak input, akan muncul pilihan seperti berikut :

Pilih circle [<point>,<point>,<point>], pada point kita tulis nama titik kita seperti ini : circle [A,B,C]. Maka akan terbentuk persamaan lingkaran seperti gambar dibawah ini :

Titik Singgung Garis dan LingkaranTerdapat tiga posisi atau kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu, memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda, memotong lingkaran pada satu titik atau dikenal dengan menyinggung lingkaran ,dan tidak memotong maupun menyinggung

36

lingkaran. Mengenai menyinggung lingkaran, titik pada lingkaran dan garis dapat ditentukan dengan mudah melalui aplikasi geogebra yaitu dengan cara :

Pada kolom input, masukan persamaan lingkaran dan kemudian enter Pada kolom input lagi ketikan persamaan garis lalu enter Pilih Icon yang ke-2, yaitu Intersect Two Objects

Kelik gambar lingkaran dan garis

Maka otomatis pada bagian kiri di Dependent Objects, akan menampilkan hasil titik

singgung lingkaran dan garis

Contoh : Tentukan titik singgung lingkaran L : x2 + y2 - 2x - 4y = 0 dengan garis

g : x – 2y + 8 = 0

Cara :

Pada kolom input, masukan persamaan L : x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 dan kemudian

enter

Pada kolom input lagi ketikan persamaan garis g : x – 2y + 8 = 0 lalu enter

37

Pilih Icon yang ke-2, yaitu Intersect Two Objects

Klik gambar lingkaran dan garis

Maka otomatis pada bagian kiri di Dependent Objects, akan menampilkan hasil titik

singgung lingkaran dan garis yaitu titik (0,4)

38

H. MEMBUAT PERSAMAAN ELLIPS, PARABOLA DAN HIPERBOLA Persamaan Ellips

Menggambar Grafik Persamaan EllipsBuka aplikasi geogebraPada bagian bawah aplikasi kita tuliskan persamaan ellips yang kita inginkan di kotak input atau bisa juga dengan menulis persamaan umum ellips yakni x2

a2 + y2

b2 =1 bila bersumbu (0,0) dan jika bersumbu (α,β) maka persamaan umum ellips yang dipakai (x−α )2

a2 +( y−β)2

b2 =1 pada kotak input lalu enterTerus jika kita menulis persamaan umum dari ellips maka kita harus membuat slider untuk nilai a dan b dari persamaan itu. Maka hasilnya akan seperti ini :

39

Menentukan Persamaan EllipsBuka aplikasi geogebraPertama kita bisa masukkan nilai titik A,B, dan C pada kotak input lalu enter, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A,Bdan C dengan mengklik icon point.Untuk mengetahui persamaan ellips dari titik A, B dan C maka kita tulis “ellips” pada kotak input, akan muncul pilihan seperti berikut :

Pilih ellips [<focus>,<focus>,<point>], contohnya : ellips [A,B,C]. Maka akan terbentuk persamaan ellips seperti gambar dibawah ini :

40

Persamaan Parabola Menggambar Grafik Persamaan Parabola

Buka aplikasi geogebraPada bagian bawah aplikasi kita tuliskan persamaan parabola yang kita inginkan di kotak input atau bisa juga dengan menulis persamaan umum parabola yakni Y=A x2+Bx+C=0 pada kotak input lalu enterTerus jika kita menulis persamaan umum dari parabola maka kita harus membuat slider untuk nilai a,b, dan c dari persamaan itu. Maka hasilnya akan seperti ini :

41

Menentukan Persamaan ParabolaBuka aplikasi geogebraPertama kita bisa masukkan nilai titik A dan garis f pada kotak input lalu enter, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A dengan mengklik icon point dan garis f dengan mengklik line.Untuk mengetahui persamaan parabola dari titik A dan garis f maka kita tulis “Parabola” pada kotak input, akan muncul pilihan seperti berikut :

Pilih parabola [<point>,<line>], pada point kita tulis nama titik kita dan pada line kita tulis nama garis kita seperti ini : parabola [A,f]. Maka akan terbentuk persamaan ellips seperti gambar dibawah ini :

Persamaan Hiperbola Menggambar Grafik Persamaan Hiperbola

Buka aplikasi geogebraPada bagian bawah aplikasi kita tuliskan persamaan hiperbola yang kita inginkan di kotak input atau bisa juga dengan menulis persamaan umum hiperbola yakni x2

a2 −y2

b2 =1 pada kotak input lalu enter

42

Terus jika kita menulis persamaan umum hiperbola dari maka kita harus membuat slider untuk nilai a dan b dari persamaan itu. Maka hasilnya akan seperti ini :

Menentukan Persamaan HiperbolaBuka aplikasi geogebraPertama kita bisa masukkan nilai titik A,B, dan C pada kotak input lalu enter, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A,Bdan C dengan mengklik icon point.Untuk mengetahui persamaan hiperbola dari titik A, B dan C maka kita tulis “Hyperbola” pada kotak input, akan muncul pilihan seperti berikut :

Pilih Hyperbola [<focus>,<focus>,<point>], contohnya : Hyperbola [A,B,C]. Maka akan terbentuk persamaan hiperbola seperti gambar dibawah ini :

43

I. ALAT BANTU ILMU KALKULUS PADA APLIKASI GEOGEBRA Turunan

Buka aplikasi geogebraMasukkan nilai fungsi pada kotak input lalu enterUntuk mengetahui turunan dari fungsi tersebut maka kita tulis “Derivative” pada kotak input, akan muncul pilihan seperti berikut :

Pilih Derivative [<function>], pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis seperti ini : Derivative [f]. Maka hasilnya akan seperti gambar dibawah ini :

44

Integral Integral Tak Tentu

Buka aplikasi geogebraMasukkan nilai fungsi pada kotak input lalu enterTerus ketik integral pada kotak input maka akan ada pilihan sebagai berikut :

Pilih integral [<function>] pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis seperti ini : integral [f]. Lihat contoh grafik dibawah ini :

45

Integral TentuBuka aplikasi geogebraMasukkan nilai fungsi pada kotak input lalu enterTerus ketik integral pada kotak input maka akan ada pilihan sebagai berikut :

Pilih integral[<function>,<start x-value>,<end x-value>] pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya dan pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya seperti ini : integral[f,1,2]. Lihat contoh grafik dibawah ini :

46

Atau dengan cara berikut

Buka aplikasi geogebraMasukkan nilai fungsi pada kotak input lalu enterPertama kita bisa masukkan nilai titik A dan B pada input, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A dan B dengan mengklik icon point.Setelah itu buatlah slider untuk menentukan n atau kerapatan garis pada batas a sampai batas b, dengan interval sebagai

berikut :

47

Setelah itu ketik uppersum pada kontak input seperti gambar berikut :

pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya, pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya, pada number of rectangles kita tulis name slider karena kita menggunakan slider seperti ini : uppersum[f,A,B,n].

Setelah itu ketik lowersum pada kontak input seperti gambar berikut :

pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya, pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya, pada number of rectangles kita tulis name slider karena kita menggunakan slider seperti ini : lowersum [f,A,B,n].

Setelah itu ketik integral pada kontak input sebagai berikut :

Pilih integral[<function>,<start x-value>,<end x-value>], pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya dan pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya seperti ini : integral [f,A,B].

Lalu hasil akhirnya akan seperti gambar berikut :

48

Jika ada 2 kurva maka caranya menentukan luasnya dengan cara :

Buka aplikasi geogebraMasukkan nilai fungsi 1 pada kotak input lalu enterMasukkan nilai fungsi 2 pada kotak input lalu enterPertama kita bisa masukkan nilai titik A dan B pada kotak input, atau yang kedua kita bisa menggambar titik A dan B dengan mengklik icon point.Setelah itu buatlah slider untuk menentukan n atau kerapatan garis pada batas a sampai batas b, dengan interval sebagai

berikut : Setelah itu ketik uppersum pada kontak input seperti gambar berikut :

49

pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya, pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya, pada number of rectangles kita tulis name slider karena kita menggunakan slider seperti ini : uppersum[f,A,B,n].Setelah itu ketik lowersum pada kontak input seperti gambar berikut :

pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya, pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya, pada number of rectangles kita tulis name slider karena kita menggunakan slider seperti ini : lowersum [f,A,B,n].Setelah itu ketik integral pada kontak input sebagai berikut :

Pilih integral[<function>,<start x-value>,<end x-value>], pada function kita tulis nama fungsi yang telah kita tulis, pada start x-value kita isi titik x sebagai batas awalnya, dan pada end x-value kita isi titik x sebagai batas akhirnya seperti ini : integral [f,A,B].

Lalu hasil akhirnya akan seperti gambar berikut :

50

Volume Benda PutarBuka aplikasi geogebraKlik menu view, pilih 3D graphicsKlik kanan pada 3D graphics , lalu pilih graphics..., akan muncul tampilan seperti berikut, centang y-axis is vertical seperti berikut :

Klik kanan lagi pada 3D graphics, lalu pilih plane agar plane nya hilangMasukkan fungsi pada kontak input lalu enterBuat slider angle seperti gambar berikut :

51

Klik fungsi tersebut, lalu pilih rotate around line

52

Setelah itu pada parametric curve klik kanan dan pilih trace on.

Lalu pada angle klik kanan lalu pilih animation on seperti gambar dibawah :

Jika kita ingin mencari volume benda putar cukup dengan mengetik rumus volume benda putar V=π*integral[f^2] pada kolom input lalu enter, seperti berikut ini :

J. PENUTUP

53

Geogebra sangat bermanfaat dalam bidang Matematika terutama geometri dan kalkulus. Dalam bidang geometri, Siswa yang tidak terbayang akan bentuk sistem kartesius tiga dimensi dapat menggunakan geogebra untuk melihat bentuk sistem kartesius tiga dimensi dari persamaan yang diinginkan, bukan hanya sisten kartesius tiga dimensi, siswa juga bisa menggambar kurva di kartesius dua dimensi. Dalam bidang kalkulus, siswa dapatvmencari integral dan turunan dari suatu persamaan tetapi siswa harus tetap memahami konsep integral dan turunan, geogebra hanya digunakan untuk sekedar mengecek saja dari integral ataupun turunan yang telah dihitung manual.

54

DAFTAR PUSTAKA

Hohenwarter, M., & Hohenwarter, J. (2008). Geogebra Help. Dipetik September 17, 2008, dari http://www.geogebra.org/help/search.html

Iswadi, H. (2011). Pengenalan Geogebra. Dipetik September 10, 2011, dari http://repository.ubaya.ac.id/187/1/hazril_Pengenalan%20Geogebra_2011.pdf

Mahmudi, Ali. Pemanfaatan Geogebra dalam Pembelajaran Matematika. Diambil kembali dari https://www.academia.edu/2137476/Pemanfaatan_GeoGebra_dalam_Pembelajaran_Matematika

Rohman, M. F. (2013). Panduan Penggunaan Geogebra. Dipetik Februari 2013, dari https://samuel07ben.files.wordpress.com/2013/02/panduan-geogebra.pdf

55